二轮专题(十三) 函数思想与数学建模-【真题密卷】2026年高考数学二轮专题精准提升

密真 2025一2026学年度二轮专题精准提升（十三） 题 数学·函数思想与数学建模 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 1.记Sm为等差数列{am}的前n项和.若a3十a6=24,S1o=160,则ag= A.4 B.24 C.29 D.30 2.已知点P在抛物线x2=一8y上，且A(0,一4)，则PA的最小值为 () A.2 B.3 C.3 D.4 3.已知在现代600千瓦的风力发电机上，每个扇叶的长度为20m,对应塔高（旋转中心距 离地面的高度)为60m,扇叶逆时针方向每分钟旋转27转.若M为扇叶尖上一点，当M 位于最低点时开始计时，则M离地面的距离h(单位：m)与其转动时间t(单位：s)的函 数关系式为（角速度=圆半径转过的弧度/运动时间） () 9π A.h=60-20cos 10 9 B.h=60+20cos 10 9π C.h=60-20sin 10 9π D.h=60+20sin10 4.如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D满足BD=λBC(0<λ<1)，点E满 足CE=2EA,则DB·DE的取值范围为 () B D 二轮专题精准提升（十三）数学第1页（共8页）》 真题 笔尖划过的每一题，都是向未来的靠近 A.[-4,12) B.[-4,16) 班级 C.[-4,12] D.[-2,4] 5.设aln,之b=1n3,c=4红4 e2 ,其中e是自然对数的底数，则 姓名 A.b<a<c B.a<c<6 C.6<c<a D.c<6<a 得分 6.“利川红”主产于湖北省利川市毛坝镇、忠路镇、柏杨坝镇、文斗乡、沙溪乡一带，2018年 在武汉东湖中印领导人非正式会晤中，“利川红”成为国事活动茶叙用茶.茶水的口感与 茶叶类型和水的温度有关，经验表明，“利川红”用90°℃的水泡制，再等茶水温度降至 60°℃时饮用，可以产生极佳口感.在20℃室温下，茶水温度从90°℃开始，经过tmin后 温度变为y°℃，可选择函数y=70×0.8十20(t>0)来近似地刻画茶水温度随时间变化 的规律，在上述条件下，若要“利川红”茶水达到最佳饮用口感，则需要放置的时间最接 近（参考数据：lg2≈0.30，lg7≈0.85） () A.2.5 min B.4.5 min C.6 min D.8 min 7.已知直线3x+y十2=0与圆x2+y-2)=m2m>0)相切，设函数了) Hx∈(0，+∞)，f[a(x+1)]+f[(x+2)(x+4)]>0,则实数a的取值范围为() A.(2√3+4，+o∞) B.(-23-4,+o∞) C.(4,+∞) D.[-23,+o∞) 8.小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”“行走速度保持不变”“将 人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了如表所示变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 h 色 d 01 D Uw 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为T=wD [du,十h(uw十u)]. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨量较大； ②若某人迎风行走一定距离，则走得越快淋雨量越小；若背风行走一定距离，则走得越 慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了10秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 密卷 二轮专题精准提升（十三）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播.在 物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I (W/cm).但在实际生活中，常用声音的声强级D(dB)来度量，声强级D(dB)与声强I (W/cm)的关系近似满足D=algI+b,经过多次测定，得到如表所示数据： 声强I(W/cm2) 10-1 10-10 m 声强级D(dB) 10 20 30 已知烟花噪声的声强级一般在(90,100)，其声强为I1；鞭炮噪声的声强级一般在 (100,110),其声强为12；飞机起飞时发动机噪声的声强级一般在(135,145)，其声强为 I3,则 () A.b-a=110 B.m=10-8 co1<品 D.IIs>I 10.已知0<ca<cb<c<1,则 A.loga<logb<o B.ab<ba C.3+3b>3b+3a D.a logic<b logac 11.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2,动点P满足AP=aAC+ bAA1,且a,b∈(0,1)，则下列说法正确的是 () D D A当a-时，ACL平面BPB, B.当a+b=1时，PB+PB1的最小值为√6 C.若直线BP与BD所成角为，则动点P的轨迹长度为？， D.当a十2b=1时，三棱锥P-ABC外接球半径的取值范围是 W23 2’2 二轮专题精准提升（十三）数学第3页（共8页） 真题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.道路通行能力指单位时间(1小时)内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路 疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研 究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米/小时）匀速行驶； 假设3：安全距离d(单位：米)与车辆速度v近似满足d=3.2十0.6522v十0.01v2. 该城市道路通行能力的最大值约为 (结果保留整数，参考数据：√2≈1.414). 13.甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛 结束).根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是p(0<p<1),且各局比赛结 果相互独立.若甲以3：1获胜的概率不高于甲以3：2获胜的概率，则力的取值范围 是 14.设F为双曲线E乙。-3=1(a>≥0，b>0)的右焦点，A,B分别为E的左、右顶点，点 P为E上异于A,B的动点，直线l:x=t,若过点F作直线AP的垂线交1于点Q时 总有B,P,Q三点共线，则二的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{am}的前n项和Sm=n2. (1)求{am}的通项公式， (2)问是否存在∈N,使得+)(+-(1+)≥·V2m+对Vn∈N恒成 立？若存在，求出飞的最大值；若不存在，请说明理由. 密卷 二轮专题精准提升（十三）数学第4页（共8页） 16.(15分)电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车 不规范，亲人两行泪.”讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.国家对综合治理酒驾醉驾违 法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含 量阈值如表所示： 驾驶行为类别 阈值(mg/100mL) 饮酒驾车 「20,80) 醉酒驾车 「80，十∞) 个 30 10 8026 0 时间h) 经反复试验发现，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律的 “散点图”如图所示，且图中所示的酒精含量f(x)(单位：mg/100mL)随时间x(单位： h)变化的函数模型可表示为f(x)= 40sin3x十13,0≤x<2,根据上述条件： 90·e0.5x+14,x≥2， (1)试计算某人喝一瓶啤酒后经过多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是 多少？ (2)试计算某人喝一瓶啤酒后经过多少小时才可以驾车（时间x以整小时计；参考数 据：ln15≈2.71,1n30≈3.40)？ 二轮专题精准提升（十三）数学第5页（共8页） 真题密卷 y2 5分)如图，椭圆C:乙2十31(Q>6>0)的左、右焦点分别为F,(-V3,0), F2（3,0),A为C上一点，△F1AF2的面积最大为3. F D (1)求C的方程； (2)若B,D分别为C的上、下顶点，不垂直于坐标轴的直线L交C于P,Q(P,Q均不 与点B,D重合)两点，如图所示，直线PB,QD的斜率分别为k1,k2,且k2=一3k1, 求△PBQ面积的最大值. 二轮专题精准提升（十三）数学第6页（共8页） 18.(17分)某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动， 已知该款食品年销量x吨与年促销费用：万元之间满足的函数关系式为x=2一十2 (k为常数)，若不开展促销活动，则年销量x=1.已知每一年生产设备折旧、维修等固 定费用为3万元，每生产1吨该款食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若 将每吨食品售价定为“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一 半”之和，则当年生产的该款食品刚好能销售完. (1)求k的值. (2)求下一年的利润y(万元)关于促销费t(万元)的函数关系式. (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元，可使该款食品的利润最大？最大利润为 多少？ (注：利润=销售收人一生产成本一促销费，生产成本=固定费用十生产费用) 二轮专题精准提升（十三）数学第7页（共8页） 真题密卷 19.(17分)近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI,可以实 现4nm手机SOC芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的 发展具有极为重要的意义.可以说国产4nm先进封装技术的突破，激发了中国芯片的 潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最 终的出路.研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就 可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为力(0<p<1),且 相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题（所 选的题全部答完后再判断是否被录用) (1)求甲和乙各自被录用的概率. (2)设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的p值po,使得E(传)=1.5？ 并说明理由. 二轮专题精准提升（十三）数学第8页（共8页）真题密卷 二轮专题精准提升 时，p(x)>p(0)=0, (15分) 因为0a<受m(>0,所以a2a)>m6)-0, 所以当0<x<受时，A'(x)>0,所以A(x)在 又因为m(x)在(a,π)上单调递增，且2a∈(a,π)， (0,2)上单调递增，h(x)>h(0)=0, B∈(a,π)，所以3<2a. (17分) 2025一2026学年度二轮专题精准提升（十三）】 数学·函数思想与数学建模 一、选择题 则B(-3,0),C(3,0),A(0,3√3)，E(1,2√3)，因 1.D【解析】设等差数列{an》的首项为a1,公差为 为BD=BC(0<入<1)，所以，点D在线段BC(不含 a3十a6=2a1+7d=24, a1=-2, 所 端点)上，设D(x,0)(-3<x<3),则DB=(-3-x, d,则有 解得 S10=10a1+45d=160, d=4, 0),DE=(1-x,2W3),所以DB·D2=(-3-x)(1 以ag=a1+8d=-2+4×8=30. x)=x2十2x-3=(x+1)2-4(-3<x<3),所以 2.D【解析】设P(x,y)(y≤0)，则有x2=一8y, 当x=-1时，DB·DE取得最小值-4；当x=3 又A(0,-4),所以PA|=√(x-0)2十(y+4) 时，DB·DE=12,故DB·DE的取值范围 =√x2+y2十8y+16=√y2十16(y≤0)，因为y 为[-4,12). ≤0，所以y2+16≥16，所以|PA|=√y2+16≥ 5.B【解析】令函载f)-兰，x>e,则f'(x 4,当且仅当y=0时等号成立，所以PA|的最小 值为4. _1-lh工<0，即f(x)在(e,十∞)上单调递减， 22 3.A【解析】由题意可得M点作匀速圆周运动 e2 的角速度为仙=27X2x=9元 60 =10rad/s,所以t秒 为4号2-6-2 2 e2, 后M点能转这的孤度为晉：d谈面数) 又3 号<4，此)>)>f4,即a< Asin(wt十p)+b,由题可得A=20,b=60,所以h(t) <b. =20sm(0+9）+60,当1=0时，h(0)=60-20- 6.A【解析】由题可知，函数y=70×0.8十20(t>0), 代入可得sin9=一1，即9=2+2k元，k 令70×0.g+20=60,则0.8=三，两边同时取对载， 则h0）=20sn(祭-}+60=-60-20cas8 9π 得go8=g号甲8-4(3g2-1）=2g2 4 4.A【解析】以BC所在直线为x轴，线段BC的中 1g7,故4-24g2lg7≈060-0.850.25 垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy, 3g2-7≈3x030-10=2.5mim 7.B【解析】由圆x2十(y-2)2=m2(m>0)可得 y 圆心(0,2)，半径为m,又直线与圆相切，则m= 0+242=2,故f)=m1-2 3+1 1+m1+2.因为 2x-11-2 f-x)=1+2=i+g=-fx),所以fx)为 ·68· ·数学· 参考答案及解析 寸业，思)-2-2-11x在R 二、选择题 10=alg10-1+b, 上单调递增.因为Hx∈(0，十∞)，有f[a(x+ 9.ACD【解析】由题意可得 即 20=alg10-10+b, 1)]+f[(x+2)(x+4)]>0,即f[a(x+1)] 10=-11a+b, a=10, >-f[(x+2)(x+4)]=f[-(x+2)(x+ 解得 所以b-a=110, 20=-10a+b, b=120, 4)],所以a(x十1)>-(x+2)(x+4),a> 故A正确；因为D=10lgI+120,所以30= _(x+2)(x+4 x+1 2,令h(x)=x+2)(x+4)= 101lgm十120，解得m-109,故B错误；由100< x+1 2十1十3+4223+4，当且仅当x=3一D 10g1+120<10,得0<1：<0女C正确：设 烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强 时等号成立，所以-h(x)≤一2√3一4，所以a 级分别为D1,D2,D3,由题意知90<D1<100,100< >-23-4. D2<110,135<D3<145,所以D1+D3>2D2,所以 8.C【解析】①若两人结伴迎风行走，设体型较高大 10lgI1+120+10lgI3+120>2(101gI2+120),所以 魁梧的人身高为h1,宽度为w1,厚度为d1,另一人 lgI1+lgI3>2lgI2,即lg(I1I3)>lgI,所以I1I3> 身高为h2,宽度为w2,厚度为d2,则T1一T2= I号，故D正确」 wD[d1,十h1(+]-P[d,0.+h· 10.ACD【解析】由0<ca<cb<c<1,可得a>b> 1,0<c<1,则y=logx单调递减，故log:a< (o.+o)]-PLv.(w.d.-wnd.)+(v.+w) 10gb<0,故A正确；取a=4,b=2,6=分，则4 (w1h1-w2h2)],又h1>h2>0,w1>w2>0,d1> ×2>2×4立，故B错误；令y=32-3x,则y'= d2>0,则w1d1>w2d2,1h1>w2h2,即T1-T2> 3r1n3-3,x>1,y'=3ln3-3>0在(1，+∞) 0,所以体型较高大魁梧的人淋雨量较大，故①正 上恒成立，故y=3x-3x在(1，十∞)上单调递 确：②若某人迎风行走一定距离，则T=uD 增，故当a>b>1时，有3a-3a>3-3b,即3 ae.+h(v.+v】)=rgDd,+i)十m如D,则 十3b>36+3a,故C正确；由0<c<1,a>b>1, 得log6c<log.c<0,则-logc>-logc>0,又a T随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小；若 >b>1>0,则-alog6c>-blog.c,故alog6c< 某人逆风行走，则T=uD [du,+h(-vm十o)]= blogac,故D正确. 11.ABC【解析】对于A,取AC,BD的交点为O, peD」 (du,-hum)+pDh,当du,-hwm>0时，T A1C1的中点为O1,如图所示： 随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小；当 D O1 dv,一hum<0时，T随v的增大而增大，即走得越 A 慢淋雨量越小；当du,一hmm=0时，淋雨量与v无关， 故②错误：③若莱人迎凤行走了10秒，则D=10为定 D,- - 信，=则T=10mo,+h+ ,所以 --0 T随D的增大而增大，即行走距离越长淋雨量越 当a-时，a-号aC+ba-A0+6MA6 1 大，故③正确.综上，合理的解释有2个. ·69· 真题密卷 二轮专题精准提升 ∈(0,1)，由平面向量线性运算法则可知，点P在 所以动，点P的轨迹长度为πr= √ 线段OO1上，由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1可 2元，故C正确； 得AC⊥BD,且BB1⊥平面ABCD,又ACC平 对于D,当a十2b=1时，取AA1的中，点为E, 面ABCD,所以BB1⊥AC,又BB1∩BD=B,且 即AA1=2AE,由AP=aAC+bAA=aAC十 BB1,BDC平面BDD1B1,所以AC⊥平面 BDD1B1,又因为平面BPB1与平面BDD1B1是 2bAE可知，P,C,E三点共线，即点P在线段 同一平面，所以AC⊥平面BPB1,故A正确；对 CE上，如图所示： 于B,当a+b=1时，由AP=aAC+bAA1,结合 D C 01. 共线定理可得，P,C,A1三点共线，即点P在线 A 段CA1上，由对称性可知，线段CA1上的点到 D1,B1两，点之间的距离相等，所以PB十PB1= PB十PD1,取平面A1BCD1进行平面距离分析， D 如图所示： D B 易知三棱锥PABC的外接球球心在直线OO 上，设球心为O2,|OO2|=h,作PQ⊥AC于点 Q,设|PQ=x∈(0,1)，易知AE=1,AC=√2， 由相似比可得CQ|=√2x,|OQ= ⊙ 2x② ,设外接球半径为R,则R2=h2 所以PB+PD1≥BD1=√22+12+1=√6，当 且仅当P,B,D1三点共线时，等号成立，此时点 十(x-h)2,解得h= P为线段CA1的中点，故PB+PB1的最小值为 √6，故B正确；对于C,由图可知，BA,BC与BD 3x-2 2,所以R2= 所成角均为至，由A立=aAC+bAA可知，点P 在平面A1ACC1内，若直线BP与BD所成角为 9x2-12x+6 -}+ ，易知当x= 2 3 4,在线段O01上取点P1,使OP1=OB,则直 线BP,与BD所成角为于，所以点P的轨运是 时，半径最小，为R= 2;当x=0时，半径最大， 为R= V6 以0为圆心，乞为半径，且在平面AACC内的 ,又x∈(0,1)，故半径的取值范固是 半圆孤AP1C,如图中细虚线所示： W2√6 ,故D错误 2’2 D C 三、填空题 -----1 12.821【解析】由于1小时=3600秒，所以车辆速度 以千米/小时)换第为来/秒是来/行，因此1小时 360X6 内通过的车辆数n=4.8十3.2+0.65220十0.010 。70· ·数学· 参考答案及解析 1000m 1000 =8+0.65220+0.010 根 0.01u+8+0.6522 √a2+b)联立，得x=t= ab2+a2√a2+b a2+b2 ,所 据基本不等式a+b≥2√ab(a,b>0)得，0.01v t b2+a√a2+b +1+( 8 e a2+b2 +≥2/0.01 ，当且仅当0.010 82W2 1+( ”=202时等号成立，所 设m+(,则m+1- m2 m 1000 ≈821，即该城市道路通行能力的 2g2+a6i2 1+1=- 最大值约为821. m=2时，后取得最大位票 18(@,司【解析】由题意可知，甲以31获胜的就 四、解答题 15.解：(1)当n=1时，a1=S1=1; (1分) 率p1=C号2(1-p)力=3p3(1一p),甲以3：2获 当n≥2时，an=Sm-Sm-1=n2-(n-1)2=2n 胜的概率p2=Cp2(1一p)2p=6p3(1一p)2,因为 -1,当n=1时也符合上式， (4分) p1≤p2,所以p1-p2=3p3(1-p)[1-2(1-)]≤ 故{an}的通项公式an=2n-1,n∈N“.(5分) 0,解释<分，故力的取值范周是0， 1 （2②)假设存在正整数，使得1++） 14.【解标】 (1+)≥·2m对Vn∈N恒成立， 则≤市a+f++-计对 Vn∈N*恒成立， (7分) l:x=t 令F(n)= 1+1)(+号+号) √2n+I 设PA:y=k(x十a),P(x2y2),A(-a,0), (z2y2 1+2)m∈N,易知Fm)≥0,9分) 联立a26=1, 整理得(b2-a2k2)x2- y=k(x十a), -年++ 2a3k2x-a4k2-ab2=0,所以-a十x2= 2n+2 4n2+8n+4 ,得到=治，所以， 2a3k2 ab2+aik2 v2m+3·V2n+√4n+$m+3>1, (11分) 2kab2 1 Qg过F作直线AP的垂线Ly=一友 所以F(n)是递增数列， (x-√a2+b2)与直线l:x=t交于Q,因为B, 则F(n)=F(1)=2 所9， Q,P三点共线，所以Q是直线y三后(G 因为友∈N',所以kmax=1. (13分) √a2+b)与BP的交点，则BP:y= y2-0 x2一a 16.解：(1)当0≤x<2时，0≤x<2π 3x<3, 红)8红a)与14：y=-君 62 (x 故当=，即=号时，有最大值，即了) 3 ·71· 真题密卷 二轮专题精准提升 =f(2)=40×1+13=53: (3分) 将y1=x1十m,y2=x2十m代入上式，得 3.x1x2-4(1+y1)(1+y2) 当x≥2时，f(x)=90·e.5x十14在[2，十o∞) =3x1x2-4(kx1十m+1)(k.x2+m+1) 上单调递减， =(3-4k2)x1x2-4k(m+1)(x1+x2)-4(m+1) 90 故f(x)mx=f(2)= +14<53. (5分) 8km =(3-4k) 4m2-4 1十4k+4k(m+1）·1十4 综上，fx)=f(经）=53， -4(m+1)2=0, 所以喝一瓶啤酒后经过1.5小时血液中的酒精 整理得m2一m一2=0，解得m=2或m=一1（舍去）， 含量达到最大值，最大值是53mg/100mL. 故直线1过定点(0,2)， (11分) (7分) 1 则S△os=21·x1一x2 (2)当f(x)<20时可以驾车，且x∈N,(8分) 1 因为f①)=40sm吾+13=20，+18>20， /x1+x2)2-4x1x2 故x≥2， 8km 4m2-4 1+4k2/ -4· 2 1+4k2 令90·e.5x+14<20,解得x>21n15≈5.42， (13分) 2√4k2-3 2 1 1+4k3 4 ≤2，当且 因为x∈N",所以x的最小值为6， √4k2-3十 4k2-3 故喝一瓶啤酒后经过6小时才可以驾车.(15分) 1以.解：1油题意得 ·23·b=√5，c=3 仅当= 2时等号成立，满足条件， 所以6=1，a=√62十3=2， 所以△PBQ面积的最大值为2 (15分) 放C的方程为+y-1 (4分) 18.解：(1)由题意知，当t=0时，x=1, (2)依题意，设直线PQ的方程为y=kx十m, 代人x=2, ,寻工之群每—2 P(x1y1),Q(x2y2）, (4分) y=kx+m, 2 联立x2 (2)由(1)得，x=2-十2t≥0， (4+y2=1, 当年生产x(吨)时，年生产成本为32x十3=32· 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 8km 4m2-4 -异）+3： 所以x1十x2= 1十4h2x1x2=1十4k2? 当销售x(吨)时，年销售收入为 △=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4) =16(1+4k2-m2)>0, (8分) 22,2+3×1.5+, (8分) 由2=一361，得十1 -3.y1-1 所以利润y(万元)关于促销费t(万元)的函数关 两边同除x1,得十1-3·1--3· 系式为：y=32包-是)+3×1.5+言 x1x2 y1-1 3 322-异)+3- 4(1-y)4(1+y1)' -t2+65t+70 即3x1x2-4(1+y1)(1+y2）=0, 即y= t≥0 2(t+2) (10分) ·72· ·数学· 参考答案及解析 -t2+65t+70 乙被录用的概率为P2=p2。 (7分) (3)由(2)知，y= 2(t+2) (2)的可能取值为0,1,2， 则P(5=0)=(1-P1)(1-P2), P(ξ=1)=P1(1-P2)+(1-P1)P2, 《-2品+曾碧当且仅当生 P(ξ=2)=P1P2, (9分) 所以E()=0×(1-P1)(1-P2)+1× 十2即1=6时等号成立， 32 (15分) [P1(1-P2)+(1-P1)P2]+2P1P2 所以当促销费投入6万元时，该款食品的利润最 =P1+P2=3p2-2p3+p2=4p2-2p3, 大，最大利润为2万元. (17分) 设f(p)=4力2-2p3(0<p<1), 则f'()=8p-62=2(4-3p)>0,(13分) 19.解：(1)由题意，设甲答对题目的个数为X,得X 所以f(p)在(0,1)上单调递增，又f(0)=0, ~B(3,p), f(1)=2, (15分) 则甲被录用的概率为P1=Cp2(1-p)十p3= 所以存在唯一的p值p。,使得f(p)=1.5,即 3p2-2p3; E(5)=1.5. (17分) 2025一2026学年度二轮专题精准提升（十四）》 数学·创新题型（形式创新、内容创新） 解答题 1.解：(1)设∠AOB=0, 即01-， (14分) 1B-20A2=10B2-410BIOAI cos 0+4OA2 故a+b+c-2027BC1ai1=20272 2 =1-4X1X1×3+4=2, 4 (15分) 故|OB-20A|=√2 (4分) 2.解：(1)由题知，P=0.12×0.95=5.9049×10-3. (2)由题知AO的中点为C113, (3分) 同时C1o13也为线段C1C225,线段C2C224,…, (2)设经过n次传输后仍然接收为a的概 线段C1o12C1014的中点， 率为Pm, 所以BA+BO-BC+BC2=BC,+BC2g4 则Pn=0.99Pm-1+0.01(1-Pm-1), 所以Pm=0.98Pm-1+0.01,n≥2， =BC3+BC223=…=2BC1013, 所以Pm-0.5=0.98(Pm-1-0.5),又因为P1- 所以a+b+c=BA+BC+BC2+BC+… 0.5=0.99-0.5=0.49, +BC2024+BC225+BO-2027BC1o13, (8分) 所以数列{Pm一0.5}是以0.49为首项，0.98为公 而BC,a-=2(Bi+B0)=}(Oi-O店+B0) 比的等比数列， 所以Pm-0.5=0.49×0.98m-1, -20-0. 所以Pm=0.49×0.98-1+0.5. (15分) 则1BC1:=子(1Oi:-4Oi1 cos0+ 3.解：1D由AB=2,BC=E,∠ACD=,AC= CD,可得AD=√2CD, 41o)=, 由题意可得ABXCD+BCXAD≥ACXBD, ·73·