单元过关(五)一元函数导数及其应用-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

不怕失败，只怕未曾堂试 2025一2026学年度单元过关检测（五） 2已知)是定文在R上的可导函数，若回/2+)2-0 2则f(2)=（ 班级 卺题 数学·一元函数导数及其应用 A.-1 c.1 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 3.已知函数f(x)=x3十bx十cx的图象如图所示，x1,x是f(x)的极值点，则x十x 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 3x1x2= () 得分 是符合题目要求的。 题号 6 7 答案 1.如图，有一个无盖的盛水容器，高为H,其可看作将两个完全相同的圆台中面积较大的 A号 C.-1 n-音 底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的 4.已知A是直线y1=2x-1上的动点，B是曲线y2=e+x上的动点，则|AB|的最小 体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为f(:),则下列函数图象中最有 值为 () 可能是f(:)图象的是 () 号 &36 5 c n 5.若函数(x)=ax-2x+blnx(ab≠0)有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是() A.a+b<0 B.a+6>0 C.ab<0 D.ab>0 6已知函数广红)的导函数为了(x),)的图象如图所示，则>0的解集为 () A.(1,6) B.(1,4) C.(-∞，1)U(6,+∞) D.(1,4)U(6,+∞) 7.已知r)是fa)定义在0，十o∞)上的导函数，同时fx)<1-fx),对Ya>6>0, 则必有 () A.af(b)+a<bf(a)+b B.bf(b)-b<af(a)-a C.bf(a)-a<af(b)-b D.af(a)+b<bf(b)+a 单元过关检测（五）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（五）数学第2页（共8页） -x3十x2,x≤0， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 8.已知函数f(x)-lnx 若函数g(x)一f(x)一m有三个零点，则实数m的 x x>0. 12.曲线y=1一xln2x的一条切线为y=一2x+b,则b= 13.已知函数f(x)=x2+(x一2)e一2x十5在区间(2m一1,3m十2)上不单调，则实数m 取值范围是 () 的取值范围是 A(尽，+) B.(e,十oo) 1 14.已知函数fx)=3x+x2ax+1在区间1,2)上存在极值点，则a的值可以为 c..) n.(-,ou6+ ,(填一个符合条件的整数即可) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 15.(13分)已知函数f(x)=(x+1)e 题号 9 10 11 (1)求f(x)在（一2，f(一2）)处的切线方程； 答案 (2)求出方程f(x)=a(a∈R)解的个数. 9.对于函数f(x)=lnx一1，则 () A直线y一三是fx)过原点的一条切线 B.f(x)关于y=x对称的函数是y=e+1 C.过一点(a,b)可以有3条直线与f(x)相切 D.f(x)≤x-2 10.已知-1为函数f(x)=x3-3x十a的一个零点，则 A.f(x)的图象关于(0，一2)对称 B.f(x)<0的解集为（一∞，2） C.当x∈(0,1)时，f(x)<f(x) D.当x∈[m,n]时，f(x)∈[-4,0]，则n一m的最大值为4 11,设函数f(x)=a.x一2x2十1，则下列说法正确的是 A.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 B.当a>2时，f(x)有三个零点 C若fu)满是了)+f2-x)=-号则a=号 D.当a=1时，若f(x)在（一1，m)上有最大值，则m>0 单元过关检测（五）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（五）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知函数f(x)=ax2+2x+2. 17.(15分)设函数f(x)=ln2x+1|-ln2x-1l. (1)讨论f(x)的最值； (1)判断f(x)的奇偶性： (2)当x≥0时，2e≥f(x),求实数a的取值范围. (2)解不等式f(a2+1)十f(-4)>0. 单元过关检测（五）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（五）数学第6页（共8页） B 18.(17分)已知函数f(x)=xln(x+a). 19.(17分)已知函数f(x)=ln(x+1). (1)当a=0时，求f(x)的极值. (1)求曲线y=f(x)在x=3处的切线方程 (2)若f(x》存在两个极值点x1,x2(x1<xz). (2)讨论函数Fx)=x一是-a十1Dfx一1)的单调性. (i)求实数a的取值范围 4 （I)证明：-<fx)<0. (3)设函数g)=G+Df)-f(传+1小证明：3m∈R,使得曲线y=g)关于直 线x=m对称. 单元过关检测（五）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（五）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 设g(x)=log号x一x,x>0, 当m>m-f(1) T 时，g(To)=f(1)十noT-m 因为g1)=-1<0,g(）->0， 所以在区间（分1上函数gc)存在零点x, +Tm）-m=0,卿sT)>0, 所以g(x)在区间(0，十∞)上存在零点；(14分) 当T=xo时，log号T=T,此时函数y=f(x)具 ③若g(1)=f(1)-m>0,即f(1)>m, 有性质P(T). (8分) 因为f(x)=f(T"x)-nT, (3)证明：设n∈N*,因为f(Tx)=f(x)+T,所 所以f(T-")=f(1)-nT,所以g(T-")=f(1) 以f(T"x)=f(x)十nT, -nT-m: 设g(x)=f(x)-m,m∈R, 当，≥f0）时，gT)=f1)-,T-m< 因为g(Tx)=f(Tx)-m=f(x)-m+T= T g(x)+T, 1-T)）-m=0.即gT)0, 所以g(x)具有性质P(T),g(T"x)=f(x)+ nT-m, 所以g(x)在区间(0，十∞)上存在零点。 令x-1,得g(T")=f(1)+nT-m,(10分) 综上所述，Hm∈R,g(x)=f(x)一m都存在零 ①若g(1)=f(1)-m=0,则函数g(x)在 点，即都有f(x)=m∈R, (16分) (0,十∞)上存在零点； (11分) 故f(x)的值域为R. (17分) ②若g(1)=f(1)-m<0,即f(1)<m, 2025一2026学年度单元过关检测（五） 数学·一元函数导数及其应用 一、选择题 则B(0,1),所以|AB|最小值d= 10-1-11 1.D【解析】因为单位时间内注水的体积不变，结 √22+1z 合容器的形状，在单位时间内，高度变化率先由快 2V5 变慢，后由慢变快 5 2.D【解析】由导数的定义得， 5.C【解析】f(x)=ax2-2x十blnx(ab≠0)， f(2+h)-f(2-h) f'(2)=im(2+h)-(2-h) 定义域为(0，十∞)， b 2ax2-2x+b =号四12+，/20- f'(x)=2ax-2+2 且ab≠0， h 4 因为∫(x)有唯一极值点， 3.A【解析】由函数的图象可知，f(1)=1十b十c= 所以g(x)=2ax2-2x十b=0有唯一正根。 0,f(2)=8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2, 若△=4一8ab≤0，则f(x)在定义域内单调，不存 所以∫(x)=x3-3x2+2x,可得f'(x)=3x2- 在极值，点，舍去； 6x十2，由韦达定理及极值点的定义得x1十x2= 2,x1x1=子，所以+号-3西=6十) 2 若4=4-8ab>0,脚ab<2, 则2ax2一2x十b=0必有一正一负两个根，根据韦 102 5x1xe=4-3-3 达定取得品<0，所以b0 4.B【解析】令f(x)=e+x,g(x)=2x-1, 则f(x)-g(x)=e+x-(2x一1)=e2-x+1> 6.D【解析】由题 ,fr>0,可得f'(x)fx)>0, f(x) 0在R上恒成立，所以曲线y2=e十x在直线y1=2x 故f'(x)与f(x)同号.又由图可知，当x∈ -1的上方，当曲线y2=e十x在，点B(x0,yo)处的 (-∞，4)时，f(x)单调递增，f'(x)>0;当x∈ 切线与直线y1=2x一1平行时，两直线之间的距 (4,十∞)时，f(x)单调递减，f'(x)<0. 离即|AB|取得的最小值. 所以当x∈(-∞，1)时，f'(x)>0且f(x)<0; 因为f'(x)=e2+1,所以e2o+1=2,解得x0=0, 当x∈(1,4)时，f'(x)>0且f(x)>0; ·15· B 真题密卷 单元过关检测 当x∈(4,6)时，f'(x)<0且f(x)>0; 结合图象可知，最多有两条切线； 当x∈(6，十∞)时，f'(x)<0且f(x)<0. 综上，解集为(1,4)U(6,十∞). (a,b y=Inx-1 7.D【解析】由于f(x)的定义域为(0，+∞)， 且f'(x)<1-f(x) 正2，故xf'(x)+fr)-1<0, 即(xf(x)-x)'=xf'(x)+f(x)-1<0, 当点(a,b)在f(x)下方时，没有切线； 因此y=xf(x)一x在(0，十∞)上单调递减， 当点(a,b)在曲线上时，只有一条切线，故C错误； 由于a>b>0,故af(a)-a<bf(b)-b, 对于D,由于x∈(0，十o∞)，设g(x)=x-lnx-1, 即af(a)+b<bf(b)+a. 8.C【解析】当x≤0时，f(x)=-x3+x2, 则g'(x)=x-1 f'(x)=-3x2+2x=-x(3x-2), 令g'(x)>0,得x>1;令g'(x)<0,得0<x<1, 所以在区间(-∞，0]上f'(x)≤0， 所以g(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0,1)上单 当且仅当x=0时，f'(x)=0, 调递减.所以g(x)≥g(1)=0,即lnx≤x-1,所 所以f(x)在（一∞，0]上单调递减，f(0)=0. 以f(x)≤x-2,故D正确. 当x>0时fa)=z之，fz)=二h义 10.AD【解析】f(-1)=-1+3十a=0,a=-2, 所以f(x)=x3-3x-2=(x十1)2(x-2), 令f'(x)=0,解得x=e, 所以f(x)+f(一x)=一4，所以f(x)的图象关 所以在区间(0，)上，f'(x)>0,f(x)单调递增； 于(0，-2)对称，故A正确； 在区间(e,十∞)上，f'(x)<0,f(x)单调递减， 令f(x)=(x十1)2(x-2)<0,可得x≠-1且 又fe)=he1 x<2,故B错误： e 。,当x>1时，f)=血 x 因为当0<x<1时，0<x2<x<1, 0,当x→>0+时，f(x)→一∞， 而f'(x)=3x2-3<0,所以f(x)在(0,1)上单 由此画出f(x),y=m的大致图象如图所示， 调递减，所以f(x2)>f(x),故C错误； 由于f(x)=x3-3x-2,f′(x)=3x2-3= 3(x+1)(x-1), 所以f(x)在区间(-∞，一1)，(1，十∞)上， f'(x)>0,f(x)单调递增； = 在区间(-1,1)上，f'(x)<0,f(x)单调递减， f(-1)=0,f(1)=-4,f(-2)=一4，f(2)=0, y=fx) 画出f(x)的大致图象如图所示， 函数g(x)=f(x)-有三个零点， 等价于y=f(x)与y=m的图象有三个交点， 所以m的取准范因是，》】 二、选择题 9.ABD【解析】对于A,设切，点(m,lnm-1), 则k=f'm)=1-nm-1-0 D选项中，当x∈[m,n]时，f(x)∈[-4,0]， mm-0 由图可知，n一m的最大值为4，故D正确. 1. 所以lnm-1=三·m,所以nm=2,所以m=e2, 11.AC【解析】对于A,f'(x)=3ax2-4x=x(3a.x 切，点(e2,1),所以过原点的切线方程为y一1= ,当a<0时，当名或≥0时'u)0: 一 x-e2 e,即y=。,故A正确： 当<x<0时，f(z)>0,故x=0为f(x)的 对于B,由反函数的概念可得y十l=lnx,即e+1= 极大值，点，故A正确； x,所以y=e+1,故f(x)关于y=x对称的函数 对于B,当a>2时，由A的分析同理可得： 为y=e+1,故B正确； 对于C,当点(a,b)在f(x)上方时，如图所示， 当x<0或时，f'z)>0,f(x)单调递增 B ·16· ·数学· 参考答案及解析 当0<r<4时，f'()<0,fe)单调道减， 四、解答题 3a 15.解：(1)f(x)的定义域为R,f(-2)=-e2, 而0)=10，/)是+1=1 6432 32 (1分) 27a2 因为f'(x)=e+(x+1)e2=(x+2)e2, 32 >1-27X>0,f(-a)=-a-2a2+1<0,故 所以k=f'(-2)=0, (2分) f(x)只有一个零点，故B错误； 所以切线方程为y=一e. (4分) 对于C,f(x)+f(2-x)=ax3-2x2+1+ (2)方程解的个数等价于曲线y=f(x)与直线y a(2-x)3-2(2-x)2+1=(6a-4)x2+(8-12a) =a的交点个数. x+8a-6, 令f'(x)=(x+2)e>0,解得x>-2; 由题设可得 令f'(x)=(x十2)e<0,解得x<-2.(5分) (6a-4)x2+(8-12a)x+8a-6= 2恒成立， 所以f(x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2，十∞) f6a-4=0, 上单调递增， 故8-12a= 2 fx)m=f(-2)=是当x<-2时，f)<0, 1 8a-6=-2 2即a=3,故C正确； 3 (7分) 对于D,取m=8,由B的分析可得：f(x)在 (一1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数，在 作出y=与y=a的图象由图可知当a<一日 时，方程f(x)=a(a∈R)的解为0个；(9分) (8)上为增画数， 当a=-怎专或a≥0时，方程fx)=aa∈R)的 而f(0)=1,f(8)=83-2×64+1=385>1, 解为1个； (11分) 此时f(x)在(-1,8)无最大值，故D错误. 三、填空题 当-是a<0时，方程∫)=a(a∈R)的解为 12.1+号【解析】)/=-ln2x-1,令-n2x-1= 2个 (13分) 一2，解得x=,当x=时y=1-,故将切点 e e e y=f(x) y-a (兮1-)代入直线)=-2z+6,得6=1+ e 2 13.(31)【解析】由题意知f'x)=女-1)e +2x-2=(e2+2)(x-1), 16.解：(1)当a<0时，f(x)存在最大值，无最小值， 因为f(x)在区间(2m-1,3m+2)上不单调， 即y=f'(x)在区间(2m-1,3m+2)有变号零点， 其最大位为f(-）-a(-2》广日+2-2日 又e+2>0,所以f'(x)=0,解得x=1, (2分) f'(x)>0,解得x>1;f'(x)<0,解得x<1, 当a=0时，f(x)=2x十2，f(x)在R上单调递 所以x=1在区间(2m-1,3m十2)内， 增，无最大值也无最小值； (3分) 1解得-长m<1, 所以《 当a>0时，f(x)存在最小值，无最大值， 3m+2>1, 即实教m的取值范图是（行，小 其最小值为()-(”-子+2=2日 (5分) 14.2或3均可以【解析】由题意知，f'(x)=x2十 2x-2a在(1,2)上有变号零点，又f'(x)在(1， 综上，当a<0时，f(c)的最大值为2-，无最 2)上单调递增，此时f'(x)∈(3-2a,8-2a), 小值； 故/3-2a<0, 当a=0时，f(x)无最大值也无最小值； l8-2a>0, 解得<a< 当a>0时，)的最小值为？-。，无最大值。 (6分) ·17· B 真题密卷 单元过关检测 (2)由2e≥f(x),得2e*-ax2-2x-2≥0， 且f'(x)=1+lnx, (1分) 设g(x)=2e-ax2-2x-2,x∈[0，十∞)，得 g(0)=0, 当x∈(o,)时，f')<0,f)单调递减： g'(x)-2e-2-2a.x,且g'(0)=0, (8分) 设h(x)=g'(x)=2e-2-2ax,x∈[0，+∞)， 当x∈（日，+∞）时'()>0，fx)单调递增 则h'(x)=2e-2a, (4分) h'(x)在区间[0，十∞)上单调递增， 当a≤1时，在区间[0，+∞)上，h'(x)≥0， 所以了：)的极小值为f(侣)=-是，无极大值。 g'(x)单调递增， (5分) 所以g'(x)≥g'(0)=0, (10分) (2)(i)解：由题意可得，f(x)的定义域为(-a, 所以g(x)在区间[0，十∞)上单调递增， +0∞)， 所以g(x)≥g(0)=0. (11分) 1 且f'(x)=ln(x+a)+ x+a x+a ·[(x+a) 当a>1时，令h'(x)=2e-2a<0,得x<lna, 所以当x∈(0，lna)时，h'(x)<0,g'(x)单调递 ·ln(x+a)+x], (6分) 减，所以g'(x)≤g'(0)=0, (14分) 设g(x)=(x十a)ln(x+a)十x, 所以g(x)在区间(0，lna)上单调递减， 可知g(x)在(-a,十∞)上有两个变号零点， 所以g(x)≤g(0)=0,与题设矛盾. 则g'(x)=2+ln(x十a), 综上，实数a的取值范围为（一∞，1]. (15分) 当∈(-a,-a)时g)<0,g)单调道减： 17.解：(1)f(x)为奇函数，证明如下： 由题意可得 18梨≠± 当z∈（侵-a,+)时ga)>0,gc)单调递增。 (2分) 则ge)m=g(-）=-a, 所以了)的定义镀为女≠士司引， (3分) 且当x趋近于十∞时，g(x)趋近于+∞， 又因为f(x)+f(-x)=ln2x+1-ln2x-1+ (10分) In-2x+1-In-2x-1=In 2x+1-In2-1 当x趋近于一a时，g(x)趋近于一a, +ln|2x-1|-ln2x+1=0, (6分) 可得 即f(x)=一f(一x),所以f(x)为奇函数. -a<0解得<a<0, a>0, (7分) (2)当x∈（分，+o)时， 所以实数a的取值范围为(0 (13分) f(x)=In|2x+1-In|2x-1 (i)证明：由(1)可知，-a<x1<。一a, .1 =ln(2x+1)-ln(2x-1), (8分) 且(x1十a)ln(x1十a)+x1=0,所以f(x1)= 2 2 4x-2-(4x+2) 所以f')=2x+12x-2z+1)2x-D xIn(x1+a)=-(x1+a)In2(x1+a), 一4 (2.x+1)(2x-)<0, (10分) 设hx)=-xlx(0<x<),显然h(x)<0, 又h'(x)=-(2十lnx)lnx, 所以fx)在（分，+e上单调递减， (12分) 因为x∈o,),则')<0， 因为f(x)为奇函数，所以不等式f(a2+1)+ f(-4)>0等价于f(a2+1)>f(4), 可知h(x)在(0，)上单调递减， 由于a2+121,fx)在（分+eo)上单调 且（侣）=一兰可得<A)0, 4 递减， 所以f(a2+1)>f(4)等价于a2+1<4, 所以一 <fe<0, (17分) 解得-√3<a<√3， (14分) 1.a)解：f')-有f'8)-是， 1 所以不等式f(a2+1)+f(-4)>0的解集为 (-5,W3). (15分) 又f(3)=ln4=2ln2, 18.(1)解：当a=0时，f(x)=xlnx,x∈(0，十∞)， 故y=f(x)在x=3处的切线方程为 B ·18· ·数学· 参考答案及解析 y-2m2-号a-8. (1,十∞)上单调递增； 当0<a<1时，F(x)在(0，a),(1,十∞)上单调 即x-4y+81n2-3=0. (3分) 递增，在(a,1)上单调递减； (2)解：F(x)=r-a-a十1)f(x-1)=x 当a=1时，F(x)在(0，十∞)上单调递增； x 当a>1时，F(x)在(0,1)，(a,十∞)上单调递 -(a+1)lnx,x∈(0，+∞)， 增，在(1，a)上单调递减 (11分) x F'x)=1±aa+1-x-(a+1)x千a (3)证明：函数ga)=c+1h1+）-h(2+) 22 g(x)的定义域为(-∞，-1)U(0,十∞). (x-1)(x-a) (5分) 若]m∈R,使得曲线y=g(x)关于直线x=m 对称， 当a≤0时，令F'(x)>0,得x>1,此时F(x)单 则（一∞，一1）U(0,十∞)关于直线x=m对称， 调递增 1 令F'(x)<0,得0<x<1,此时F(x)单调递减； 所以m=一 (14分) (6分) 当0<a<1时，令F'(x)>0,得0<x<a或x> 由g-10(加+）-(+-) 1,此时F(x)单调递增；令F'(x)<0,得a<x< x+I-In 2x+1 x+1三xlnx十1-ln ,2x+1 1,此时F(x)单调递减； (7分) 一xln x x+1 当a=1时，r')=》≥0恒城立， (1x十-lnrx+1-1十x)h 故F(x)在(0，十∞)上单调递增； (8分) 2x+1 -In 当a>1时，令F'(x)>0,得0<x<1或x>a, x =g(x), 此时F(x)单调递增； 令F'(x)<0,得1<x<a,此时F(x)单调递减. 可知曲线y=g(x)关于直线x=- 2对称 (10分) (17分) 综上，当a≤0时，F(x)在(0,1)上单调递减，在 2025一2026学年度单元过关检测（六） 数学·三角函数的图象与性质 一、选择题 1.D【解析】f(x)的对称轴的方程为x=2十bπ， 所以y=一 k∈Z,当k=一2时，x=一2· 3π an(2x-3）的单洞递减区间为 4 2.C【解析】画出两函数图象如图所示， 管+5经+}ez YA 4.C【解析】把y=3sin(c十)的图象上所有点的 π10 纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到 g1=0,1g10=1,cosx∈[-1,1]，可得f(x)与 y=4n女十）的图象，再向右平格管个单位长 g(x)图象的交点个数为3 度得到y=4sime一）的图象。 8.C【解折】当-否+k<2z-3<名+kx6∈Z 5.B【解析】由函数图象可知A=(5-1)÷2=2, 时，y=一tan2x-3）单调递减， B=5-2=3,f(0)=2sinp十3=2，所以sinp=-2, ·19· B