周测评(十三)数列的概念、等差数列与等比数列-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（A版）

·数学· 参考答案及解析 召，不符合题意，所以c0sA≠0， (i)因为m=(1,2),n=(2,4),则2m=n,两向 量共线，所以S(m,n)=0. (4分) 同理cosB≠0. (2分) (2)证明：设向量m=(x1,y1),n=（x2,y2),且 因为cosA(sinB+1)=cosB(sinA+1), 向量p=λm十n(入，H∈R,入2+r2≠0)， 所以sinA十1_sinB+1 则p=(x1十x2,入y1十y2), cos A cos B 所以S(p,m)=|(1+x2)y1-(y1+4y2)x1= A12 B B)2 【sin2+co92sn2cos2 lμllx1y2-x2y1=lμ|S(m,n), 则 cos2 A 2-sin:A 2B 同理S(p,n)=a|x1y2-x2y1|=λS(m,n), 2 cos:B -sin 所以S(p,m)+S(p,n)=(|a|+lul)S(m,n). (9分) sin 则一 2十cos 2 sin 2+cos 2 AA=B.B (3解：设a,c=a,由aLb,得c,b》=受-a cos 2-sin 2 cos 2 度c,b--a, (11分) AB 整理得sin2cos2-cos2sin2 一0， 即sn(含2)=0， 当c,b>--a时，Sc,a)+Sc,b) (8分) 因为A,BE(0,0所以号号0，即A-8, lllalsinel sin) 所以△ABC为等腰三角形. (10分) -sin a+cos a-/Zsin(a+), (2)解：cos∠CBD= BC2+BD2-CD2 2BC·BD 当。=牙时，S(c,a)+S(c,b)取得最大值E; BC2+BD2 BC2 3BC2 4 4+BD2 (15分) 3π 2BC·BD 2BC·BD 当c,b)=-a时，5c,a)+s(c,b) 3BC,BD、 3BCBD√5 8BD+2BC≥2，√8BD·2B品=2，(17分) =2·2 ellas+2·2lc1lb1sn(竖-） 所以∠CBD≤行当且仅当C-停时，等号皮 /3π -sin a+sin(2-a)-sin a-cos a 立，放∠CBD的最大值为行 (20分) -厄sim(a-), 12.(1)解：(i)因为m=(2,1),n=(-1,2),且m 当a- -音即。=经时，Sc,e)十5e,b)取 与n不共线， 所以S(m,n)=|x1y2-x2y1|=|2×2-1X 得最大值√2， (19分) (-1)=5. (2分) 所以S(c,a)+S(c,b)的最大值为√2.(20分) 2025一2026学年度学科素养周测评（十三） 数学·数列的概念、等差数列与等比数列 一、选择题 a1十ag=20. l.C【解析】因为对Hm,n∈N*,都有am·am= am+m,所以a2=a1·a1=4,a4=a2·a2=16,所 3.C【解析】在等比数列{a,}中，a1a,=a,由1十 以a6=a2·a4=4X16=64. 1+1=3,得a5十a十a1=3a3,又a1+a:+ 2.B【解析】因为{an}为等差数列，所以Sg= a3 as 9(a十ag）=90,所以a1十a,=20,所以a十a1 a5=9,所以a3=3,又a1+a3十a5>0,且a1,a3, 2 a5同号，所以a3>0,则a3=√5. ·5· A 真题密卷 学科素养周测评 4.C【解析】记“第n圆环”最外层的碳原子个数为 定是偶数，所以S+1必为奇数，因此不存在k∈ am,依题意a1=6X2+6,a2=6×2+6×3=6X N*,使得S4+1-100,故D错误， 2+6×(2×2-1),a3=6×2+6×5=6×2+6X 三、填空题 (2×3-1),由此可以归纳出am=6×2十6· 9.4【解析】由题意得，a1=S1=8-12+10-3=3, (2n一1).“第二圆环”上的碳原子个数为a2十a1, 设等差数列{an}的公差为d,则S2=a2+ag十 “第三圆环”上的碳原子个数为a3十a2,由此可得 a4=3a3=9+6d=8×23-12×22+10×2-3,即 “第n圆环”上的碳原子个数为am十am-1,所以“第 9+6d=33,解得d=4. 七圆环”上的碳原子个数为a7十a6=90十78=168. 10.64;126【解析】依题意，第一次报数后向前一步 1 5.A【解析】因为a+1=2a.十2，所以am+1一4= 的同学的原序号为2n1,n1∈N*,n1≤50，n1为 第二次报数时的新序号；第二次报数后向前一步 一).若a=4,则a,=4,不符合题 的同学的原序号为2n2,n2∈N*,n2≤25，n2为 第三次报数时的新序号；第三次报数后向前一步 ≠4，则{am-4}为等比数列，此时am-(a一4)· 的同学的原序号为2n3,n3∈N",ng≤12，ng为 (分》+4.当a>4时，a.为单弱速诚数列，不 第四次报数时的新序号；第四次报数后向前一步 符合题意；当a<4时，{an}为单调递增数列，符合 的同学的原序号为2n4,n4∈N*,n4≤6，n4为第 题意.综上，a的取值范围为（一∞，4）. 五次报数时的新序号；第五次报数后向前一步的 6.B【解析】由于45个正奇数的和不小于1+3+ 同学的原序号为2n5,n5∈N*,n5≤3，n5为第六 5十·+(2×45一1)=2025，又A中有50个不同 次报数时的新序号，显然第六次报数时向前一步 的正整数，故A中的偶数一定超过5个.由于 的同学的序号为2，因此走到最前面的同学各次 S(A)=2025,故A中的奇数一定为奇数个，取 编号按报数由后向前排列为2,22,2,24,25,2， A={1,3,5,…,2×43-1,18,20,22,24,26,28, 所以走到最前面的同学第一次的序号是64，这名 38},则A中元素的个数为43+7=50，这50个数 同学的所有序号之和为21-2）-126. 的和为432+18+28)×6 1-2 2 +38=1849+138+ 四、解答题 38=2025,故E(A)的最小值为7. 11.解：(1)由于Sn=2am-1①，则Sm+1=2am+1一1②， 二、选择题 ②-①得am+1=2an+1-2am,所以a+1=2am, 7.ABC【解析】因为{an}的各项均为正数，所以公 (3分) 比q>0,又a1>l,所以{am}为递增或递减或常数 又a1=2a1-1,所以a1=1≠0， 列，化简不等式ag十ag>agag十l,得a8ag 所以{am}是首项为1，公比为2的等比数列， (ag+ag)+1<0,所以(ag-1)(ag-1)<0,所以 所以am=2m-1,n∈N*. (5分) a8,ag一个大于1，一-个小于1，所以ag>1且ag< 1,所以{am}为递减数列，即0<q<1,故A正确，B (2)假设存在实数，使得数列}是等差数 正确；又因为a8ag十1>2，所以a8ag>1,所以 1 1 1 1 T16=a1·a2·…·a15·a16=(a8ag)8>1,T1,= 厂列，b+1-入b.一入2一人 1 一b.一入 -λ a}7<1,故C正确，D错误. 1 8.ABC【解析】设a:为{am}中第一次取负值的项， (2-A)bm-1bm-入 则a-1=0,否则|a,一a-1|≥2，与题设矛盾，所以 b员-Abm-(2-入)bm+1 一定存在k∈{2,3，…，99}，使得a=0,故A正 [(2-λ)bm-1](b.-λ) 确；因为a1o0-a9≤1，a99一a8≤1，…，a2-a1≤ b员-2bm+1 1,所以a1o0-a1≤99，所以a10≤100，当且仅当 (2-A)b-b,-A(2-A)b,十a为常数， a+1-a:=1,i=1,2,3,…,99时等号成立，所以 2 1 a1,a2,…,a1o0成等差数列，故B正确；取a1= 所以2-A2-A)十入，解得入=1， a5=…=a101=1,a2=a6=…=a102=0,a3=a7= …=a99=-1,a4=a8=…=a100=0,则S102=1, 故存在入=1，使{6. 1 成等差数列，且公差为1. 故C正确；由于a2-1(k∈N)一定是奇数，a2%一 (12分) A ·6· ·数学· 参考答案及解析 1 (3)由(2)知6.--1+(m-1)1=n, 所以an=2am-1, 所以{am}是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以6，=1十，所以不等式26，≥a,即 所以an=2m-1,Sn=2m-1. (7分) 假设{am}是“H数列”，则对任意正整数n,总存 n(+是）≥2，即a+1≥2，即g1, 在正整数m,使得Sn=am, 当m=1时，若2m-1=1,则n=1,符合； (16分) 当m≥2时，若2”一1=2m-1,左边为奇数，右边 2,则c+1-c,=+2-n+1 令cm=n十1 2m-1 2n-2 为偶数，则该方程无解， 所以不满足对任意正整数n,总存在正整数m, 一2一<0，所以{c,}在n∈N·上单调递减，注意 n 使得Sm=am,所以{an}不是“H数列”.（12分) 到c=>16,=<1 (3)解：依题意，am=1+(n一1)d,Sn=n+ n(n-1)d 所以当n≥5时，cn≤c6<1,所以nmax=4. 2 (20分) 若{an}是“H数列”，则对任意正整数n,总存在 12.(1)证明：设公差为d,因为a1=0,所以Sm= 正整数m,使得Sn=am, n(n-1)d 即n+n,1Da-=1+m-1Dd, 2 2 令m=nn,1D+1,则m∈N,此时an=(m 所以m=”1土n(n-1） +1, (17分) 2 2 1d=nn,1)t-s., 又因为m∈N,nm-1) 2 ∈N,所以对任意的n∈ 2 即对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn= N,”eZ且40，经险证d-日 am,所以{an}是“H数列”. (4分) 1 (2)证明：因为{an}的前n项和Sn=2am-1, 4,…均不成立， 当n=1时，a1=2a1-1,则a1=1; 所以d=-1. (20分) 当n≥2时，am=Sm-Sa-1=2an-1-2am-1十1， 2025一2026学年度学科素养周测评（十四）】 数学·数列的通项公式和求和 一、选择题 {am十bn}是首项为a1十b1=2,公差为2的等差数 1.A【解析】由题得am+1=1 a。,所以a2=1 列，则数列{am十bn}的前50项和为50×2十 11 50×49×2=2550. 2=2,0:=1-2=-1,a4=1-(-1)=2,所以 2 4.B【解析】对于p,在等差数列{am}中，若am= {am》是周期为3的周期数列，又32=3×10十2，所 2n-3,则a1=-1,a2-1,有S2=0,则S1S2… 以a32=a2=2 1 S。=0成立，但a1a2…a。≠0，所以a1a2…a。=0 不成立，故p是假命题；对于q,设等比数列{bn}的 2.C【解析】由题得S6=63-12+sin3π=216- 公比为q,若TT2…T。=0(k∈N*且k≥2)，则T1, 02=204,S5=53-10+sin号x=125-10+13 T2,…,T。中至少有一项为0，且q≠1，否则bm= 0,不符合题意，假设Tm=0(1≤m≤k且m 116,故a6=S6-S5=204-116=88. 3.C【解析】因为a2=1,bm=am+1一n十1，所以 ∈N),则Ta6109）=0,所以g°=1，由g 1一9 b1=a2-1+1=1,又am+1=bm+n-1,bm+1= ≠1，得m为偶数且q=一1，故b-1十b=0,所以 am一n十3，则a+1十ba+1=am十bn十2，所以数列 q是真命题. 。7· A公式为刃，新断畏难心魔 2025一2026学年度学科素养周测评（十三） 6.已知由正整数组成的集合A={a1,a2,a,,a0,S(A)表示集合A中所有元素的和， 班级 卺题 数学·数列的概念、 E(A)表示集合A中偶数的个数，若S(A)=2025,则E(A)的最小值为 () 等差数列与等比数列 A.5 B.7 C.9 D.10 姓名 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 得分 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 答案 题号 5 答案 7.已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q,且a:>1,a,十a,>asa,十1>2，记 1.在数列{an}中，对Vm,n∈N,都有am·a,=am+m,且a1=2,则a6= {a.}的前n项积为T.,则 () A.2 B.12 C.64 D.126 A.0<g<1 B.as>1 2.设等差数列(a,}的前n项和为S,,若S,=90,则a3十a,= ( ) C.Ti>1 D.T>1 A.10 B.20 C.30 D.40 3.在等比数列{a.}中，a1十a8十a,=9 1+1+1=3,则a 8.已知数列{an}满足an+1一a.=1(n∈N),且a1=l,S,为{a.}的前n项和，则下列说 法正确的是 () A.3 B.±3 C.3 D.±3 A.若a0<0,则存在k∈{2,3，…，99}，使得a4=0 4.石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中六 B.若a1o=100,则a1,a2,…,a1oo成等差数列 边形的每个顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形A为中心六边形，其外围紧邻的 C.存在数列{a.},使得S1o2=1 六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推，则 “第七圆环”上的碳原子数为 () D,存在∈N·,使得Su+1=100 第一环 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.等差数列(a}按照如图所示的方式排列成一个n×n的方阵，并从里到外分为n层.设 第n层内的所有数字之和为S.,且S.=8m3-12m2+10m-3,则{a.)的公差为 A.42 B.120 C.168 D.210 ①28④0 5.已知数列{a.}满足a1=a,at1=2a,十2(n∈N~),若{a.}是单调递增数列，则a的取 as 0s ay tu 值范围为 A.(-∞，4) B.(-∞，3) C.(-c∞，2) D.(-o,1) 学科素养周测评（十三）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十三）数学第2页（共4页） A 10.某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：把100名学生从左到右按照序号1至 12.(20分)设数列(a.}的前n项和为S。,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得S。= 100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步：把向前一步的50名同学从左到右 am,则称{an》是“H数列”. 按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前一步的25名 (1)已知{a.}是等差数列，且a1=0,证明：{a.}是“H数列”， 同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步，依次类 (2)若{a。)的前n项和S。=2a。一1(n∈N·),证明：{a.}不是“H数列” 推，直到剩下一名同学为止.问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这 (3)设{am}是等差数列，首项a1=1,公差d<0,若{a.}是“H数列”，求d的值 名同学把每次的序号记住，则这名同学的所有序号之和是 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证阴过程或演算步骤。 11,(20分)已知n∈N·,数列{a.}的前n项和为S。,且满足S.=2a.一1，数列{b.}满足b =2,b+1=2-6 1 (1)求{a.}的通项公式. (2)是否存在实数入，使得数列，一是等差数列？如果存在，求出入的值：如果不存 在，请说明理由 (3)求使得不等式2nb.≥a。成立的n的最大值. A 学科素养周测评（十三）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十三）数学第4页（共4页）