8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【七大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

本讲义聚焦棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积核心知识点，通过考点梳理（含七个具体考点）、知识梳理（公式与图形结合）、题型归纳（典例与变式训练）到双基达标，构建从基础概念到综合应用的完整学习支架。 资料特色在于融入生活实例（如滚筒、石凳设计）培养数学眼光，通过推理分析（如棱台体积公式推导）发展数学思维，用数学语言解决实际问题（如容器水面面积计算）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合应用能力。

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【考点梳理】 · 考点一：棱柱侧面积和表面积 · 考点二：棱锥的侧面积和表面积 · 考点三：棱台的侧面积和表面积 · 考点四：棱柱的体积 · 考点五：棱锥的体积 · 考点六：棱台的体积 · 考点七：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积综合 【知识梳理】 知识一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 图形 表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积 知识二　棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台 V棱台＝(S′＋＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 【题型归纳】 题型一：棱柱侧面积和表面积 【典例1】．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【变式1】．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.4m，制造这个滚筒需要______铁板（精确到，）． 【变式2】3．（23-24高一下·江苏·单元复习）如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高，底面外接圆的半径是，制造这个滚筒需要________铁板（精确到）. 题型二：棱锥的侧面积和表面积 【典例2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． 【变式1】．（25-26高二上·北京·开学考试）一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 题型三：棱台的侧面积和表面积 【典例3】．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和侧棱长． 【变式1】．（22-23高一·全国·课堂例题）如图是一个正四棱台形的石墩．已知它的上底面边长为30cm，下底面边长为40cm，侧面梯形的高为30cm．在不计下底面所占面积的情况下，试计算这个物体的表面积（结果单位为）．      【变式2】．（19-20高一·全国·课后作业）正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥． (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； (2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积． 题型四：棱柱的体积 【典例4】．（23-24高一下·陕西安康·月考）在直三棱柱中，，，． (1)求直三棱柱的体积； (2)求直三棱柱的表面积． 【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，是边长为2的等边三角形，侧棱均垂直于底面，，，，则该几何体的体积是（    ）. A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·浙江·期中）如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） (1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； (2)若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 题型五：棱锥的体积 【典例5】．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 【变式1】．（25-26高一下·天津蓟州·月考）如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 . 【变式2】．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，已知正方体的棱长为，，分别是，的中点，求四棱锥的体积． 题型六：棱台的体积 【典例6】．（25-26高二上·四川达州·月考）如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 【变式1】．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）如图1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为60厘米，下底面棱长为40厘米，侧棱长为30厘米，下部分正四棱柱的高为250厘米． (1)求该灯柱的侧面积； (2)求该灯柱的体积． 【变式2】．（24-25高一下·山东·期中）如图，在高为的四棱台中，上底面和下底面的面积分别为． (1)证明：四棱台的体积； (2)已知为正四棱台，且，，． （i）求正四棱台的体积； （ii）记几何体与几何体的体积分别为，求的值． 题型七：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积综合 【典例7】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 【变式1】．（25-26高二上·上海·月考）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【变式2】．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）(1)推导棱台的体积公式：，其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高.    (2)在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. ①过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线（用文字写出作图步骤即可，并在答题卡的图上用直尺画出来）； ②求该三棱台木块被问题①中的截面分成的两个几何体的体积之比.    【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·广西柳州·月考）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西北海·一模）已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·贵州安顺·期末）一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置，如图（1），水面恰好过棱的中点．若将容器的底面水平放置，如图（2），则容器中水面的高为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 8．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 9．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 10．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，三棱台的侧棱长均相等，和都是等边三角形，，则（   ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与直线所成的角为 C．三棱台的体积为 D．三棱台的体积为 11．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（   ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为 12．（24-25高一下·浙江金华·月考）已知为正方体，，均为正四棱锥，所有棱长均为1，则下列说法正确的是（    ） A． B．在棱所在的直线中，与直线异面的共有10条 C．以为顶点，正方形外接圆为底面的圆锥的表面积是 D．以为顶点，正方形外接圆为底面的圆锥的体积是 13．（24-25高三下·河南·月考）在如图所示的透明的正三棱台形容器内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，，，正三棱台形容器的高为2，下列结论正确的有（   ） A．正三棱台形容器的体积为 B．正三棱台形容器的侧面积为 C．等边三角形DEF的边长为3 D．水的体积为 三、填空题 14．（25-26高一下·山东青岛·月考）在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 15．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为侧棱的中点.则四棱锥的体积=______. 16．（2026高一·全国·专题练习）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为_______. 17．（25-26高一下·全国·课后作业）四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 18．（25-26高二上·上海青浦·月考）如图是青浦高级中学综合广场升旗仪式司令台前的栏杆，栏杆最上面的造型可以看作是一个几何体．该几何体是由一个正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去8个三棱锥后剩余部分组成的．已知原正方体的棱长为，则该几何体的体积为___________     四、解答题 19．（24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 20．（24-25高一下·广东湛江·期中）石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米． (1)求该石凳的体积； (2)求该石凳的表面积（不包含底面）． 21．（24-25高一下·陕西西安·期末）某设计师为圆锥体工艺品设计包装盒，设计师给出两种包装方式，方式一：按照图1的方式正向包装，即圆锥的顶点与包装盒的上底面中心重合，底面与包装盒的下底面相切，要求包装盒为正四棱柱．方式二：按照图2的方式斜向包装，即圆锥的顶点与包装盒的一个顶点重合，圆锥的轴与包装盒的体对角线所在直线重合，且圆锥的底面圆周与包装盒的下底面有且只有一个公共点，要求包装盒为正方体．    (1)若用方式二包装某件圆锥体工艺品，记该工艺品的底面半径为r，体积为V，包装盒的棱长为a，用r和a表示V． (2)现有两种型号的圆锥体工艺品需要设计包装盒． 型号一：底面半径为，高为2． 型号二：底面半径为1，高为3． 若以包装盒的表面积为依据，请分别给这两种型号的圆锥体工艺品选择更节省的包装方式． 22．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图1，内壁光滑且透明的正方体容器内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4，容器厚度不计.当其水平放置时，水面恰好过，，，的中点E，F，G，H.现在固定容器一边于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同.容器绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱，，，分别交于点，，，.假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.    (1)证明：是定值； (2)已知水面是矩形面，求水面面积的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【考点梳理】 · 考点一：棱柱侧面积和表面积 · 考点二：棱锥的侧面积和表面积 · 考点三：棱台的侧面积和表面积 · 考点四：棱柱的体积 · 考点五：棱锥的体积 · 考点六：棱台的体积 · 考点七：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积综合 【知识梳理】 知识一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 图形 表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积 知识二　棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台 V棱台＝(S′＋＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 【题型归纳】 题型一：棱柱侧面积和表面积 【典例1】．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【答案】 【分析】分别求三棱柱每个面的面积相加即可. 【详解】因为侧棱底面， 所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为， 所以底面，均为直角三角形． 因为，， 所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 【变式1】．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.4m，制造这个滚筒需要______铁板（精确到，）． 【答案】4.7 【分析】求六棱柱的表面积即可. 【详解】因为正六棱柱的底面棱长为0.4m，所以底面积为：， 棱柱的侧面积为：. 所以正六棱柱的表面积为：. 故答案为：4.7 【变式2】3．（23-24高一下·江苏·单元复习）如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高，底面外接圆的半径是，制造这个滚筒需要________铁板（精确到）. 【答案】 【分析】根据已知得到正六边形的边长，直接求出表面积即可. 【详解】由题知此正六棱柱底面外接圆的半径为， 所以底面正六边形的边长是． 所以侧面积. 所以表面积. 故制造这个滚筒约需要铁板． 故答案为： 题型二：棱锥的侧面积和表面积 【典例2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． 【答案】(1)底面边长为，斜高为 (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的性质结合勾股定理计算求解； （2）根据正四棱锥侧面积计算公式计算求解. 【详解】（1）如图，在正四棱锥中，高， 侧棱， 则为直角三角形， 在中，， ， ∵四边形为正方形， ． 作交于，则为的中点，．连接，则即为正四棱锥的斜高． 在中，，， ，即正四棱锥的斜高为． 故正四棱锥的底面边长为，斜高为； （2）由（1）知，． 所以正四棱锥的侧面积为． 【变式1】．（25-26高二上·北京·开学考试）一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正四棱锥的性质及勾股定理即可求出侧面积. 【详解】    由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心， 所以根据题意，可知， 在直角三角形中，有， 所以三角形的面积为， 即正四棱锥的侧面积是， 故选：C. 【变式2】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 【答案】 【分析】利用四棱锥侧面积和表面积公式求解即可. 【详解】正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成． ，， ∴斜高． 因此， ． 故答案为：； 题型三：棱台的侧面积和表面积 【典例3】．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和侧棱长． 【答案】高为，侧棱长为 【详解】如图，在三棱台中，分别为上、下底面的中心，分别是的中点，连接，，，，则是等腰梯形的高， 所以． 又，， 则上、下底面面积之和为． 由，得，所以， 又，， 所以棱台的高为 ． 在直角梯形中， ，，， ． 故棱台的高为，侧棱长为． 【变式1】．（22-23高一·全国·课堂例题）如图是一个正四棱台形的石墩．已知它的上底面边长为30cm，下底面边长为40cm，侧面梯形的高为30cm．在不计下底面所占面积的情况下，试计算这个物体的表面积（结果单位为）．      【答案】 【分析】根据棱台表面积公式求解即可. 【详解】由题意可知，上底面周长为， 下底面周长为， 则． 又上底面积为，所以表面积为． 又， 因此，在不计下底面所占面积的情况下，这个物体的表面积为． 【变式2】．（19-20高一·全国·课后作业）正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥． (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； (2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积． 【答案】(1) (2)侧面积为，全面积为 【分析】（1）根据棱锥和棱台的侧面积公式，结合平行线的性质进行求解即可； （2）根据棱台的侧面积和全面积公式，结合三角形面积公式、平行线的性质进行求解即可. 【详解】（1）设正六棱锥的高，底面边长， 因为正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥， 所以小棱锥的高为，底面边长， 在中，因为，所以， 于是有：， 因此大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为；    （2）由（1）可知：， 已知大棱锥的侧棱， 显然在中，上的高长为， 所以， 所以， 由（1）可知：截得的棱台的侧面积为， 截得的棱台的全面积为. 题型四：棱柱的体积 【典例4】．（23-24高一下·陕西安康·月考）在直三棱柱中，，，． (1)求直三棱柱的体积； (2)求直三棱柱的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式和棱柱的体积公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，利用余弦定理求得，结合直棱柱的侧面积公式，即可求解. 【详解】（1）在中，因为，且， 可得， 又由直三棱柱中，，即直三棱柱的高为， 所以直三棱柱的体积. （2）在中，因为，且， 可得，可得， 则直三棱柱的侧面积， 所以直三棱柱的表面积. 【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，是边长为2的等边三角形，侧棱均垂直于底面，，，，则该几何体的体积是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造一个底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱，分析知几何体的体积为该正三棱柱的一半，结合三棱柱体积公式即可计算. 【详解】如图所示，构造一个底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱， 其中，，，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式，， 故该几何体的体积是. 故选：B． 【变式2】．（24-25高一下·浙江·期中）如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） (1)若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； (2)若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 【答案】(1)表面积为，容积为 (2)6 【分析】（1）根据棱柱的表面积和体积公式求解即可； （2）先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面水平放置时，液面高度. 【详解】（1）表面积， 体积； （2）设的面积为，底面水平放置时，液面高为， 则水的体积为， 当底面水平放置时，水的体积为，解得， 即液面高为. 题型五：棱锥的体积 【典例5】．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出正四面体和正方体的表面积即可； （2）计算三棱锥的体积，利用割补法计算. 【详解】（1）因为是正方体， 所以， 所以三棱锥的表面积为， 而正方体的表面积为， 故三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值． （2）三棱锥，，，是完全一样的． 因为三棱锥的体积为，正方体的体积为， 所以三棱锥的体积为 【变式1】．（25-26高一下·天津蓟州·月考）如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 . 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据截面为正方形，可得，利用三棱柱的表面积公式即可求解； (2)利用结合三棱锥的体积即可求解； (3)根据即可求解. 【详解】（1）因为截面为正方形， 所以， 在中，， 即，解得， 所以三棱柱的表面积 （2）由题可得： （3）因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 . 【变式2】．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，已知正方体的棱长为，，分别是，的中点，求四棱锥的体积． 【答案】． 【分析】设到平面的距离为，到平面的距离为，结合正方体性质可得，求出的面积，再根据关系结合锥体体积公式求结论. 【详解】连接，． 设到平面的距离为，到平面的距离为． ∵正方体的棱长为，，分别是，的中点， ． 又， ． 题型六：棱台的体积 【典例6】．（25-26高二上·四川达州·月考）如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出辅助线，求出棱台的斜高，从而求出侧面积，再与底面积相加即可求出表面积； （2）根据已知条件求出斜高，再算出正棱台的高即可． 【详解】（1）如图，设分别为上，下底面的中心， 分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积． （2）两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高． 故． 【变式1】．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）如图1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为60厘米，下底面棱长为40厘米，侧棱长为30厘米，下部分正四棱柱的高为250厘米． (1)求该灯柱的侧面积； (2)求该灯柱的体积． 【答案】(1)平方厘米． (2)立方厘米． 【分析】（1）根据棱柱、棱台的侧面积特征计算即可； （2）根据棱柱、棱台的体积公式计算即可. 【详解】（1） 由题意可得灯柱上部分正四棱台的斜高厘米， 则该正四棱台的侧面积平方厘米， 灯柱下部分正四棱柱的侧面积平方厘米， 故该灯柱的侧面积平方厘米． （2）由题意可得灯柱上部分正四棱台的高厘米， 则该正四棱台的体积立方厘米． 灯柱下部分正四棱柱的体积立方厘米． 故该灯柱的体积立方厘米． 【变式2】．（24-25高一下·山东·期中）如图，在高为的四棱台中，上底面和下底面的面积分别为． (1)证明：四棱台的体积； (2)已知为正四棱台，且，，． （i）求正四棱台的体积； （ii）记几何体与几何体的体积分别为，求的值． 【详解】（1）将四棱台的侧棱延长后，侧棱必定交于一点，设该点为， 设小棱锥的高为，则，， 而，故， 故四棱台的体积， 故 . （2）（i）由（1）中公式可得正四棱台的体积为： ， （ii）如图，连接， 则，， 而，故，故， 故，故几何体的体积，故， 故. 题型七：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积综合 【典例7】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 【答案】(1) (2)侧面积；表面积. 【分析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比； （2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积. 【详解】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为， 所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为， 棱台的侧面积为， 所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm， 因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm， 所以大棱锥的侧面积为， 所以棱台的侧面积为， 棱台的上，下底面的面积和为， 所以棱台的表面积为. 【变式1】．（25-26高二上·上海·月考）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)元 (3)时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是 【分析】（1）根据条件，可得，根据体积公式，分别求得正四棱锥的体积和正四棱柱的体积，相加即可得答案. （2）根据条件，求得各个长度，进而可得正四棱锥的侧面积和正四棱柱的侧面积，根据单价，即可得答案. （3）设，可表示出各个长度，进而可得下部分的侧面积为的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由知. 因为， 所以正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积. 所以仓库的容积. （2）如图，连接，取的中点，连接. 在正四棱锥中，， 所以. 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为：. 正四棱柱的侧面积为： 则粉刷总费用为： 元. （3）设，下部分的侧面积为，连接， 则， 则， 设， 当，即时，， 故当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是. 【变式2】．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）(1)推导棱台的体积公式：，其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高.    (2)在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. ①过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线（用文字写出作图步骤即可，并在答题卡的图上用直尺画出来）； ②求该三棱台木块被问题①中的截面分成的两个几何体的体积之比.    【答案】(1)答案详见解析 (2)答案详见解析；或 【分析】（1）由于棱台是由一个棱锥被平行于底面的平面截去顶部后形成的几何体，所以棱台的体积等于大棱锥的体积减去小棱锥的体积. （2）①在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接，求证四点共面即可求解. ②先求证几何体为棱柱，接着设棱台的高为，的面积为，得，再由台体体积公式得正三棱台体积即可求解. 【详解】（1）棱台是由一个棱锥被平行于底面的平面截去顶部后形成的几何体. 设原棱锥的顶点为 ，底面面积为 ，高为 ， 截去顶部后，上底面面积为 ，棱台的高为 ，截去的小棱锥高为 。 截去的小棱锥与原棱锥相似，所以，解得：， 原棱锥体积，小棱锥体积：， 棱台体积为原棱锥减去小棱锥： ， 代入 ，， 化简后得到：. （2）    ①如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接， 则为截面与各木块表面的交线. 理由如下：由于，故四点共面， 且平面平面，平面平面， 平面平面，则为截面与各木块表面的交线. ②由于点在平面内且为的重心，， 所以，又因为，故， 故几何体为棱柱， 设棱台的高为，的面积为，故， 又，则， 故由台体体积公式得正三棱台体积为， 所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为， 故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为或. 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·广西柳州·月考）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图正三棱锥，设其高为PO，为底面中心，则为底面重心，所以， 故，故三棱锥的体积为． 2．（2026·广西北海·一模）已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】设圆柱的高为，圆台的下底面半径为，则圆台的高为， 圆柱的体积为， 所以圆台的体积为，解得（舍去）. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 【答案】B 【分析】过作底面，交底面于，过作交于，根据二面角的概念可知即为侧面与底面夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可． 【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积． 故选：B． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【详解】设棱台的高为，，则， ， ， 又， ， ，故C正确． 故选：C． 5．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为，结合锥体体积公式求棱锥的体积，再求正方体体积，由此可得结论. 【详解】设正方体的棱长为，则棱锥的体积， 又正方体的体积， 所以． 故选：D. 6．（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据台体的体积公式求台体的高，再计算台体的斜高，进而可求四棱台的侧面积. 【详解】如图,点分别是棱台上下底面的中心，分别取边的中点,连接. 设四棱台的高为， 则. 由图知，, 设正四棱台的斜高. 所以正四棱台的侧面积为：. 故选：D 7．（25-26高三上·贵州安顺·期末）一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置，如图（1），水面恰好过棱的中点．若将容器的底面水平放置，如图（2），则容器中水面的高为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据棱柱体积计算公式即可求解. 【详解】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱，底面是梯形， 设的面积为，则，水的体积， 当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为， 则有，即， 所以当底面水平放置时，容器中水面的高为9. 故选：D 二、多选题 8．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正三角形置于同一平面内，求出最短路程判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正三角形，将它们置于同一平面内， 连接，如图，取中点，连接， 则，而， 所以最短路程为，故D正确． 故选：ACD． 9．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【分析】根据正三棱台的结构特征和表面积公式进行计算求解即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2， 所以上底面面积为，所以A正确； 对于选项B： 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误； 对于选项C： 该正三棱台的下底面面积为. 所以该三四棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D： 设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误. 故选：AC. 10．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，三棱台的侧棱长均相等，和都是等边三角形，，则（   ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与直线所成的角为 C．三棱台的体积为 D．三棱台的体积为 【答案】BD 【分析】对于选项A，首先作辅助线确定直线与直线所成的角，然后根据线段长度关系求出该角的值即可；对于选项B，根据平行确定直线与直线所成的角，然后根据已知条件确定该角的大小即可；对于选项C、D，首先求出上底面和下底面的面积，然后求出棱台的高，最后利用棱台的体积公式即可求出三棱台的体积. 【详解】对于选项A：取线段的中点，连接. 因为，所以四边形为平行四边形. 所以，所以为直线与直线所成的角. 由于，所以. 所以，所以直线与直线所成的角为，所以A错误； 对于选项B：因为，所以直线与直线所成的角为，为，B正确； 对于选项C、D： ，. 根据勾股定理可求得三棱台的高为： . 所以三棱台的体积为： . 所以C错误，D正确. 故选：BD. 11．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（   ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正置于同一平面，求出判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图， 取中点，连接，则，而， 所以最短路程为，故D正确. 故选：ACD 12．（24-25高一下·浙江金华·月考）已知为正方体，，均为正四棱锥，所有棱长均为1，则下列说法正确的是（    ） A． B．在棱所在的直线中，与直线异面的共有10条 C．以为顶点，正方形外接圆为底面的圆锥的表面积是 D．以为顶点，正方形外接圆为底面的圆锥的体积是 【答案】ABC 【分析】连接相交于，连接相交于，通过向量共线，可判断A，由异面直线概念可判断B，由圆锥表面积、体积公式可判断D. 【详解】对于A： 连接相交于，连接相交于， 由题意可得共线，且， 在正方体中易知： ，， 所以， 所以，A正确； 对于B，由异面直线判定定理可知与直线异面的直线有：共10条，正确； 对于C，D，以为顶点，正方形外接圆为底面的圆锥，母线长为1，底面半径为，高 所以其表面积为：， 体积为：，故C对，D错， 故选：ABC 13．（24-25高三下·河南·月考）在如图所示的透明的正三棱台形容器内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，，，正三棱台形容器的高为2，下列结论正确的有（   ） A．正三棱台形容器的体积为 B．正三棱台形容器的侧面积为 C．等边三角形DEF的边长为3 D．水的体积为 【答案】AC 【分析】根据棱台体积公式求解判断A，求出侧面梯形的高即可求解侧面积判断B，根据三角形相似求解等边三角形DEF的边长判断C，根据棱台体积公式求解判断D. 【详解】由题意等边三角形的面积为， 等边三角形的面积为，又正三棱台形容器的高为2，所以正三棱台形容器的体积为， 故A正确； 设的中点为，的中点为，三角形的中心为O， 三角形的中心为，则为侧面梯形的高，如图： 在截面中，，又，， 所以， 所以正三棱台形容器的侧面积为，故B错误； 设等边三角形DEF的边长为，由∽，所以，解得， 即，故C正确； 等边三角形DEF的面积为，正三棱台的高为， 所以水的体积为，故D错误. 故选：AC 三、填空题 14．（25-26高一下·山东青岛·月考）在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 【答案】/ 【分析】根据正棱台的特征，构造直角三角形，解出正棱台的高，代入公式即可求解. 【详解】如图所示： 取正棱台上下底面中心，连接过点作的平行线，交于点， 因为，所以 在直角三角形中，， 故正四棱台的高为， 根据棱台体积计算公式，. 15．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为侧棱的中点.则四棱锥的体积=______. 【答案】 【详解】在四棱锥中，⊥平面，底面为正方形，， 为侧棱的中点， 点到平面的距离， 又正方形的边长为2，正方形的面积， 四棱锥的体积. 16．（2026高一·全国·专题练习）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为_______. 【答案】1 【分析】利用分别表示出棱柱的表面积和体积，由已知等量关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：棱柱的体积， 表面积， 因为， 所以，解得. 17．（25-26高一下·全国·课后作业）四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 【答案】 【详解】设四棱台的上、下底面中心分别为，连接，，， 则四边形为直角梯形，为四棱台的高． ，，，， 又，． 在侧面中，，，， ∴斜高为，． 18．（25-26高二上·上海青浦·月考）如图是青浦高级中学综合广场升旗仪式司令台前的栏杆，栏杆最上面的造型可以看作是一个几何体．该几何体是由一个正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去8个三棱锥后剩余部分组成的．已知原正方体的棱长为，则该几何体的体积为___________     【答案】/ 【分析】根据锥体和柱体的体积公式即可求解. 【详解】因为该几何体是由棱长为20cm的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得， 所以. 故答案为： 四、解答题 19．（24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设是的中点，连接，进而可证明，从而可计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积； （2）根据锥体与正方体体积求解即可. 【详解】（1）设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积.    （2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以.    又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 20．（24-25高一下·广东湛江·期中）石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米． (1)求该石凳的体积； (2)求该石凳的表面积（不包含底面）． 【答案】(1)该石凳的体积立方厘米 (2)该石凳的表面积平方厘米 【分析】（1）由体积公式即可直接求解； （2）由表面积概念，逐个面计算即可求解. 【详解】（1）由题意可得正方体的体积立方厘米， 四面体的体积立方厘米， 则该石凳的体积立方厘米 （2）由题意可得，，，均为边长为厘米的等边三角形，四边形IJKL是边长为厘米的正方形， 则的面积平方厘米， 正方形的面积平方厘米， 五边形的面积平方厘米， 故该石凳的表面积平方厘米． 21．（24-25高一下·陕西西安·期末）某设计师为圆锥体工艺品设计包装盒，设计师给出两种包装方式，方式一：按照图1的方式正向包装，即圆锥的顶点与包装盒的上底面中心重合，底面与包装盒的下底面相切，要求包装盒为正四棱柱．方式二：按照图2的方式斜向包装，即圆锥的顶点与包装盒的一个顶点重合，圆锥的轴与包装盒的体对角线所在直线重合，且圆锥的底面圆周与包装盒的下底面有且只有一个公共点，要求包装盒为正方体．    (1)若用方式二包装某件圆锥体工艺品，记该工艺品的底面半径为r，体积为V，包装盒的棱长为a，用r和a表示V． (2)现有两种型号的圆锥体工艺品需要设计包装盒． 型号一：底面半径为，高为2． 型号二：底面半径为1，高为3． 若以包装盒的表面积为依据，请分别给这两种型号的圆锥体工艺品选择更节省的包装方式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用正方体、圆锥的结构特征，用表示圆锥的高，再利用圆锥的体积公式求解. （2）利用棱柱的表面积公式，按图1与图2分别求出包装盒的表面积，进而比较大小即可. 【详解】（1）令正方体的体对角线与圆锥的底面圆交于点，是圆锥底面圆心， 圆锥的底面圆周与正方体下底面公共点为，连接， 由对称性知，点在正方体下底面对角线上，， 则，，， 由，即，得，又， 所以圆锥的高，体积.    （2）型号一：底面半径为，高为2， 选用图1的包装方式：正四棱柱的高，底面边长， 包装盒的表面积； 选用图2的包装方式：由（1）知，解得， 包装盒的表面积，而， 所以选择图2的包装方式. 型号二：底面半径为1，高为3， 选用图1的包装方式：正四棱柱的高，底面边长， 包装盒的表面积； 选用图2的包装方式：由（1）知，解得， 包装盒的表面积，而， 所以选择图1的包装方式. 22．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图1，内壁光滑且透明的正方体容器内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4，容器厚度不计.当其水平放置时，水面恰好过，，，的中点E，F，G，H.现在固定容器一边于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同.容器绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱，，，分别交于点，，，.假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.    (1)证明：是定值； (2)已知水面是矩形面，求水面面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）因为图1和图2中水体所形成几何体体积不变，所以根据柱体的体积公式列式计算即可得证； （2）设，根据勾股定理求出，从而得到矩形面积的解析式，利用二次函数的值域，即可得到面积的取值范围. 【详解】（1）由图1可知水体的体积为. 图2中，水体所形成几何体体积不变，则 . 所以，即是定值4. （2）设，则， ，. 所以. 因为函数是开口向上，对称轴为的抛物线，而， 所以，所以. 所以水面面积的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $