卷6 导数及其应用-【三新金卷·先享题】2026年安徽省高考数学真题分类优化卷(分项A)

最新5年高考真题分类优化卷·数学（六） 卷6导数及其应用 本卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的， l.函数f(x)=(e+e)sinx的图象大致是 2.(2023·全国)曲线y一十在点1，)处的切线方程为 e A.y= 4x B.y=2 C.y-+ 4 3.(2023·全国)已知函数f(x)=ae一lnx在区间(1,2)上单调递增， 则a的最小值为 A.e B.e C.e-1 D.e-2 4.已知a∈N*,函数f(x)=er一x“>0恒成立，则a的最大值为 ( A.2 B.3 C.6 D.7 5.(2023·全国)函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范 围是 ( ) A.(-∞，-2) B.(-∞，-3) C.(-4,-1) D.(一3,0) 【最新5年高考真题分类优化卷(26-ZT)·数学（六）6-1】 e+2sin x 6.(2024·全国)设函数∫(x)= 1+x2 ,则曲线y=∫(x)在点(0,1) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( 1 1 A.6 b.3 1 C.2 D.3 7.(2024·上海)已知函数f(x)的定义域为R,定义集合M={x。|x。∈ R,x∈(-∞，xo),f(x)<f(x。)},在使得M=[-1,1]的所有f(x) 中，下列成立的是 () A.存在∫(x)是偶函数 B.存在f(x)在x=2处取最大值 C.存在f(x)是严格增函数 D.存在f(x)在x=一1处取到极小值 8.(2023·北京)已知数列{an}满足am+1= 4(a,-6)°+6(n=1,2,3, …),则 () A.当a1=3时，{an}为递减数列，且存在常数M≤0，使得an>M恒 成立 B.当a1=5时，{an}为递增数列，且存在常数M≤6，使得am<M恒 成立 C.当a1=7时，{an}为递减数列，且存在常数M>6,使得an>M恒 成立 D.当a1=9时，{an}为递增数列，且存在常数M>0,使得an<M恒 成立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分 b C 9.(2023·全国)若函数f(x)=alnx++(a≠0)既有极大值也有 极小值，则 A.bc0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 10.(2023·全国)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f (y),则 () A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 11.(2022·全国)已知函数f(x)及其导函数∫'(x)的定义域均为R, 【6-2】 记g()=f'(x).若f(侵-2x)小g(2+x)均为偶函数，则（) A.f(0)=0 Bg←》=0 C.f(-1)-f(4) D.g(-1)=g(2) 三、填空題：本题共3小題，每小题5分，共15分 2.已知曲线/nx士在点①，1D)处的切线的倾斜角为则 a的值为 13.若函数f(x)=一4x3+3x在(a,a十2)上存在最小值，则实数a的取 值范围是 14.已知定义在R上的函数∫(x),其导函数为)=2中4-了(x), 且f(一4)=e,若关于x的不等式f(x)一m<0仅有1个整数解，则实 数m的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15.(本小题满分13分) (2024·全国)已知函数f(x)=a(x-1)一lnx+1. (1)求f(x)的单调区间； (2)当a≤2时，证明：当x>1时，f(x)<e-1恒成立. 【6-3】 16.(本小题满分15分) (2024·全国)已知函数f(x)=e一a.x-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 17.(本小题满分15分) (2023·全国)已知函数fx)-(侯+aln(1+x). (1)当a=一1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)是否存在a6,使得曲线y=f(日）关于直线x=6对称，若存在， 求a,b的值，若不存在，说明理由. (3)若f(x)在(0，+∞)存在极值，求a的取值范围. 【6-4】 18.(本小题满分17分) (2024·北京)设函数f(x)-x十kln(1+x)(k≠0)，直线l是曲线y =f(x)在点(t,f(t)(t>0)处的切线. (1)当k=一1时，求f(x)的单调区间. (2)求证：l不经过点(0,0). (3)当k=1时，设点A(t,f(t))(t>0),C(0,f(t),O(0,0),B为l 与y轴的交点，S△Aw与S△A0分别表示△ACO与△ABO的面积. 是否存在点A使得2S△Aco=15S△ABo成立？若存在，这样的点A有 几个？ (参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<1n5<1.61,1.94<ln7<1.95) 【6-5】 19.(本小题满分17分) (2023·北京)设函数f(x)=x一x3ex+,曲线y=f(x)在点(1，f (1))处的切线方程为y=一x十1. (1)求a,b的值； (2)设函数g(x)=∫'(x),求g(x)的单调区间； (3)求∫(x)的极值点个数. 【6-6】最新5年高考真题分类优 2 √6-)+e V(份)+8 b b一2 b 4c 3 整理得+=10<h<2,-<c<0, 故点B的轨迹为长轴长为4，短轴长为√3的椭圆在 坐标轴第四象限的部分， 光线从A运动到点B所经过的路程为√3+4 b2 +√+4 其中c2=336 4- 代入得√3++V+ 6,3362,6 3+4+√年-16+4 ++√+=号√+ 3,b ，b2 ∈(： 故光线从点A传播到，点B所经过路程的取值范围 为5)小 答案：(1)T(x)=+a +√(b-x)十c U ∈(0，b), (2(1)证阴过程见解析：()（色.3） 卷6导数及其应用 1.Af(.x)的定义域为R,f(-x)=(er+e)sin( x)=一(e十ex)sinx=一f(x),所以f(x)为奇函 数，其图象关于原点对称，故可排除B选项； 又f'(x)=(e十er)'sinx十(e+er)(sinx)'= (e"-e )sin x+(e*+ex)cos r, 所以f'(0)=(e”-e)sin0+(e°+e0)cos0=2> 0,函，数图象在x=0处的切线斜率大于0，所以排除 C、D选项；故选A. 2C设面线y=开在点(1，）处的切线方粒为y =k(x-1), e e 因为y= x+1' 所以y'=e(x+1)-e (x+1)2(x+1)' 所以k=y1=号 2 化卷(26一ZT)·数学答案 所以y-号=导x-1D 所以由线y年在点自，）处的初线方短为y +宁故选C 3.C依题意可知，f'(x)=ac-】≥0在(1,2)上恒 x 1 成立，显然a>0,所以xe≥ 设g(x)=xe,x∈(1,2)，所以g(x)=(x十1)e> 0,所以g(x)在(1,2)上单调递增， g(x)>g1)=e,故e≥a,即a≥。=e1,即a的 最小值为el,故选C. 4.D当a为正偶数时，当x=-2时，f(-2)=e一 (一2)“<0，不符合题意，所以a为正奇数， 则当x<0时，x“<0<e3r恒成立，只需研究x>0 时，e3r-x“>0恒成立即可， 当x=1时，e3-1>0成立，则当x∈(0,1)时，a> 3x 3x 文，因为此时n<0,所以恒成立， .3x 当x∈(1，十+oo)时a<n元位成立， 3x 设g（r)=n,x∈(1，+∞)，则g（x） 3(lnx-1) (nx)2, 令g'(x)=0,得x=e, 当x∈(1，e)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(e,十o∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)mim=g(e)=3e≈8.2，又因为a为正奇数， 所以a的最大值为7.故选D. 5.Bf(x)=x3+ax+2,则f'(x)=3x2十a, 若f(x)要存在3个零点，则f(x)要存在极大值和 极小值，则a<0, 令f)=3x+a=0,解得x=√写或胥， 且当re(,√层)u(√写，t)时f (x)>0 当xe(√F√层)rx0, 故f(x)的板大值为f(√写)板小值为 W (√)> 若(x)要存在3个零点，则 r(W)< ,解得a<-3,故 3 】 最新5年高考真题分类优 选B. 6.A )e+2cos()-(e+2sin x).2x (1+x2)9 (e°+2cos0)(1+0)-(e°+2sin0)×0 则f'(0)= (1+0) =3, 即该切线方程为y一1=3x,即y=3.x十1， 令x=0,则y=1,令y=0,则x=- 3 故演切线与两坐标轴片周成的三角形面积S=宁× .故选A 7.B若存在y=f(x)是偶函数，取x。=1∈[-1， 1], 则对于任意x∈（一o,1),f(x)f(1),而f(一1） =f(1),矛盾，故A错误； -2,x<-1, 可构造函数f(x)= x,一1≤x≤1，满足集合M= 1,x>1, [-1,1], 当x<-1时，则f(x)=-2,当-1x≤1时，f(x) ∈[-1,1]，当x>1时，f(x)=1, 则该函数f(x)的最大值是f(2),则B正确： 假设存在f(x),使得f(x)严格递增，则M=R,与 已知M=[一1,1]矛盾，则C错误； 假设存在f(x),使得f(x)在x=一1处取极小值， 则在-1的左侧附近存在n,使得f(n)>f(-1),这 与已知集合M的定义矛盾，故D错误；故选B. 8.B法1：因为a+二4(a。一6)十6，故a+16 4(am-6)3, 若a1=3,可用数学归纳法证明：an一6≤-3即a, 3, 证明：当n=1时，a1一6=一3≤-3，此时不等关系 an≤3成立； 设当n=k时，a。一6≤-3成立， =子a,-6)∈（←54，-）故an 则a+1-6= 6一3成立， 由数学归纳法可得a,≤3成立. 1 而am+1-a,=年(a,-6)3-(a。-6)=(a, [a-6r- a-6y-1号-1>0a,-5<0,te 1 一am<0,故am+1<an, 故{an}为减数列，注意a6+1-6≤-3<0 故a,1-6=子a,-6)=a.-6)xa,-6)r< 9 (am一6)，结合an+1-6<0, 所以6-a1≥(6-a,故6-a+1≥3（），故 【 2 化卷(26一ZT)·数学答案 06-8(）八， 若存在常数M≤0，使得an>M恒成立，则6一3 ()>M. k5业>(），故m<0g,成a≥M汉成 6-M 立仅对部分n成立， 故A不成立. 若a1=5,可用数学归纳法证明：-1≤am-6<0即5 ≤am<6, 证明：当n=1时，一1≤a1-6=-1≤0，此时不等关 系5≤an<6成立； 设当n=时，5≤a。<6成立， 则a1-6=子a:-6r∈（号o）t-1≤a .1 -6<0成立即 由数学归纳法可得5≤Q+1<6成立. 1 而a+1-a.=4(a,-6)°-(a,-6)=(a。 ou.-] 1 (a,-6)2-1<0,a。-6<0,故a+1-a,>0,故 an+1>an,故{an}为增数列， 若M=6,则am<6恒成立，故B正确. 当a1=7时，可用数学归纳法证明：0<a,一6≤1即 6<an≤7， 证明：当n=1时，0<a1-6≤1，此时不等关系成立； 设当n=k时，6<ak≤7成立， 1 则a+16=1(a4-6)∈(0，子]故0<a+1-6 ≤1成立即6<ak+1≤7 由数学归纳法可得6<an≤7成立. 而a-a,=a,-6)[2a.-6-1]<0,故 am+1<am,故{an}为减数列， 又a1-6=a.-6)xa,-5)r<a,-6. 结合an+1-6>0可得： am+1-6≤(a1 6)(任）)广，所以a,1≤6+（任）、 若a1≤6+（得）广，若存在常数M>6,使得a,>M 恒成立， 对M-6<() 恒成立，故n≤log1(M-6),n的 个数有限，矛盾，故C错误. 当a1=9时，可用数学归纳法证明：an一6≥3即an ≥9， 证明：当n=1时，Q1一6=3≥3，此时不等关系成立； 设当n=k时，a4≥9成立， 1 则a6=(a上-6)≥4>3，故a+1≥9成立 由数学归纳法可得an≥9成立， 】 最新5年高考真题分类优 而a+1一am= (a,-6)[子(a.-6)-1]>0,故 am+1>an,故{an}为增数列， 9 又a+1-6=(a,-6)X年(a,-6)> （am-6), 结合an-6>0可得： a-5>a-6(2）=3() ,所以an+ ≥6+3()】 若存在常数M>0,使得a,<M恒成立，则M>6+ 3() n的个数有限矛盾，故D错误.故选B. 1 法2：因为a+1一a,=4(a。-6)+6-a,= 4 a 9 2a+26a,-48, 令f)=-号+26x-48,则fe)=至r 1 3 -9x+26, 3或x>6+2 令f(x)>0,得0<<6-2 3； 令f'(x)<0,得6-23 <x<6+23 39 所以)在(，6-2）和+25，+）上 单调递增， 在(6-2 25 3,6+ 上单调递减， 3 令fx)=0,则x-号1+26x-48=0,即车(t 9 1 -4)(x-6)(x-8)=0,解得x=4或x=6或x=8, 2W5 2E∠8 注意到4<6-3<5,7<6+ 所以结合f(x)的单调性可知在（一∞，4）和(6,8)上 f(x)<0,在(4,6)和(8，十o)上f(x)>0, 因为a1=子(a,-6y+6,则e1-6= 1 4(a 6)3, 当n=1时，a1=3,a2-6=(a-6)<3,则@ 3, 假设当n=k时，a。<3, 1 1 当n=k+1时，a+1-6=4(a:-6)°<4(3-6) <-3,则a+1<3, 综上：an≤3，即an∈（-o∞，4)， 因为在(-∞，4)上f(x)<0,所以a+1<am,则{an} 为递减数列， 因为a+1-a,+14(a,-6)3+6-a,+1= 【 2 化卷(26一ZT)·数学答案 9 2a+26a。-47, 1 令h(x)=年x之x2+26x-47(x≤3)，则'(x x2-9x+26, 3 -9 因为h'(x)开口向上，对称轴为x=一 =6 2X4 3 所以h'(x)在(-∞，3]上单调递减，故h'(x)≥h'(3) =是×g-9X3+26>0. 所以h(x)在(-oo,3]上单调递增， 1 故h(x)≤h(3)三1×3号X3+26×3-47<0 故an+1-an+1<0,即a+1<an一1， 假设存在常数M≤0，使得an>M恒成立， 取m1=-[M]+4,其中M-1<[M]≤M,且[M] ∈Z, 因为an+1<an-1,所以a2<a1-1,a3<a2-1,…, a-[M+4<a-wJ+3-1, 上式相加得，a-[M+1<a1-(-[M]+3)≤3+M-3 =M, 则am=aM+4<M,与am>M恒成立矛盾，故A 错误； 因为a1=5, 当m=1时0，=5<6a,=a,-6+6=子×6 1 -6)3+6<6, 假设当n=k时，a<6, 当n=k+1时，因为ak<6,所以a-6<0,则(a。 6)3<0, 所以a+1=4(a:-6)'+6<6, 又高=1时a,-5=(a-6y+1=子×(6 1 6)3+1>0,即a2>5, 假设当n=k时，a≥5， 当n=k十1时，因为a6≥5，所以a6-6≥-1，则(aE -6)8≥-1， 1 所以a+1=4(a:-6)'+6≥5， 综上：5≤an<6, 因为在(4,6)上f(x)>0,所以am+1>am,所以{am} 为递增数列， 此时，取M=6,满足题意，故B正确： 因为a+1=4(a,-6)3+6,则a+1-6=(a, 6)3, 注意到当a=7时，a:=(7-6)+6=+6,a =号（+6-）+6=()+6，= [(2)'+6-'+6=(日)+6 5 】 最新5年高考真题分类优 3-1》 猜想当n≥2时，a= +6, 当=2与=3时，a,=+6与a,=()）'+6满 a.(任) +6 接室=时(仔) +6, 当n=+1时，所以a41三年(a46)”十6= [2)”+6-+6=() +6. 综上：a,=(付) 十6(n≥2)， 易知3”-1>0则0<(）】 2(3”-1 <1, +6∈(6,7)(n≥2)， 所以a∈(6,7]， 因为在(6,8)上f(x)<0,所以am+1<am,则{an}为 递减数列， 假设存在常数M>6,使得a,>M恒成立， imo=log:[2logL (M-6)+1], 取m=[m]+1,其中m。-1<[m。]≤mo,m0 ∈N, 则3m>30=21og+(M-6)+1, 1 枚2(3m1D>og(M-6),所以(）2 M -6, 传》 +6<M, 所以am<M,故an>M不恒成立，故C错误； 因为a1=9, 当m=1时a:-6=子a-6)- 1 4>3,则a2>9, 假设当n=k时，ak≥3， 当n=6+1时，a1-6=子(a-6)≥子(9-6) 1 >3,则a+1>9, 综上：an≥9， 因为在(8，十∞)上f(x)>0,所以an+1>an,所以 {an}为递增数列， 因为a1-a.-1=a,-6y+5-a.-1=a 9 -2a+26a,-49, 令g6)=子-号r+6x-49x≥9，则g6x 1 =-9r+26, -9 因为g'(x)开口向上，对称轴为x= =6, 3 2×4 【 2 化卷(26-ZT)·数学答案 所以g'(x)在[9，十∞)上单调递增， 3 故g'(x)≥g'(9)=÷×9-9X9+26>0, 4 所以g(x)≥g(9)= -×92+26×9-49 4 >0, 故an+1-an-1>0,即an+1>an+1, 假设存在常数M>0,使得an<M恒成立， 取m2=[M]+1,其中M-1<[M]≤M,且[M] ∈Z, 因为am+1>am+1,所以a2>a1+1,a3>a2十1，…， a[M1+1>aM+1, 上式相加得，aM+1>a1+[M]>9+M-1>M, 则am,=aM们+1>M,与an<M恒成立矛盾，故D错 误.故选B. ®，BCD函数了)=alnx十名+的定义城为O +∞)，求导得f(x)=日- ÷-9 =ax'-bx-2c 因为函，数f(x)既有极大值也有极小值，则函，数f (x)在(0，十∞)上有两个变号零，点，而a≠0， 因此方程ax2一b.x一2c=0有两个不等的正根 x1,x2, A=b2+8ac>0 于是1十x2a>0,即有6+8ac>0,b>0,ac< =0 0,显然abc0,即bc<0,A错误，B、C、D三项正确. 故选BCD. 10.ABC方法1：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y), 令x=y=0,f(0)=0f(0)+0f(0)=0,故A正确. 令x=y=1,f(1)=1f(1)+1f(1),则f(1)=0,故 B正确， 令x=y=-1,f(1)=f(-1)+f(-1)=2f( 1),则f(-1)=0, 令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x), 又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数， 故C正确， 不妨令f(x)=0,显然符合题设条件，此时f(x)无 极值，故D错误. 方法2： 因为f(xy)=yf(x)十xf(y), 令x=y=0,f(0)=0f(0)+0f(0)=0,故A正确. 令x=y=1,f(1)=1f(1)+1f(1),则f(1)=0,故 B正确. 令x=y=-1,f(1)=f(-1)+f(-1)=2f( 1),则f(一1)=0， 令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x), 又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数， 故C正确， 当xy≠0时，对f(xy)=yf(x)十xf(y)两边 可时修以，得罗-4 y2, 6 】 最新5年高考真题分类优 故可以设f(x) =1nIx|(x≠0)，则f(x) =z'In Izl,x≠0 {0,x=0 当x>0肘，f(x)=x2lnx,则f'(x)=2.xlnx+x .1=x(2nx+1, 令f'(x)<0,得0<x<e;令f'(x)>0,得x >ei; 故f(x)在(0，e工)上单调递减，在(ez,十oo)上 单调递增， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(-e三，0)上单 调递增，在（一∞，e)上单调递减， y f(x) 显然，此时x=0是∫(x)的极大值，故D错误.故 选ABC 11.BC方法1：对称性和周期性的关系研究 对于f(x),因为f(侵-2x）为偶画数，所以 (受-2x）=f(受+2）即（受-x）= (受+)①，所以f3-)=f),所以fx)关 于x=号对称，则f(-1)=f40,故C正确： 对于g(x),因为g(2十x)为偶函数，g(2十x)=g (2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)关于x=2对 称，由①求导，和g(x)=f(x),得[f(号-x)门 [r(受+)]-f(受-）)=r(+x) g(受-）=g(层+)小，所以g3-x)+gx) =0,所以g)关于（受，0）对称，因为其定义战为 R,所以g(）=0,结合g(x)关于x=2对称，从 而周期T=4×(2-号)=2，所以g(-号)=5 (受)=0，g(-1)=g1)=-g(2),故B正确，D 错误； 若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)十C(C为 常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数 值，故A错误.故选BC 方法2：【最优解】特殊值，构造函数法 由方法1知g(x)周期为2，关于x=2对称，故可设 g(x)=cos(元x),则f(x)=二sin(rx)十c,显然 T A、D错误，选BC.故选BC. 【 2 化卷(26一ZT)·数学答案 方法三：因为f(侵-2z)g2+x)均为伤画戴， 所以f(号-2x)-f(+2x） 即f(-）=f(受+)小g2+x)=g2-x 所以f(3-x)=f(x),g(4-x)=g(x),则f(-1) =f(4),故C正确： 3 函数f(x),g(x)的图象分别关于直线x=2,x= 2对称， 又g(x)=f'(x),且函数f(x)可导， 所以g(受）=0，g(3-)=-gx. 所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2) -g(x+1)=g(x), 所以()=（》 =0,g(-1)=g(1)=-g (2),故B正确，D错误； 若函数∫(x)满足题设条件，则函数∫(x)十C(C为 常数)也满足题设条件，所以无法确定∫(x)的函，数 值，故A错误. 故选BC 12.解析：曲线f(x)=1nx+工的导数'(x)= +2 “南线f()在x=1处的切线的领斜角为子， f0=1+2=52-万-1a=g+1 答案：w3+1或1+√3 13.解析：因为f(x)=-4x3+3x,所以f(x)=- 12x2+3, 令f'(x)=0得，x=士2： 当x(,号）时，fx)<0x)单调递减， 当e(了宁)时，f0,1)单明递塔， 当x∈（分，+∞）时，f'(x)<0,fx)单调遂减， 1 所以当x=一 时，f(x)有极小值， 因为函数f(x)=-4.x3+3.x在(a,a十2)上存在最 小值， 又f1)=f()-1. 所以a<一 <a+2≤1，解得-2<a≤-1， 所以实数a的取值范周是（一号，-1]】 答案（号-] 14,解析：因为fx)=-'()+2+4,即e[(x e 】 最新5年高考真题分类优 +f(x)]=2x+4, 令g(x)=ef(x),则g'(x)=e[f(x)+f'(x)], 所以ef(x)=x2+4.x十c(c为常数)，所以f(.x) =x2+4x+0 因为f(-4)=e,所以f(-4)=c·e=e, 解得c=1,从而f(x)=+4x+1 e 则fx)=二x-2x+3--(x+3)(x-1 当一3<x1时f(x)>0,此时f(x)单调递增， 当x<-3或x>1时f′(x)0,此时f(x)单调 递减， 所以x=1时，f(x)取得极大值为f(1)=一，当x >0时f(x)>0, 当x=一3时，f(x)取得极小值f(-3)=一2e3,f (-4)=e. 又因为f(-1)=-2e,f(-2)=-3e,结合图象可 知f(x)一m<0仅有1个整数解， 实数m的取值范围是(-2e,-3e2]. y 6 -3 C 01 -2c3 答案：(-2e3,-3e] 15.解析：(1)f(x)定义域为(0，+∞)，f'(x)=a- 1 =a.x-1 当a≤0时，f(x)=ax-1 <0,故f(x)在(0，十 oo)上单调递减； /1 当a>0时x∈（后，+∞）小f(x)>0,fx)单调 递增， 当x6,启)时fx)0,f)单调通浅 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0， 十∞)； a>0时，x)的单洞递增区间为（合，十）小，单调 说该区间为(0，）片 (2)a≤2，且x>1时，e-1-f(.x)=e-1-a(x-1) +In x-12e"-!-2x+1+In x, 令g(x)=e-1-2.x+1+lnx(x>1),下证g(x) >0即可. g)=et-2+是，再令h(x)=g别公 (x)=e-l-1 2 化卷(26一ZT)·数学答案 显然h'(x)在(1，十o∞)上递增，则h'(x)>h'(1) e°-1=0， 即g'(x)=h(x)在(1，十∞)上递增， 故g'(x)>g'(1)=e°-2+1=0，即g(x)在(1，+ o)上单调递增， 故g(x)>g(1)=e°-2+1+ln1=0,问题得证. 答案：(1)见解析 (2)见解析 16.解析：(1)当a=1时，则f(x)=e一x一1，f'(x)= e-1, 可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1, 即切点坐标为(1，e一2)，切线斜率=e一1， 所以切线方程为y(e-2)=(e-1)(x-1),即(e -1)x-y-1=0. (2)解法1：因为f(x)的定义域为R,且f'(x)=e a 若a0,则f(x)≥0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意； 若a>0,令f'(x)>0,解得x>lna:令'(x)<0, 解得x<lna; 可知f(x)在（一oo,lna)内单调递减，在(lna,十 ∞)内单调递增， 则f(x)有极小值f(lna)=a一alna-a3,无极 大值， 由题意可得：f(lna)=a-alna-a3<0,即a2+ln a-1>0, 1 构建g(a)=a2+lna-1,a>0,则g'(a)=2a十 >0, 可知g(a)在(0，十c∞)内单调递增，且g(1)=0, 不等式a2+lna-1>0等价于g(a)>g(1),解得 a>1, 所以a的取值范围为(1，十∞)： 解法2：因为f(x)的定义域为R,且'(x)=e -a, 若f(x)有极小值，则f'(x)=e-a有零点， 令f'(x)=er一a=0,可得e=a, 可知y=e与y=a有交点，则a>0, 若a>0,令f(x)>0,解得x>lna;令f(x)<0, 解得x<lna; 可知f(.x)在(-o,lna)内单调递减，在(lna,十 ∞)内单调递增， 则f(x)有极小值f(lna)=a-alna-a3,无极大 值，符合题意， 由题意可得：f(lna)=a-alna-a3<0,即a2十ln a-1>0, 构建g(a)=a+lna-l,a>0, 因为y=a2,y=lna-1在(0，+o∞)内单调递增， 可知g(a)在(0，十o∞)内单调递增，且g(1)=0, 不等式a+lna-1>0等价于g(a)>g(1),解得 a>1, 所以a的取值范围为(1，十o). 答案：(1)(e-1)x-y-1=0 (2)(1,+∞) 17.解析：(1)当a=-1时，f(.x)=（ 1-1）n(x+1) 最新5年高考真题分类优 则f'(x)=一 ×h++(位-)x 据此可得f(1)=0,f'(1)=-ln2, 函数在(1，f(1))处的切线方程为y一0=一1n2(x -1), 即(ln2)x+y-ln2=0. (2)令)=f(）=(x+an(+小， 画数的定义城满足】+1=x十1 1 >0, 即函数的定义域为(-∞，-1)U(0,十∞)， 1 定义域关于直线【=一2对称，由题意可得6= 1 2 由对称性可知日（2+m） g(名-m)(m>3), 取m=弓可得g1)=g(-2), In 1 即(a十11n2=(a-2)2,则a+1=2-a,解得a 经检验a7,6= 1 2满足题意，故a=2,b= 1 21 1 即存在a=2b=一2满足题意 (3)由画数的解析式可得f(x)-()(x+1) +(+)点 由f(x)在区间(0，十∞)存在极值点， 则∫'(x)在区间(0，十∞)上存在变号零点： 令(-)hu+D+(+a)h=0, 1 则-(x+1)n(x+1)+(x十ax2)=0, 令g(x)=ax2+x-(.x+1)ln(x+1), f(x)在区间(0，十o∞)存在极值，点，等价于g(x)在 区间(0，十∞)上存在变号零，点， 8(r)=2az-In(x+D.g(r)=2a- 当a≤0时，g'(x)<0,g(x)在区间(0，十∞)上单 调递减， 此时g(x)<g(0)=0,g(x)在区间(0，十∞)上无 零点，不符合题意； 1 当a≥22a≥1时，由于x十<1， 所以g"(x)>0,g'(x)在区间(0，+∞)上单调 递增， 所以g'(x)>g'(0)=0,g(x)在区间(0，十o∞)上单调递 增，g(x)>g(0)=0, 所以g(x)在区间(0，十∞)上无零点，不符合题意； 【 2 化卷(26一ZT)·数学答案 当0<a<2时，由g"(x)=2a-x十0可得x 1 2a -1, 当(0，名一1)时g0,g)单调适减， 当∈（信-1，+a)时，g)>0,A()第调 递增， 故g')的最小值为g(分-1）=1-2a+ln2a, 令m(x)=1-x+lnx(0<x<1),则m'(x)= x+1>0, 函数m(x)在定义域内单调递增，m(x)<m(1) =0, 据此可得1-x十lnx<0恒成立， 则（分-1）=1-2a+h2a<0, 由一次函数与对数函数的性质可得，当x→十∞时， g'(z)=2ax-In(x+1)-+o, 且注意到g'(0)=0, 根据零点存在性定理可知：g'(x)在区间(0，十∞) 上存在唯一零点x0 当x∈(0，x)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(xo,十o∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(xo)<g(0)=0. 令n()=hE,则m(x)=2万 2-√F 2x 则函数n(x)=lnx一√F在(0,4)上单调递增，在 (4,十∞)上单调递减， 所以n(x)≤n(4)=ln4-2<0,所以lnx<√x, 所以() >(侍+)[+ah(侍+)+a1-2a+1] =(信+)[台-h(停+】 >(+)(任√+ 164 (+1) af-a-I =(（+ 12 2+1 】 最新5年高考真题分类优 所以函数g(x)在区间(0，十∞)上存在变号零点， 特合题意 综合上面可知：实教a得取值花周是(，) 答案：(1)(ln2)x+y-ln2=0 (2)存在a=号6=一2满足题意，理由见解析 1 3号） 18.解析：(1)f(x)=x-n(1+x),f(x)=1一1+ 1+x>-1), x 当x∈(-1,0)时，f'(x)<0:当x∈(0，+o∞)，f (x)>0: ∴f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0，十∞)上单调 递增. 则f(x)的单调递减区间为（一1,0），单调递增区间 为(0，十o). 2)(x)三1+切线L的斜率为1十十 则切线方程为y-1)=(+车)-u> 0), 将0,0)代入则-f)=-1(1+车7)f) (+年)： k 即i+kln1+)=i+t1+7,则ln1+)=1十ln 1+)-1+=0, 令F(t)=ln(1+t)-1+' 假设L过(0,0)，则F(t)在t∈(0，十oo)存在零点. 11+t-t F')=开1+)0+)>0F)在 (0,十∞)上单调递增，F(t)>F(0)=0, ,F(t)在(0，十o)无零，点，，.与假设矛盾，故直线 不过(0,0). (3)k=1时，f(x)=x+ln(1+x),'(x)=1+ 1 x+2>0. 1+x1+x 1 SAAQ=2f(t),设1与y轴的交点B为(0，g), t>0时，若q<0,则此时l与f(x)必有交点，与切 线定义矛盾」 由(2)知q≠0.所以q>0, 则切线l的方程为y-t-ln(t+1)= (1++)x-0. 令x=0,则y=g=y=n(1+)一十 ·2SAm=15SAm,则2tf(t)= 1[+》+] 飞 3 化卷(26一ZT)·数学答案 13n(1+t)-21-151+=0,记h(t)=13ln1 15t +)-211+>0), ,满足条件的A有几个即h(t)有几个零，点. 13 15 h'(t)= 1+t 2- (t+1) 13t+13-2(t2+2t+1)-15 2t2+9t-4 (t+1)2 (1+1)2 (-2t+1)(t-4) (t+1)2 当1∈(0，）时，h')<0,此时()单调道减： 当1（分4）时，/)>0，此时A()单调道增： 当t∈(4，十o∞)时，h'(t)<0,此时h(t)单调递减； 因为k(0)=0,h(号)<0h(=13n5-20>13 ×1.6-20=0.8>0, 15×24 h(24)=131n25-48 25 =261n5-48-5 72 2 26×1.61-48-5 =-20.54<0, 所以由零，点存在性定理及h(t)的单调性，h(t)在 (日4)上必有一个零点，在(4,24)上必有一个 零点， 综上所述，h(t)有两个零点，即满足2S0=15S4m 的A有两个， B 答案：(1)单调递减区间为（一1,0），单调递增区间 为(0，十∞) (2)证明见解析 (3)2 19.解析：(1)因为(x)=x-x3e+,x∈R, 所以f'(x)=1-(3.x2+a.x3)e+b 因为f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y=一x +1, 所以f(1)=-1+1=0,f'(1)=-1, 则-1'Xe*=0 则1二(3+a)e+h=_,解得6=71、 所以a=-1,b=1. (2)由(1)得g(x)=f(.x)=1-(3.x2-x3)e+1 (x∈R), 则g'(x)=-x(x2-6.x十6)e+1, 令x2-6.x十6=0，解得x=3士√5，不妨设x1=3一 √3，x2=3十√5， 则0<x1<x, 易知e+1>0恒成立， 】 最新5年高考真题分类优 所以令g'(x)<0,解得0<x<x1或x>x2: 令g'(x)>0,解得x<0或x1<x<x2; 所以g(x)在(0，x1),(x2,十o∞)上单调递减，在( ∞，0)，(x1,x2)上单调递增， 即g(x)的单调递减区间为(0,3一√)和 (3+√5，+0)，单调递增区间为（一∞，0） 和(3-3,3十√3). (3)由(1)得f(x)=x-x3ex+1(x∈R),f'(x)=1 -(3.x2-x3)ex+1 由(2)知f'(x)在(0，x1),(x2,十∞)上单调递减， 在（一∞，0)，(x1,x2)上单调递增， 当x<0时，f'(-1)=1-4e<0,f'(0)=1>0,即 f(-1)f(0)<0 所以f'(x)在（一∞，0）上存在唯一零点，不妨设为 x3,则-1<xa<0, 此时，当x<x:时，f'(x)<0,则f(x)单调递减； 当x<x<0时，f'(x)>0,则f(x)单调递增； 所以f(x)在（一∞，0）上有一个极小值点： 当x∈(0，x1)时，f'(x)在(0，x1)上单调递减， 则f'(x1)=f'(3-3)<f‘(1)=1-2<0,故f (0)f(x1)0, 所以f'(x)在(0，x1)上存在唯一零点，不妨设为 x1,则0<x1<x1, 此时，当0<x<x1时，f'(x)>0,则f(x)单调 递增； 当x<x<x1时，f(x)0,则f(x)单调递减； 所以f(x)在(0，x1)上有一个极大值点： 当x∈(x1,x2)时，f'(x)在(x1x2)上单调递增， 则'(x2)=f'(3+√5)>(3)=1>0，故f(x1) f(x2)0, 所以'(x)在(x1,x2)上存在唯一零点，不妨设为 x5,则x1<x5<x2, 此时，当x1<x<x5时，f(x)<0,则f(x)单调 递减； 当x<x<x2时，f'(x)<0,则f(x)单调递增； 所以f(x)在(x1,x2)上有一个极小值点； 当x>x2=3十√5>3时，3.x2-x3=x2(3-x)<0, 所以f'(x)=1-(3x2-x3)e+1>0,则f(x)单 调递增， 所以f(x)在(x2,十o)上无极值点： 综上：f(x)在(-∞，0)和(x1,x2)上各有一个极小 值点，在(0，x1)上有一个极大值点，共有3个极 值点， 答案：(1)a=-1,b=1 (2)答案见解析 (3)3个 卷7三角函数 1.A 'f(-x)=-xcos(-x)=-xcos x=-f (x), 函数f(x)为奇函数，排除选项D: 当x∈(0,2)时，x>0,0<cosx<1 .0<f(x)<x,排除选项BC.故选A, 2 A sin十cosr=Esn(c+子)，周期T=2,故 【 3 化卷(26一ZT)·数学答案 A正确： m0m=方n2,周期T=罗=：放B转： sinx十cos2x=1,是常值函数，不存在最小正周期， 故C错误； in2z-c0sz==c0s2c,周期T)=元，故D错 误，故选A 3B因为o。n。-反，所以1-n。 1 cos a-sin a =√5，→tan a=1 3’ =25-1,故选B. 4.A f(x)=sin 3ox+)=sin (3r+)=- sin 3oxx, 由T= 2=元得w一了' 2 3 即f(x)=-sin2x,当x∈ [-]时，2 [-后]： 画出f(x)=-sin2x的图象，如下图所示， 由图可知，f(x)=一sin2x在 元上递减， L12'6」 y 2 π√ 所以，当x= 6时，f（x)m=一sin3= 2故 选A, 5.B由题意可知：x1为f(x)的最小值点，x2为f(x) 的最大值点， Tπ 则x1一xm=之=2，即T=元， 且。>0，所以w行-2，故选B 6.D解法1：令f(x)=g(.x),即a(x+1)2-1=cosx +2a.x, 可得a.x2十a-1=cosx, F(x)=ax+a-1,G(x)=cos x, 原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F(x)与y =G(x)恰有一个交点， 注意到F(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在 y轴上， 可得F(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2, 若a=2,令F(.x)=G(x),可得2x2+1-cosx=0 因为x∈(-1,1)，则2x≥0,1-c0sx≥0，当且仅 当x=0时，等号成立， 可得2x2+1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号 成立， 】