8.2 立体图形的直观图【五大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

本讲义聚焦高中数学“立体图形的直观图”核心知识点，系统梳理斜二测画法的辨析、平面图形与空间几何体直观图的画法步骤，以及直观图的还原与相关计算，构建从基础原理到实际应用的学习支架。 资料通过典例与变式分层设计题型，搭配双基达标练习，助力学生用数学眼光建立空间观念，通过辨析题强化概念理解，作图题提升空间想象，计算题培养推理能力，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

8.2　立体图形的直观图 【考点梳理】 · 考点一：斜二测画法辨析 · 考点二：平面图形的直观图的画法 · 考点三：空间几何体的直观图 · 考点四：直观图的还原与计算 · 考点五：斜二测画法的相关计算 【知识梳理】 知识一　水平放置的平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识二　空间几何体直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 【题型归纳】 题型一：斜二测画法辨析 【典例1】．（24-25高一下·福建三明·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【变式1】．（24-25高一下·四川乐山·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．垂直的线段在直观图中仍然垂直 D．相等的角在直观图中仍然相等 【变式2】．（24-25高一下·河南驻马店·月考）关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 题型二：平面图形的直观图的画法 【典例2】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，试求梯形水平放置的直观图的面积． 【变式1】．（24-25高一下·全国）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【变式2】．（2023高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 题型三：空间几何体的直观图 【典例3】．（21-22高一·湖南·课后作业）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）． 【变式1】．（20-21高一·全国·课后作业）已知长方体的长、宽、高分别为3cm，2cm，2cm，试画出该长方体的直观图. 【变式2】．（25-26高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 题型四：直观图的还原与计算 【典例4】．（24-25高一下·安徽淮北·月考）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________. 【变式1】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【变式2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，则原四边形的面积为_________． 题型五：斜二测画法的相关计算 【典例5】．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【变式2】．（2024高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知轴，则中边上的中线的长度为（    ） A． B． C．5 D． 3．（25-26高一下·全国·单元测试）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的高为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（25-26高一·全国·寒假作业）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，其中，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A． B． C．6 D． 5．（24-25高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 6．（21-22高一下·广东梅州·期末）如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（20-21高一下·河北保定·期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 二、多选题 8．（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 9．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是水平放置的直观图，，则在原平面图形中，有（ ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．最长的线段在直观图中对应的线段仍最长 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 12．（25-26高一·全国·寒假作业）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 13．（24-25高一下·江西吉安·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 三、填空题 14．（2026高一·广东·专题练习）如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图，即四边形，则四边形的面积为______. 15．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______． 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为___________，___________． 四、解答题 18．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形． 19．（24-25高三上·全国·一轮复习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状．    （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图． 21．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 22．（2024高一下·全国·专题练习）有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元) 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2　立体图形的直观图 【考点梳理】 · 考点一：斜二测画法辨析 · 考点二：平面图形的直观图的画法 · 考点三：空间几何体的直观图 · 考点四：直观图的还原与计算 · 考点五：斜二测画法的相关计算 【知识梳理】 知识一　水平放置的平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识二　空间几何体直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 【题型归纳】 题型一：斜二测画法辨析 【典例1】．（24-25高一下·福建三明·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【答案】B 【分析】由斜二测画法逐一判断即可. 【详解】解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误； 对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误； 对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误. 故选：B. 【变式1】．（24-25高一下·四川乐山·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．垂直的线段在直观图中仍然垂直 D．相等的角在直观图中仍然相等 【答案】B 【分析】根据斜二测法的规则对选项逐一判断即可. 【详解】首先分析斜二测画法的规则： 斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行； 对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等； 原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴，在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直； 相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角，在斜二测画法中可能变成45°或135°等. 故选：B. 【变式2】．（24-25高一下·河南驻马店·月考）关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可. 【详解】斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，故A不符合题意； 斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行，故B不符合题意； 用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行，故C不符合题意； 斜二测画法中，直观图和原图的面积不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 题型二：平面图形的直观图的画法 【典例2】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，试求梯形水平放置的直观图的面积． 【答案】 【详解】由题意知，在梯形中，可得， 因为为等腰直角三角形，所以, 又因为梯形水平放置的直观图仍为梯形，如图所示， 其中上底和下底的长度都不变，且， 所以，即梯形的高为， 梯形的面积． 【变式1】．（24-25高一下·全国）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 【变式2】．（2023高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则作图． 【详解】（1）用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示： 画出相应的轴、轴，使， 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 在轴上取，， 过点作轴，使，过点作轴，使， 连结，则四边形就是等腰梯形的直观图. （2）用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示： 连接交于，画出相应的轴、轴，使， 在轴上取，，在轴上取，， 过点作轴，且，过点作轴，且， 连结，则五边形就是所求的直观图. 题型三：空间几何体的直观图 【典例3】．（21-22高一·湖南·课后作业）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）． 【详解】如图所示： 【变式1】．（20-21高一·全国·课后作业）已知长方体的长、宽、高分别为3cm，2cm，2cm，试画出该长方体的直观图. 【详解】解：第一步：画轴：如图1，画轴，使得三轴相交于点，其中； 第二步：画底面，以点为中心，在轴上取线段，使得cm，在轴上取线段，使得cm，分别过作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点分别为，则四边形就是长方体的底面； 第三步：画侧棱，过各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上截取长度为cm的线段； 第四步：成图，顺次连接，再去掉辅助线，将遮挡的部分改为虚线，就得到长方体的直观图，如图2. 【变式2】．（25-26高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画出正六棱锥的直观图． 【答案】 【分析】根据斜二测画法的步骤作图即可. 【详解】（1）画正六棱锥的底面的直观图． ①在正六边形中，取对角线所在直线为轴，取与垂直的对称轴为轴，两轴相交于点（如图（1）所示）． （2）画相应的轴和轴，两轴交于点，使． 以为及的中点，在轴上取， 在轴上取， 以点为中点画平行于轴，并且等于， 再以点为中点画平行于轴，并且等于． ③连接，则得到水平放置的正六边形的直观图． （3）在直观图中画六棱锥的顶点，连接，以所在直线为轴． 过作与轴对应的轴，在上取点，使． 连接，，，，，（如图（2）所示）． （4）擦去轴、轴、轴，将被遮挡住的线画为虚线， 便得到正六棱锥的直观图（如图（3）所示）． 题型四：直观图的还原与计算 【典例4】．（24-25高一下·安徽淮北·月考）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________. 【答案】 【分析】根据斜二测画法，与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度不变；与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度减半，分别求出，，的长度，即可求出原三角形的周长. 【详解】在中，， 根据直观图画出原图如下： 则，， 在中，， 所以原三角形的周长是. 【变式1】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，结合勾股定理，即可得答案. 【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示， 则，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为. 【变式2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，则原四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】由斜二测画法的规则即可求解． 【详解】由题可知， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． 原四边形是直角梯形， 故四边形的面积为． 题型五：斜二测画法的相关计算 【典例5】．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得. （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，. 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)图象见解析 (2)5， 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， ∴四边形的面积为． 【变式2】．（2024高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4） 【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果； （2）由直观图可知，即为直角三角形； （3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果； （4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果. 【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ； （2）由斜二测画法规则知， 故原为直角三角形； （3）由已知可得在中，，， 故； （4）原三角形面积为，画直观图后，，， ． 题型六：直观图的综合问题 【典例6】．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，这是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为（   ） A． B． C． D．20 【答案】A 【详解】由斜二测画法得，的边，边上的高， 所以的面积为. 17．（25-26高一下·福建·期中）如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（    ）． A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】先根据平面图形的直观图与原图形的关系，求出原图形的边长，再利用三角形面积公式计算原图形面积即可. 【详解】因为，， 所以， 如图所示，还原直观图得原图： 所以， 则原平面图形的面积为． 18．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示的是水平放置的的直观图，是中边的中点，且轴，那么，，三条线段对应原图形的线段，，中（ ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是（且），最短的是 D．最长的是，最短的是 【答案】C 【详解】由题意可得原图形，如图所示. 由轴，可知在中，， 因为是中边的中点， 所以是中点，故为等腰三角形， 所以. 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图画出原图，得到，，求得，进而得到的长. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，可由直观图画出原图， 因为，可得，， 易知且为的中点，所以，且， 又的周长为，所以，即， 则，则. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知轴，则中边上的中线的长度为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可. 【详解】由斜二测画法规则知，即为直角三角形，其中， 所以，边上的中线长度为． 故选：A 3．（25-26高一下·全国·单元测试）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的高为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的性质直观图平行于轴的长度变为原来的一半，结合的长度即可求. 【详解】的直观图是等腰直角三角形，，， ． 根据直观图平行于轴的长度变为原来的一半， 的高为． 故选：D． 4．（25-26高一·全国·寒假作业）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，其中，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】由斜二测画法确定原图为直角梯形并确定相关边长，再求出面积. 【详解】由题设，原图为直角梯形，且， 由斜二测画法知，，， 所以平面图形ABCD的面积为. 故选：C. 5．（24-25高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 故选：D． 6．（21-22高一下·广东梅州·期末）如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求得原图形三角形中的值，再根据斜二测画法的规则进而求得. 【详解】画出的原图为直角三角形，且， 因为，所以，所以. 故选：B 7．（20-21高一下·河北保定·期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】过作轴，交轴于，求出的长，由斜二测画法的规则可知，即为的边上的高. 【详解】如图，过作轴，交轴于， 在中，因为与轴垂直，且，， 所以， 由斜二测画法知：，所以的边上的高为8. 故选：D.    二、多选题 8．（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长． 【详解】对于A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，故A错误； 对于B选项，由斜二测法可知，故B正确； 对于C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，故D错误． 9．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由斜二测画法的规则复原为原图形，求解相关量逐项判断即可. 【详解】在中，作交于点， 因为，所以，， 又 ，所以，，， 利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形， 由斜二测画法，可得，，， 所以，， ，故A、B、D正确，C错误. 10．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是水平放置的直观图，，则在原平面图形中，有（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误. 如图所示，在直观图中，过作于 ,,, 又,,, 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有,,,故选项B正确； 又因为,,故选项A、C错误； 而,故选项D正确. 11．（25-26高一下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．最长的线段在直观图中对应的线段仍最长 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 【答案】CD 【详解】对于A项，由正方形的直观图是平行四边形可知A错误， 对于B项，如图，矩形的直观图是平行四边形， 最长的线段在直观图中对应的线段不是最长，故B项错误； 对于C项，线段上的点在直观图中相对位置不变，故线段的中点在直观图中仍然是线段的中点，故C项正确； 对于D项，如图所示： 直角梯形的直观图可能是等腰梯形，故D项正确． 故选：CD 12．（25-26高一·全国·寒假作业）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【详解】对于AB：还原平面图如下图， 则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则，， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 13．（24-25高一下·江西吉安·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【详解】对于AB：还原平面图如下图，    则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 三、填空题 14．（2026高一·广东·专题练习）如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图，即四边形，则四边形的面积为______. 【答案】 【分析】作出直观图，结合三角形的面积公式可求出四边形的面积. 【详解】作出直观图如下图所示： 由题意可知，四边形为平行四边形， 且，， 平行四边形的面积. 15．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 【答案】6 【分析】根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原图，进而求出原四边形各边的长度，从而找出最长的长度． 【详解】矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，， 将直观图还原为原图，如图， 在直观图中，，则， 所以在原图中，可得，， 所以 因为， 所以原四边形中最长边的长度为6． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______． 【答案】 【分析】将直观图还原为原来的图形，然后根据斜二测画法横等纵半计算即可. 【详解】将直观图还原为原来的图形，则四边形如下图： 所以，，则， 所以平面图形的周长为. 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为___________，___________． 【答案】 / 12 【分析】根据斜二测画法规则，可判断出原三角形为直角三角形，再利用勾股定理求得斜边的长度，进而求出斜边上的中线长度和三角形面积. 【详解】由斜二测画法规则，可知，即为直角三角形， 其中，，所以， 所以边上的中线长度为，的面积为． 故答案为：； 四、解答题 18．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形． 【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法的步骤和规则进行解答即可. 【详解】解：（1）在已知图形中画坐标系，使，在轴上，与重合，如图（1）； （2）画直角坐标系，在x轴上取，即，如图（2）所示； （3）在图（1）中过作轴，交轴于．在图（2）中，在x轴上取， 过D作轴，并使； （4）连接，，则即为原图形，如图（2）所示． 19．（24-25高三上·全国·一轮复习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状．    （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4） 【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果； （2）由直观图可知，即为直角三角形； （3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果； （4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果. 【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ． （2）由斜二测画法规则知，故原为直角三角形． （3）由已知可得在中，，，故． （4）原三角形面积为（a为三角形的底，h为三角形a边上的高）， 画直观图后，，， ． 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则作图． 【详解】（1）在已知的正五边形中，取正五边形的中心O为坐标原点， 对称轴为y轴，过O与y轴垂直的直线为x轴．分别过点B，E作、 ，与x轴分别交于G，H．画对应的，，使． （2）以点为中点，在轴上取，分别过， 在轴的上方作，，并使，； 在轴上轴的上方，取，在轴的下方，取， 并以点为中点画，且． （3）连接，，，，所得的五边形就是正五边形 的直观图． 21．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)5，． 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． 22．（2024高一下·全国·专题练习）有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元) 【答案】812元 【分析】在直观图中，过点作，垂足为，先求出直观图的面积，再利用，求出原图形的面积，即可求得答案. 【详解】在直观图中，过点作，垂足为，如下图： 则在中，，，所以， 又四边形为矩形，， 所以，则， 由此可得， 又， 所以， 故这块菜地所产生的总经济效益是 (元). 2 学科网（北京）股份有限公司 $