模块二 压轴题讲练(范围：第7-9章 期中备考必刷练练 38个题型 共76题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册

2025-2026学年人教版数学七年级下册期中考前必刷练精讲练【压轴题重难点题型】 模块二 压轴题题型讲练『期中备考必刷练』 ［人教版（新教材）七年级下册第7-9章］ 题型序列 题型名称 压轴题型一 利用邻补角互补求角度 压轴题型二 同位角、内错角、同旁内角 压轴题型三 用直尺、三角板画平行线 压轴题型四 平行公理推论的应用 压轴题型五 在同一平面内，垂直于同—直线的两直线平行 压轴题型六 根据平行线的性质探究角的关系 压轴题型七 根据平行线的性质求角的度数 压轴题型八 根据平行线判定与性质求角度 压轴题型九 根据平行线判定与性质证明 压轴题型十 利用平移的性质求解 压轴题型十一 平移（作图） 压轴题型十二 已知一个数的平方根，求这个数 压轴题型十三 利用算术平方根的非负性解题 压轴题型十四 估计算术平方根的取值范围 压轴题型十五 与算术平方根有关的规律探索题 压轴题型十六 算术平方根的实际应用 压轴题型十七 已知一个数的立方根，求这个数 压轴题型十八 与立方根有关的规律探索 压轴题型十九 算术平方根和立方根的综合应用 压轴题型二十 无理数的大小估算 压轴题型二十一 无理数整数部分的有关计算 压轴题型二十二 实数的性质 压轴题型二十三 实数与数轴 压轴题型二十四 实数的大小比较 压轴题型二十五 实数的混合运算 压轴题型二十六 程序设计与实数运算 压轴题型二十七 新定义下的实数运算 压轴题型二十八 实数运算的实际应用 压轴题型二十九 与实数运算相关的规律题 压轴题型三十 求点到坐标轴的距离 压轴题型三十一 已知点所在的象限求参数 压轴题型三十二 坐标与图形综合 压轴题型三十三 用坐标表示地理位置 压轴题型三十四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 压轴题型三十五 已知平移后的坐标求原坐标 压轴题型三十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 压轴题型三十七 中点坐标 压轴题型三十八 点坐标规律探索 压轴题型一 利用邻补角互补求角度 1．（25-26七年级下·安徽池州·期末）如图，O为直线AB上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②与互补；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，为直线上一点，，是内部的一条射线，平分．已知，． (1)求的值． (2)求的度数． (3)从点作一条射线，使与的和等于，求的度数． 压轴题型二 同位角、内错角、同旁内角 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线与直线分别相交，图中的同位角共有__________对． 4．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）解决下列问题 (1)在平面上画3条直线，依据同旁内角对数的多少分类画出示意图，并指出每种情况同旁内角的对数． (2)在平面上画5条直线，最多有多少对同旁内角？并说明你的推理过程． 压轴题型三 用直尺、三角板画平行线 5．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，只保留作图痕迹，不要求写出画法， (1)在图①中，过点A画一条平分△ABC周长的直线AD； (2)在图②中，过点B画一条平分△ABC面积的直线BE； (3)在图③中，过点C画一条将△ABC周长分成7：9两部分的直线CF． 6．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期中）按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点． (1)过点P画射线，交于E． (2)过点P画线段，交于F． (3)点E到直线的距离是线段______的长． 压轴题型四 平行公理推论的应用 7．（2025七年级下·山东青岛·专题练习）在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 8．（23-24七年级下·四川自贡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于B． (1)请写出A、B点的坐标；，. (2)如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数； (3)如图1，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型五 在同一平面内，垂直于同—直线的两直线平行 9．（24-25七年级下·浙江·期末）一副直角三角板叠放如图①，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕顶点A顺时针旋转角（且），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直． (1)如图②，______时，； (2)请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角，并用符号表示出垂直的边． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 压轴题型六 根据平行线的性质探究角的关系 11．（25-26七年级下·河北唐山·月考）【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 12．（25-26七年级下·重庆·月考）如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 压轴题型七 根据平行线的性质求角的度数 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，，平分，，，；则下列结论：①；②平分；③，④，其中正确结论是________． 14．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）如图，在四边形中，，点E在的延长线上，连接交于点F，，点P，Q在上，连接，已知，，下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④ 其中所有正确结论的序号为________． 压轴题型八 根据平行线判定与性质求角度 15．（25-26七年级下·天津南开·月考）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 压轴题型九 根据平行线判定与性质证明 17．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）直线与直线互相平行，是射线上一点，且点不在直线，上，射线，分别是和的平分线． (1)如图，若点在线段上，试判断与的位置关系，并证明； (2)若点在线段的延长线上， （）中与的位置关系是否发生变化？并说明理由；（注：说理时不能使用没有学过的定理） 当时，若，分别是直线，上的动点，且，请画出符合条件的图形，并直接写出的度数． 18．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，点、点分别是的边、上的点，连接并延长到，使得，若，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论： ； ； 平分； ； ．其中结论正确的序号是（    ） A． B． C． D． 压轴题型十 利用平移的性质求解 19．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 压轴题型十一 平移（作图） 21．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，过点作轴，过点作轴，交点为，且，满足，，满足．      (1)求出，，三点的坐标； (2)将进行适当的平移得到，使平移后的的顶点落在轴上，顶点落在轴上，在平面直角坐标系中画出相应的，并直接写出点，的坐标； (3)在（2）的条件下，点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，，两点分别从点、点同时出发，点以每秒2个单位长度的速度从点沿线段向点运动，点以每秒1个单位长度的速度从点沿线段向点运动，设点，的运动时间为秒，当线段的长为2时，求出点与点的坐标． 22．（24-25七年级下·吉林·月考）综合与实践 问题背景 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为；点的坐标为，点的坐标为，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长度． 动手操作 （1）画出线段平移后的线段，直接写出的对应点的坐标； 探究证明 （2）连接，试探究、的数量关系，并说明理由； 拓展延伸 （3）若点在线段上，连接、，且满足，请求出与的数量关系，并说明理由． 压轴题型十二 已知一个数的平方根，求这个数 23．（24-25七年级下·云南昆明·期中）一个正数的平方根分别是和，则的值是________． 24．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 压轴题型十三 利用算术平方根的非负性解题 25．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 26．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数，求的值． 压轴题型十四 估计算术平方根的取值范围 27．（25-26七年级下·四川成都·期末）在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 28．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在一次活动课中，小华同学用一根绳子围成一个长与宽之比为，面积为的长方形． (1)求长方形的长和宽； (2)她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于．”请你判断小华的说法是否正确，并说明理由． 压轴题型十五 与算术平方根有关的规律探索题 29．（24-25七年级下·贵州遵义·月考）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 30．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 压轴题型十六 算术平方根的实际应用 31．（2024·河北邯郸·三模）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 32．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）完成以下问题 (1)【发现问题】如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形．所得到大正方形的面积为______，大正方形的边长为______． (2)【知识迁移】小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开裁剪，拼成如图2所示的一个大正方形．仿照上面的探究方法求空白部分正方形的面积及其边长x的值； (3)【拓展延伸】为响应节约资源的号召，赵师傅将两块废弃的正方形铁片重新加工成一个面积为平方米的大正方形铁片用于制作零件．已知原来其中一块正方形铁片的边长是米，问另一块正方形铁片边长比原来拼成的大正方形铁片边长少多少米？ 压轴题型十七 已知一个数的立方根，求这个数 33．（25-26七年级下·山东泰安·期末）若与互为相反数，则的值为______． 34．（25-26七年级下·云南楚雄·月考）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 压轴题型十八 与立方根有关的规律探索 35．（25-26七年级下·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 36．（24-25七年级下·四川南充·月考）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 压轴题型十九 算术平方根和立方根的综合应用 37．（25-26七年级下·广东梅州·月考）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 38．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 压轴题型二十 无理数的大小估算 39．（25-26七年级下·广东广州·月考）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 40．（25-26七年级下·河南周口·月考）若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记 ，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 压轴题型二十一 无理数整数部分的有关计算 41．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，，这时候结果为．只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大值与最小值之差_____． 42．（25-26七年级下·江西吉安·月考）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的平方根． 压轴题型二十二 实数的性质 43．（24-25七年级下·重庆江津·期中）下列说法正确的有（      ） ①若与的值互为相反数，且，则；    ② 若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③ 若关于x，y的二元一次方程组，不论a为何值，x，y满足关系式； ④已知关于的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）已知点，其中，，，且、、、均为整数，那么在平面直角坐标系中点的可能位置共有__________个. 压轴题型二十三 实数与数轴 45．（25-26七年级下·山东德州·月考）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 46．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 压轴题型二十四 实数的大小比较 47．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 压轴题型二十五 实数的混合运算 49．（25-26七年级下·全国·假期作业）若是实数，且，，那么的值是____． 50．（25-26七年级下·全国·周测）阅读下列解题过程，并解答提出的问题． 设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得．∵a，b都是有理数，∴，也是有理数．由于是无理数，∴，，∴，，∴． 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 压轴题型二十六 程序设计与实数运算 51．（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是________． 52．（23-24七年级下·天津南开·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A． B． C． D． 压轴题型二十七 新定义下的实数运算 53．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的个小写字母依次对应这个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：，将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字，比如明文字母为，，所以明文字母对应的密文字母为若密文是，则对应的明文是（　　） A． B． C． D． 54．（25-26七年级下·重庆·月考）对于一个各位数字均不为零的四位自然数，若其满足千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称为“平衡数”．规定其前两位数字组成的两位数为，后两位数字组成的两位数，并定义．已知一个“平衡数”，且，则这个四位数为________；两个“平衡数”．若是一个完全平方数，则的最大值为________． 压轴题型二十八 实数运算的实际应用 55．（2023·四川攀枝花·中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 56．（24-25七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 压轴题型二十九 与实数运算相关的规律题 57．（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是________________ ； ②与表示的两数的平方和为________ ． 58．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 压轴题型三十 求点到坐标轴的距离 59．（25-26七年级下·湖南·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上． (1)求、两点坐标． (2)若点以每秒2个单位长度从点出发向点运动，（点到达点时运动停止），，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点的坐标． 60．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点． (1)求点、的坐标； (2)点坐标为，试在轴上找一点，使，求出点的坐标； (3)问题探究：如图2，点是轴负半轴上一动点（点不与点重合），过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的度数． 压轴题型三十一 已知点所在的象限求参数 61．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若点的坐标为，则称点N和点互为“对分点”．若图形W上存在一点T且点T的“对分点”恰好也在图形W上，则称图形W为“对分图形”．    已知点，，，，． (1)①点A的“对分点”的坐标是______； ②若点A的“对分点”是点B，则点的坐标是______． (2)点（其中b为非零整数）与线段组成的图形记为图形U，图形U是“对分图形”，则所有满足条件的点C坐标为______． (3)已知点，，将线段，，，首尾顺次连接，组成正方形，正方形与线段组成的图形记为图形V．若图形V是“对分图形”，则k的取值范围为______． 62．（24-25七年级下·浙江台州·期末）对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．      (1)已知点，，，． ①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________； ②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________； ③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围． 压轴题型三十二 坐标与图形综合 63．（24-25七年级下·江苏南通·月考）在直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，这样的点称为“整点”．若已知点，，且满足． (1)求点A、B的坐标； (2)若点是第二象限内的整点，求以A、B、O、C为顶点围成的四边形面积； (3)若点D为平面直角坐标系二、四象限角平分线上的一点，坐标为且，以A、B、O、D为顶点围成的四边形内有n个整点（不包含边界上的整点）； ①若，则n= ； ②若时，直接写出m的取值范围． 64．（24-25七年级下·天津河西·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为，长方形，点，，．线段交轴于点，点是长方形边上的两个动点．点从点出发以每秒1个单位长度沿的路线做匀速运动，同时点也从点出发以每秒2个单位长度沿的路线做匀速运动．当点运动到点时，两动点均停止运动．设运动的时间为秒，三角形的面积记为，三角形的面积记为，四边形的面积记为．    (1)当时，求的值； (2)当为何值时，? (3)若，求的取值范围．（直接写出答案即可） 压轴题型三十三 用坐标表示地理位置 65．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）图中标明了李明家附近的一些地方． (1)写出书店和邮局的坐标； (2)某星期日早晨，李明同学从家里出发，沿，，，，，的路线转了一下，又回到家里，在如图依次连接他经过的地方，你得到图形的面积是______． 66．（24-25七年级下·北京西城·期中）中山公园位于天安门西侧，原为辽、金时的兴国寺，元代改名万寿兴国寺．明成祖朱棣兴建北京宫殿时，按照“左祖右社”的制度，改建为社稷坛．这里是明、清皇帝祭祀土地神和五谷神的地方．1914年辟为中央公园．为纪念孙中山先生，1928年改名中山公园．如图是中山公园平面图，其中点是孙中山先生像，点是来今雨轩，点是中山堂．分别以水平向右、竖直向上的方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，下列对各景点位置描述：      若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为： 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为； 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为； 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为． 其中正确的描述有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 压轴题型三十四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 67．（24-25七年级下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点M作直线平行于y轴． (1)如果线段与x轴有公共点，求b的取值范围； (2)若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出a、b的值： (3)若直线外一点到这条直线的距离小于2，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点A__________（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”； ②将平移到，平移后点A、点B、点C分别对应点D、点E、点F，点F刚好落在直线上，点E落在y轴上且纵坐标为，如果的面积为6，过点A作直线平行于x轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 68．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，点，点，点，点，点，其中．三角形的面积为．则以下说法错误的是（   ） A．点F在y轴上 B．的长度为4 C．点C到直线的距离为3 D． 压轴题型三十五 已知平移后的坐标求原坐标 69．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，点，，且． (1)求的值． (2)平移线段，点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒． ①如图，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 70．（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 压轴题型三十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 71．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是________． 72．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 压轴题型三十七 中点坐标 73．（25-26七年级下·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m，则有以下结论： ①当，点B是线段的中点； ②无论m取何值，都为定值； ③存在唯一一个m的值，使得； ④存在唯一一个m的值，使得． 其中正确的结论是_________．（写出所有正确结论的序号） 74．（24-25七年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，将过点且与轴垂直的直线记为直线，对于图形，给出如下定义：将图形关于直线对称后，再向右平移个单位长度，得到的图形记为，称图形为图形的“型对照变换图形”． (1)点的“型对照变换图形”的坐标为________； (2)已知点的“型对照变换图形”为点． ①点的坐标为________（用含，的式子表示）； ②当点与点关于第一、三象限的角平分线对称时，________；________； (3)已知，作，其中，，，，，三点顺时针排列，并且，两点的横坐标均不超过．的“型对照变换图形”为．当线段与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 压轴题型三十八 点坐标规律探索 75．（25-26七年级下·重庆·月考）规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，…按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 76．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是_____，点的坐标是_____． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学七年级下册期中考前必刷练精讲练【压轴题重难点题型】 模块二 压轴题题型讲练『期中备考必刷练』 ［人教版（新教材）七年级下册第7-9章］ 题型序列 题型名称 压轴题型一 利用邻补角互补求角度 压轴题型二 同位角、内错角、同旁内角 压轴题型三 用直尺、三角板画平行线 压轴题型四 平行公理推论的应用 压轴题型五 在同一平面内，垂直于同—直线的两直线平行 压轴题型六 根据平行线的性质探究角的关系 压轴题型七 根据平行线的性质求角的度数 压轴题型八 根据平行线判定与性质求角度 压轴题型九 根据平行线判定与性质证明 压轴题型十 利用平移的性质求解 压轴题型十一 平移（作图） 压轴题型十二 已知一个数的平方根，求这个数 压轴题型十三 利用算术平方根的非负性解题 压轴题型十四 估计算术平方根的取值范围 压轴题型十五 与算术平方根有关的规律探索题 压轴题型十六 算术平方根的实际应用 压轴题型十七 已知一个数的立方根，求这个数 压轴题型十八 与立方根有关的规律探索 压轴题型十九 算术平方根和立方根的综合应用 压轴题型二十 无理数的大小估算 压轴题型二十一 无理数整数部分的有关计算 压轴题型二十二 实数的性质 压轴题型二十三 实数与数轴 压轴题型二十四 实数的大小比较 压轴题型二十五 实数的混合运算 压轴题型二十六 程序设计与实数运算 压轴题型二十七 新定义下的实数运算 压轴题型二十八 实数运算的实际应用 压轴题型二十九 与实数运算相关的规律题 压轴题型三十 求点到坐标轴的距离 压轴题型三十一 已知点所在的象限求参数 压轴题型三十二 坐标与图形综合 压轴题型三十三 用坐标表示地理位置 压轴题型三十四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 压轴题型三十五 已知平移后的坐标求原坐标 压轴题型三十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 压轴题型三十七 中点坐标 压轴题型三十八 点坐标规律探索 压轴题型一 利用邻补角互补求角度 1．（25-26七年级下·安徽池州·期末）如图，O为直线AB上一点，，平分，平分，平分，下列结论：①；②与互补；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平角，互补，互余，角平分线定义，结合每个结论逐一分析． 【详解】解：① 平分，平分，， ，， ， 结论①成立； ② 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的度数未知, 和不一定互补， 结论②不成立； ③为直线AB上一点， ， ， ， 结论③成立； ④平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 结论④成立； 故选：C． 2．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，为直线上一点，，是内部的一条射线，平分．已知，． (1)求的值． (2)求的度数． (3)从点作一条射线，使与的和等于，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)的度数为或． 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）由题目条件直接求得答案； （2）根据（1）中的值，求出和的度数，再根据角平分线求得结果； （3）根据射线的位置不同，分情况讨论，进而求出的度数． 【详解】（1）解：∵为直线上一点，且， ∴， 又∵，， ∴，解得：； （2）∵，； 又∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． （3）∵，且， 设，则． ①在内部，此时， ∴(矛盾，舍去)； ②在内部此时， ∴，解得：． ∴； ③在内部，此时， ∴，解得：， ∴． ④在内部，此时， ∴，解得：， ∴(矛盾，舍去)． 综上，的度数为或． 压轴题型二 同位角、内错角、同旁内角 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线与直线分别相交，图中的同位角共有__________对． 【答案】156 【分析】观察图形，直线 GH,IJ,KL上，每条直线有5个交点，直线AB,CD,EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，根据每2个交点可以构成4对同位角，分别求得直线GH,IJ,KL和AB,CD,EF上的同位角的对数即可． 【详解】观察图形，直线上，每条直线有5个交点，直线上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角， 则直线上存在的同位角的个数是：对，同理直线上存在的同位角的个数是：对， 则总数是对． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）解决下列问题 (1)在平面上画3条直线，依据同旁内角对数的多少分类画出示意图，并指出每种情况同旁内角的对数． (2)在平面上画5条直线，最多有多少对同旁内角？并说明你的推理过程． 【答案】(1)见解析 (2)最多有60对同旁内角 【分析】（1）分三种情况，并结合同旁内角的定义即可得出结果； （2）任取3条直线同旁内角最多有6对，5条直线中任取3条直线有10组，由此即可得出结果． 【详解】（1）解：第1种情况：三条直线平行或交于一点，则没有同旁内角； 第2种情况：其中两条直线平行与第三直线相交，则有2对同旁内角； 第3种情况：三条直线两两相交，且不交于同一点，则有6对同旁内角； ； （2）解：任取3条直线同旁内角最多有6对，5条直线中任取3条直线有10组，则最多共有对同旁内角． 压轴题型三 用直尺、三角板画平行线 5．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，只保留作图痕迹，不要求写出画法， (1)在图①中，过点A画一条平分△ABC周长的直线AD； (2)在图②中，过点B画一条平分△ABC面积的直线BE； (3)在图③中，过点C画一条将△ABC周长分成7：9两部分的直线CF． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）如图①，根据等腰三角形的性质，可知与底边的中点的连线即为所求； （2）如图②，根据中线的性质可知中线将分成两个面积相等的三角形，找中点，连线即为所求； （3）的周长为16，将周长分成两部分，则一部分的长为，另一部分的长为，则有以下两种情况：①，，如图③，根据平行线分线段成比例定理可知，连接HG，与AB交于点F，连接C、F即可；② ，，如图④，作法同①． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴是等腰三角形 如图①，找边上的中点，连接即可； （2）解：如图②，连接，与的交点为，连接即可； 理由：∵， ∴四边形是矩形， ∴是边上的中点，是中线 ∴ ∴直线即为所作． （3）解：的周长为16，将周长分成两部分，则一部分的长为，另一部分的长为 则有以下两种情况： ①， 如图③，连接HG，与AB交于点F，连接C、F即可 理由：∵，， ∴ ∵ ∴， ∴则点F符合要求，直线CF即为所作； ② ， 如图④，连接PQ，与AB交于点F，连接C、F即可 理由：∵，， ∴ ∵ ∴， ∴则点F符合要求，直线CF即为所作． 6．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期中）按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点． (1)过点P画射线，交于E． (2)过点P画线段，交于F． (3)点E到直线的距离是线段______的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：射线，交于E，如图所示： （2）解：线段，交于F，如图所示； （3）解：由可得点E到直线的距离是线段的长． 压轴题型四 平行公理推论的应用 7．（2025七年级下·山东青岛·专题练习）在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】垂直 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 8．（23-24七年级下·四川自贡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于B． (1)请写出A、B点的坐标；，. (2)如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数； (3)如图1，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；0；2；0 (2) (3)P点的坐标为或 【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A和点B的坐标； （2）如图2所示：过E作．首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质、角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （3）①当P在y轴正半轴上时，设点，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N，然后，用含t的式子表示出，的长，然后依据列方程求解即可；②当P在y轴负半轴上时，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N，设点，然后用含a的式子表示出、的长，最后，依据列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1） ， ，， ，， ，． 故答案为：；0；2；0． （2）如图，过E作． 轴， 轴，， ． 又， ， ． ， ， ，． ，分别平分，， ，， ． （3）①当P在y轴正半轴上时，如图， 设点，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N，则，，，． ， ， ， 解得， 即点P的坐标为． ②当P在y轴负半轴上时，如图，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N． 设点，则，，． ， ， 解得， 点P的坐标为． 综上所述，P点的坐标为或． 压轴题型五 在同一平面内，垂直于同—直线的两直线平行 9．（24-25七年级下·浙江·期末）一副直角三角板叠放如图①，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕顶点A顺时针旋转角（且），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直． (1)如图②，______时，； (2)请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角，并用符号表示出垂直的边． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的判定，三角板中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）可证明此时，则A、C、E三点共线，再由角的和差关系求解即可； （2）分，，，，和这六种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴A、C、E三点共线， ∵， ∴， ∴时，； （2）解：如图所示，当时， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴； 如图所示，当时，， ∴； 如图所示，当时，； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∴； 如图所示，当时， ∵，， ∴， ∴A、C、D三点共线， ∴． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，从题目中找出各直线间的位置关系是解题的关键． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴． …… 可知从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，， ∵ ， ∴ ． 故选：A． 压轴题型六 根据平行线的性质探究角的关系 11．（25-26七年级下·河北唐山·月考）【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)结论：；理由见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解此题的关键． （1）由，得到，由分别平分和，可得，代入的度数即可求解； （2）①根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； ②根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； （3）由，得到，，由平分，可得，进而推出和的数量关系． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； （2）解：① 当时： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； ② 当时： ， ， ， ， 分别平分和，， ，， ； 故答案为：①；②； （3）解：结论：； 理由如下： ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 12．（25-26七年级下·重庆·月考）如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，证明，得到，再根据三角形外角定理得到，得到，即可证明结论． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 压轴题型七 根据平行线的性质求角的度数 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，，平分，，，；则下列结论：①；②平分；③，④，其中正确结论是________． 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的性质可得；平行线的性质可得，求得，根据角平分线的定义求得；求得，，即可得到，推得平分；根据题意求得，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分；故②正确； ∵， ∴， ∴；故④正确． 故正确结论是①②③④． 14．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）如图，在四边形中，，点E在的延长线上，连接交于点F，，点P，Q在上，连接，已知，，下列结论：①与互为同位角；②；③平分；④ 其中所有正确结论的序号为________． 【答案】③④ 【分析】根据同旁内角的定义判断①，根据平行线的判定定理可判断②，进而根据平行线的性质、平角的定义、角平分线的定义以及已知条件判断③，平行线的性质可判断④． 【详解】解：与位于之间，的右侧，与互为同旁内角，故①错误； 由题意推不出，即无法得到，即②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即平分；即③正确； ∵ ∴，即④正确． 综上，正确的有③④． 压轴题型八 根据平行线判定与性质求角度 15．（25-26七年级下·天津南开·月考）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得：，， 四边形为长方形， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ． 16．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边与边重合，，接着如图2，三角板绕着点点C不动按逆时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒；三角板绕着点点C不动按顺时针如图标示方向旋转，旋转速度为秒，且a、b满足，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，旋转______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】10或15或25 【分析】易得，，分别判断出，，时的度数，根据的度数，列出方程求得t的值即可．画出相关图形，得到三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行时的情形是解决本题的压轴点． 【详解】解：， ，， 设旋转t秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行， ①，如图2： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ②，如图3： 由题意得：， ， ， ， 解得：； ③，如图4， 作， ， ， ， ， ， ， 解得：； ④若继续旋转，，如图5，此时超过，这种情况不存在． 综上：t的值为10或15或 故答案为：10或15或 压轴题型九 根据平行线判定与性质证明 17．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）直线与直线互相平行，是射线上一点，且点不在直线，上，射线，分别是和的平分线． (1)如图，若点在线段上，试判断与的位置关系，并证明； (2)若点在线段的延长线上， （）中与的位置关系是否发生变化？并说明理由；（注：说理时不能使用没有学过的定理） 当时，若，分别是直线，上的动点，且，请画出符合条件的图形，并直接写出的度数． 【答案】(1)，见解析； (2) 与的位置关系发生变化，，理由见解析；画图见解析，的度数为或． 【分析】（）由得，又射线，分别是和的平分线，知，，故，； （）反向延长射线交于，过作，由得，根据射线，分别是和的平分线，可得，而，有，，故，即，得； 分两种情况：当在左侧时，由，得，，而平分，可得，，又，故，可得；当在右侧时，同理可得，即可得，． 【详解】（1）解：， 证明： 如图： ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）解： 与的位置关系发生变化，，理由如下： 反向延长射线交于，过作，如图， ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； 当在左侧时，如图： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在右侧时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 18．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，点、点分别是的边、上的点，连接并延长到，使得，若，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论： ； ； 平分； ； ．其中结论正确的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的判定和性质，可判断，设，，，由角平分线的定义可得， ， 可判断． 【详解】解：∵， ∴，故正确； ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∴， 又∵， ∴， ∴平分，故正确； 在延长线上取点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 设，，， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵ 平分， ∴， ∴， 即， 将代入，得， 解得， ∴，故不正确． 压轴题型十 利用平移的性质求解 19．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 20．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， 故选：C． 压轴题型十一 平移（作图） 21．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，过点作轴，过点作轴，交点为，且，满足，，满足．      (1)求出，，三点的坐标； (2)将进行适当的平移得到，使平移后的的顶点落在轴上，顶点落在轴上，在平面直角坐标系中画出相应的，并直接写出点，的坐标； (3)在（2）的条件下，点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，，两点分别从点、点同时出发，点以每秒2个单位长度的速度从点沿线段向点运动，点以每秒1个单位长度的速度从点沿线段向点运动，设点，的运动时间为秒，当线段的长为2时，求出点与点的坐标． 【答案】(1)，， (2)图见解析，， (3)，或， 【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，进行求解可得，，，，根据平行线的性质即可求得； （2）根据（1）中求得的，，结合平移后的的顶点落在轴上，顶点落在轴上，即可得到向右平移6个单位，向上平移5个单位，即可求解； （3）根据点，相遇前和相遇后进行分类讨论即可， 【详解】（1）解：∵，， 且，，，， ∴，，，， ∴，， ∵轴，轴， ∴． （2）解：如图所示：          由（1）中可知：，， ∵平移后的的顶点落在轴上，顶点落在轴上， ∴点向右平移6个单位，向上平移5个单位得到点， 点向右平移6个单位，向上平移5个单位得到点, ∴，． （3）解：∵， ∴， ∴，，， 当点，未相遇时， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点，相遇后， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，，或，． 22．（24-25七年级下·吉林·月考）综合与实践 问题背景 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为；点的坐标为，点的坐标为，将线段沿射线方向平移，平移距离为线段的长度． 动手操作 （1）画出线段平移后的线段，直接写出的对应点的坐标； 探究证明 （2）连接，试探究、的数量关系，并说明理由； 拓展延伸 （3）若点在线段上，连接、，且满足，请求出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析，；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平移作图，确定平移后点的坐标，平移的性质，平行线的性质．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）利用、点的坐标确定平移的方向与距离，从而得到点坐标； （2）利用平移的性质得到，，再根据平行线的性质得，，所以； （3）先由得到，，结合，等量代换可得出． 【详解】（1）解：如图，为所作， 线段的长度为， 即向右平移个单位， 所以点坐标为． （2）解：．理由如下： ∵线段是由平移得到的， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 压轴题型十二 已知一个数的平方根，求这个数 23．（24-25七年级下·云南昆明·期中）一个正数的平方根分别是和，则的值是________． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再代入求． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 整理得：， 解得：， 当 时， ，， ∴ ， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值； （2）将（1）中的值代入，求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ， ； ，即 的整数部分是3， ， 解得 故答案为：，， （2）把代入， 3的平方根是， 故答案为：． 压轴题型十三 利用算术平方根的非负性解题 25．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根是1． 26．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据非负性解得x、y的值，再计算． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ． 压轴题型十四 估计算术平方根的取值范围 27．（25-26七年级下·四川成都·期末）在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的估算和应用，关键是通过对数的规律的探究，表达出前个数中的平方数的个数． ①先列出原始正整数序列：，识别其中的平方数，去除平方数后，按顺序计数到第项，直接得到即可； ②设第个非平方数，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为．根据题意可得方程，变形为，则的整数部分为，尝试，代入得，验证满足条件，然后计算附近的平方数：，，得到的最小值即可． 【详解】解：将正整数从小到大排成一排为，其中平方数为，，，．去除平方数后，剩余数为 由此可知； 设第个非平方数为，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为． 令，则，则的整数部分为，且， 当时，，的整数部分为，满足条件，故． ∵， ∴，即， ，，且， 的最小值为； 故答案为：；． 28．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在一次活动课中，小华同学用一根绳子围成一个长与宽之比为，面积为的长方形． (1)求长方形的长和宽； (2)她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于．”请你判断小华的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)长为，宽为 (2)小华的说法错误，理由见解析 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，利用平方根的含义解方程，以及无理数的估算，理解题意，准确的列出方程或代数式是解本题的关键． （1）根据题意设长方形的长为，宽为，则，再利用平方根的含义解方程即可； （2）根据题意可得正方形的边长为，再比较与的大小即可． 【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为， ∴， 解得：，（舍）， ∴， 答：长方形的长为，宽为． （2）解：正方形的边长为， ∴正方形的边长与长方形的宽之差为：， ∵， ∴，即， ∴围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差小于，小华的说法错误． 压轴题型十五 与算术平方根有关的规律探索题 29．（24-25七年级下·贵州遵义·月考）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是． 30．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 压轴题型十六 算术平方根的实际应用 31．（2024·河北邯郸·三模）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 32．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）完成以下问题 (1)【发现问题】如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形．所得到大正方形的面积为______，大正方形的边长为______． (2)【知识迁移】小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开裁剪，拼成如图2所示的一个大正方形．仿照上面的探究方法求空白部分正方形的面积及其边长x的值； (3)【拓展延伸】为响应节约资源的号召，赵师傅将两块废弃的正方形铁片重新加工成一个面积为平方米的大正方形铁片用于制作零件．已知原来其中一块正方形铁片的边长是米，问另一块正方形铁片边长比原来拼成的大正方形铁片边长少多少米？ 【答案】(1)2； (2)面积为5，边长为 (3)少米 【分析】（1）根据大正方形的面积两个边长为1的小正方形的面积，求解即可． （2）空白部分面积大正方形的面积4个直角三角形的面积求得，再根据平方根的定义求解． （3）根据大正方形铁片的面积得出大正方形铁片的边长，再根据两个正方形铁片的面积之和为大正方形铁片的面积求出另一块正方形铁片的边长，最后作差即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积， 设大正方形的边长为， 则， 解得：或（舍）， ∴大正方形的边长； （2）解：由题意可知，大正方形的边长为． 根据题意可得， 解得：或（舍）， 即：空白部分正方形的面积为5，边长； （3）解：∵大正方形铁片的面积为平方米， ∴大正方形铁片的边长为米， 设另一片正方形铁片边长为a米， 根据面积关系可得：， 解得：；（舍）， ∵大正方形边长为1.6米，另一块正方形边长为米． ∴（米）， 即：另一块正方形铁片边长比拼成的大正方形边长少米． 压轴题型十七 已知一个数的立方根，求这个数 33．（25-26七年级下·山东泰安·期末）若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 34．（25-26七年级下·云南楚雄·月考）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 【答案】C 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，从而求出x的值，根据立方根的定义求出y的值，进而可求的值． 【详解】∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵y的立方根是2， ∴， ∴． 故选：C． 压轴题型十八 与立方根有关的规律探索 35．（25-26七年级下·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解： ， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 或， 解得或1或3． 36．（24-25七年级下·四川南充·月考）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 压轴题型十九 算术平方根和立方根的综合应用 37．（25-26七年级下·广东梅州·月考）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 38．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81． 【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解； （2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3; ②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8， ∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1． （2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27 （ⅱ）①； ②；③． 故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81． 压轴题型二十 无理数的大小估算 39．（25-26七年级下·广东广州·月考）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)2；6 (2)1或2或3 (3)的值为 (4)①；② 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）①同（1）逐项化简，然后求解即可； ②由①归纳规律，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且为整数， ∴或或． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点是的中点， ∴点C表示的数为， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即的值为． （4）解：① ； ②由①得， ， ， ； ∵，， ∴ ． 40．（25-26七年级下·河南周口·月考）若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记 ，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， 故选：B． 压轴题型二十一 无理数整数部分的有关计算 41．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，，这时候结果为．只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大值与最小值之差_____． 【答案】239 【分析】本题主要考查对新定义运算的理解和运用，以及对平方根和取整运算的掌握．解题关键在于理解根整数的定义，通过分析连续求根整数运算的过程，找出满足进行次连续求根整数运算后结果为的正整数的取值范围，进而确定最大值和最小值．只需找到进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数的最小值和最大值，并计算其差值即可求解． 【详解】根据操作定义，进行次操作后结果为，且前两次操作结果均不为．第二次操作结果必须为2或3． 当时，则第一次操作结果，对应的取值范围为： 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 综上，，且为整数． 当时，，对应的取值范围为： 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 综上，，且为整数． 因此，所有满足条件的的取值范围为，最小值为，最大值为，差值为． 故答案为． 42．（25-26七年级下·江西吉安·月考）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根的概念和平方根的性质．解题关键是一个正数的两个不同的平方根的和为0；一个数算术平方根的整数部分的确定方法：找到与被开方数最接近的两个平方数，较小的这个平方数的算术平方根即是它的整数部分；压轴点是一个正数的算术平方根只有一个，它的平方根有两个，且一正一负． （1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出x的值，把x的值代入或，得到m的一个平方根，可求出m的值；由，即，得到，求出y的值； （2）将（1）中的y值代入，求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得，． 解得． ∴． ∴． ，即 的整数部分是3． ． 解得． 故答案为：． （2）解：把代入，． 故的平方根是． 压轴题型二十二 实数的性质 43．（24-25七年级下·重庆江津·期中）下列说法正确的有（      ） ①若与的值互为相反数，且，则；    ② 若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③ 若关于x，y的二元一次方程组，不论a为何值，x，y满足关系式； ④已知关于的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查立方根，实数的性质，根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据立方根的定义，实数的性质，加减法解方程组，逐一进行判断即可． 【详解】解：若与的值互为相反数，且， 则：，解得：， ∴；故①错误； ∵，解得：， ∵是整数，均为整数， ∴， ∴， ∴满足条件的所有的值的和为；故②正确； ∵， ，得：；故③错误； ∵，解得：， 当互为相反数时，， 即：，此方程无解， 故无论取何值，和的值都不可能互为相反数．故④正确； 综上，正确的有2个； 故选B． 44．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）已知点，其中，，，且、、、均为整数，那么在平面直角坐标系中点的可能位置共有__________个. 【答案】 【分析】先根据，，、、、均为整数，得，，再根据，分类讨论即可． 【详解】解：∵，、、、均为整数， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或或或或， 当时，9个， 当 或或或或或2或3时，（个）， 当时，9（个）， ∴共有（个）， 故答案为． 压轴题型二十三 实数与数轴 45．（25-26七年级下·山东德州·月考）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴和题意求得、、、，以此规律即可解答． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 46．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 【答案】(1) (2)见详解 (3)，纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合等面积法以及算术平方根的应用，进行分析，即可作答． （2）结合题意，作出腰长为1的等腰，腰长，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点，即为点M， （3）观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是，再根据面积公式列式，然后计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积， ∴大正方形的边长； （2）解：如图所示：作出腰长为1的等腰，腰长，连接，再以点为圆心，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点，即为点M， （3）解：由（1）得2个边长为1的正方形拼接成边长为的大正方形，此时小正方形的对角线就是大正方形的边长，故等腰直角三角形的斜边与腰长的比值为， 观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是， 设纸的宽为毫米，长为毫米， ∵纸面积平方毫米， ∴， 则， ； 答：纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 压轴题型二十四 实数的大小比较 47．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 48．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴， 故选：． 压轴题型二十五 实数的混合运算 49．（25-26七年级下·全国·假期作业）若是实数，且，，那么的值是____． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式代入消元法、配方法的代数变形技巧、非负数的性质(若干非负数的和为0则各非负数均为)，同时综合考查了含二次根式的实数运算，是代数变形与非负数性质结合的典型题型．由条件 和，将代入第二式得．考虑关于的二次部分，其判别式为，故，且等号成立时．由此确定和的值，进而计算． 【详解】解：∵ 代入，得， 即， ∵， ∴， ∵是实数， ∴，， ∴，， ∵两个非负数之和为，则两者必同时为， ∴且， 解得， ∴代入，得， ∴， 故答案为：． 50．（25-26七年级下·全国·周测）阅读下列解题过程，并解答提出的问题． 设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得．∵a，b都是有理数，∴，也是有理数．由于是无理数，∴，，∴，，∴． 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】或0． 【分析】本题考查了有理数与无理数的性质，掌握有理数与无理数组成的等式中，有理数部分和无理数部分的系数需分别为是解题的关键． 先把等式整理成有理数部分+无理数部分的形式，再根据有理数和无理数的性质，让有理数部分和无理数部分的系数分别为，从而解出的值，最后计算． 【详解】解：由题意得：． ∵都是有理数， ∴、也是有理数． 由于是无理数， ∴，， ∴，． 故或． 压轴题型二十六 程序设计与实数运算 51．（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是________． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 52．（23-24七年级下·天津南开·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为时，输出的的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，解题的关键是掌握相关的知识．根据数值转换器，输入进行计算即可． 【详解】解：第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，而是有理数， 第次计算得：，是无理数， 故选：D． 压轴题型二十七 新定义下的实数运算 53．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的个小写字母依次对应这个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：，将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字，比如明文字母为，，所以明文字母对应的密文字母为若密文是，则对应的明文是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值， 先确定密文字母对应的数字，再代入关系式，求出A的值，然后确定明文对应的字母即可． 【详解】解：因为密文字母为d，对应的数字是4， 所以， 解得，其对应的明文字母是g； 因为密文字母为h，对应的数字是8， 所以， 解得，其对应的明文字母是o； 因为密文字母为o，对应的数字是15， 所以， 解得，其对应的明文字母是d， 所以对应的明文是． 故选：B． 54．（25-26七年级下·重庆·月考）对于一个各位数字均不为零的四位自然数，若其满足千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称为“平衡数”．规定其前两位数字组成的两位数为，后两位数字组成的两位数，并定义．已知一个“平衡数”，且，则这个四位数为________；两个“平衡数”．若是一个完全平方数，则的最大值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，整式的加减运算，理解新定义的运算：“平衡数”定义是解题的关键． 对于第一部分，由平衡数条件和列出方程，求解和得到；对于第二部分，由平衡数条件和为完全平方数推出，再求的最大值，通过枚举和的可能值，得到最大值为． 【详解】解：对于，由平衡数定义，， 即； 又， 所以， 代入，得， 即， 解得，，故． 对于和， 由平衡数定义，满足，即； 满足，即， 计算， 代入，得； ， 代入，得， 所以， 设其为完全平方数，则必须是的倍数，且范围在到之间， 故，即。， 代入，得， 可取、、，对应为、、， 且限制的最大值， 当，，，最大为， 此时， 其他情况均小于此值，故的最大值为． 故答案为：；． 压轴题型二十八 实数运算的实际应用 55．（2023·四川攀枝花·中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 【答案】(1)组分组积分赛对阵表见解答过程； (2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； (3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可； （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案； （3）分组积分赛48场，决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场，相加即可． 【详解】（1）组分组积分赛对阵表：    阿根廷    沙特    墨西哥    波兰    阿根廷    阿根廷：沙特    阿根廷：墨西哥    阿根廷：波兰    沙特    沙特：阿根廷    沙特：墨西哥    沙特：波兰    墨西哥    墨西哥：阿根廷    墨西哥：沙特    墨西哥：波兰    波兰    波兰：阿根廷    波兰：沙特    波兰：墨西哥 （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场， 一共踢了（场）， 本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； （3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共（场）； 决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场； 一共踢了（场）； 本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 56．（24-25七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 压轴题型二十九 与实数运算相关的规律题 57．（25-26八年级上·湖南永州·期中）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是________________ ； ②与表示的两数的平方和为________ ． 【答案】 【分析】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． 【详解】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 58．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 压轴题型三十 求点到坐标轴的距离 59．（25-26七年级下·湖南·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上． (1)求、两点坐标． (2)若点以每秒2个单位长度从点出发向点运动，（点到达点时运动停止），，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)；或 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求出a的值即可得到答案； （2）过点作于点，根据等面积法求出的长，再根据可    得答案； （3）根据（2）可求出的面积，则可求出的长，根据点C的坐标得到点B的坐标和的长，则可求出的面积，进而求出和的面积，根据（2）所求可得t的值，再根据三角形的面积公式求出点M的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ，，， ，； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ∵，，， ， 解得， 由题意得， ∴， ； （3）解：如图所示， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵轴于点B，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（2）可知， ∴， 解得； ∵， ∴， ∴或， ∵点M的横、纵坐标相等， ∴点M的坐标为或． 60．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点． (1)求点、的坐标； (2)点坐标为，试在轴上找一点，使，求出点的坐标； (3)问题探究：如图2，点是轴负半轴上一动点（点不与点重合），过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的度数． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)不变， 【分析】（1）根据平方和算术平方根的非负性，即可求解； （2）先过点作垂足为，过点作轴，求出，，设点，然后分类讨论：①当点在点的上方时，分别求出，，则，从而列出方程，求解即可；②当点在点的下方时，分别求出，，则，从而列出方程，求解即可； （3）过点作，根据平行线基本事实的推论和平行线的性质，易得，，，从而，再根据三角形的三个角的和为，易得，最后根据角平分线的定义，等量代换即可求出． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，； （2）解：过点作，垂足为，过点作轴，垂足为， ，，， ，， ， ， 设点， 当点在点的上方时，即，如图①， 由图可知，， ，，，轴， ，，， ，， ， ， ，解得， ； 当点在点的下方时，即，如图②， 由图可知，， ，，，轴， ，，， ，， ， ， ，解得， ， 综上可知，点的坐标为或； （3）解：不变，，理由如下： 如图2，过点作， ， ，， ， ， ， ， ， ， 轴轴，即， ， ， 平分，平分， ， ， 在点的运动过程中，的度数不发生变化，且． 压轴题型三十一 已知点所在的象限求参数 61．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若点的坐标为，则称点N和点互为“对分点”．若图形W上存在一点T且点T的“对分点”恰好也在图形W上，则称图形W为“对分图形”．    已知点，，，，． (1)①点A的“对分点”的坐标是______； ②若点A的“对分点”是点B，则点的坐标是______． (2)点（其中b为非零整数）与线段组成的图形记为图形U，图形U是“对分图形”，则所有满足条件的点C坐标为______． (3)已知点，，将线段，，，首尾顺次连接，组成正方形，正方形与线段组成的图形记为图形V．若图形V是“对分图形”，则k的取值范围为______． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)或 【分析】本题考查了新定义、平面直角坐标系，理解“对分点”的定义是解题的关键． （1）①根据“对分点”的定义即可求解；②根据“对分点”的定义即可求解； （2）由题意得，点的“对分点”在线段上，得出点的坐标是，再对点的位置分情况讨论即可解答； （3）分别求出点、的“对分点”、，根据图形V是“对分图形”，得出正方形与线段有交点，再对点、的位置分情况讨论，结合图形即可解答． 【详解】（1）解：①， 点A的“对分点”的坐标是． 故答案为：； ②点A的“对分点”是点B，， 点B的坐标为， 又， ，， 解得：，， 点的坐标是 故答案为：． （2）解：图形U是“对分图形”，线段不是“对分图形”， 点的“对分点”在线段上， 点的坐标是， b为非零整数 是整数，且， 若点与点重合，则，解得， ； 若点与线段的中点重合，则，解得， ； 若点与点重合，则，不符合题意，舍去； 所有满足条件的点C坐标为或． 故答案为：或． （3）解：点，， 点的“对分点”坐标为，点的“对分点”坐标为， 图形V是“对分图形”，正方形和线段不是“对分图形”， 正方形与线段有交点， 当点在上，则；当点在上，则； 当点在上，则，解得；当点在上，则，解得； 结合图形可得，k的取值范围为或． 故答案为：或． 62．（24-25七年级下·浙江台州·期末）对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．      (1)已知点，，，． ①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________； ②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________； ③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①A，C；②或；③ (2) 【分析】（1）①分别期初四点到两坐标轴的距离之和，然后根据“和合点”的概念求解即可； ②，然后根据A、G两点为“和合点”列方程求解即可； ③根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”列方程求解即可； （2）首先求出点R到两坐标轴的距离之和，然后根据R，S两点为“和合点”求解即可． 【详解】（1）①∵，，， ∴点A到两坐标轴的距离之和为， 点B到两坐标轴的距离之和为， 点C到两坐标轴的距离之和为， 点D到两坐标轴的距离之和为， ∵点到两坐标轴的距离之和为， ∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C． 故答案为：A，C； ②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上， ∴设 ∴点G到两坐标轴的距离之和为 ∵A、G两点为“和合点” ∴，解得 ∴点G的坐标为或； ③∵点在第二象限，点在第四象限， ∴，，，， ∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”， ∴，即 解得； （2）∵点是线段上的一动点，且满足， ∴ ∴点R到两坐标轴的距离之和为 ∵R，S两点为“和合点”， ∴． 压轴题型三十二 坐标与图形综合 63．（24-25七年级下·江苏南通·月考）在直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，这样的点称为“整点”．若已知点，，且满足． (1)求点A、B的坐标； (2)若点是第二象限内的整点，求以A、B、O、C为顶点围成的四边形面积； (3)若点D为平面直角坐标系二、四象限角平分线上的一点，坐标为且，以A、B、O、D为顶点围成的四边形内有n个整点（不包含边界上的整点）； ①若，则n= ； ②若时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)4 (3)①；②或 【分析】此题考查了非负数的性质，坐标系中点的特征，四边形面积的计算，根据题意理解整点的定义是解题关键． （1）根据非负数的性质得到，解出、，求出点A、B的坐标； （2）先求出，再将四边形的面积分为与的面积和求解； （3）①找到点所在的位置，找到A、B、O、D为顶点围成的四边形求出； ②分别讨论与时，点所在的不同位置进而找到m的取值范围． 【详解】（1）解：由于，， ，， 即， 解得，， 故点坐标为，． （2）由（1）知，， 则为， A、B、O、C为顶点围成的四边形如图所示， 则四边形的面积为与的面积和， 故． （3）①时，， A、B、O、D为顶点围成的四边形如图所示， 此时四边形内有4个整点， 故； ②若时， 当时，由①知，要使， 则点、、需在四边形内，点在四边形外或四边形边界上， 即点在如图所示的点处时，， 点在上，则， 由于点 在二、四象限角平分线上，故， ，即为等腰直角三角形， 过点向坐标轴作垂线，可知点的坐标， 故点，则； 当时，由①知，要使， 则点、、需在四边形内，点在四边形外或四边形边界上， 如图所示，当点 分别在、时， 不在四边形内，不符合题意； 当点 分别在、时， 在四边形内，符合题意； 当点 在时，在四边形内，不符合题意； 故 要满足要求，需； 综上所述，m的取值范围为或． 64．（24-25七年级下·天津河西·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为，长方形，点，，．线段交轴于点，点是长方形边上的两个动点．点从点出发以每秒1个单位长度沿的路线做匀速运动，同时点也从点出发以每秒2个单位长度沿的路线做匀速运动．当点运动到点时，两动点均停止运动．设运动的时间为秒，三角形的面积记为，三角形的面积记为，四边形的面积记为．    (1)当时，求的值； (2)当为何值时，? (3)若，求的取值范围．（直接写出答案即可） 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形、不规则四边形的面积，确定点，的位置是解决第问的关键；正确进行分类，考虑到所有可能的情况是解决第问的关键． （1）当时，可得点，，过点作轴于点根据三角形的面积公式分别求出，，进而得出的值； （2）根据点、运动过程中，三角形不同的形状计算面积列出方程即可解答； （3）设点运动的路程为，则点运动的路程为分五种情况进行讨论：；；；； 针对每一种情况，首先确定出对应范围内点，的位置，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，点，， 如图：过点作轴于点．   ，， ； （2）当 时，点在线段上，点在线段上， ，， 此时， ∴， 当 时，点在线段上，点在线段上， ，， 此时， ∴， 当 时，点在线段上，点在线段上， 此时， ∴，即，解得， 时，点在线段上，点在线段上，此时. 综上所述：当时，。 （3）解：设点运动的路程为，则点运动的路程为． 当 时，点在线段上，点在线段上， 此时四边形不存在，不合题意，舍去． 当时，点在线段上，点在线段上． ， ， ，解得． 此时； 当时，点在线段上，点在线段上． ， ， ，解得，不符合题意． 当时，点在线段上，点在线段上． ， ， ，解得． 此时． 当时，点是线段的中点，点与重合，两动点均停止运动． 此时四边形不存在，不合题意，舍去． 综上所述，当时，或． 压轴题型三十三 用坐标表示地理位置 65．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）图中标明了李明家附近的一些地方． (1)写出书店和邮局的坐标； (2)某星期日早晨，李明同学从家里出发，沿，，，，，的路线转了一下，又回到家里，在如图依次连接他经过的地方，你得到图形的面积是______． 【答案】(1)书店，邮局； (2)． 【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键． 根据坐标的概念结合图形即可得； 由图形及其坐标得出具体的位置画出图形，把图形补充成一个的正方形，利用割补法计算面积即可． 【详解】（1）解：由图可知，书店的坐标为，邮局的坐标为； （2）解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形， 把图形补充成一个的正方形， 其面积为： ． 故答案为：． 66．（24-25七年级下·北京西城·期中）中山公园位于天安门西侧，原为辽、金时的兴国寺，元代改名万寿兴国寺．明成祖朱棣兴建北京宫殿时，按照“左祖右社”的制度，改建为社稷坛．这里是明、清皇帝祭祀土地神和五谷神的地方．1914年辟为中央公园．为纪念孙中山先生，1928年改名中山公园．如图是中山公园平面图，其中点是孙中山先生像，点是来今雨轩，点是中山堂．分别以水平向右、竖直向上的方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，下列对各景点位置描述：      若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为： 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为； 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为； 若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为． 其中正确的描述有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于 ，每个格子距离为1，对于④，每个格子距离为2，再平移点即可得出结论． 【详解】解：点与点水平距离为6格，竖直距离为格， 点与点水平距离为2格，竖直距离为格， 对于，若，每个格子距离为1时，则的坐标为，故正确； 对于，若，每个格子距离为1时，则的坐标为，故正确； 对于，若，每个格子距离为2时，则的坐标约为；故错误； 对于，若，每个格子距离为2时，则的坐标约为．故正确． 一共有3个正确． 故选：C． 压轴题型三十四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 67．（24-25七年级下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点M作直线平行于y轴． (1)如果线段与x轴有公共点，求b的取值范围； (2)若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出a、b的值： (3)若直线外一点到这条直线的距离小于2，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点A__________（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”； ②将平移到，平移后点A、点B、点C分别对应点D、点E、点F，点F刚好落在直线上，点E落在y轴上且纵坐标为，如果的面积为6，过点A作直线平行于x轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①是，②点B不是否为直线的“密接点”，理由见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化（平移），三角形的面积，“密接点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行求解． （1）根据线段与轴有公共点，得到点B在轴下方，点C在轴上方，据此列不等式求解即可； （2）根据线段通过平移能够与线段重合，得到，据此列式求解即可； （3）①根据“密接点”的定义求解即可；②根据平移变换的定值分别求出的值，可得结论． 【详解】（1）解：∵线段与轴有公共点，则点B在轴下方， ∴， 点C在轴上方， ∴，即， ∴； （2）解：∵线段通过平移能够与线段重合， ∴，即， 解得； （3）解：①∵点到直线的距离为 ∴点是直线的“密接点” 故答案为：是； ②点不是的“密接点”，理由如下： ∵点刚好落在直线上， ∴向右平移的距离为2， ∴点的横坐标为，点的横坐标为4， 由题意可得：，解得， 点的纵坐标为： ∵的面积为6， ∴， 解得或， 当，时，，，此时点到的距离为2，则点不是的“密接点”； 当，时，，，此时点到的距离为4，则点不是的“密接点”； 综上，点不是的“密接点”． 68．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，点，点，点，点，点，其中．三角形的面积为．则以下说法错误的是（   ） A．点F在y轴上 B．的长度为4 C．点C到直线的距离为3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，根据点的坐标可得平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此可得，可求出，则，，据此可判断A、B；根据三角形的面积为得到，解方程即可判断C、D． 【详解】解：∵将三角形进行平移，平移后点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，点，点，点，点，点， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴， ∴， ∴， ∴，，即，故A正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴三角形的面积为 ∴， ∴点C到直线的距离为，故C错误，符合题意； ∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 压轴题型三十五 已知平移后的坐标求原坐标 69．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，点，，且． (1)求的值． (2)平移线段，点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒． ①如图，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；理由见解析；②点D的坐标为或 【分析】（1）由算术平方根、绝对值的非负性知，解得，； （2）根据题意，，沿y轴负方向平移2个单位，得，，①，，  ，，于是， 可证.   ② 时，，，，点D不存在.当，如图1，点D在三角形内部，此时，不符合题意.当时，如图2，点D在第四象限，设，由①得，得，连接，则，解得；当时，如图3，点D在第二象限，得，连接OD，则，解得． 【详解】（1）解：由可知， ，， 解得：，； （2）解：依题意，平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上， ∴，沿y轴负方向平移2个单位得到， ∴，     ①. 理由如下：由题意得，， ∵， ，，     ，    ， ，         ， 即.    ②当 时，， 可以看作由向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到， 此时，点D不存在； 当，如图，点D在三角形内部，此时，不符合题意；    当时，如图，点D在第四象限，    设，由①得， ， ， 连接， ， ， ， ，， ； 当时，如图，点D在第二象限，    ， ， 连接， ， ， ， ，， ； 综上，点D的坐标为或． 70．（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 【答案】（1）8.5；（2）见解析；（3），平行且相等 【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积； （2）利用点P和P1的特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律作图即可； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M，从而得到M点的坐标，然后根据平移的性质判断线段MM1，PP1之间的关系． 【详解】解：（1）△ABC的面积＝； （2）如图，△A1B1C1为所作； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M点的坐标为(0,6)， 由平移的性质知，MM1与PP1平行且相等． 故答案为：8.5，(0,6)；平行且相等． 压轴题型三十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 71．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是________． 【答案】 【分析】分析前几次运动的坐标，总结出横坐标、纵坐标分别对应的规律，再利用规律求解第次运动后的坐标． 【详解】解：先列出前几次运动后的坐标： 第次从原点运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， ①横坐标规律： 第次运动后的横坐标就是， ∴第次运动后的横坐标为． ②纵坐标规律： 纵坐标以为一个周期循环，周期长度为 余数为，对应周期中的第个值，即纵坐标为 ∴经过第次运动后，动点的坐标是． 故答案为：． 72．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的，使得四边形的面积等于，理由见解析 (3)为定值，故其值不会变化，理由见解析 【分析】（）利用绝对值与平方的非负性求出的值，即可求解； （）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （）分点在线段上，点在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点和点的坐标分别为和； （2）存在． 理由：过作的延长线，垂足为，如图所示： 由题意得点和点的坐标分别为和， ∴ ， 设点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， 存在这样的，使得四边形的面积等于； （3）不变．理由如下： 当点在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过作的延长线，垂足为 ，连接， ∵，， ∴ ， 当点运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ∴为定值，故其值不会变化． 压轴题型三十七 中点坐标 73．（25-26七年级下·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m，则有以下结论： ①当，点B是线段的中点； ②无论m取何值，都为定值； ③存在唯一一个m的值，使得； ④存在唯一一个m的值，使得． 其中正确的结论是_________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标与线段长度的计算，根据点的坐标，分别计算相关线段长度，并判断各结论是否正确，①通过计算中点坐标验证；②直接计算长度；③④通过解绝对值方程判断解的个数． 【详解】解：点，，，轴，点Q的纵坐标为m，故， ①当时，，，，线段的中点坐标为，与点B坐标相同，故B是的中点，①正确； ②，为定值，与m无关，故②正确； ③，，设，即，解得（唯一解），故③正确； ④设，即，解得或，有两个解，故④错误． 综上所述，正确结论为①②③． 故答案为：①②③． 74．（24-25七年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，将过点且与轴垂直的直线记为直线，对于图形，给出如下定义：将图形关于直线对称后，再向右平移个单位长度，得到的图形记为，称图形为图形的“型对照变换图形”． (1)点的“型对照变换图形”的坐标为________； (2)已知点的“型对照变换图形”为点． ①点的坐标为________（用含，的式子表示）； ②当点与点关于第一、三象限的角平分线对称时，________；________； (3)已知，作，其中，，，，，三点顺时针排列，并且，两点的横坐标均不超过．的“型对照变换图形”为．当线段与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②， (3) 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，中点坐标公式，解题的关键是理解“型对照变换图形”的定义． （1）根据“型对照变换图形”的定义求解即可； （2）①根据“型对照变换图形”的定义求解即可；②根据点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为，列方程即可求解； （3）当时，，可得，，当时，则，可得，，根据线段与第一、三象限的角平分线存在交点，列不等式即可求解． 【详解】（1）解：点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为， ， 故答案为：； （2）解：①点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为， ； ②点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为， ， 解得：； （3）解： ，，，，，三点顺时针排列， 当时，， ∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，， 线段与第一、三象限的角平分线存在交点， ，， 解得：， 当时，则， ∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，， 线段与第一、三象限的角平分线存在交点， ∴，， 解得：， ∴． 压轴题型三十八 点坐标规律探索 75．（25-26七年级下·重庆·月考）规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，…按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出一定数量的坐标，可得出点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每6个一循环，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，， ，，，，，， ∴点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每6个一循环， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同为， ∴点的坐标为． 76．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是_____，点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据点的运动规律进行求解． 【详解】解：由图知，点，点的坐标是； 根据题意得，点的运动规律呈循环周期，循环周期为7，且依次向右平移一个单位长度，即横坐标依次增加一个单位长度， 周期内纵坐标依次为， ， ∴点的坐标是． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $