精品解析：宁夏自治区固原市第四中学2024-2025学年下学期第二次质量教育八年级数学试题

海亮教育·固原四中2024-2025学年（下）第二次教学质量检测八年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不能做为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1.5，2，3 B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 9，12，15 3. 直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边上的中线长是（ ） A. 26 B. 13 C. 8.5 D. 6.5 4. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 5. 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （　 　） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 6. 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ） A. 若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B. 若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C. 若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D. 若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 7. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 8. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 计算：______． 10. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 _______． 11. 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若AD＝4cm，则OE的长为____________ cm． 12. 如图，菱形ABCD的对角线AC＝3cm，BD＝4cm，则菱形ABCD的面积是_____． 13. 如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是_____________． 14. 如图，每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，且点为边的中点，则线段的长为________． 15. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是 _______ 16. 如图，四边形是一张放在直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，，在边上取一点M，将纸片沿翻折，使点B落在边上的点N处．求M点的坐标是______． 三、解答题（17-22每题6分，23-24每题8分，25-26每题10分，共72分） 17. ． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知，若小方格边长均为 （1）求的面积； （2）判断的形状，并说明理由． 20. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在中，D，E分别是的中点，，平分．求证：四边形是菱形． 22. 如图，在菱形中，，点是对角线的中点，过点作于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 23. 如图，平行四边形的对角线相交于点，是等边三角形，． （1）求证：平行四边形是矩形； （2）求四边形的面积． 24. 如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点． （1）求证：≌； （2）求的大小． 25. 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式． （1）已知在中，，，，且a，b，c满足． ①______，______，______． ②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出的面积． （2）如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积． 26. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，且AD＝12cm，AB＝8cm，DC＝10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1）BC＝　 　cm； （2）当t＝　 　秒时，四边形PQBA成为矩形． （3）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海亮教育·固原四中2024-2025学年（下）第二次教学质量检测八年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A.是最简二次根式，此选项符合题意； B.，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意； C. 被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意； D.，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，此选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列各组数中，不能做为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1.5，2，3 B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 9，12，15 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可． 【详解】解：A、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，故符合题意； B、72+242=252，能构成直角三角形，故不符合题意； C、62+82=102，能构成直角三角形，故不符合题意； D、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边上的中线长是（ ） A. 26 B. 13 C. 8.5 D. 6.5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵直角三角形中，两直角边分别是12和5， ∴斜边为：， ∴斜边上的中线长为×13＝6.5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 4. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】矩形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定． 【详解】解：如图，连接AC、BD 在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB ∴EH=BD 同理FG=BD，HG=AC，EF=AC 又∵在矩形ABCD中，AC=BD ∴EH=HG=GF=FE ∴四边形EFGH为菱形 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分． 5. 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （　 　） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， ∵AE平分∠BAD交BC边于点E， ∴∠BAE=∠EAD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=5cm， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=3cm， ∴EC=BC-BE=5-3=2cm． 故选B． 6. 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ） A. 若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B. 若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C. 若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D. 若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∵OA=OD， ∴AC=BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 8. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，根据正方形的对角线互相垂直平分可得ND=NB，由三角形三边关系可得NB+NM≥BM，再由勾股定理求得BM即可； 【详解】解：如图，连接BN，BD，BM，BM交AC于点E， ABCD是正方形，则AC、BD互相垂直平分， ∴ND=NB， 当点N与点E不重合时，△NBM中NB+NM＞BM， 当点N与点E重合时，NB+NM=BM， ∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值为BM， ABCD是正方形，则BC=CD=8，∠BCD=90°， ∴CM=CD-DM=8-2=6， ∴BM=， ∴DN+MN的最小值为10， 故选： C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 10. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可求解． 【详解】解：如图： 由图可知：， ∵数轴上点A所表示的数为a， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图是解此题的关键． 11. 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若AD＝4cm，则OE的长为____________ cm． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴OA=OC， ∵点E是CD的中点， ∴CE=DE， ∴OE是△ACD的中位线， ∵AD=4cm， ∴OE=AD=×4=2(cm) 故答案为：2． 12. 如图，菱形ABCD的对角线AC＝3cm，BD＝4cm，则菱形ABCD的面积是_____． 【答案】12cm2 【解析】 【分析】利用菱形的面积公式可求解． 【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分， ∵AC＝cm，BD＝cm， 则菱形ABCD的面积是cm2． 故答案为12cm2． 【点睛】此题主要考查菱形的面积计算，关键是掌握菱形的面积计算方法． 13. 如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是_____________． 【答案】14 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再由已知求出AO+BO的长，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO，AB=CD=6， ∵AC+BD=16， ∴AO+BO=8， ∴△ABO的周长=AO+OB+AB=8+6=14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算等知识；正确得出AO+BO的值是解题关键． 14. 如图，每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，且点为边的中点，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，利用勾股定理的逆定理证明，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点为边的中点 ∴， ∴， 故答案为． 15. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是 _______ 【答案】8+ 【解析】 【分析】根据程序框图的流程逐步进行计算，判断根式的大小即可解题． 【详解】解：输入n=，n(n+1)=2+15， 输入n=2+， n(n+1)= 8+15， ∴输出结果为8+． 【点睛】本题考查了实数比较大小，实数的计算，程序框图的应用，中等难度，读懂流程图，会判断根式的大小是解题关键． 16. 如图，四边形是一张放在直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，，在边上取一点M，将纸片沿翻折，使点B落在边上的点N处．求M点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，勾股定理等知识点，关键在于找到直角三角形．先根据勾股定理求出的长，从而可得出的长，设，则，根据勾股定理得出，即，求出，从而得出M点坐标． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据翻折可知，，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（17-22每题6分，23-24每题8分，25-26每题10分，共72分） 17. ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式、平方差公式，先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再相加减，即可作答． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将先括号内通分，去括号，除式分子分解因式，再约分化简，继而将a的值代入计算可得． 【详解】解：， 当时， 原式． 19. 如图，已知，若小方格边长均为 （1）求的面积； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）为直角三角形， 理由：∵小方格边长为， ∴， ， ， ∴， ∴为直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理， （1）运用割补法，正方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出的面积； （2）根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定； 掌握并熟练运用勾股定理和勾股定理逆定理知识是解题的关键 【小问1详解】 解：， ∴的面积为； 【小问2详解】 略 20. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】略 21. 如图，在中，D，E分别是的中点，，平分．求证：四边形是菱形． 【答案】 解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是的中位线，得出，结合，证明四边形是平行四边形，再得出一组邻边相等的平行四边形即为菱形，即可作答． 【详解】略 22. 如图，在菱形中，，点是对角线的中点，过点作于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是∶ （1）根据菱形的性质可得出，则可判定为等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可求解； （2）利用等边三角形的性质求出，根据线段中点定义求出，根据三角形内角和定理求出，最后根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23. 如图，平行四边形的对角线相交于点，是等边三角形，． （1）求证：平行四边形是矩形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）根据等边三角形的三条边都相等得出，根据平行四边形的对角线互相平分得出，，推得，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； （2）根据等边三角形的三条边都相等得出，根据矩形的对角线互相平分和四个角都是直角得出，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，根据矩形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵平行四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， 故四边形的面积为． 24. 如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点． （1）求证：≌； （2）求的大小． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ≌； （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用证明全等即可； （2）根据全等的性质，得出，再由，从而求出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）知≌， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关图形的性质和判定． 25. 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式． （1）已知在中，，，，且a，b，c满足． ①______，______，______． ②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出的面积． （2）如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积． 【答案】（1）①，，3；②的面积为 （2）的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查平方，绝对值，算术平方根的非负性，秦九韶公式与海伦公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①根据平方，绝对值，算术平方根的非负性得到答案即可； ②选择海伦公式进行计算即可； （2）根据题目给出的公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：①， ， 故答案为：，，3； ②； 【小问2详解】 解： ； 26. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，且AD＝12cm，AB＝8cm，DC＝10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1）BC＝　 　cm； （2）当t＝　 　秒时，四边形PQBA成为矩形． （3）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）18；（2）；（3）存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒． 【解析】 【分析】（1）作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的长，根据勾股定理可以计算EC的长度，根据BC＝BE+EC即可求出BC的长度； （2）当PA＝BQ时，四边形PQBA为矩形，根据PA＝QB列出关于t的方程，解方程即可； （3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程＝速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】解：根据题意得：PA＝2t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝12﹣2t， （1）如图，过D点作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，DE＝AB＝8cm，AD＝BE＝12cm， 在直角△CDE中，∵∠CED＝90°，DC＝10cm，DE＝8cm， ∴EC＝＝6cm， ∴BC＝BE+EC＝18cm． 故答案为18； （2）∵AD∥BC，∠B＝90° ∴当PA＝BQ时，四边形PQBA为矩形， 即2t＝18﹣3t， 解得t＝秒， 故当t＝秒时四边形PQBA为矩形； 故答案为 （3）△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当QC＝DC时，即3t＝10， ∴t＝； ②当DQ＝DC时，＝6， ∴t＝4； ③当QD＝QC时，3t•＝5， ∴t＝． 故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒． 【点睛】此题考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $