精品解析：2026年辽宁沈阳市第四十三中学九年级综合练习（五）数学A卷

九年级综合练习（五） 数学A卷 时长：55分钟 满分52分 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 1. 若单项式与是同类项，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项，熟知“所含字母相同，相同字母也相同的项，叫做同类项”是解题的关键． 根据同类项的定义可得，解答即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得：， 故答案为：． 2. 方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是去分母将分式方程转化为一元一次方程．先在方程两边同乘去分母，得到一元一次方程，再解得，最后检验，确认是原方程的解． 【详解】解： 方程两边同乘去分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 故答案为：． 3. 某校组织学生利用假期走进社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”和“绿色出行”两个宣传小组，如果小明和小颖每人随机选择参加其中一个宣传小组，则他们恰好选择同一个宣传小组的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有4种等可能的结果，小明和小颖恰好选到同一个宣传队的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“垃圾分类”“绿色出行”两个宣传小组分别记为A、B， 画树状图如下： 共有4种等可能的结果，小明和小颖恰好选到同一个宣传小组的结果有2种， ∴小明和小颖恰好选到同一个宣传小组的概率为， 故答案为：． 4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，对角线相交于点，将菱形绕点逆时针旋转至的位置．若，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形，，得到，，得到都是等边三角形，根据旋转的性质，，结合，得到三点共线，解答即可． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：菱形，， 故，，,， 故都是等边三角形，， 根据旋转的性质，， 故， 故三点共线， 故， 故． 故答案为：． 5. 如图，在矩形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查矩形的性质，尺规作图，解三角形，全等三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 由作图知，，，设，，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，，，再由等角的正弦值相等求解即可． 【详解】解：根据题意得，为的角平分线， ∴， ∵， ∴设， ∵矩形， ∴， 连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 三．解答题（共4小题） 6. 2025年4月23日是第30个世界读书日，联合国教科文组织将今年读书日的主题定为“阅读：通往未来的桥梁”，倡导通过阅读开拓视野、传递智慧，为人类共建更美好的明天．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了部分学生，对他们每周的课外阅读时间进行了调查，根据调查结果，绘制出如下两幅不完整的统计图． （1）求被调查的学生人数； （2）求扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角的度数； （3）该校共有800名学生，请估计该校每周课外阅读时间不少于的学生人数． 【答案】（1）40人 （2） （3）440人 【解析】 【分析】（1）观察统计图，找出阅读时间的学生人数和所占的百分比，然后求出总人数即可； （2）用乘“”所占的百分比即可； （3）用总人数乘每周课外阅读时间不少于的学生人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴被调查的学生人数为40人． 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计该校每周课外阅读时间不少于的学生人数为440人． 7. 2022年北京召开了冬奥会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方4米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动． （1）当运动员运动到距离点的水平距离为4米处时，其距离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） （2）在（1）的条件下，当运动员运动到距离点的水平距离为多少米处时，其与小山坡的竖直距离为1米？ 【答案】（1） （2）12米 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）设当运动员运动到距离点的水平距离为米处时，其与小山坡的竖直距离为1米，求出此时两个函数的函数值，相减等于1，列出关于的方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知抛物线：过点和， 将其代入得解得 ∴抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 设当运动员运动到距离点的水平距离为米处时，其与小山坡的竖直距离为1米， 依题意得， 整理得， 解得，（舍）， 故当运动员运动到距离点的水平距离为12米处时，其与小山坡的竖直距离为1米． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键． 8. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，直线与直线相交于点，为线段上一动点（不与点重合），过点作轴，垂足为．设点的横坐标为，与重叠部分的面积为．关于的函数图象如图2所示，小明在做题的过程中用墨弄污了一部分，请据此回答下面的问题： （1）利用图中残留的信息，推测的面积为________． （2）求直线的解析式； （3）若，求此时的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图的图象得到相关信息解答即可； （2）根据图的图象得到点A和B的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）先判断点的位置，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【小问1详解】 解：由图可得当时，； 【小问2详解】 解：由图可得当时，，此时与点重合， ∴，即点B的坐标为； 又∵，即， 解得， 把代入得到， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：解：过A点作轴于点D，则， ∴， 当时，， 由图象可得S随的增大而减小， ∴当时，点P在点A的右侧，此时， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）． 9. 如图1，在正方形中，，点P，Q分别在边，上，．将绕点A逆时针旋转，连接，，所在直线交直线于点M，连接． （1）与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，若点Q与M重合于左侧，且，求t的值； （4）若，当点M为中点时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，证明，得出，，令交于，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）过点作与的延长线交于点，则，由正方形的性质可得，，证明，得出，，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，即可得解； （3）过点作交于，由题意可得为等腰直角三角形，则，由等腰直角三角形的性质可得，结合题意得出，从而可得，，最后再由勾股定理计算即可得解； （4）由等腰直角三角形的性质可得，分两种情况：当时，连接、，作交于，作交于，作交于；当时，连接、，作交于，作交的延长线于，作交于；分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 令交于， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点作与的延长线交于点， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作交于， 由题意可得：为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故； 【小问4详解】 解：由题意可得：为等腰直角三角形， 当时，， ∴， 如图，当时，连接、，作交于，作交于，作交于， 由（1）可得：， ∵点M为中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴； 如图，当时，连接、，作交于，作交的延长线于，作交于， 同理可得：，， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定由性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级综合练习（五） 数学A卷 时长：55分钟 满分52分 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 1. 若单项式与是同类项，则的值为___________． 2. 方程的解是_________． 3. 某校组织学生利用假期走进社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”和“绿色出行”两个宣传小组，如果小明和小颖每人随机选择参加其中一个宣传小组，则他们恰好选择同一个宣传小组的概率是___________． 4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，对角线相交于点，将菱形绕点逆时针旋转至的位置．若，则点的坐标为___________． 5. 如图，在矩形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则__________． 三．解答题（共4小题） 6. 2025年4月23日是第30个世界读书日，联合国教科文组织将今年读书日的主题定为“阅读：通往未来的桥梁”，倡导通过阅读开拓视野、传递智慧，为人类共建更美好的明天．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了部分学生，对他们每周的课外阅读时间进行了调查，根据调查结果，绘制出如下两幅不完整的统计图． （1）求被调查的学生人数； （2）求扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角的度数； （3）该校共有800名学生，请估计该校每周课外阅读时间不少于的学生人数． 7. 2022年北京召开了冬奥会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方4米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动． （1）当运动员运动到距离点的水平距离为4米处时，其距离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） （2）在（1）的条件下，当运动员运动到距离点的水平距离为多少米处时，其与小山坡的竖直距离为1米？ 8. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，直线与直线相交于点，为线段上一动点（不与点重合），过点作轴，垂足为．设点的横坐标为，与重叠部分的面积为．关于的函数图象如图2所示，小明在做题的过程中用墨弄污了一部分，请据此回答下面的问题： （1）利用图中残留的信息，推测的面积为________． （2）求直线的解析式； （3）若，求此时的值． 9. 如图1，在正方形中，，点P，Q分别在边，上，．将绕点A逆时针旋转，连接，，所在直线交直线于点M，连接． （1）与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，若点Q与M重合于左侧，且，求t的值； （4）若，当点M为中点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $