限时作业(2)[范围：25.3]-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案限时作业（人教版·新教材）

:AB=AC∠DC-∠BAC 专练41辅助线技巧（三） .OA=OF,∴.∠OAF=∠OFA, 巧用弧的中点 ∴.∠DOC=∠FC,.在△ODC =20°，∴.∠DOE=2∠DAE=40°， 典例导练 OD=OF .DE所对的圆心角的度数为40°. 253 和△OFC中， ∠DOC=∠FOC, 知能检测 OC=OC 1.(1)3(2)/13 知能检测 .∴.△ODC≌△OFC(SAS), 2.连接BC、BD、OD.:AB为半1.连接CD,如图，，点D为弧 ∴.∠OF℃=∠ODC=90°，∴.OF 圆O的直径，∴.∠ACB=90°， AB的中点，∴.AD=BD, ⊥CF,∴.CF与⊙O相切. 由勾股定理得：BC2=AB2一 ∴∠ACD=∠BCD,∴.∠ACB 2.过点O作OE⊥AC于E,设小 AC2=100-36=64,BC=8.由： =2∠ACD..'∠ACD 圆与AB的切点为D,连接 题意得：∠CAD=∠BAD,. ∠DBA,∴.∠ACB=2∠DBA. OD、OA,如图，由切线性质可 CD=BD,.OD⊥BC,BE= 2.连接OC,AD,设⊙O的半径为 知OD⊥AB,由垂径定理可知 CE=号80=40E=3AC r,则OF=r十2.由题意，可知在 AD=DB,AE=EC,.'AB= Rt△OCF中，42+r2=(r+ AC,∴.AD=AE,在Rt△AEO =3,DE=5一3=2，由勾股定 2)2,解得r=3.AB是⊙O AE-AD 和Rt△ADO中， 理得：BD2=22+42=20. 的直径，∠ADB=90°.：AB AO-AO .AD2=AB2-BD2=80, =6,D是AB的中点，∴.AD= ∴.△AEO≌△ADO(HL), ∴.AD=45. BD=3√2.G为BD中点，∴ ∴.OE=OD,∴.AC与小圆相切. 专练40辅助线技巧（二） 专练43切线的性质与有关计算 巧构圆内接四边形 G=号D-,在△Ac 典例导练 典例导练 中，AG=V√AD+G=3/0 如图，连接OE,,OC⊥AB,∴.AC 连接AB,,四边形ABEC是 2 ⊙O1的内接四边形，∴.∠BAD= 专练42 辅助线技巧（四） =BC∴∠CEB=2∠A0C=30, ∠E. 切线的判定 .EF=EB,∠EFB=∠B=75, 又.四边形ADFB是⊙O2的内 : 典例导练 ∴.∠DF℃=∠EFB=75°，∴.∠DCF 接四边形， 证明：连接OB,E是弦BD的 =90°-∠DF℃=15°，.OE=OC, .∠BAD+∠F=180°.∴.∠E+ 中点，∴.BE=DE,OE⊥BD,BF ∴.∠C=∠OE℃=15°，∴.∠E0G= ∠F=180°.∴.CE∥DF..CD∥ -DF=号BD,∠B0E=∠A, ∠C+∠OEC=30°，由题意，在Rt EF,∴.四边形CEFD是平行四边 △EG中，OE=√3GE,∴.EG=√3. ∠OBE+∠BOE=90°，，∠DBC 形.∴.CE=DF..CE=DF 知能检测 =∠A,∴.∠BOE=∠DBC, 知能检测 1.图略，连接OC,OD,,BF是 ∴.∠OBE+∠DBC=90°， 1.1109 ⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∠OBC=90°，即BC⊥OB,.BC 2.方法一：图略，连接BD,AB是 ∴.OB⊥BF,∴.∠ABF=90°， 是⊙O的切线： ⊙O的直径，∴.∠ADB=90°， 知能检测 .∠AFB=68°，.∠BAF= .'∠ADC-∠BDC=∠ADB, 1.连接OF、OC,.四边形ABCD 90°-∠AFB=22,∠BOD=2 ∠BDC=∠BAC,∴.∠ADC 是矩形，∴.ADBC,AD=BC, ∠BAF=44°，，AC=2BD ∠BAC=90°； ∠ADC=90°，.E为BC边中 ∴.∠COA=2∠BOD=88°， 方法二：图略，连接BC,.AB是 ⊙O的直径，.∠ACB=90°， 点，A0=D0.A0=合AD. ∠CDA=号∠00A=4, .∠PBC=∠BAC+∠ACB, EC=BC.∴A0=EC,A0/ .∠DEB是△AED的一个外 ∴.∠PBC-∠BAC=90°，.四边 角，.∠DEB=∠BAF十 形ABCD为⊙O的内接四边形， EC,∴.四边形OAEC是平行四 ∠CDA=66. ∴.∠ADC=∠PBC,∴.∠ADC 边形，∴.AE∥OC,∴.∠DOC 36 ∠BAC=90°. ∠OAF,∠FOC=∠OFA, 2.2或5 70 专练44 切线长定理一 在Rt△BCO中，∠OBC=90°，∴.△ADE≌△DCF(SAS),.AE= 双（多）切圆模型 BC=8,OB=6,.OC=DF,∠DAE=∠FDC,∠ADE 典例导练 √/BC2+OB2=10,∴.PC=OC- =90°，∴.∠ADP+∠FDC=90°， 2√2≤t≤4+2√2 OP=10-6=4..PC最小值为·∠ADP+∠DAE=90, 知能检测 ∴∠APD=90°，∴AE⊥DF. 1.3 知能检测 (2)如图，连接AC,BD交于点O, 2.连接DB、DE,AD是⊙D的 (1)结论：AE=DF,AE⊥DF,理： ,点P在运动中保持∠APD 半径，AD⊥AB,.AB是⊙D 由：，四边形ABCD是正方形， 90°，点P的运动路径是以AD 的切线，，⊙D与BC相切于 AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°， 为直径的圆的DPO,∴点P的运 点E,∴.BC⊥DE,EB=AB= 在△ADE和△DCF中， 动路径长为90x×5一5x m,∠CBD=∠ABD, AD=DC 180 .AB/CD,.∠ABD=∠CDB, ∠ADE=∠DCF, ∴.∠CBD=∠CDB,.CB=CD DE=CF =3m,∴.CE=CB-EB=3m-m 夹卷《限时作业》参考答案 =2m,.'∠CED=90, 限时作业（一） +x2=2k+1,x1x2= 22-2, ∴.AD=DE=√/CD-CE= 1.C2.D3.C4.D5.A 6. B7.C8.B9.-310.±/7 x1-x2=3,.(1-x2)2=9, √/(3m)2-(2m)'=5m. 专练45 三角形的内心与外心 11.1212.013.x1=x2=5 .(x1十x2)2-4x1x2=9, 典例导练 14.7或2 (2k+1)2-4×(2-2) 5 15.(1)x1=2+√5，x2=2-√/5 =9,化简得k2+2k=0, 知能检测 5 (2)x1= 2x2=1. 解得k=0或k=一2. 1.140 限时作业（二） 2.延长BI交⊙O于M点，连接 7 (3)x1=3x2=g 1.设每轮传染中平均每只患病蛋 MA,在△ABM中斜边AB经 鸡传染了x只健康的蛋鸡，则 过圆心O,∴.∠AMB=90°， 16.原方程化为m.x2-(3m-1)x 第一轮中有x只健康的蛋鸡被 .BI⊥OI,AO=OB,.OI为 十2m一1=0，由题意，得m≠ 传染，第二轮中有x(1十x)只 △AMB的中位线，∴.AM= 0,△=b2-4ac=[-(3m- 健康的蛋鸡被传染，根据题意 2OI=2,在Rt△ABC中，I为 1)]2-4m(2m-1)=1,解得 得：1+x十x(1+x)=64,整理 三个角平分线的交点， m1=0(不符合题意，舍去)，m2 得：(1+x)2=64,解得：x1=7, ∴.∠IAB+∠IBA=45°，即 =2,∴.原方程化为：2x2一5.x x2=一9（不符合题意，舍去）. ∠MIA=45°（三角形外角与内 +3=0,解得：x1=1,x2= 答：每轮传染中平均每只患病 角的关系)，.Rt△MAI为等 e. 蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡. 腰直角三角形，∴.MA=MI= 17.(1)等腰三角形 2.(1)设平均每次降价的百分率 IB=2,根据勾股定理可得， (2)直角三角形，理由略 为x,依题意得：400(1-x)= AB2=MA2+MB2=22+4=20, (3)x1=0,x2=-1. 256,解得：x1=0.2=20%,x2 AB=25 18.(1).△=[-(2k+1)]2-4 =1.8(不合题意，舍去). 专练46隐圆模型 ×1×(22-2）=4k+4k+ 答：平均每次降价的百分率为 典例导练 20%. 示范题128° 1-2k2+8=2k2+4k+9= (2)选择在数码城购买比较合算， 示范题2连接O℃交⊙O于点 2(k+1)2+7>0, 理由如下：在电商平台购买所需 P,此时PC最小，，点O是AB ∴.无论k为何实数，方程总有 费用为300×0.7=210（元）， 的中点0A=0B=专AB=6, 两个不相等的实数根， 在数码城购买所需费用为256 (2)由根与系数的关系得出x1 ×(1-20%)=204.8(元) 72 210(元).∴.选择在数码城购买 1)=0,则x+3=0或x一1=0， AB=4,设A,B的横坐标分 比较合算 解得x1=一3，x2=1. 别为x1,x2,则|x1一x2|= 3.(1)40+(1000-850)÷50×10=7014.(1)将x=-1,n=1代入原方 /(x1十x2)2-4x1x2=4,解 . (件). 程，得：（一1）2-m+12+4=0, 得a=-2. (2)设每件服装降价x元 解得：m=6. (2)由题意，设平移后抛物线 10 (1000-500-x)×(40+50x） (2)当m=4时，原方程为x2 的解析式为y=一2(x一4)2 +4x+n2+4=0,∴.△=42-4 +8+k,把(0,8)代入得8= =40×(1000-500)+4000. ×1×(n2+4)=-4n2.当n= 32十8十k,解得k=32, 解得：x1=100,x2=200, 0时，△=一4n2=0,此时原方 ∴.平移后抛物线的解析式为y 使顾客得到尽可能大的实惠， 程有两个相等的实数根；当n =-2(x-4)2+40,即y= .x=200,1000-200=800(元). ≠0时，△=一4n2<0,此时原 2x2+16.x+8. 答：每件应定价800元. 方程无解。 15.(1)-22 4.(1)36.x2(72x-12.x2) 15.(1)设二、三月的月平均增长 (2)由(1)得，直线和抛物线的 : (2)依题意得：42×30一36x2 率为x,则依题意得：250(1+ (72.x-12.x2)=1164, 表达式为：y=一x+2,y=x2 x)2=360,解得：x1=20%,x2 一2x,联立上述两个函数表达式 整理得：x2+3x-4=0, =一2.2（不合题意，舍去）. 解得x1=1,x2=一4（不符合题 r- (2)设降价y元，(40一20-y) 并解得 或/2 （不符 y=3 y=0 意，舍去 (360+3y)=6588,y2+100y 答：当草坪面积为1164m2时， 合题意，舍去)，即点B的坐标 -204=0,解得y1=2,y2=一 为（一1,3），从图象看，不等式 道路的宽度为1m. 102(舍去). 5.(1)y=10x+200. x2十mx>一x十b的解集为x 答：当每件商品降价2元时， (2)每双运动鞋的售价应该定 <-1或x>2; 商场获利6588元. 为87元 (3)①当点M在线段AB上 ... 16.当x-2≥0，即x≥2时，原方 (3)公司每天能获得9000元的 时，，M,N的距离为3，而 程化为x2-2(x-2)一4=0. : 利润，理由如下：根据题意得： A、B的水平距离是3，故此时 解得x1=0,x2=2. (100-60-x)(10.x+200)= 只有一个交点，即-1≤xM< x≥2，x=2.当x-2<0, 9000,整理得：x2-20x+100=0, 2; 即x<2时，原方程化为x2 解得：x1=x2=10.由题意，得 ②当点M在点B的左侧时，线 2(2-x)一4=0，解得x1=2, 100-60-x≥60×50%， 段MN与抛物线没有公共点； x2=-4.x<2,x=-4. ∴x≤10，x=10符合题意， ③当点M在点A的右侧时， 综上所述，原方程的解是x1= ∴.公司每天能获得9000元的 当xM=3时，抛物线和MN 2,x2=-4. 利润. 交于抛物线的顶点(1，一1)， 限时作业（四）】 6.(1)剪去的小正方形的边长为 即xM=3时，线段MN与抛 1.B2.D3.A4.C 5.D 3cm 物线只有一个公共点，综上所 : 6.B7.A8.B (2)能折出底面积为104cm2的 述，-1≤xM<2或xM=3. 9.y=一x2十1（答案不唯一） 有盖盒子，盒子的体积为 限时作业（五） 208cm3. 10.y2<y1<y311.812.2 13.(1)y=x2-2.x-3=(x-1)2 1.(1)由题意，得h=10t-2 限时作业（三） 一4，顶点坐标为(1，一4)，对 10t2=10t-5t2,当h=0时， 1.B2.D3.A4.D5.A 称轴x=1. 10t-5t2=0,解得t=0或t= 6 6.D7.A8.B9.210.3 (2)图略.由图象可知：当y<0 2, 时，自变量x的取值范围为 ∴球抛出后经2秒回到起点. 11.20% 12.1,2或1,2 1<x<3. (2)当h=1.8时，10t-5t2=1. 13.(1)配方法二 14.(1)由题意，可知顶点C的坐 8,解得t=0.2或t=1.8,∴.0. (2)原方程看化为(x+3)(x 标为(4,8)，CD∥AB,CD= 2s或1.8s后球离起点的高度 73 达到1.8m. 3 3 12k+b=500, k=一50， (3)球离起点的高度不能达到 4 x+3,令y 解得 14k+b=400, b=1100. 6m,理由如下：h=10t-5t2= x2+ 3 x+3=0,解得： y与x之间的函数关系式为 一5(t-1)2+5,当t=1时，h y=-50x+1100. 最大值为5，.球离起点的高度 x1=1±5(m)(舍去负值)，故 (2)由题意，得@=(x-10)y 不能达到6m. 水柱落地处离池中心的距离为 =(x-10)(-50x+1100)= .(1)由题意，可设函数表达式为 (1+√/5)m. -50(x-16)2+1800,.a= y=a(x-4)2+2,把(0,1)代入 1 -50<0, 5.(1)y= 得：1=16a十2，解得a=一 1 20x+40 ∴.当x<16时，随x的增大 16 (2)由题意，可知购买数量位于 而增大.，12≤x≤15，x为整 ∴y= 16x-4)2+2=- 6 200与400之间.(-20x十 数，∴.当x=15时，@有最大 值，W最大=-50×(15-16)2+ 1 +2x+1 40)x=7280,解得x1=280,x2 1800=1750. 答：当销售单价为15元时，每 (2)令x=5得y=- ++ =520(舍去). 周获利最大，最大利润是1750 (3)当200≤x≤400时，0= 元. 1=1.9375>1.55,.此球能过 1 1 网 （-20x+40-15)x=- 3 23 +25.x=- 20(x-250)2+ (2),抛物线y=a.x2-4a.x十 -4a ,解得x=1(舍去)或x +1=16 3125,∴.当x=250时，0有最 1的对称轴为直线x=一 2a 大值，最大值为3125；当400< =2,且点B的横坐标为1，由 =7,.乙与球网的水平距离为 x≤600时，批发量固定，批发 7-5=2m. 对称性可知点B也在抛物线y 量越大，则利润越大，当x= 3.(1)y=-3x2+24x5≤x<8 =ax2-4a.x+1上，∴.点B'的 600时，利润最大，最大值为 (2)由题意，得-3.x2+24x=36, 横坐标为3，∴.BB'=3一1= 600×(20-15)=3000<3125 2,当四边形BCC'B'为正方形 化简得x2-8.x+12=0,解得 (元)，∴.当x=250时，批发部 时，则BC=BB'=2,B、C x1=2(舍去)，x2=6. 获得的利润最大，最大利润是 关于x轴对称且点B在第四 即AB的长度为6m. 3125元. 象限，.点B的纵坐标为一1. (3)y=-3.x2+24x=-3(x 限时作业（六） 点B的坐标为(1，-1).把 4)2+48(5≤x<8), 1.B2.D3.D4.D5.B 点B的坐标代入y=a.x2一 a=一3<0，开口向下，.当x 6.C7.D8.A =5时，y最大值=48-3(5-4)2= 1ar十1，解得a= 2 9.y=x2+1(答案不唯一) 45.故最大面积为45m. 10.750 限时作业（七） 1.(1)易求抛物线的表达式为：y 1.B2.B3.A4.A5.A 3 (x-1)2+3=- 3 11.y= 2x2+3x或y= 2 24 4 6.C7.-1 8.y=2(.x>0) 3x 9 12.(1)-3(2)m<-3 9.410.(2,3) 11.612. 27 5 (2)图略，P'所在抛物线的解析 13.(1)(0,-4) 3 2x+2(- 9 a=2 (2) 13.1)”反比例函数y=(0> x 式为y= 4 b=2 0)的图象经过点A(3,2),代 3≤x≤0). 9 (3)k> (3)由题意，可得新抛物线的表 2 入得2=飞 k=6,这个反 14.(1)设y与x之间的函数关系 达式为y=一 ++号 3 6 式是y=k.x十b(k≠0)， 比例函数的表达式为y= 75限时作 [范围：25.3时间： 1.(8分)4月，多国禽流感大暴发，大量蛋 鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”.若某 国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染 后共有64只蛋鸡患病.每轮传染中平均 每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？ 2.(10分)圆圆想买一个蓝牙耳机，电器数 码城售卖的某款蓝牙耳机，原来每只售 价400元，经过连续两次降价后，现在每 只售价256元. (1)求平均每次降价的百分率. (2)某电商平台“双十一”搞活动，同款蓝 牙耳机原价是300元，现在7折优惠，包 邮到家.同时，数码城按照前两次的平均降 价率进行第三次降价.请问：圆圆选择哪种 方式购买比较合算？请通过计算说明， 业（二） 5分钟分值：60分] 3.(10分)为响应国家“国际国内双循环”号 召，南海广场购进一批国产高档服装，进 价为500元/件，售价为1000元/件时， 每天可以出售40件，经市场调查发现每 降价50元，一天可以多售出10件 (1)售价为850元时，当天的销售量为多 少件？ (2)如果每天的利润要比原来多4000 元，并使顾客得到更大的优惠，问每件售 价为多少元？ 4.(10分)某公园准备在一块长为42m,宽 为30m的长方形花园内修建一个底部为 正方形的温室花房（如图所示），在温室 花房四周修四条宽度相同，且与温室花 房各边垂直的小路，温室花房边长是小 路宽度的6倍，花园内其他的空白地方 铺草坪，设小路宽度为xm. (1)花园内温室花房的面积为 m2, 小路面积为 m2.(用含 x的代数式表示) (2)若草坪面积为1164m时，求这时道 路宽度 5.(12分)某运动品牌销售 ↑y双 一款运动鞋，已知每双300 运动鞋的成本价为60200 元，当售价为100元时， 010 x元 平均每天能售出200双； 经过一段时间销售发现，平均每天售出 的运动鞋数量y(双)与降低价格x(元) 之间存在如图所示的函数关系 (1)求出y与x的函数关系式 (2)公司希望平均每天获得的利润达到 8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋 的售价应该定为多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于 成本价的50%，公司每天能否获得9000 元的利润？若能，求出定价；若不能，请 说明理由， 6.(10分)在数学课上，老师让同学们以“折 一个长方体盒子”为主题开展实践活动 如图1，这是一张长为30cm,宽为12cm 的矩形硬纸板， (1)如图2，奋进小组把矩形硬纸板的四 角剪去四个相同的小正方形，然后把纸 板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即 可做成一个长方体无盖纸盒.若该无盖 纸盒的底面积为144cm,求剪去的小正 方形的边长. (2)创新小组计划制作一个有盖的长方 体盒子.为了合理使用材料，设计了如图 3所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来 的边角料，其中左侧两个空白部分为正 方形，右侧两个空白部分为矩形，问能否 折出底面积为104cm的有盖盒子（盒盖 与盒底的大小形状完全相同)？如果能，请 求出盒子的体积；如果不能，请说明理由. 图1 图2 图3