限时作业(1)[范围：25.1-25.2]-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案限时作业（人教版·新教材）

限时作 [范围：25.1~25.2时间 一、选择题（每小题4分，共32分）》 1.将一元二次方程-3x2一2=一x化成一 般形式ax2十bx十c=0(a>0)后，一次 项和常数项分别是 A.-1,2 B.x,-2 C.-x,2 D.3x2,2 2.下列方程最适合用因式分解法求解的是 A.(x-1)(x-2)=3B.x2+4x=1 C.x2+3x+1=0D.x(x-3)=x-3 3.用配方法解方程x2十1=8x,变形后的 结果正确的是 ( A.(x+4)2=15B.(x+4)2=17 C.(x-4)2=15D.(x-4)2=17 4.化学实验室需购买烧杯和导管两种耗 材，已知烧杯的单价比导管贵8元，购买 这两种耗材的总金额为195元，且总金 额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3 倍.设导管的单价为x元，则列出的方程 可化为 ( A.x2-8x+65=0B.x2-8.x-65=0 C.x2+8x+65=0D.x2+8x-65=0 5.一次函数y=kx十b的图象不经过第二 象限，则关于x的方程x2十kx十b=0的 根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 业（一） :45分钟分值：100分] 6.已知方程x2一2026.x十1=0的两根分别 为1则x,2-2025的值为() ℃2 A.1 B.-1 C.2026 D.-2026 7.已知关于x的一元二次方程(a一1)x2 2x十1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 A.a>2 B.a<2 C.a<2且a≠1 D.a<-2 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=a, AC=b.以点B为圆心，BC的长为半径 画弧，交线段AB于点D,以点A为圆 心，AD长为半径画弧，交线段AC于点 E.下列哪条线段的长度是方程x2+2a.x b2=0的根 A.线段BC的长 B.线段AD的长 C.线段EC的长 D.线段AC的长 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.关于x的方程(m一1)xm+1十mx一1= 0是一元二次方程，则m的值为 10.若关于x的一元二次方程3x2一3x一a2 1=0的一个根为2，则a的值为。 11.已知a为一元二次方程x2一4x+3=0 的根，则以a,a十2,4为三边边长的三 角形的周长为 12.设m,n是方程x2一x一2=0的两根，则 (m2-1)(n2-1)=. 13.在实数范围内定义一种运算“”，其规则 为a￥b=a2一2ab十b,根据这个规则求 方程(x一4)1=0的解为 14.若a2+1=3a,b2+1=36,则代数式2十 分的值为 三、解答题（共44分） 15.(15分)解方程： (1)x2-4x=1. (2)2x2-7x+5=0. (3)9(x-1)2-4(2-3x)2=0. 16.（7分)已知关于x的一元二次方程mx -(3m一1)x+2m=1(m为常数).如 果方程根的判别式为1，求m的值及该 方程的根. 17.(12分)已知关于x的一元二次方程(a十 c)x2+2bx+(a一c)=0,其中a,b,c 分别为△ABC三边的长. (1)如果x=一1是方程的根，则△ABC 的形状为 (2)如果方程有两个相等的实数根，试 判断△ABC的形状，并说明理由， (3)如果△ABC是等边三角形，试求这 个一元二次方程的根. 18.(10分)已知关于x的一元二次方程x2一 2必中102+：-2-0 (1)求证：无论k为何实数，方程总有两 个不相等的实数根 (2)若方程的两个实数根x1,x2满足c1 一x2=3,求k的值，:AB=AC∠DC-∠BAC 专练41辅助线技巧（三） .OA=OF,∴.∠OAF=∠OFA, 巧用弧的中点 ∴.∠DOC=∠FC,.在△ODC =20°，∴.∠DOE=2∠DAE=40°， 典例导练 OD=OF .DE所对的圆心角的度数为40°. 253 和△OFC中， ∠DOC=∠FOC, 知能检测 OC=OC 1.(1)3(2)/13 知能检测 .∴.△ODC≌△OFC(SAS), 2.连接BC、BD、OD.:AB为半1.连接CD,如图，，点D为弧 ∴.∠OF℃=∠ODC=90°，∴.OF 圆O的直径，∴.∠ACB=90°， AB的中点，∴.AD=BD, ⊥CF,∴.CF与⊙O相切. 由勾股定理得：BC2=AB2一 ∴∠ACD=∠BCD,∴.∠ACB 2.过点O作OE⊥AC于E,设小 AC2=100-36=64,BC=8.由： =2∠ACD..'∠ACD 圆与AB的切点为D,连接 题意得：∠CAD=∠BAD,. ∠DBA,∴.∠ACB=2∠DBA. OD、OA,如图，由切线性质可 CD=BD,.OD⊥BC,BE= 2.连接OC,AD,设⊙O的半径为 知OD⊥AB,由垂径定理可知 CE=号80=40E=3AC r,则OF=r十2.由题意，可知在 AD=DB,AE=EC,.'AB= Rt△OCF中，42+r2=(r+ AC,∴.AD=AE,在Rt△AEO =3,DE=5一3=2，由勾股定 2)2,解得r=3.AB是⊙O AE-AD 和Rt△ADO中， 理得：BD2=22+42=20. 的直径，∠ADB=90°.：AB AO-AO .AD2=AB2-BD2=80, =6,D是AB的中点，∴.AD= ∴.△AEO≌△ADO(HL), ∴.AD=45. BD=3√2.G为BD中点，∴ ∴.OE=OD,∴.AC与小圆相切. 专练40辅助线技巧（二） 专练43切线的性质与有关计算 巧构圆内接四边形 G=号D-,在△Ac 典例导练 典例导练 中，AG=V√AD+G=3/0 如图，连接OE,,OC⊥AB,∴.AC 连接AB,,四边形ABEC是 2 ⊙O1的内接四边形，∴.∠BAD= 专练42 辅助线技巧（四） =BC∴∠CEB=2∠A0C=30, ∠E. 切线的判定 .EF=EB,∠EFB=∠B=75, 又.四边形ADFB是⊙O2的内 : 典例导练 ∴.∠DF℃=∠EFB=75°，∴.∠DCF 接四边形， 证明：连接OB,E是弦BD的 =90°-∠DF℃=15°，.OE=OC, .∠BAD+∠F=180°.∴.∠E+ 中点，∴.BE=DE,OE⊥BD,BF ∴.∠C=∠OE℃=15°，∴.∠E0G= ∠F=180°.∴.CE∥DF..CD∥ -DF=号BD,∠B0E=∠A, ∠C+∠OEC=30°，由题意，在Rt EF,∴.四边形CEFD是平行四边 △EG中，OE=√3GE,∴.EG=√3. ∠OBE+∠BOE=90°，，∠DBC 形.∴.CE=DF..CE=DF 知能检测 =∠A,∴.∠BOE=∠DBC, 知能检测 1.图略，连接OC,OD,,BF是 ∴.∠OBE+∠DBC=90°， 1.1109 ⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∠OBC=90°，即BC⊥OB,.BC 2.方法一：图略，连接BD,AB是 ∴.OB⊥BF,∴.∠ABF=90°， 是⊙O的切线： ⊙O的直径，∴.∠ADB=90°， 知能检测 .∠AFB=68°，.∠BAF= .'∠ADC-∠BDC=∠ADB, 1.连接OF、OC,.四边形ABCD 90°-∠AFB=22,∠BOD=2 ∠BDC=∠BAC,∴.∠ADC 是矩形，∴.ADBC,AD=BC, ∠BAF=44°，，AC=2BD ∠BAC=90°； ∠ADC=90°，.E为BC边中 ∴.∠COA=2∠BOD=88°， 方法二：图略，连接BC,.AB是 ⊙O的直径，.∠ACB=90°， 点，A0=D0.A0=合AD. ∠CDA=号∠00A=4, .∠PBC=∠BAC+∠ACB, EC=BC.∴A0=EC,A0/ .∠DEB是△AED的一个外 ∴.∠PBC-∠BAC=90°，.四边 角，.∠DEB=∠BAF十 形ABCD为⊙O的内接四边形， EC,∴.四边形OAEC是平行四 ∠CDA=66. ∴.∠ADC=∠PBC,∴.∠ADC 边形，∴.AE∥OC,∴.∠DOC 36 ∠BAC=90°. ∠OAF,∠FOC=∠OFA, 2.2或5 70 专练44 切线长定理一 在Rt△BCO中，∠OBC=90°，∴.△ADE≌△DCF(SAS),.AE= 双（多）切圆模型 BC=8,OB=6,.OC=DF,∠DAE=∠FDC,∠ADE 典例导练 √/BC2+OB2=10,∴.PC=OC- =90°，∴.∠ADP+∠FDC=90°， 2√2≤t≤4+2√2 OP=10-6=4..PC最小值为·∠ADP+∠DAE=90, 知能检测 ∴∠APD=90°，∴AE⊥DF. 1.3 知能检测 (2)如图，连接AC,BD交于点O, 2.连接DB、DE,AD是⊙D的 (1)结论：AE=DF,AE⊥DF,理： ,点P在运动中保持∠APD 半径，AD⊥AB,.AB是⊙D 由：，四边形ABCD是正方形， 90°，点P的运动路径是以AD 的切线，，⊙D与BC相切于 AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°， 为直径的圆的DPO,∴点P的运 点E,∴.BC⊥DE,EB=AB= 在△ADE和△DCF中， 动路径长为90x×5一5x m,∠CBD=∠ABD, AD=DC 180 .AB/CD,.∠ABD=∠CDB, ∠ADE=∠DCF, ∴.∠CBD=∠CDB,.CB=CD DE=CF =3m,∴.CE=CB-EB=3m-m 夹卷《限时作业》参考答案 =2m,.'∠CED=90, 限时作业（一） +x2=2k+1,x1x2= 22-2, ∴.AD=DE=√/CD-CE= 1.C2.D3.C4.D5.A 6. B7.C8.B9.-310.±/7 x1-x2=3,.(1-x2)2=9, √/(3m)2-(2m)'=5m. 专练45 三角形的内心与外心 11.1212.013.x1=x2=5 .(x1十x2)2-4x1x2=9, 典例导练 14.7或2 (2k+1)2-4×(2-2) 5 15.(1)x1=2+√5，x2=2-√/5 =9,化简得k2+2k=0, 知能检测 5 (2)x1= 2x2=1. 解得k=0或k=一2. 1.140 限时作业（二） 2.延长BI交⊙O于M点，连接 7 (3)x1=3x2=g 1.设每轮传染中平均每只患病蛋 MA,在△ABM中斜边AB经 鸡传染了x只健康的蛋鸡，则 过圆心O,∴.∠AMB=90°， 16.原方程化为m.x2-(3m-1)x 第一轮中有x只健康的蛋鸡被 .BI⊥OI,AO=OB,.OI为 十2m一1=0，由题意，得m≠ 传染，第二轮中有x(1十x)只 △AMB的中位线，∴.AM= 0,△=b2-4ac=[-(3m- 健康的蛋鸡被传染，根据题意 2OI=2,在Rt△ABC中，I为 1)]2-4m(2m-1)=1,解得 得：1+x十x(1+x)=64,整理 三个角平分线的交点， m1=0(不符合题意，舍去)，m2 得：(1+x)2=64,解得：x1=7, ∴.∠IAB+∠IBA=45°，即 =2,∴.原方程化为：2x2一5.x x2=一9（不符合题意，舍去）. ∠MIA=45°（三角形外角与内 +3=0,解得：x1=1,x2= 答：每轮传染中平均每只患病 角的关系)，.Rt△MAI为等 e. 蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡. 腰直角三角形，∴.MA=MI= 17.(1)等腰三角形 2.(1)设平均每次降价的百分率 IB=2,根据勾股定理可得， (2)直角三角形，理由略 为x,依题意得：400(1-x)= AB2=MA2+MB2=22+4=20, (3)x1=0,x2=-1. 256,解得：x1=0.2=20%,x2 AB=25 18.(1).△=[-(2k+1)]2-4 =1.8(不合题意，舍去). 专练46隐圆模型 ×1×(22-2）=4k+4k+ 答：平均每次降价的百分率为 典例导练 20%. 示范题128° 1-2k2+8=2k2+4k+9= (2)选择在数码城购买比较合算， 示范题2连接O℃交⊙O于点 2(k+1)2+7>0, 理由如下：在电商平台购买所需 P,此时PC最小，，点O是AB ∴.无论k为何实数，方程总有 费用为300×0.7=210（元）， 的中点0A=0B=专AB=6, 两个不相等的实数根， 在数码城购买所需费用为256 (2)由根与系数的关系得出x1 ×(1-20%)=204.8(元) 72