专题08分式专项训练(27大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题08分式专项训练 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数是未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08 .分式变形与系数标准化. 题型09.分式值变化判断 题型10.约分与最简分式 题型11.通分与最简公分母 题型12.分式的加减 题型13.分式加减混合运算 题型14.分式加减的实际应用 题型15.分式乘除运算 题型16.分式乘方及混合运算 题型17.分式加减乘除混合运算 题型18.分式化简与最值 题型19.分式方程基础 题型20.由分式方程解的情况求值 题型21.分式方程无解问题 题型22.列分式方程 题型23.分式方程的行程问题 题型24.分式方程的工程问题 题型25.分式方程的经济问题 题型26.分式方程的和差倍分问题 题型27.分式方程的其他实际问题 解答题10题 知识点01:分式的概念 1.定义：形如，其中A、B为整式，且 **B中含有字母 **。 2.有意义的条件：B0 3.值为 0 的条件：A=0 且 B0（必考） 4.整式与分式统称有理式。 知识点02:分式的基本性质（本章核心） ，（C是不等于 0 的整式） 1.符号法则 =−。 2. 分式的变号（分子、分母、分式本身，改变两个符号不变） 知识点03:分式的约分与最简分式 1. 约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。 2. 公因式找法 (1)系数：最大公约数 (2)字母：相同字母最低次幂 (3)多项式：先因式分解，再找公因式 3. 最简分式 分子与分母没有公因式（互质）的分式。⚠️ 计算结果必须化为最简分式。 知识点04:分式的通分 1. 通分定义 把几个异分母分式化成同分母分式，叫做通分。 2. 最简公分母（LCD）找法 (1)系数：各分母系数的最小公倍数 (2)字母：所有出现字母的最高次幂 (3)多项式：先因式分解，再取所有因式最高次幂 知识点05:分式的乘除与乘方 1.乘法：（b0，d0） 2.除法：（b0，c0，d0）（除以一个分式 = 乘它的倒数） 3.乘方:()n（b0，n为正整数） 运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号。 知识点06:分式的加减 同分母分式加减法则：±（c0） 异分母分式加减法则：±（b0，d0） 知识点07:分式方程（必考大题） (1)定义：分母中含有未知数的方程。 (2)解法步骤： ① 找最简公分母 ② 去分母化为整式方程 ③ 解整式方程 ④ 检验！！（必须写） 代入最简公分母，≠0 → 是原方程解 =0 → 增根，无解(若所有解都是增根，则原方程无解) (3)增根：使最简公分母 = 0 的根，不是原方程的解。 知识点08.分式方程实际应用 一.行程问题 基本公式： 路程 = 速度 × 时间 s=vt 变形：v=​，t=. 常见等量关系： 1 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度 2 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 3 不同方式行驶同一段路程，时间差相等 二、工程问题 基本公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 W=et 变形：e=​，t=​ 常见等量关系： 1 总工作量通常设为 1 2 各部分工作量之和 = 总工作量 3 合作效率 = 各单独效率之和 三、经济问题 核心公式： 利润 = 售价 - 成本 利润率 = ×100% 总价 = 单价 × 数量 常见等量关系：① 价格变化前后，总利润不变② 销量与单价成反比变化时，总销售额不变 四、和差倍分问题 常见等量关系： 1 A 是 B 的 n 倍 → A=nB 2 A 比 B 多 / 少 m → A=B±m 3 A 与 B 的比为 a:b → = 题型01.分式的判断 1．代数式中，属于分式的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据分式的定义解答，即分母中含有字母的代数式是分式，分母中只含常数不含字母的代数式是整式，需注意π是常数不是字母． 【详解】解：∵的分母含有字母，∴是分式； ∵的分母是常数，不含字母，∴不是分式； ∵的分母含有字母，∴是分式； ∵是常数，是常数，的分母不含字母，∴不是分式； 综上，共有2个分式，故选C． 2．请你写出一个满足下述两个特点的分式：________． ①这个分式中只含有字母；②当时，分式的值是0． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查分式值为零的条件，分式的定义；根据分式值为零的条件，分子为0，分母不为0，进行解答即可． 【详解】解：分式中只含有字母且当时，分式的值是0的分式为：； 故答案为：． 3．下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值为0的条件等知识，根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 分式的分母中一定含有字母，分子中不一定含有字母，如是分式，但分子中不含有字母，故原选项错误，不合题意； B. ∵，∴，∴对于任意有理数x，分式总有意义，故原选项正确，符合题意； C. 分数的分母不含有字母，一定不是分式，故原选项错误，不合题意； D. 当时，分式的值为0（A，B为整式）,故原选项错误，不合题意． 故选：B 题型02.分式规律探究 4．观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的规律性问题． 观察各等式，两个分数的分子之和恒为8，且每个分式的分母均为其分子减去4，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ 给出的等式中，两个分子之和均为8，且分母为分子减4， ∴ 一般形式应为分子为x和，分母分别为和， 即一般性的等式为， 故选：B 5．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【答案】4051 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到；根据已知的规定，分别计算出，，，，，的结果，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴ 6．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】根据题中数据，发现规律，再由裂项相消的方法求和后解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，的规律是， 则， ， ， 解得． 题型03.按要求构造分式 7．一辆汽车行驶了，则它的平均速度为_________；一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为__________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了列代数式：分式的应用，熟练掌握相关概念是解题关键．根据平均速度等于行驶的路程除以行驶的时间可得到汽车的平均速度；再表示出火车行驶的时间为，然后再根据平均速度的计算方法表示出火车的平均速度． 【详解】一辆汽车行驶了，则它的平均速度为，一列火车行驶比这辆汽车少用，则它的平均速度为， 故答案为：， 8．打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字，打字速度为w字，第二天打字速度比第一天快了10字，两天打完全部文件，第二天她打字用了______ 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式，利用第二天打字用的时间（总字数第一天打的字数）第二天的速度，求解即可． 【详解】解：， ， ∴第二天她打字用了， 故答案为：． 9．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 题型04.分式的求值 10．已知，则分式________． 【答案】 【分析】设，，，然后代入求解． 【详解】解：∵， 设，， ∴． 11．已知，，则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式求值，熟练掌握分式的性质，是解题的关键．由已知等式可得，代入所求表达式并利用分式性质化简计算即可． 【详解】解：由且，得， 把代入得： ． 故答案为：． 12．已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】通过对已知等式变形得到的值，再利用完全平方公式变形所求分式，即可计算出结果. 【详解】解：，可知，， ∴， 整理，得， 方程两边同时除以得：， ∴， ∴， ∴. 题型05.分式有无意义与值为零综合 13．当时，分式无意义，则m的值为______． 【答案】2 【分析】分式无意义即分母为0，由此解答即可． 【详解】解：若分式无意义，则，即， 又∵当时，分式无意义， ∴． 14．函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵函数中， ∴， ∴， ∴自变量x的取值范围是． 15．若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 16．根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格信息，得到时分式无意义，时分式值为0，结合选项即可判断． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∵分式无意义的条件是分母为0， ∴当时，分式的分母为0，因此分母含有因式，排除选项C和D； 又∵当时，， ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0， ∴当时，分子为0，分母不为0，因此分子含有因式，符合条件的是． 17．若分式有意义，则分式（   ） A．有意义 B．无意义 C．值为0 D．值不为0 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 第一个分式有意义要求分母不为零，即，解得且，第二个分式的分母为，当 时，分母不为零，因此第二个分式总有意义． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即， ∴ 且 ． 对于分式，分母时有意义， ∵， ∴， ∴分式 有意义． 故选：A ． 题型06.分式值为正负及整数是未知数求解 18．当分式的值为正数时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，解答本题的关键在于得到． 由分式的值为正数可知，最后解不等式即可． 【详解】当分式的值为正数时， ∴． 故选：B． 19．使分式的值为整数的所有整数x的和是（   ） A．3 B．2 C．0 D．-2 【答案】B 【分析】由整除的性质可知，是的约数，分别求得符合题意的x值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∵是整数， ∴或， 解得或1或2或， 所以所有整数x的和为：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单． 20．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 21．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题意列出不等式组． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴或， 解得：或. 故选：C． 题型07.分式变形的判断与条件 22．下列各式中，与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式的基本性质化简原式，再和选项对比即可得到答案． 【详解】解：， ． 因此原式和的值相等． 23．若，等式成立，则x应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，解答即可． 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故答案为：． 24．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 题型08 .分式变形与系数标准化. 25．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 26．不改变分式的值，使的分子中不含分数，则该分式可化简为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子和分母同时乘以2并化简即可得到答案． 【详解】解；， 故答案为：． 27．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 题型09.分式值变化判断 28．若把分式中的，同时扩大到原来的倍，则分式的值也扩大到原来的倍，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，同时扩大为原来的倍后代入分式，根据分式值扩大为原来的倍，推得分母替换后应为原来的倍，验证选项即可得到答案． 【详解】解：设原分母为，则原分式为​，新分式为，根据题意： ​， 化简得：​，即， A选项：，扩大后，，不符合，故A错误； B选项：，扩大后，符合，故B正确； C选项：，扩大后，不符合，故C错误； D选项：，扩大后，不符合，故D错误． 29．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ）． A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】根据题意，将原分式中的、分别替换为、，利用分式的基本性质化简，将化简结果与原分式比较即可得出结论. 【详解】解：和扩大为原来的倍后，分式的值为，与原式相等， ∴值不变，选A． 30．下列说法正确的是（） A．代数式是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式中都扩大3倍，分式的值不变 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式相关概念及性质的应用条件是解题的关键．根据分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，对每个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的整式，π是常数， ∴的分母不含字母，是整式不是分式，故A错误． ∵的分子与分母没有公因式， ∴该分式是最简分式，故B正确． ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，由得，又时，分母，分式无意义， ∴，故C错误． 将都扩大3倍后，新分式为，是原分式的3倍，分式的值改变，故D错误． 故选：B． 题型10.约分与最简分式 31．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简分式的判断，需根据最简分式的定义（分子与分母没有非零公因式的分式），逐一分析各选项的分子分母是否可约分． 【详解】解：∵选项A中，，分子分母有公因式，可约分，∴不是最简分式； ∵选项B中，，分子分母有公因式，可约分，∴不是最简分式； ∵选项C中，在初中范围内无法分解因式，分子与分母无公因式，不能约分，∴是最简分式； ∵选项D中，，分子分母有公因式，可约分，∴不是最简分式． 故选：C 32．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式，对每个选项进行分析，判断是否存在公因式即可得到答案． 【详解】解：A、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； B、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； C、对于，∵分母不能分解因式，分子与分母没有公因式，∴是最简分式； D、对于，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式． 综上，答案选C． 33．已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果． 【详解】解：∵， ∴括号中应填． 34．下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，最简分式的判断． 判断每个表达式是否为分式且是否为最简分式即可． 【详解】解：①，不是最简分式； ②，不是最简分式； ③，分子与分母无公因式，是最简分式； ④，分母是常数，无变量，不是分式； ⑤，分子与分母无公因式，是最简分式； 综上，是分式且是最简分式的有③和⑤，共2个． 故选：A． 题型11.通分与最简公分母 35．，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简公分母，根据求最简公分母的方法，先确定各分母系数的最小公倍数，再确定各字母因式的最高次幂，两者的积即为最简公分母． 【详解】解：，，的最简公分母是． 故选：B． 36．对分式，通分，两个分式的最简公分母是______，通分的结果是______；=______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，通分等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 两个分式的分母分别为和，最简公分母需取系数的最小公倍数和变量的最高次幂，即； 通分时根据分式的基本性质，将分子和分母同乘相应因式． 【详解】解：分母和的系数最小公倍数为6， 分母中最高次幂为， 故最简公分母为； 通分：， ， 故答案为：，，． 37．若，则_____． 【答案】/ 【分析】先根据题意求出，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 ∴． 38．分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】确定最简公分母需取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，据此即可得到结果． 【详解】解：两个分式的分母分别为和． 各分母系数的最小公倍数为． 字母因式中的最高次幂为，的最高次幂为． 因此最简公分母为． 39．若分式的分母经通分后变为，则分子应变为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的通分，分母变为，乘了，根据分式的基本性质，分子也应乘以． 【详解】解：， 因此分子应变为：， 故答案为：． 题型12.分式的加减 40．计算 的结果是____． 【答案】1 【分析】根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减，计算约分后即可得到结果． 【详解】解：． 41．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查异分母分式加减，掌握分数的运算是解题的关键．直接把同类项的系数相加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 42．已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，根据题意表示出，，，，即可求得每个数为一个循环，进而根据分式有意义的条件得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴且，，即且 故选：D 43．计算+的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查异分母分式的加法运算，需先将异分母分式化为同分母分式，再根据同分母分式加法法则计算. 【详解】解： ， 故选：D． 44．化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减计算，先把分式变形为，再根据同分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式． 故选A． 45．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，需要通分和化简，选项A在计算过程中符号处理错误，导致等式不成立；选项B、C、D通过通分和化简后等式均成立． 【详解】解：A、∵ ，， ∴， 通分得 ， 又 ∵， ∴ ，但右边为，故等式不成立； B、∵ ，， ∴ 左边，与右边相等，故正确； C、∵ 分母相同， ∴，与右边相等，故正确； D、通分后公分母为， ∴，，， 左边 = ，与右边相等，故正确； 故选：A． 46．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 题型13.分式加减混合运算 47．甲、乙两个商贩去同一批发商场购买了两次白糖，两次白糖的价格有变化，甲每次购买200千克的白糖，乙每次购买1000元钱的白糖，若两次购买的白糖的价格分别为m元/千克和n元/千克（m、n均为正整数，且），则甲两次购买白糖的平均单价与乙两次购买白糖的平均单价的差是________（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】利用两次购买所花的总金额除以两次购买白糖的总重量即可得到两次购买的白糖的平均价格，以此分别求出甲、乙二人两次购买白糖的平均价格再相减即可得解． 【详解】解：甲两次购买白糖的平均价格为：， 乙两次购买白糖的平均价格为：， 则甲乙两次购买白糖的平均价格之差为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式的应用，准确理解题目的数量关系是解答本题的关键． 48．当时，将x，，按从小到大的顺序用“<”连接起来：________． 【答案】 【分析】利用作差法比较大小，结合的条件判断差的符号，即可得到三个代数式的大小顺序． 【详解】解：①比较与的大小：， ， ，． ，即， 可得； ②比较与的大小：， ， ，，． ，即， 可得． 综上，． 49．数学课上，老师让计算．佳佳的解答如下： 解：原式① ② ③ ＝3④ 对佳佳的每一步运算，依据错误的是（    ） A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则 C．③：逆用乘法分配律 D．④：等式的基本性质 【答案】D 【分析】根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：①：同分母分式的加减法法则，正确； ②：合并同类项法则，正确； ③：提公因式法，正确； ④：分式的基本性质，故错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键． 题型14.分式加减的实际应用 50．某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算的应用，根据“现在购买的数量原来购买的数量”和“购买数量总价单价”列出代数式． 【详解】解：依题意， 故选：A． 51．有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式__________合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 【答案】甲 【分析】本题考查分式混合运算的应用，读懂题意，掌握分式混合运算的应用是解题的关键． 求出甲乙两人分别购买两次的平均价格，进行比较即可解答． 【详解】解：甲采购两次总支付金额为1600元， 总购买数量为（千克）， 平均价格为（元/千克）． 乙采购两次总支付金额为元， 总购买数量为200千克， 平均价格为（元/千克）． ， ∵，，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴甲的平均价格较低，购货方式更合算． 故答案为：甲． 52．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查列代数式，首先求得原来每天的用水量为吨，现在每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：（吨）． 故选：D． 题型15.分式乘除运算 53．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据分式乘法法则计算，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 54．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘除法，熟知运算法则是正确解决本题的关键． 运用分式的乘除法运算法则逐选项进行判断即可得出正确答案． 【详解】解：A．，此选项错误，不符合题意；     B．，此选项错误，不符合题意； C．，此选项正确，符合题意；     D．，此选项错误，不符合题意； 故答案为：C． 55．计算：________． 【答案】 【分析】利用分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果． 【详解】解：原式 ． 56．计算______． 【答案】− 【分析】先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果． 【详解】解： ． 57．计算：______ 【答案】 【分析】先根据分式除法法则将除法转化为乘法，再对多项式因式分解，最后约分得到计算结果． 【详解】解： ． 58．已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 由已知条件出发，通过平方得到的值，再平方一次得到的值． 【详解】解：由，两边平方得：，整理得： 再对，两边平方得： ∴， 故答案为：． 59．计算的结果是_______． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值． 【详解】解： ； 故答案为：． 题型16.分式乘方及混合运算 60．若，则“？”表示的是（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：； 故“？”表示的是； 故选C． 61．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是含乘方的分式的除法运算，先计算乘方，再把除法化为乘法，再约分即可． 【详解】解：； 故选：C 62．计算_________． 【答案】/ 【分析】先算乘方，再把除法转化为乘法，最后利用分式的乘法法则得结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 63．的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 题型17.分式加减乘除混合运算 64．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式和分式的运算，关键是掌握整式的加减乘除运算，利用幂的乘方运算得到，利用多项式乘以多项式分配律可以得到和分式的加法运算同分母分式相加分母不变，分子相加． 【详解】解：、与不是同类项所以无法合并，所以，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算正确，符合题意． 故选：． 65．计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先对第一个分式的分母因式分解，再将两个分式通分，合并化简后即可得到结果． 【详解】解： ． 66．化简的结果是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据分式的加减计算括号内的运算，再根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： ． 题型18.分式化简与最值 67．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 68．已知分式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键． 将转化为，通过提取公因式法化简所求分式即可． 【详解】解： ． 69．如果，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，先将利用分式混合运算法则化简为，再由得出，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴， 故原式的值为2． 故选：D． 70．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 题型19.分式方程基础. 71．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，据此逐一判断各方程即可. 【详解】解：∵ 方程①分母为和，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∵ 方程②分母为和，均含，∴ 是分式方程； ∵ 方程③可化为：，分母中含，∴ 是分式方程； ∵ 方程④可化为：，分母为，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∴ 是关于的分式方程的有②③. 故选：C. 72．解分式方程，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程两边同时乘最简公分母去掉分母，整理后得到正确变形，即可选出对应选项． 【详解】解： 方程两边同乘得 整理得 化简得． 73．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为______． 【答案】1，3 【分析】先根据分式方程的解法求出分式方程的解，然后根据题意求出的范围即可求出答案． 【详解】解：方程两边同乘得， , ， ， ∵分式方程的解为正数，且， ，且， ，且． 又∵为正整数， ，3． 题型20.由分式方程解的情况求值 74．若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；让最简公分母为确定增根；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘，得，由分式方程有增根，得到最简公分母，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程两边都乘，得：， 原方程有增根， 最简公分母，解得， 当时，即， ． 故答案为：． 75．若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 【答案】， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出m的范围即可. 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：, ∴当时，方程无解， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是：，． 76．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 题型21.分式方程无解问题 77．若分式方程有增根，则增根是（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，根据题意解分式方程，使得分式方程无意义时的根为方程得增根即可得到本题答案． 【详解】解：∵使得分式方程无意义时的根为方程得增根， ∴ ∴为方程增根， 故选：A． 78．已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 先解分式方程可得，根据分式方程有增根，让最简公分母为确定增根，即可得关于的方程，解方程可求解值即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，解得：， ∴把代入中，解得：． 故选：C． 79．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵无解， ∴或， 当，， 当，即，将代入，解得：， ∴当无解，则的值为或． ∴根据选项，故选：A． 题型22.列分式方程 80．广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一，某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示出原计划与实际完成任务的天数，根据“实际比原计划提前3天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原计划每天砍收亩，总砍收面积为360亩， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天砍收面积是原来的1.2倍， ∴实际每天砍收亩，实际完成任务的天数为， ∵实际提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3， ∴可得方程． 81．完成一项工程，甲单独完成比乙单独完成少用3天，两人合作4天后，还剩下工程的未完成．设甲单独完成需要x天，则根据题意列出的方程是________． 【答案】 【分析】先根据甲单独完成需要的天数得到乙单独完成需要的天数，再根据两人合作4天完成的工作量等于总工作量减去未完成的工作量，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意得，甲单独完成需要天，甲单独完成比乙少用天，则乙单独完成需要天， 甲的工作效率为，乙的工作效率为． 根据等量关系可列方程为． 82．我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“绫罗各一尺总价120文”的等量关系列方程． 【详解】解：1丈=10尺， 绫罗总长度为 尺， 设绫布有尺， 罗布长度为尺， 绫布总售价为896文， 绫布每尺价格为文， 同理可得，罗布每尺价格为文， 绫、罗各一尺共值钱120文， ， 移项整理得． 题型23.分式方程的行程问题 83．九年级同学去距离学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，剩余同学坐汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的2倍，设骑车的同学速度为千米/小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了出分式方程的应用，设骑车学生的速度为千米/小时，则汽车的速度为，先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系，即可列出方程． 【详解】解：设骑车学生的速度为千米/小时，则汽车的速度为， ∵20分钟小时， ∴ 故选C． 84．某校组织八年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，大巴车和小车行驶距离相同，但小车速度更快且晚出发，利用时间关系列方程即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度为千米/时，则小车的平均速度为千米/时．大巴车行驶时间为小时，小车行驶时间为小时．老师晚出发10分钟，即小时，由于同时到达，因此大巴车行驶时间等于小车行驶时间加上晚出发时间，即． 故答案为：． 85．小王从A地开车去B地，两地相距，实际平均速度比原计划平均速度提高了，结果提前到达，求小王原计划的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的行程问题，列分式方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设小王原计划的平均速度为，根据题意列出分式方程求解． 【详解】解：设小王原计划的平均速度为， 由题意得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：小王原计划的平均速度为． 86．为响应深圳市教育局“每周半天计划”，深圳某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托鲲鹏径20段特色线路展开活动．学校将初一年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的200公里轨迹． 【信息收集】信息一： 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米/时） 第11组 鲲鹏径11段 12.5 第19组 鲲鹏径19段 6 a 信息二：第11组和第19组计划用时相等． 【问题解决】 (1)求a的值和计划用时； (2)第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米时多长时间？ 【答案】(1)的值为1.2，计划用时为5小时 (2)至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）设需要保持平均速度为3千米/时小时，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 解得：， 经检验：是分式方程的根， （小时）， 答：的值为1.2，计划用时为5小时； （2）解：设需要保持平均速度为3千米/时小时， 根据题意得： 解得： 答：至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时. 题型24.分式方程的工程问题 87．网上购物已经成为人们常用的一种购物方式．购物方式的改变给快递行业带来了商机，也带来了挑战．为了提高效率，某快递公司研发了快递机器人专门负责分拣包裹．已知单个机器人比人工（一个人）每小时多分拣100个包裹，单个机器人分拣9000个包裹和人工（一个人）分拣6000个包裹所用时间相同．设人工（一个人）每小时分拣个包裹，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据单个机器人比人工（一个人）每小时多分拣100个，单个机器人分拣9000个包裹和人工（一个人）分拣6000个包裹所用时间相同，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设人工（一个人）每小时分拣x个包裹，则单个机器人每小时分拣个 由题意可得，， 故答案为：． 88．甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少，已知两人每小时共做70个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件，设甲每小时做x个零件，可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程．设甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件，根据甲做180个零件的时间比乙做240个零件的时间少小时，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做个零件， 则甲做180个零件的时间为小时，乙做240个零件的时间为小时． 由题意，甲的时间比乙的时间少小时，即． 故答案为：． 89．甲队计划用若干天完成某项工作，甲队做了3天后，乙队加入与甲队合作，且甲、乙两队的工作效率相同，结果提前两天完成任务．求甲队原计划完成工作的天数． 【答案】天 【分析】设甲队原计划x天完成工作，则甲队共完成工作的，乙队共完成工作的，根据它们的工作量之和等于整项工作“1”列出方程，求解并检验即可． 【详解】解∶设甲队原计划x天完成工作，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． 答∶甲队原计划7天完成工作． 90．某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了，结果共用14天完成了任务．求引进新设备前后工程队每天改造道路各多少米？ 【答案】引进新设备前工程队每天改造道路50米，引进新设备后工程队每天改造道路65米． 【分析】设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路米，根据某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了，结果共用14天完成了任务，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：引进新设备前工程队每天改造道路50米，引进新设备后工程队每天改造道路65米． 题型25.分式方程的经济问题 91．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》读本若干套，其中每套《西游记》读本的价格比每套《三国演义》读本的价格多40元，用3200元购买《三国演义》读本的套数是用2400元购买《西游记》读本套数的2倍，则每套《三国演义》读本的价格是______元． 【答案】80 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；设每套《三国演义》读本的价格是x元，则每套《西游记》读本的价格为元，由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：设每套《三国演义》读本的价格是x元，则每套《西游记》读本的价格为元，由题意得： ， 解得：； 经检验：是原方程的解； ∴每套《三国演义》读本的价格是80元； 故答案为80． 92．为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用是（   ） A．3万元 B．4万元 C．万元 D．6万元 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （万元） 答：原计划每间教室的建设费用是万元， 故选：C． 93．春季是新鲜草莓上市的主要季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用元购买的草莓比乙用元购买的草莓少，求这种草莓的单价．以下是小华和小丽所列的两个方程，请回答下列问题． 小华：；小丽：． (1)小华所列方程中的表示_____，小丽所列方程中的表示_____；（填序号） ①草莓的单价    ②甲用元购买草莓的质量    ③乙用元购买草莓的质量 (2)请从以上两个方程中，任选一个解方程，并求出这种草莓的单价． (3)丙也到该水果超市购买相同单价的奶油草莓，他发现还有一种单价为元的白草莓也不错，于是决定搭配购买两种草莓共，且奶油草莓的数量不超过白草莓数量的倍，求买两种草莓各多少才能花费最少，最少费用是多少元？ 【答案】(1)①，② (2)这种草莓的单价为元 (3)奶油草莓的数量为，白草莓的数量为时花费最少，最少费用是元 【分析】（1）根据分式方程并结合题意分析，即可求解； （2）根据分式方程的解法求解即可； （3）设两种草莓的总费用为，奶油草莓的数量为，则白草莓的数量为，先列出不等式求出的取值范围，再列出与的函数关系式，最后根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：小华所列方程中的表示草莓的单价，小丽所列方程中的表示甲用元购买草莓的质量， 故答案为：①，②； （2）解： ， 经检验，是原方程的解， 这种草莓的单价为元； （3）解：设两种草莓的总费用为，奶油草莓的数量为，则白草莓的数量为， 由题意得， 解得， ， ， 随的增大而减小， 当，时，最少，最少费用为（元）， 答：奶油草莓的数量为，白草莓的数量为时总花费最少，最少费用是元． 题型26.分式方程的和差倍分问题 94．八年级（1）班在校园劳动实践基地拔萝卜．已知第一小组每小时比第二小组多拔2筐萝卜，且第一小组拔18筐萝卜所用的时间与第二小组拔12筐萝卜所用的时间相同．设第二小组平均每小时拔x筐萝卜，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件分别表示出第一小组和第二小组拔萝卜的工作效率，再结合“第一小组拔18筐萝卜所用的时间与第二小组拔12筐萝卜所用的时间相同”这一关系，利用“工作时间=工作总量÷工作效率”来列出方程． 【详解】由题意知，第一小组平均每小时拔筐萝卜， 根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可列方程：． 95．山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 【答案】168 【分析】本题考查了分式方程的应用，设改良前的平均亩产量为，根据“改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩”列分式方程求解即可． 【详解】解：设改良前的平均亩产量为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 所以改良前的平均亩产量为． 96．某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购政府预备支出不超过60000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； (2)政府最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购政府预备支出不超过60000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个）， 答：单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； （2）解∶单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， 则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了， 则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购政府预备支出不超过60000元， ∴， 解得， ∴a的最小值为6， 答：政府最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 题型27.分式方程的其他实际问 97．医用酒精有和两种浓度，通常人们选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，则需要加水___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键． 设需要加水，根据稀释前后酒精质量不变，列出方程求解． 【详解】初始酒精质量为 ． 加水后总质量为 ，酒精质量不变，浓度为 ，即 解方程得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 故需要加水． 故答案为：． 98．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 99．大红袍花椒有芳香健胃、温中散寒、除湿止痛、杀虫解毒、止痒解腥的功效．为拓宽这一特色农产品的销路，助力乡村振兴，某食品公司计划将一批大红袍花椒运往外地销售，现有甲、乙两种货车可供调配，已知甲种货车每辆比乙种货车每辆多装20箱花椒，且甲种货车装运1000箱花椒所用的车辆数与乙种货车装运800箱花椒所用的车辆数相等．求这两种货车每辆分别可以装运的花椒箱数． 【答案】甲种货车每辆可装运100箱花椒，乙种货车每辆可装运80箱花椒 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设乙种货车每辆可装运x箱花椒，则甲种货车每辆可装运箱花椒，根据“甲种货车装运1000箱花椒所用的车辆数与乙种货车装运800箱花椒所用的车辆数相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设乙种货车每辆可装运x箱花椒，则甲种货车每辆可装运箱花椒， 根据题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种货车每辆可装运100箱花椒，乙种货车每辆可装运80箱花椒． 解答题 100．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解； （2）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解； （3）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 101．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式的乘除法法则进行计算即可； （2）先通分，然后按同分母分式加减法计算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 102．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 103．通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，以及对分母因式分解和处理互为相反因式的变形技巧是解题的关键． （1）确定各分母系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂，得到最简公分母，再将每个分式的分子分母同乘相应因式，使分母统一为最简公分母； （2）先对分母因式分解，确定最简公分母，注意处理与的符号关系，再通分； （3）确定各分母系数的最小公倍数和字母的最高次幂，得到最简公分母，再对每个分式变形． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ． （2）解：最简公分母是， ， ． （3）解：最简公分母是， ， ， ． 104．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解： ． ∵， ∴原式． 105．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据已知求出，再将所求代数式整理为，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 106．仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 【答案】当且时 【分析】此题考查了已知分式的值求未知数的范围，解不等式组，解题的关键是正确列出不等式组． 首先将因式分解为，然后类比题干的方法得到①或②，然后分别求解即可． 综合运用因式分解、分式值为负，解不等式等知识． 【详解】解：∵， ∵分式的值为负数， ∴或， ∴①或② 解不等式组①，得且； 解不等式组②，得该不等式组无解． ∴当且时，分式的值为负数． 107．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如： 我们称 是 的“3差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“2差分式”． ① （含x的代数式表示）； ②若A的值为正整数，x为正整数，求x的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据，为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：， 所以分式是分式的“差分式”； （2）解：， ， 解得； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 108．在数轴上点A，B表示的数分别为，，已知A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等． (1)若，求x的值； (2)若不存在满足条件的，求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据题意得，再将代入解分式方程即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，点A和原点重合，不符合题意，舍去；当时，解分式方程，根据分式方程无解的情况，即可求解． 【详解】（1）解： ∵A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等， ∴， 当时，， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：当时，，此时点A和原点重合，不符合题意，舍去； 当时， ∵A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等， ∴， 去分母得：， 已知不存在满足条件的x的值，则， 把代入得，， 解得：， 综上，m的值为. 109．下面是小明探究取值的规律的过程． （ⅰ）分别求出当，，，，，，1，2，3时的值，部分数值如下表所示： 1 2 3 （ⅱ）根据（ⅰ）中的表格，猜想有最小值． 结合上述探究过程，回答下列问题： (1)表中____，____，____； (2)（ⅱ）中的猜想是否正确？如果正确，请证明；如果错误，说明理由； (3)（为正整数）是否有最小值？如果有，直接写出这个最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)2，2， (2)（ⅱ）中的猜想正确，最小值为2 (3)有最小值，最小值为2 【分析】本题考查了求分式的值，完全平方公式等知识，解题的关键是： （1）把，，分别代入计算即可； （2）利用完全平方公式求出，然后根据非负数的性质可得出，故当，即时，，即可求解； （3）类似（2）判断即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：2，2，； （2）解：（ⅱ）中的猜想正确，最小值为2 证明：∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时，， 即有最小值为2； （3）解：（为正整数）有最小值为2， 理由：∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时，， 即有最小值为2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题08分式专项训练 ☆ 题型突破期中复习导航 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数是未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式变形与系数标准化 题型09.分式值变化判断 题型10.约分与最简分式 题型11.通分与最简公分母 题型12.分式的加减 题型13.分式加减混合运算 题型14.分式加减的实际应用 题型15.分式乘除运算 题型16.分式乘方及混合运算 题型17.分式加减乘除混合运算 题型18.分式化简与最值 题型19.分式方程基础 题型20.由分式方程解的情况求值 题型21.分式方程无解问题 题型22.列分式方程 题型23.分式方程的行程问题 题型24.分式方程的工程问题 题型25.分式方程的经济问题 题型26.分式方程的和差倍分问题 题型27.分式方程的其他实际问题 解答题10题 重要知识 细和海细国面细m细m■ 知识点01：分式的概念 1定义：形如合，其中A、B为整式，日B中含有字母 2.有意义的条件：B≠0 3.值为0的条件：A=0且B0(必考) 4.整式与分式统称有理式。 试卷第1页，共3页 概念：如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式 《当B≠0时，分式有意义》 (★有无意义) (当B=0时，分式无意义 ★对于分试A/ ★值为0)(A=0且B≠0（同时满足） B来悦 当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1 若A/B>0,则A、B同号：若A/B<0,则A、B异号. 分式的相关概念 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫分式的约分. 联系与区别 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分 式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简 分式 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式 的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母. AA.C 分试 B.C 基本性质 其中A,B,C是整式且C+0 分式的性质 8+C 符号法则 ==-=- 8±-地 分式的加减法 bd 8· 分式的乘除法 ★分式的运算 8+9=8= 分式的乘方 ”- 分式的混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减有括号的，先算括号里的. 灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式 知识点02：分式的基本性质（本章核心） A-ACA_A÷C B-BC’B-B÷C (C是不等于0的整式) 1.符号法则 A--A--A_A B-B B-B 2.分式的变号（分子、分母、分式本身，改变两个符号不变） 知识点03：分式的约分与最简分式 1.约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。 2.公因式找法 (1)系数：最大公约数 (2)字母：相同字母最低次幂 试卷第2页，共3页 (3)多项式：先因式分解，再找公因式 3.最简分式 分子与分母没有公因式（互质）的分式。个计算结果必须化为最简分式。 知识点04：分式的通分 1.通分定义 把几个异分母分式化成同分母分式，叫做通分。 2.最简公分母(LCD)找法 ()系数：各分母系数的最小公倍数 (2)字母：所有出现字母的最高次幂 (3)多项式：先因式分解，再取所有因式最高次幂 知识点05：分式的乘除与乘方 1.乘法：bdbd a.c_ac (b0,d≠0) a.c_a d a.d 2.除法：6 d-b'c bc (b0,c0,d0)(除以一个分式=乘它的倒 数) 3.乘方：(a)",a”(b0,n为正整数) bb" 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减：有括号先算括号。 知识点06：分式的加减 同分母分式加减法则：9±b=a±b (c≠0) C 异分母分式加减法则： ahC-ad.bc_ad±bc b±d-bd-bd bd (b≠0，d0) 知识点07：分式方程（必考大题） (1)定义：分母中含有未知数的方程。 (2)解法步骤： ①找最简公分母 试卷第3页，共3页 ②去分母化为整式方程 ③解整式方程 ④检验！↓（必须写） 代入最简公分母，≠0→是原方程解 =0→增根，无解（若所有解都是增根，则原方程无解） (3)增根：使最简公分母=0的根，不是原方程的解。 知识点08.分式方程实际应用 一.行程问题 基本公式： 路程=速度×时间 s=v't 变形：v已 常见等量关系： ①顺流速度=静水速度+水流速度 ②逆流速度=静水速度-水流速度 ③不同方式行驶同一段路程，时间差相等 二、工程问题 基本公式：工作量=工作效率×工作时间 W=e.t 变形：et8 常见等量关系： ①总工作量通常设为1 ②各部分工作量之和=总工作量 ③合作效率=各单独效率之和 三、经济问题 核心公式： 利润=售价·成本 试卷第4页，共3页 利润率= 利润 成本 ×100% 总价=单价×数量 常见等量关系：①价格变化前后，总利润不变②销量与单价成反比变化时， 总销售额不变 四、和差倍分问题 常见等量关系： ①A是B的n倍→A=nB ②A比B多/少m→A=B±m ③A与B的比为a:b→ Aa B b 题型突破考点突破 国■面细■国m■■■国■国■■■细■■国面国 题型01.分式的判断 2x-y3 1.代数式x53+a3+元中，属于分式的有（) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.请你写出一个满足下述两个特点的分式： ①这个分式中只含有字母x;②当x=1时，分式的值是0 3.下列判断中，正确的是() A.分式的分子中一定含有字母 5 B.对于任意有理数x,分式3x2+2总有意义 C.分数一定是分式 D.当A=0时，分式B的值为0(A,B为整式) 题型02.分式规律探究 2 6 5 3 9 -1 4.观察下列各等式2一4+642,54+342,9-4十1-42，依照以上各式 成立的规律，得到一般性的等式为() 试卷第5页，共3页 A+7+x=2 -x-33-x B4+-2 X++4=2 C.x-4 x x+1+x+5=2 D.x-3x+1 2、2 5对下在意手有理致规光品，- 3, +1 2 …,利用以上规律计算： /226小/20s+/8/[0/m+i2+i3+120251+12mo= 6.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得 名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的 1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的 数都是它左上方和右上方的数之和.若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依 次组成一系列新的数，依次记作4,4,4，a,4a，由图可知4=1a=3,4=6若 1+1++L-4052 41a2 +02027,则n=（） 杨辉三角 1 11 12回 13目1 14 目41 ...N..N..A.8 A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 题型03按要求构造分式 7.一辆汽车bh行驶了akm,则它的平均速度为 kmh；一列火车行驶akm比这 辆汽车少用1h,则它的平均速度为 km/h 8.打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字2，打字速度为w字min,第二天打 试卷第6页，共3页 字速度比第一天快了l0字min,两天打完全部文件，第二天她打字用了 min 9.某校组织全体师生m人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘 坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆 () m+1 m-1 m1 A.n辆 B.n辆 )辆 D.（nJ辆 题型04.分式的求值 a_5 a-b 10.已知方3，则分式a+b 山.日知30=4h'0'侧+h 26的值为 x2 12.已知-3+=1，则x-平+1的值为 题型05.分式有无意义与值为零综合 2x 13.当x=2时，分式x-m无意义，则m的值为 3x-3 14.函数y=3x-2中，自变量x的取值范围是 x2-4 15.若分式x-2的值为零，则x的值是 16.根据下列表格中的部分信息，分式y可能是() 2y 0 无意义 0 A. x+1 x-1 C. x-1 2 x+2 B. x+2 x-2 D. 2x 2x 17.若分式-2有意义，则分式x+2() A.有意义 B.无意义 C.值为0 D.值不为0 题型06.分式值为正负及整数是未知数求解 试卷第7页，共3页 18.当分式x+2的值为正数时，x的取值范围是() A.x2-2 B.x>-2 C.x≠-2 D.任意实数 4x+1 19.使分式2x-1的值为整数的所有整数x的和是（) A.3 B.2 C.0 D.-2 x2+2 20.对于非负整数x,使得x+2是一个正整数，则x可取的个数有() A.3 B.4 C.5 D.6 x-1 21.若分式-2的值为正数，则x的取值范围是() A.1<x<2或x<-2 B.x<-2或x>2 C.-2<x<1或x>2 D.-2<x<2 题型07.分式变形的判断与条件 22.下列各式中，与分式2- 一的值相等的是() 1 1 1 1 A.x-2 B. x+2 C. x+2 D. x-2 b=bx 23.若a≠0，等式3a3a成立，则x应满足的条件是 24.若分引0+b40e+d￥0，则下列等式不-一定成立的是() a+b c+d a-b c-d a a+m c+m A. b d B.bd C.a+bd+c D.b+m d+m 题型08.分式变形与系数标准化， 1-2x 25.不改变分式的值，使分式-x+3x一3的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则 分式可化为() 2x-1 2x-1 2x+1 2x+1 A.x2+3x-3 B.x2-3x+3 C.x2+3x-3 D.x2+3x+3 试卷第8页，共3页 1 m2+n2 26.不改变分式的值，使2 的分子中不含分数，则该分式可化简为 m-n 27.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中x的最高次项的系数为正数. -3x+x2 (1)-2x2+x -x2-1 (2)-x+y: (3)xx2 -x2+x 题型09.分式值变化判断 2xy 28。若把分式口中的x’y同时扩大到原来的5倍，则分式的值也扩大到原来的5倍，则 “口”可以是() A.5 B.y 3xy D.32 2x 29.如果把分式x+y中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值(). A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.缩小为原来的2 30.下列说法正确的是() x+4 A.代数式2元是分式 x+1 B.分式2+是最简分式 x2-9 C.分式x-3的值为0，则x的值为3 D.分式3r-2y中xy都扩大3倍，分式的值不变 试卷第9页，共3页 题型10.约分与最简分式 31.下列分式中，是最简分式的是() x2-1 2x x+2 x2-2x A,x+1 B.4x2 C.x2+4 D. 32.下列分式是最简分式的是() 4 mn 3m x+y A.2a B.m'n2 C.m2+3 D.x2-y2 x2-9y2（） 33.己知等式x2-6xy+9y2x-3y成立，则括号中可以填写的整式为() A.3 x+3y B. C.*-9y x+9y D. x+y a-b)2 4.下列各式m:027:0司：产号：0”：尚 x+y ,是分式 并且属于最简分式有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型11.通分与最简公分母 35.y,2x2,62的最简公分母是() A.2 B.6xv'yz C 2x2y D.6.2 11 1 36。对分式3x,2下通分，两个分式的最简公分母是一，通分的结果是3x 1 -；2x2= 3汉.若}64，则 b a-b- 23 38.分式。与2ab的最简公分母是 试卷第10页，共3页