专题13 分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题13 分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、解分式方程 类型二、解分式方程错解复原问题 类型三、已知分式方程的增根求参数 类型四、已知分式方程的无解求参数 类型五、根据分式方程解的情况求值 类型六、分式方程中的规律探究问题 类型七、分式方程中的新定义型问题 压轴专练 类型一、解分式方程 1.去分母，化为整式方程：首先找到所有分母的最简公分母。然后方程两边同时乘以这个最简公分母。这样可以消去所有分母，把方程变成一个整式方程。 2.解这个整式方程：用学过的方法解这个整式方程，求出未知数的值。 3.检验根的有效性：这是最关键的一步。把求出的未知数的值代入最简公分母。如果结果不等于0，这个解就是原分式方程的解。如果等于0，这个解就是增根，原方程无解。 例1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）解方程： (1)； (2)5． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】（1）先变形，再方程两边同乘(，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 方程可化为， 方程两边同乘(，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的增根， 所以原分式方程无解； （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】（1）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根； （2）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根． 【详解】（1）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程无解； （2）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 【变式1-2】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1)方程无解 (2) 【分析】本题主要考查解分式方程，根据题意可知分式方程的解法步骤：去分母（同乘以最简公分母），化为整式方程，解方程，检验，得到原方程的解 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，原式， 所以原方程无解； （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）解分式方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】解分式方程的基本步骤：先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 检验：当时，， 是原方程的根． （2）解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 检验：当时，， 是原方程的根． （3）解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 检验：当时，， 是原方程的根． 类型二、解分式方程错解复原问题 1.定位错误，反推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步出错的。 通常是去分母时漏乘了不含分母的项，或忘记检验导致保留了增根。 顺着他的错误步骤和得到的结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息。 2.使用正确条件，重新求解：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的解分式方程问题。 完全忘掉之前的错误解法，按照**"去分母、解整式方程、检验"**的正确步骤重新解一遍。 3.得出正确答案：最后，根据正确的解题过程，得出原分式方程的正确解。 例2．（25-26八年级上·河南·期末）对于分式方程，小叶同学的求解过程如下． 解：第一步：方程两边乘，得． 第二步：． 第三步：． 第四步：检验：当时，． 所以，是分式方程的解． 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_________________________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1) 一；去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母 (2) 无解，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要把方程两边同时乘以公分母化为整式方程，求出的整式方程的解要代入公分母检验是否增根． （1）根据解分式方程的步骤可知小叶在第一步去分母时发生了错误，小叶去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； （2）根据解分式方程的步骤求出方程的解，再把求出的解代入公分母检验是否增根． 【详解】（1）解：小叶在第一步去分母时发生了错误， 去分母应把等式的两边同时乘以公分母， 小叶去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； 故答案为：一，去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 【变式2-1】（25-26八年级上·山西忻州·期末）下面是小王同学在黑板上解分式方程的部分过程，请你认真阅读，并解决老师提出的问题． 解分式方程： 解：．  第一步 ．  第二步 ．  第三步 …… 问题解决： (1)以上解方程的过程中，第________步开始出现错误，错误的原因是________． (2)请写出解该分式方程的正确过程． 【答案】(1)三；括号前面是“－”，去括号后，第二个括号内的第二项没有变号 (2)过程见解析； 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）去第二个括号时第二项没有变号，出现错误； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：去括号时，的第二项没有变号． 故答案为：三；括号前面是“－”，去括号后，第二个括号内的第二项没有变号． （2）解：， 两边同时乘得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【变式2-2】（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，…………………………第一步 去括号得，，…………………………第二步 解得，，…………………………第三步 检验：当时，，…………………………第四步 ∴是原方程的根．…………………………第五步 任务： (1)小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)请你写出正确的解方程过程； 【答案】(1)一；方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3” (2)见解析 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）观察小亮解分式方程的过程，找出出错的步骤，分析错误原因即可； （2）写出正确的解方程过程即可． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误， 错误的原因是方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3”； 故答案为：一；方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3”； （2）解：原方程可化为． 方程两边都乘以去分母，得． 去括号得：，移项得：， 合并同类项得：，解得． 检验：当时，，所以不是原分式方程的解， 故原方程无解． 【变式2-3】（25-26七年级上·上海宝山·月考）老师在批改这道题时，发现了其中的错误． 以下是某同学解的过程： 解：由原方程可得………………① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是 可得…………………………………………② 解得………………………………………………③ 经检验是原方程的解……………………………④ 所以原方程的解是 (1)先请你指出：解题过程中，从第____________步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可） (2)请写出你认为正确的解题过程． 【答案】(1) (2)见解析． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法和步骤是解题的关键． （）根据分式方程的解法进行分析即可得到答案； （）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：∵第步最后的式子应为：， ∴从第步开始出现错误， 故答案为：； （2）解： ， 检验：当时，， ∴原方程的解是． 类型三、已知分式方程的增根求参数 1. 确定增根的可能值：让原分式方程的每个分母都等于0，解出的x值就是增根的"候选"。 这一步是解题的关键前提。 2. 代入整式方程求参数：把第一步找到的增根x值，代入去分母后得到的整式方程中。 这样就可以解出题目中要求的参数值。 3. 结果验证：把求出的参数值代入原分式方程。 检查它是否真的会导致方程产生增根，而不是让方程无解。 这一步能确保你的答案万无一失。 例3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）关于的分式方程有增根，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分式方程有增根时，分母为零，即，代入化简后的方程求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简得． 令，得， 解得：． 故答案为：1． 【变式3-1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东威海·期末）若分式方程有增根，则k的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， ， 因为方程有增根， 所以， 所以， 所以把代入整式方程，得， 解得， 故答案为：1． 【变式3-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的分式方程有增根，则该分式方程的增根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的增根是使分母为零的根，且能使去分母后的整式方程成立是解题的关键． 分式方程的增根是使公分母为零的根，公分母为 ，因此可能增根为 或 ，代入整式方程检验， 时方程不成立， 时方程成立当 ，因此增根为 ． 【详解】解：原方程为 公分母为 ，两边乘公分母得整式方程 增根为使公分母为零的 值，即 或 当 时，代入整式方程得 ，即 ，不成立； 当 时，代入整式方程得 ，即 ，解得 ， 此时整式方程有解 ，但 使原方程分母为零，故为增根 因此该分式方程的增根为 ． 故答案为： ． 类型四、已知分式方程的无解求参数 1.整式方程本身无解：把分式方程去分母后，会得到一个整式方程。 如果这个整式方程是  0x = 非零数  的形式，那么它本身就没有解。 这种情况下，原分式方程自然也无解。 2.整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解会让原分式方程的分母为零。 这个解就是增根。因此，原分式方程无解。 这种情况的解法和上一轮"已知增根求参数"是一样的。 例4．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为___________． 【答案】或 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解a的值：一种是整理后整式方程中x的系数为0，整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． 当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根． 分式方程的增根使最简公分母为0，即，得， 将代入，得， 解得． 综上，的值为或． 【变式4-1】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）若关于的分式方程无解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的条件，熟练掌握分式方程增根的产生原因及求解方法是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解的条件（解为增根），求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原方程分母为零，是增根，此时方程无解， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若关于x的方程无解，则m的值______． 【答案】，， 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：整式方程无解或整式方程的解为增根．先化为整式方程，再分别讨论系数为0时整式方程无解，以及解为增根1或2的情况． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 移项得 当且时，整式方程无解 解得； 当整式方程的解为增根时，原方程无解， 增根为或 若，代入整式方程得 解得； 若，代入整式方程得 解得； 综上，的值为，，． 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的分式方程无解，则的值为____________． 【答案】1或或 【分析】分式方程无解的情况包括整式方程的解为增根，即使最简公分母为零．因此，先将分式方程化为整式方程，再令增根代入求解． 【详解】解：原方程化为： ， ：两边同乘最简公分母 ，得 ， 整理得 ：，即 ， 解得：． 方程无解时，整式方程的解为增根，即 或 ． 当 时，代入得 ，解得 ， 或 ； 当 时，代入得 ，解得 ，． 故答案为：或或． 类型五、根据分式方程解的情况求值 1.方程有解：先把分式方程化为整式方程。 再将解代入，确保分母不为零。 这是最基础的"先解方程，后代入"思路。 2.方程无解：这种情况要分两种子情况讨论： - 情况一：转化后的整式方程本身无解。 - 情况二：整式方程有解，但这个解是原方程的增根。 3.方程解为正/负数：先求出整式方程的解。 然后根据要求列出不等式，如解 > 0 或解 < 0。 最后，一定要加上一个重要条件：解不能让原方程的分母为零。 例5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为且， 故答案为：且． 【变式5-1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的最小值为___________． 【答案】 1 【分析】本题考查分式方程的解，解分式方程得到解，根据解为非负数和分母不为零的条件，确定a的取值范围，进而求出a的最小值。 【详解】解：， 解得， ∵解为非负数，得，即； 又， ∴， ∴，即， ∴且， 故a的最小值为1， 故答案为：1． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出方程的解，再根据解为负数列不等式即可． 【详解】解：， ∴且， 由题意知，， 解得且． 故答案为：且． 【变式5-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）若，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【答案】10 【分析】本题考查了解分式方程，先理解题意，由得到，要求为正整数且，结合，求出所有符合条件的整数，然后求和，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 化简得 ， ∴． 依题意，为正整数且， ∴为正整数且不等于2． 设，则，其中为正整数且．又因为， ∴， 解得， 即（为正整数）． 因此． 对应值：当 ，； 当，； 当，． ∴所有整数的和为 ． 故答案为 10． 类型六、分式方程中的规律探究问题 1. 解前几个方程，找规律：题目通常会给你 n=1, n=2, n=3... 时的分式方程。 你先把这几个方程的解都求出来，然后把解和序号 n 放在一起观察。 2. 猜想并写出通项公式：看看解的分子、分母和序号 n 之间有什么联系。 试着用含 n 的式子把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3. 验证规律的正确性：找到规律后，最好再用 n=4 或 n=5 来验证一下。 把 n 值代入你总结的通项公式，看得到的解是否能满足对应的分式方程。 例6．（25-26八年级上·广东湛江·期末）探索发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题： (1)______，______； (2)利用你发现的规律计算：______； (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)方程的解为 【分析】本题考查找规律：数字的变化类、裂项相消法计算、解分式方程，熟练掌握有理数的混合运算法则，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）观察已知等式，写出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）根据得出的规律化简方程，求出解即可． 【详解】（1）解：根据上述规律， 可得，， 故答案为：，． （2）解： ， 故答案为：． （3）解：化简： 故可得 解上述分式方程，化简得， 解得，经检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解， 故方程的解为． 【变式6-1】（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 【详解】（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 【变式6-2】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 【变式6-3】（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【答案】(1)或 (2)或，过程见解析 (3)或 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将方程转化为的形式． （1）由可得，根据题意可得； （2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可； （3）先将原方程转化为的形式，然后得到或，然后解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程的解为：或； 故答案为：或； （2）解：方程的解为：或， 检验：当时，左边右边，故是方程的解， 当时，左边右边，故也是方程的解； （3）解：将方程左边整理得： ； 方程右边整理为： ； ∴原方程可化为：， ∴或， 解得，或． 类型七、分式方程中的新定义型问题 1. 仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2. 套用公式，列出方程：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。根据题目要求的等量关系，列出一个新的分式方程。 3. 求解并检验：列出分式方程后，就按照解分式方程的常规步骤来解。别忘了最后一定要检验，确保解的有效性，避免出现增根。 例7．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 【答案】(1)不是的“和谐式”，理由见解析 (2)①；②2，4，0，6 (3) 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，解二元一次方程组， （1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案； （2）①由定义可得，即有，整理可得：的表达式； ②化简，根据为整数，且“和谐式”的值也为整数，得到：是3的因数，从而可得答案； （3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1），， ， 不是的“和谐式”； （2）①是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ，， ， ， ， ②， 为整数，且的值也为整数， 是的因数， 可能是：，， 的值为：2、4、0、6， 且都满足； （3） ∵是的“和谐式”， ∴设 ∴ ∴ 解得 ∴． ∴关于的“和谐值”是． 【变式7-1】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 【变式7-2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”． ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， ①的答案是； 当，时， 分式方程，解得， ， ②的答案是； 故答案为：；； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，解得， ， ， 解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘以，解方程，检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得 ，解得 ． 检验，当时，， 故是原方程的解． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解问题，掌握增根是使分母为零的根是解题关键． 将分式方程转化为整式方程求得，再由增根得出，从而求m． 【详解】解： 方程两边同时乘得，， 解得：， 方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤．解分式方程，得到解x关于k的表达式，根据解为非负数且分母不为零，得到k的取值范围． 【详解】解：， 两边乘以，得， 解得， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴k的取值范围是且， 故选：D． 4．（2025八年级下·河南郑州·专题练习）新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，解分式方程，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ∴， ∴ 解得， 经检验是分式方程的解． 故选A． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期中）观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建厦门·期末）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 将分式方程两边通分后交叉相乘，化为整式方程求解，并检验分母是否为零． 【详解】解： ， ， ， ， ， 检验：当时，分母且， 故原方程的解为． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）关于x的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是弄清分式方程无解的条件． 先把分式方程化为，再根据分式方程无解得到有增根，然后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， ∵关于x的分式方程无解， ∴， ∴有增根， ∴代入，得， 解得，． 故答案为：4． 8．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查实数的概念及分式方程的解法，熟练掌握实数的概念及分式方程的解法是解题的关键；根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可． 【详解】解：由定义可知：， ∴， 解得； 经检验，当时，分母， 故是方程的解； 故答案为． 9．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到，再根据解为正数且方程不能有增根，列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴； 又∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， 综上所述，且， 故答案为：且． 10．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）观察下列等式的规律，并回答下列问题： ； ； ； 请运用上述等式的特点规律解下列方程，则该方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，分析等式特点得到规律，应用规律到方程是解决本题的关键．先根据上面的规律化简方程，解分式方程求出解，检验得结论． 【详解】解：， ， ， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东聊城·月考）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解： ， 去分母得：， 解得， 检验，当时，， 原分式方程的解是； （2）解：， 去分母得：， 解得， 检验：当时，最简公分母， 原分式方程无解． 12．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）小珍解方程过程如下： 解：去分母，得……第一步 去括号，得 ……第二步 合并同类项，得……第三步 解得 ……第四步 检验：当时， 不是分式方程的根，原分式方程无解．……第五步 (1)你认为小珍从第______步出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步 (2)，过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．注意：解分式方程，最后需要检验，避免出现增根． （1）根据解题过程逐步判断解答； （2）根据解分式方程的步骤写出正确的解答过程即可． 【详解】（1）解：小珍从第一步出现错误，去分母时，方程右边没有乘以公分母， 故答案为：第一步 （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 13．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程： （1）根据列式计算即可； （2）根据及分式的混合运算法则计算； （3）将变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 14．（25-26八年级上·河北沧州·月考）计算 （1）解下列方程，直接填空： ①的解为　　　； ②的解为　　　； ③的解为　　　； ④的解为　　　； ...... 归纳 （2）请根据“计算”中发现的规律写出第⑥个方程并直接写出该方程的解； 总结 （3）请用一个含正整数n的式子表示上述方程的规律，并求出该方程的解． 【答案】（1）①0，②1，③2，④3；（2），；（3）， 【分析】本题考查了分式方程的求解及规律探究． （1）根据解分式方程的法则分别进行求解即可； （2）观察上述方程及解的规律可得到第⑥个方程并求解即可； （3）根据上述规律，第n个方程为，再对该分式方程进行求解即可． 【详解】解：（1）①方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； ②方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； ③方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； ④方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； 故答案为：①0，②1，③2，④3． （2）第⑥个方程为， 解得． （3）第n个方程为， 方程两边同乘，得，解得， 经检验是原分式方程的解． 15．（25-26八年级上·全国·期末）探索规律： (1)直接写出计算结果： = ． (2)仿照（1）的方法探究可知， 可变形为 ． (3)运用规律解方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的裂项相消法及分式方程的求解，解题的关键是掌握裂项公式，并利用其化简计算． （1）利用裂项相消法，将每一项拆分为两个分数的差，再抵消中间项计算； （2）仿照（1）的方法探究可得出的变形形式； （3）先利用裂项相消法化简方程左边，再解分式方程并检验． 【详解】（1）解：原式 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：原方程可化为 ， 即， ∴， 即． 两边同乘（)得，， 解得． 检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解． 答：原方程的解为． 16．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）不妨定义：如果两个代数式A，B的值满足，则称A，B具有和谐关系．当具有和谐关系的两个代数式A，B都是整式时，则称A，B互为和谐整式；当具有和谐关系的两个代数式A，B都是分式时，则称A，B互为和谐分式． (1)判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”． ①整式与对任意x都具有和谐关系；（  ） ②分式 与 互为和谐分式；（  ） ③如果分式与互为和谐分式，则．（  ） (2)当时， 如果分式与始终互为和谐分式，求a和b的值； (3)已知x，y都是整数，当整式与互为和谐整式时，求x、y的值． 【答案】(1)① ×；②√；③ × (2) (3)或 或或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解二元一次方程组，因式分解的应用，分式的加法运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据和谐分式和和谐整式的定义可判断①②；根据和谐分式的定义可得方程，解方程可判断③； （2）根据和谐分式的定义可得，则可得到，进而得到，解之即可得到答案； （3）根据题意可得，则可推出，再把5分解成2个整数的乘积，则可得到关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：①， ∵对于任意的x，的值不一定为1， ∴整式与对任意x不一定具有和谐关系，故错； ②， ∴分式 与 互为和谐分式，故对； ③当分式与互为和谐分式时，则， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，故错； （2）解：∵当时， 如果分式与始终互为和谐分式， ， ∴， ∴， ∵当时，等式恒成立， ∴， ∴； （3）解：∵与互为和谐整式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或 或 或 解得或 或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、解分式方程 类型二、解分式方程错解复原问题 类型三、已知分式方程的增根求参数 类型四、已知分式方程的无解求参数 类型五、根据分式方程解的情况求值 类型六、分式方程中的规律探究问题 类型七、分式方程中的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、解分式方程 1,去分母，化为整式方程：首先找到所有分母的最简公分母。然后方程两边同时乘以这个最简公分母。 这样可以消去所有分母，把方程变成一个整式方程。 2.解这个整式方程：用学过的方法解这个整式方程，求出未知数的值。 3.检验根的有效性：这是最关键的一步。把求出的未知数的值代入最简公分母。如果结果不等于0，这 个解就是原分式方程的解。如果等于0，这个解就是增根，原方程无解。 例1.(25-26八年级上·湖南常德期末)解方程： 1 4 (0x-22-4 2 2)3x-2+2-3x=5. 【变式1-1】(25-26八年级上山东临沂·期末)解方程： 2 4 (002x-14x2-1 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31 5 (2)23x-16x-2· 【变式1-2】(25-26八年级下·四川绵阳开学考试)解方程： 12 22 (0x2-9x-3x+3 e÷1 7 2x+6 【变式1-3】(25-26八年级下·全国·课后作业)解分式方程： 2=3 ()x-1x ,x+1=5-,8 (2)3-2x 2x-3; 20 =1 (③)x-4x(x-4) 类型二、解分式方程错解复原问题 1.定位错误，反推条件：仔细阅读题目，找出”小明"或”小红"是在哪一步出错的。 通常是去分母时漏乘了不含分母的项，或忘记检验导致保留了增根。 顺着他的错误步骤和得到的结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息。 2.使用正确条件，重新求解：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的解分式方程问题。 完全忘掉之前的错误解法，按照*”去分母、解整式方程、检验”*的正确步骤重新解一遍。 3.得出正确答案：最后，根据正确的解题过程，得出原分式方程的正确解。 1 2526八年级上河南期末)对于分式方程-一干一+，小叶同学的求解过 解：第一步：方程两 边乘x-),得 (r-1)x x-I=Gx-D)x- *1 第二步：1=x+1。 第三步：x=0, 第四步：检验：当 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=0时， x-1=-1≠0 所以，x=0是分式方 程的解。 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： ()小叶的解法从第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解答过程. 【变式2-1】(25-26八年级上·山西忻州期末)下面是小王同学在黑板上解分式方程的部分过程，请你认 真阅读，并解决老师提出的问题 2x-1-x-1-2 解分式方程：3x+6x+2 2x-1- x-1-2 解：3(x+2)x+2 第一步 2x-1=3(x-1-6(x+2 第二步 2x-1=3x-3-6x+12.第三步 … 问题解决： (1)以上解方程的过程中，第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出解该分式方程的正确过程. 1=3-x-1 【变式2-2】(25-26八年级上贵州铜仁期末)下面是小亮同学解方程2- 3x-2的过程，请阅读并 完成相应任务。 1=3+(x- 解：去分母得， …第一步 去括号得，1=3+x-1,…第二步 解得，x=-1, …第三步 检验：当x=-1时，2-x≠0，…第四步 .x=一1是原方程的根。…第五步 任务： ()小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是： 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)请你写出正确的解方程过程： 【变式2-3】(25-26七年级上·上海宝山月考)老师在批改这道题时，发现了其中的错误. 53x 以下是某同学解2x一+一2=2的过程： 53x 解：由原方程可得2x-12x- =2…① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是 可得5-3x=2…② 解得X=1…③ 经检验x=1是原方程的解…④ 所以原方程的解是x=1 ()先请你指出：解题过程中，从第 步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即 可) (2)请写出你认为正确的解题过程. 类型三、已知分式方程的增根求参数 1.确定增根的可能值：让原分式方程的每个分母都等于0，解出的x值就是增根的"候选"。 这一步是解题的关键前提。 2.代入整式方程求参数：把第一步找到的增根x值，代入去分母后得到的整式方程中。 这样就可以解出题目中要求的参数值。 3.结果验证：把求出的参数值代入原分式方程。 检查它是否真的会导致方程产生增根，而不是让方程无解。 这一步能确保你的答案万无一失。 例3.2526人年级上上海消东新期末)关于，的分式方程日”22有蜡根，则网。一 23x-2=2+m 【变式3-1】(25-26八年级上河北石家庄·期末)关于x的方程x+1 +1有增根，则增根是 m= 【安式3】2526八年缓上山东威将期来)若分式方程点之2-司 =x-2有增根，则k的值是」 3=0+4 【变式3-3】(25-26八年级下·全国课后作业)若关于x的分式方程x-2xx(x-2)有增根，则该分式 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方程的增根为 类型四、已知分式方程的无解求参数 1.整式方程本身无解：把分式方程去分母后，会得到一个整式方程。 如果这个整式方程是0x=非零数的形式，那么它本身就没有解。 这种情况下，原分式方程自然也无解。 2.整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解会让原分式方程的分母为零。 这个解就是增根。因此，原分式方程无解。 这种情况的解法和上一轮”已知增根求参数”是一样的。 例4，(2526八年级上陕西延安期末)若关于x的分式方程产24=无解，则。的值为 3a 【变式41】（25：26八年级上湖北荆州期末)若关于，的分式方程x己4=34 2 3x-4无解，则m的值是 1+m2m+2 【变式4-2】 (25-26八年级上河北邯郸期末)若关于x的方程x-1x-2(x-(x-2)无解，则m的值 【变式4-3】(2526八年级下全国课后作业)若关于的分式方程53m++6 x-1+1x2-1+x2一无解，则 m的值为 类型五、根据分式方程解的情况求值 1.方程有解：先把分式方程化为整式方程。 再将解代入，确保分母不为零。 这是最基础的先解方程，后代入”思路。 2.方程无解：这种情况要分两种子情况讨论： 情况一：转化后的整式方程本身无解。 情况二：整式方程有解，但这个解是原方程的增根。 3.方程解为正/负数：先求出整式方程的解。 然后根据要求列出不等式，如解>0或解<0。 最后，一定要加上一个重要条件：解不能让原方程的分母为零。 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-3=m 例5.(25-26八年级上江苏南通·期末)若关于x的分式方程x-1 的解为正数，则m的取值范围 1-x 是 x-1_a-2x 【变式5-1】(25-26八年级上·四川绵阳·期末)若关于x的分式方程x-22-x的解为非负数，则实数 a的最小值为 k+2x+k=1的解为负数，则k 【变式5-2】(25-26八年级上河南商丘期末)已知关于x的分式方程x+1x+1 一十 的取值范围是 【变式53】(2536八年级上：山索台期未)芳。≥4：且关于的分式方程23 2-x有正整数 解，则所有满足条件的整数a的值之和为 类型六、分式方程中的规律探究问题 1.解前几个方程，找规律：题目通常会给你n=1,n=2,n=3..时的分式方程。 你先把这几个方程的解都求出来，然后把解和序号n放在一起观察。 2.猜想并写出通项公式：看看解的分子、分母和序号n之间有什么联系。 试着用含n的式子把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3.验证规律的正确性：找到规律后，最好再用n=4或n=5来验证一下。 把值代入你总结的通项公式，看得到的解是否能满足对应的分式方程。 1 =1-11-111-11 例6。(25-26八年级上广东湛江·期末)探索发现：1×2=1-2：2×323；3×434…根据你发 现的规律，回答下列问题： 1 (1)4×5 nx(n+1) ②利用你发现的概律计教：223汉4++ 111 +nx刘n+ 1 1 3)灵活利用规律解方程：x+1x+x+2+…+x+2025x+2026x+2026. 十 【变式6-1】(25-26八年级上·广西防城港·期末)探究与应用 【特例分析】 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)填空： 1 2 ① x+1x+1 -1的解为： 24 x+1x+1的解为： ② ③ 3=6 +1x中1的解为： … 【总结规律】 (2)根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解：-· 【解决问题】 (3)请你按照上述规律写出第n(n为正整数)个分式方程，并求出它的解.（写出解答过程） 【变式6-2】(24-25八年级上·湖南怀化期末)根据规律答题. 小羽同学在一-次教学活动中发现：方程+女2+；的解为与=2=弓方程+片3号 1 +3的解为 1 无=32三，方程+=4+元的解为方=4，为= 以此类推： 1 1 山)请你依据小明的发现，猜想关于x的方程x+=8+8的解是： 2)根据上述的规律，猜想由关于x的方程x+1+ x+1二a+(a≠0)得到x+1= a )拓展延伸：由(2)可知，在解方程x++282 11 +r+19时，可变形转化为x+=a+。的形式求值，按要 a 求写出你的变形求解过程。 【变式6-3】(25-26八年级上·山东聊城期中)关于x的方程： 1 1 1 x+=c+。的解为x=c或x= c c 2 x+二=c 。的解为r=e,=子。 33 3 X+-=C+一 +的解为x=cx= 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据材料解决下列问题： 15 ()方程x+x2的解是： 2)猜想方程x+”-c+(m≠0)的解，并将所得的解代入方程中检验： (3)请用这个规律解关于x的方程：x+ a-1· 类型七、分式方程中的新定义型问题 1,仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如必、⊕、△等）来定义一种 新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2.套用公式，列出方程：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入 进去。根据题目要求的等量关系，列出一个新的分式方程。 3.求解并检验：列出分式方程后，就按照解分式方程的常规步骤来解。别忘了最后一定要检验，确保解 的有效性，避免出现增根。 例7.(24-25七年级上·上海虹口阶段练习)阅读理解题， 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称 为A关于B的“和谐值”. 4-B=2x 2 x+1 、x+1 2+=2,则，是。的“和谐式”，关于。的 x+1 B “和谐值”为2 （I)已知分式C=r-2，D=3 -2,判断c是否为D的“和谐式”。若不是，请说明理由：若是，请求出 C关于D的“和谐值” (2)已知分式M=、E =3-r,M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且 M的值也为整数， ①求E所表示的代数式. ②求所有符合条件的x的值， 、(3)已知分式A=x-2,B=二24 =r-2,4是B的“和谐式”，则4关于B的“和谐值”是 (直接写 出答案即可)· 【变式7-1】(24-25八年级下·山东枣庄·期末)新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程 8/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 是+1=b的解是x=a+b成立，那么我们就把实数。'6组成的数对a,称为关于，的分式方程+1=b的 一个“关联数对”.例如：a=2,b=-5使得关于x的分式方程x 21=-5的解是2+可3成立，所 以数对2，-到就是关于x的分式方程+1=b的一个“关联数对” ④下列数对是关于x的分式方程是+1-办的“关联数对”有 (填字母) A.24B.[3- 2若数对”2+”是关于x的分式方程+1 -+n a+1=b 的“关联数对”，求n的值. 【变式7-2】(24-25八年级上·湖南邵阳·期中)新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程 1 是+1=b的解是r=a+b成立，那么我们就把实数a,b组成的数对a,称为关于x的分式方程兰+1=b的一 个“关联数对”，例如：，65使得关于的分式方程+1=-5的解是二2+5广3成立，所 以数对2，-司就是关于x的分式方程+1=b的一个“关联数对” ①)判断下列数对是否为关于x的分式方程+1=小的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”，若不是， 打“×” @l3-s () ②，-2（y. 17 (2)若数对L 是关于的分式方程+1力的“关联数对”，求的值。 -,2+n ③若数对2m+k,-肉(m≠±分，且m≠0：《-1）是关于：的分式方程+1=b的“关联数对”，且关于 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -4m x的方程c-2m+1=2有整数解，求整数m的值。 压轴专练 一、单选题 53 1.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期末)方程x+2的解为（) A.x=3 B.x=-2 C.x=-3 D.x=1 x+m,1 2.(25-26八年级上广东汕头期末)若关于x的方程-2+2-x =3有增根，则m的值为() A.2 B.-2 C.1 D.-1 3。(25:26八年级上河南新乡期末)已知关于x的分式方程2xx-2=2的解是非负数，则k的取值范 围是() A.k≤3 B.k≥3 C.k≤3且k≠2 D.k≤3且k≠-1 4.(2025八年级下·河南郑州专题练习)新定义对于实数a、b,定义一种新运算“⊕”为： 3 a⊕b= a2-ab,这里等式右边是实数运算.按此规定，则方程 A.x=4 B.x=6 C.x=7 D.x=8 5.(24-25八年级上山东烟台·期中)观察下列式子的变形规律： 02ge23}@4}4@445 111111 请尝试回答下面问题： 10/13