专题02认识概率期中复习讲义(复习重点+核心题型+巩固提升)-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题02认识概率期中复习讲义 期中复习◆重点 概率定义：衡量事件发生可能性大小的量，取值范围为0≤概率≤1（0=不可能发生，1=必然发生）。 事件分类：明确区分确定事件（必然事件、不可能事件）和不确定事件（随机事件）。 核心关联：频率可用于估算概率，频率越接近概率，结果越精准。 事件判断：能准确区分必然事件、不可能事件、随机事件，掌握三者本质区别。 概率计算：掌握简单场景（摸球、抽卡片等）的概率计算方法，无需复杂运算。 核心易错点：明确概率取值范围，区分“频率”与“概率”的不同（频率是具体试验结果，概率是事件本身的固有属性）。 核心题型◆归纳 题型1事件的分类 题型2判断事件发生的可能性的大小 题型3判断实验所得结果是否是等可能的 题型4概率的意义理解 题型5判断几个事件概率的大小关系 题型6求某事件的频率 题型7关于频率与概率关系说法的正误 题型8由频率估计概率 题型9用频率估计概率的综合应用 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点01事件的分类与界定 1.必然事件：在指定条件下，必然发生的确定性事件。 概率为定值1，即 P=1。 例：在标准大气压下，纯水加热至100℃时沸腾。 2.不可能事件：在指定条件下，必然不发生的确定性事件。 概率为定值0，即 P=0。 例：在一枚标准的六面骰子上，掷出点数7。 3.随机事件（不确定事件）：在指定条件下，可能发生也可能不发生的事件。 概率介于0与1之间，即 0<P<1。 例：抛掷一枚均匀硬币，正面朝上；从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，花色为红桃。 知识点02概率的核心定义 1.概率：刻画随机事件发生可能性大小的数量指标. 记为 P(A)（其中A代表某一随机事件）。它是随机事件自身的固有属性，与试验次数无关。 知识点03等可能试验型概率的计算 1.试验需满足两个核心条件： (1)试验的所有可能结果有限且可数； (2)每一个基本结果出现的可能性相等。 2.在满足等可能条件时，随机事件A的概率通过以下公式计算： P(A)= 知识点04典型试验与概率模型 1.古典概型基础试验 （1）抛均匀硬币试验：结果仅有“正面”“反面”两种，且概率均等， P（正面)=P（反面)=. （2） 掷均匀骰子试验：结果为1至6共6个点数，每个点数出现概率相同， P点数为k=（k=1,2,…,6）. （3）摸球/抽卡片试验：若容器中共有n个等质球（或n张相同卡片），其中某类球（或某类卡片）有m个，则 P(摸到某类球)=. 知识点05易错点提醒 1.概率仅描述事件发生的可能性强弱，不代表试验结果的必然发生或必然不发生。 2.仅当试验满足等可能结果前提时，才可以直接套用核心公式计算概率； 3.概率的取值范围严格限定为： 0≤P(A)≤1，此为所有随机事件的概率基本属性。 题型解析◆精准备考 题型1事件的分类 1．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．明天一定是晴天 B．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C．13个人中至少有两个人生肖相同 D．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 2．下列事件：①水涨船高（船在水中能自由浮动）；②购买1张彩票，中奖；③367人中至少有2人的生日在同一天．④掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上．其中是必然事件的是___（填序号）． 3．下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落下；（2）某人的体温是；（3）（a，b都是实数）；（4）四边形的内角和是；（5）投一次篮球，命中；（6）下雨后出现彩虹． 题型2判断事件发生的可能性的大小 1．下列表述正确的是（    ） A．如果某一彩票的中奖概率是 ，那么买1000 张彩票就一定能中奖 B．购买一张彩票就中奖，是随机事件 C．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在陆地上”比“落在海洋里”可能性更大 D．同学们都知道“石头、剪刀、布”的游戏，如果两个人做这种游戏，随机出手一次，两人获胜的概率不同 2．一个不透明的袋子中装有白球与黑球，它们除颜色外均相同，现任意摸一个球，如果摸出白球比黑球的可能性大，则袋中白球数____黑球数．（填“＞”“＜”或“＝”） 3．一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 题型3判断实验所得结果是否是等可能的 1．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 2．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 3．下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 题型4概率的意义理解 1．下列说法不合理的是（     ） A．任意掷一枚质地均匀的骰子掷出的点数是偶数，是随机事件； B．早上的太阳从西方升起是不可能事件； C．抛出的篮球会下落是必然事件； D．某彩票的中奖概率是，那么买200张该彩票一定会有10张中奖． 2．抛掷一枚质地均匀的硬币，前10次有8次都是正面朝上，掷第11次时正面朝上的概率是__________． 3．一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 题型5判断几个事件概率的大小关系 1．下列说法正确的是（    ） A．三角形不具有稳定性，四边形具有稳定性 B．三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心 C．小明任意写一个数，这个数是偶数的概率较大 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，那么掷100次硬币，正面朝上的结果恰好等于50次 2．抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面只有以下三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面．其中事件发生的可能性最大的是______． 3．年泰州早茶文化节已落下帷幕．预计年全年将接待品尝早茶的市民、游客约1000万人次，拉动消费超亿元．早茶文化节期间对市民、游客“最喜欢的早茶品类”进行随机抽样调查（每人限选1项），将调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查的样本容量为______ ，并请补全条形统计图； (2)请估计年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”的人次； (3)泰州早茶“厨神”争霸赛按上述统计的四种品类及比例，准备了1000份早茶（每一份均为单一品类），游客小王随机领取一份，你认为游客小王领到哪种早茶品类的概率最大？ 题型6求某事件的频率 1．王力同学在做“投掷一枚正方体骰子”的实验时，连续抛了10次，共有3次掷得数字“5”．则掷得数字“5”的频率是（   ） A． B． C． D． 2．在“I like maths．”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频率为_______． 3．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 题型7关于频率与概率关系说法的正误 1．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 2．在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其_______的估计值． 3．你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 题型8由频率估计概率 1．山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 2．小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况．试验的部分结果如下图： 试验次数 两位玩家平局的试验频数 两位玩家平局的试验频率（精确到） 根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是__________．（精确到） 3．下表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据，回答下列问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 124 153 252 (1)估计这位同学投篮一次，投中的概率约是多少（精确到）． (2)根据此概率，这位同学投篮622次，投中的次数约是多少？ 题型9用频率估计概率的综合应用 1．某同学在抛掷硬币的试验中做了次，得到正面朝上的频率为，则出现正面朝上的次数是（    ） A．180 B．200 C．450 D．220 2．在边长为的正方形健康码内随机投点，经过大量实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此估计黑色部分的总面积约为_____________． 3．在一个不透明的盒子中装有粉色、黄色、蓝色夹子共100个，这些夹子除颜色外无其他差别，若每次将夹子充分搅匀后，任意摸出一个夹子记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色、蓝色夹子的频率分别稳定在，请估计盒子中粉色夹子的个数． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果，那么 D．三角形内角和是 2．在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 3．投掷一枚硬币次，“正面朝上”的有次，则“正面朝上”的频率为（　　） A．54 B．46 C．0.54 D．0.46 4．下列说法不正确的是（  ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件 B．可能性是的事件在一次试验中一定不会发生 C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D．“367人中至少有2人同月同日生”为必然事件 5．盲盒，是指一种商品销售模式，消费者在购买时并不知道具体款式，只有在拆开后才能知晓内容．这种模式通常用于潮流玩具、手办、文具或收藏卡等领域，其核心吸引力在于不确定性带来的惊喜感与收集乐趣．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有的概率开出一种隐藏款玩偶．关于该盲盒的情况，下列说法中正确的是（   ） A．若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 C．若购买个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 D．若购买个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 6．估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 二、填空题 7．小明在纸上写出数学期末考试日期的一组数字“20250105”，则这组数字中出现0的频率是_____． 8．将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，将这枚硬币再抛掷一次，第5次正面朝上的可能性是________． 9．盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，如果要使拿到红色球可能性最大，至少需要增加___个红球． 10．一只不透明的袋中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.2，则袋中约有红球______个． 11．一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式__________的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过______来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的_______． 12．在同样条件下，对某种小麦种子进行发芽试验，统计如表： 试验种子粒数 50 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子粒数 44 92 185 476 953 1906 4760 发芽的频率 0.880 0.920 0.925 0.952 0.953 0.953 0.952 据此估计该小麦种子发芽的概率为________（精确到0.01）． 三、解答题 13．年泰州早茶文化节已落下帷幕．预计年全年将接待品尝早茶的市民、游客约1000万人次，拉动消费超亿元．早茶文化节期间对市民、游客“最喜欢的早茶品类”进行随机抽样调查（每人限选1项），将调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查的样本容量为______ ，并请补全条形统计图； (2)请估计年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”的人次； (3)泰州早茶“厨神”争霸赛按上述统计的四种品类及比例，准备了1000份早茶（每一份均为单一品类），游客小王随机领取一份，你认为游客小王领到哪种早茶品类的概率最大？ 14．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 15．某工厂接到一批8000块电池的订单量，在电池生产的过程中，质检员会在一段时间内先后对多个批次的电池进行抽检，目的是估计电池的合格率，及时调整生产的数量和进度，满足客户需求．下表是质检员对某一批电池抽检过程中的数据统计． 抽检电池的数量m 1000 1500 2000 2500 3000 3500 合格电池的数量n 982 1464 1956 2452 2940 3430 电池合格率 0.982 0.976 0.978 0.981 0.980 0.980 (1)根据表格数据，估计该工厂生产电池的合格率约为多少（精确到0.01）？ (2)结合你的估计，帮助工厂计算，至少需要生产多少块电池才能完成这批订单？ 16．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02认识概率期中复习讲义 期中复习◆重点 概率定义：衡量事件发生可能性大小的量，取值范围为0≤概率≤1（0=不可能发生，1=必然发生）。 事件分类：明确区分确定事件（必然事件、不可能事件）和不确定事件（随机事件）。 核心关联：频率可用于估算概率，频率越接近概率，结果越精准。 事件判断：能准确区分必然事件、不可能事件、随机事件，掌握三者本质区别。 概率计算：掌握简单场景（摸球、抽卡片等）的概率计算方法，无需复杂运算。 核心易错点：明确概率取值范围，区分“频率”与“概率”的不同（频率是具体试验结果，概率是事件本身的固有属性）。 核心题型◆归纳 题型1事件的分类 题型2判断事件发生的可能性的大小 题型3判断实验所得结果是否是等可能的 题型4概率的意义理解 题型5判断几个事件概率的大小关系 题型6求某事件的频率 题型7关于频率与概率关系说法的正误 题型8由频率估计概率 题型9用频率估计概率的综合应用 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点01事件的分类与界定 1.必然事件：在指定条件下，必然发生的确定性事件。 概率为定值1，即 P=1。 例：在标准大气压下，纯水加热至100℃时沸腾。 2.不可能事件：在指定条件下，必然不发生的确定性事件。 概率为定值0，即 P=0。 例：在一枚标准的六面骰子上，掷出点数7。 3.随机事件（不确定事件）：在指定条件下，可能发生也可能不发生的事件。 概率介于0与1之间，即 0<P<1。 例：抛掷一枚均匀硬币，正面朝上；从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，花色为红桃。 知识点02概率的核心定义 1.概率：刻画随机事件发生可能性大小的数量指标. 记为 P(A)（其中A代表某一随机事件）。它是随机事件自身的固有属性，与试验次数无关。 知识点03等可能试验型概率的计算 1.试验需满足两个核心条件： (1)试验的所有可能结果有限且可数； (2)每一个基本结果出现的可能性相等。 2.在满足等可能条件时，随机事件A的概率通过以下公式计算： P(A)= 知识点04典型试验与概率模型 1.古典概型基础试验 （1）抛均匀硬币试验：结果仅有“正面”“反面”两种，且概率均等， P(正面)=P(反面)=. （2） 掷均匀骰子试验：结果为1至6共6个点数，每个点数出现概率相同， P点数为k=（k=1,2,…,6）. （3）摸球/抽卡片试验：若容器中共有n个等质球（或n张相同卡片），其中某类球（或某类卡片）有m个，则 P(摸到某类球)=. 知识点05易错点提醒 1.概率仅描述事件发生的可能性强弱，不代表试验结果的必然发生或必然不发生。 2.仅当试验满足等可能结果前提时，方可直接套用核心公式计算概率； 3.概率的取值范围严格限定为： 0≤P(A)≤1，此为所有随机事件的概率基本属性。 题型解析◆精准备考 题型1事件的分类 1．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．明天一定是晴天 B．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C．13个人中至少有两个人生肖相同 D．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 【答案】C 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．明天是晴天，是随机事件，不符合题意； B．车辆随机到达路口遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； C．生肖共有12种，因此13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件，符合题意； D．任意买一张电影票座位号是3的倍数，是随机事件，不符合题意． 2．下列事件：①水涨船高（船在水中能自由浮动）；②购买1张彩票，中奖；③367人中至少有2人的生日在同一天．④掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上．其中是必然事件的是___（填序号）． 【答案】 ①③ 【分析】根据必然事件、随机事件的定义，对每个事件逐一判断，即可得出结论． 【详解】解：①水涨船高（船在水中能自由浮动），是一定发生的事件，属于必然事件； ②购买1张彩票，中奖，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； ③一年最多有366天，因此367人中至少有2人的生日在同一天，是一定发生的事件，属于必然事件； ④掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件． 3．下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落下；（2）某人的体温是；（3）（a，b都是实数）；（4）四边形的内角和是；（5）投一次篮球，命中；（6）下雨后出现彩虹． 【答案】（1）（4）是必然事件，（2）（3）是不可能事件，（5）（6）是随机事件 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解∶ （1）（4）是必然事件，（2）（3）是不可能事件，（5）（6）是随机事件． 题型2判断事件发生的可能性的大小 1．下列表述正确的是（    ） A．如果某一彩票的中奖概率是 ，那么买1000 张彩票就一定能中奖 B．购买一张彩票就中奖，是随机事件 C．已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在陆地上”比“落在海洋里”可能性更大 D．同学们都知道“石头、剪刀、布”的游戏，如果两个人做这种游戏，随机出手一次，两人获胜的概率不同 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义，事件的分类． 根据概率的意义，随机事件的定义判断即可． 【详解】解：选项A：中奖概率为，买1000张彩票不一定中奖，因为每次购买都是独立随机事件，A错误； 选项B：购买一张彩票中奖是不确定事件，属于随机事件，B正确； 选项C：陆地与海洋面积比为，故陨石落在陆地的概率为，陨石落在海洋的概率为，陨石落在海洋可能性更大，C错误； 选项D：“石头、剪刀、布”游戏中，两人随机出手，获胜概率均为，相等，D错误． 故选：B． 2．一个不透明的袋子中装有白球与黑球，它们除颜色外均相同，现任意摸一个球，如果摸出白球比黑球的可能性大，则袋中白球数____黑球数．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据从中任意摸出1个球，摸出白球比黑球的可能性大，可得答案． 【详解】解：∵任意摸一个球，若摸出白球比黑球的可能性大， ∴袋中白球数＞黑球数． 故答案为：＞． 3．一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 【答案】(1)黑 (2)可以，取出个黑球或放入个红球就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同 【分析】（）根据两种球的数量即可判断求解； （）使两种球的数量相同即可使摸到红球和摸到黑球的可能性相同； 本题考查了可能性大小，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵黑球的数量大于红球的数量， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； （2） 解：取出个黑球或放入个红球，使得两种球的数量相同，就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 题型3判断实验所得结果是否是等可能的 1．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【分析】根据等可能事件的意义解答即可． 【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 2．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 3．下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【答案】B 【分析】根据概率和事件的分类进行逐项分析即可． 【详解】解：A、天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是随机事件，只是可能性较大，非必然事件，原说法错误，不符合题意； B、某彩票中奖率为5%，即为每张彩票的中奖率均为5%，则最后一张中奖的概率仍为5%，原说法正确，符合题意； C、任意抛掷一枚图钉10次，不能代表全部情况，则抛掷一枚图钉针尖向上不是必然事件，原说法错误，不符合题意； D、射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，但是这两种情况不是等可能的情况，所以中靶的概率不为，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查概率的定义，等可能情况的理解，事件的分类等，理解基本定义是解题关键． 题型4概率的意义理解 1．下列说法不合理的是（     ） A．任意掷一枚质地均匀的骰子掷出的点数是偶数，是随机事件； B．早上的太阳从西方升起是不可能事件； C．抛出的篮球会下落是必然事件； D．某彩票的中奖概率是，那么买200张该彩票一定会有10张中奖． 【答案】D 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义以及概率的意义逐一判断各选项，即可找出不合理的说法． 【详解】解：∵ 随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，任意掷质地均匀的骰子，掷出点数可能为奇数也可能为偶数，因此掷出偶数是随机事件，A说法合理； ∵ 不可能事件是指一定不会发生的事件，自然规律下早上太阳不可能从西方升起，因此B说法合理； ∵ 必然事件是指一定发生的事件，抛出的篮球受重力作用一定会下落，因此C说法合理； ∵ 概率只表示事件发生的可能性大小，不代表一定发生，中奖概率为，买200张彩票只是可能有约10张中奖，不是一定会有10张中奖，因此D说法不合理； ∴ 不合理的是D． 2．抛掷一枚质地均匀的硬币，前10次有8次都是正面朝上，掷第11次时正面朝上的概率是__________． 【答案】 【分析】一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，根据概率的意义即可求解． 【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币，在大量重复进行的情况下，正面朝上的频率会稳定在左右， ∴前10次有8次都是正面朝上，掷第11次时正面朝上的概率是． 3．一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义作答即可． 【详解】解：不正确． 5次试验属于少量试验，频率为0是可能出现的偶然情况（如连续掷5次硬币都正面朝上）． 若该同学摸球1000次，每次放回摇匀，摸出白球的频率会逐渐趋近于，从而验证概率的正确性． 题型5判断几个事件概率的大小关系 1．下列说法正确的是（    ） A．三角形不具有稳定性，四边形具有稳定性 B．三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心 C．小明任意写一个数，这个数是偶数的概率较大 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，那么掷100次硬币，正面朝上的结果恰好等于50次 【答案】B 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，A选项说法错误； 根据三角形重心的定义，三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，B选项说法正确； 小明任意写一个数，无法判断这个数是偶数的概率是否较大，C选项说法错误； 概率反映事件发生的可能性大小，掷100次质地均匀的硬币，正面朝上的次数是随机的，不一定恰好等于50次，D选项说法错误． 2．抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面只有以下三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面．其中事件发生的可能性最大的是______． 【答案】② 【分析】本题主要考查了求概率， 抛掷两枚均匀硬币，一共有4种可能得结果，再确定全是正面，一正一反，全是反面的概率，比较得出答案． 【详解】解：抛掷两枚均匀硬币，可能出现的结果有4种，且每种结果发生的可能性相同，所有等可能结果有4种：正正、正反、反正、反反， 其中全是正面包含1种结果，其概率为；一正一反包含2种结果，其概率为；全是反面包含1种结果，其概率为， 因为， 所以一正一反发生的可能性最大． 故答案为：②． 3．年泰州早茶文化节已落下帷幕．预计年全年将接待品尝早茶的市民、游客约1000万人次，拉动消费超亿元．早茶文化节期间对市民、游客“最喜欢的早茶品类”进行随机抽样调查（每人限选1项），将调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查的样本容量为______ ，并请补全条形统计图； (2)请估计年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”的人次； (3)泰州早茶“厨神”争霸赛按上述统计的四种品类及比例，准备了1000份早茶（每一份均为单一品类），游客小王随机领取一份，你认为游客小王领到哪种早茶品类的概率最大？ 【答案】(1) (2)估计年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”有万人次 (3)游客小王领到烫干丝的概率最大 【分析】本题考查概率公式、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握概率公式以及用样本估计总体是解题的关键． （1）用喜欢鱼汤面的人数除以其所占的百分比可得样本容量；求出喜爱烫干丝的人数，补全条形统计图即可； （2）用1000万乘以最喜欢“蟹黄包”的人数的百分比，即可得出答案； （3）根据四种品类的比例可得出答案． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量为， 喜爱烫干丝的人数为（人次）， 补全条形统计图如图所示， 故答案为：1000； （2）（万人次）， ∴估计年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”有万人次； （3）∵喜爱烫干丝的人数最多，所占比例为， ∴游客小王领到烫干丝的概率最大． 题型6求某事件的频率 1．王力同学在做“投掷一枚正方体骰子”的实验时，连续抛了10次，共有3次掷得数字“5”．则掷得数字“5”的频率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据频率的定义，代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意知，掷得数字“5”的频率为 ． 2．在“I like maths．”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频率为_______． 【答案】 【分析】根据定义计算字母出现的频数与总字母数的比值即可． 【详解】解：在“I like maths”中，统计所有字母，总共有个字母，其中字母“”出现的频数为， 故字母“”出现的频率为． 3．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117，0.80 (2)0.8 (3) 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 题型7关于频率与概率关系说法的正误 1．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 2．在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其_______的估计值． 【答案】概率 【分析】本题考查了频率与概率，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动．在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值． 故答案为：概率． 3．你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【答案】(1)不同意，见解析 (2)不同意，见解析 【分析】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． （1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断； （2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断． 【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是． （3） 解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响． 题型8由频率估计概率 1．山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据“大量重复试验中，事件的稳定频率可作为其概率的估计值”的统计原理，观察折线统计图中沙棘树苗的成活频率最终稳定在附近，以此估计该种沙棘树苗成活的概率即可． 【详解】解：从折线统计图可以看出，随着试验的推进，沙棘树苗成活棵数的占比（即成活频率）逐渐稳定在附近，因此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为． 故选：C． 2．小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况．试验的部分结果如下图： 试验次数 两位玩家平局的试验频数 两位玩家平局的试验频率（精确到） 根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是__________．（精确到） 【答案】 【分析】当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值，根据表格中频率的变化趋势即可求解. 【详解】解：观察表格可知，随着试验次数不断增大，“两位玩家平局”的频率逐渐稳定在附近， 结果要求精确到， 因此用频率估计“两位玩家平局”的概率是． 3．下表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据，回答下列问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 124 153 252 (1)估计这位同学投篮一次，投中的概率约是多少（精确到）． (2)根据此概率，这位同学投篮622次，投中的次数约是多少？ 【答案】(1) (2)311次 【分析】（1）先计算每次投中的频率，然后根据次数多的投中频率，估计概率即可． （2）根据概率公式计算即可； 【详解】（1）解：根据题意，得 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 124 153 252 投中频率 频率稳定在， 故这位同学投篮一次，投中的概率约是； （2） 解：根据题意，得投中的次数为：（次）． 题型9用频率估计概率的综合应用 1．某同学在抛掷硬币的试验中做了次，得到正面朝上的频率为，则出现正面朝上的次数是（    ） A．180 B．200 C．450 D．220 【答案】A 【分析】本题考查频率与频数的关系，根据“频数试验总次数频率”的公式即可计算出正面朝上的次数． 【详解】解：∵频数试验总次数频率， 又∵试验总次数为，正面朝上的频率为， ∴正面朝上的次数， 故选：． 2．在边长为的正方形健康码内随机投点，经过大量实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此估计黑色部分的总面积约为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了用频率来估计概率，题中黑色部分的面积与正方形的面积比等于概率． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， ∵点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴黑色部分的总面积约为：． 3．在一个不透明的盒子中装有粉色、黄色、蓝色夹子共100个，这些夹子除颜色外无其他差别，若每次将夹子充分搅匀后，任意摸出一个夹子记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色、蓝色夹子的频率分别稳定在，请估计盒子中粉色夹子的个数． 【答案】30个 【分析】本题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以估计摸到粉色夹子的概率，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，摸到粉色夹子的概率为， 估计盒子中粉色夹子的个数为（个）． 答：估计盒子中粉色夹子有30个． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果，那么 D．三角形内角和是 【答案】D 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能是反面向上，故原事件是随机事件，不符合题意； B、车辆随机到达一个路口，不一定遇到红灯，故原事件是随机事件，不符合题意； C、如果，那么或，故原事件是随机事件，不符合题意； D、三角形内角和是，是必然事件，符合题意； 2．在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 【答案】B 【分析】看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可． 【详解】解：A、一只小球，不能出现两种情况，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； B、两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃），符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项正确； C、一个啤酒瓶盖，只有压平的瓶盖才可以，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； D、尖朝上的概率＞面朝上的概率，不能做替代物，故此选项错误； 故选B． 【点睛】考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考. 3．投掷一枚硬币次，“正面朝上”的有次，则“正面朝上”的频率为（　　） A．54 B．46 C．0.54 D．0.46 【答案】D 【分析】本题主要考查了求频率，根据频率等于频数除以总数进行求解即可． 由频率是频数与总次数的比值，代入求值即可． 【详解】解：∵总投掷次数为100次，“正面朝上”频数为46次， ∴频率为， 故选D． 4．下列说法不正确的是（  ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件 B．可能性是的事件在一次试验中一定不会发生 C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D．“367人中至少有2人同月同日生”为必然事件 【答案】B 【分析】根据随机事件、必然事件、概率的意义，逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：∵随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，打开电视播放《新闻联播》符合随机事件的定义，∴A说法正确． ∵概率为的事件只是发生的可能性较小，仍有可能在一次试验中发生， ∴“可能性是的事件在一次试验中一定不会发生”的说法错误，即B说法不正确． ∵抛掷一枚均匀硬币，共有两种等可能的结果， ∴正面朝上的概率为，C说法正确． ∵一年最多有366天， ∴367人中一定至少有2人同月同日生，该事件是必然事件，D说法正确． 综上，说法不正确的是B． 5．盲盒，是指一种商品销售模式，消费者在购买时并不知道具体款式，只有在拆开后才能知晓内容．这种模式通常用于潮流玩具、手办、文具或收藏卡等领域，其核心吸引力在于不确定性带来的惊喜感与收集乐趣．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有的概率开出一种隐藏款玩偶．关于该盲盒的情况，下列说法中正确的是（   ） A．若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐种普通款玩偶，只需要购买个盲盒即可 C．若购买个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 D．若购买个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 【答案】C 【详解】解：选项，购买个盲盒可能出现重复款式或开出隐藏款，无法保证集齐种普通款，说法错误； 选项，购买个盲盒也可能出现重复普通款或多次开出隐藏款，无法保证集齐种普通款，说法错误； 选项，共有种不同款式，购买的个盲盒对应个款式结果，至少有个盲盒款式相同，一定会重复出现某款玩偶，说法正确； 选项，开出隐藏款的概率为只代表单次购买开出隐藏款的可能性，购买个盲盒仍有可能都不开出隐藏款，说法错误． 6．估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 【答案】C 【分析】本题主要考查了按事件类型确定概率，掌握事件类型的判断与概率计算是解题的关键． 先判断每个事件的类型（必然事件、不可能事件、随机事件），再确定或估计其发生的可能性大小，最后按从大到小排序。 【详解】解：①袋子中没有白球，则摸出白球是不可能事件，发生的可能性为0， ②抛掷质地均匀的骰子，点数为偶数的有2、4、6共3种，总共有6种等可能结果，则发生的可能性为， ③每4年有1个闰年，则顾客闰年出生的可能性约为， ④当前青年基本都接受过九年制义务教育，则发生的可能性接近1， ⑤在地面抛掷石块，石块落下是必然事件，则发生的可能性为1， ∴事件发生的可能性从大到小的顺序为⑤④②③①． 故选：C． 二、填空题 7．小明在纸上写出数学期末考试日期的一组数字“20250105”，则这组数字中出现0的频率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率之间的关系是解答本题的关键． 根据频率频数总次数，进行计算，得到答案． 【详解】解：序列“20250105”包含数字：2，0，2，5，0，1，0，5，共8个数字．其中“0”出现3次， 因此频率为． 故答案为． 8．将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，将这枚硬币再抛掷一次，第5次正面朝上的可能性是________． 【答案】 【分析】本题考查概率的基本性质，注意独立事件概率不会因为之前的实验结果发生改变．硬币抛掷是独立事件，每次正面朝上的概率均为，与前次结果无关． 【详解】解：∵硬币质地均匀， ∴每次抛掷正面朝上的概率均为， ∵各次抛掷相互独立， ∴第5次正面朝上的概率为． 故答案为：． 9．盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，如果要使拿到红色球可能性最大，至少需要增加___个红球． 【答案】 6 【分析】根据可能性大小与物体数量的关系，总数一定时，数量越多，摸到的可能性越大，要使摸到红球可能性最大，红球的数量需大于现有数量最多的球的数量，由此即可得出结果． 【详解】解：， 当前盒子中黄球数量最多，要使红球可能性最大，红球个数至少为个， 需要增加的红球个数为 （个）． 10．一只不透明的袋中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.2，则袋中约有红球______个． 【答案】40 【分析】本题考查频率与概率，利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率是0.2，即可估算出球的总数，然后即可计算出红球个数． 【详解】解：由题意可得，可估计摸到白球的概率是0.2， 所以袋中约有红球（个）． 故答案为：40． 11．一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式__________的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过______来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的_______． 【答案】 P（A）＝ 统计频率 概率 【解析】略 12．在同样条件下，对某种小麦种子进行发芽试验，统计如表： 试验种子粒数 50 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子粒数 44 92 185 476 953 1906 4760 发芽的频率 0.880 0.920 0.925 0.952 0.953 0.953 0.952 据此估计该小麦种子发芽的概率为________（精确到0.01）． 【答案】 【分析】当试验次数逐渐增大时，频率会逐渐稳定在某一数值附近，该稳定值可作为概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势即可得到结果． 【详解】解：根据题意，估计该小麦种子发芽的概率为，精确到0.01为． 三、解答题 13．年泰州早茶文化节已落下帷幕．预计年全年将接待品尝早茶的市民、游客约1000万人次，拉动消费超亿元．早茶文化节期间对市民、游客“最喜欢的早茶品类”进行随机抽样调查（每人限选1项），将调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查的样本容量为______ ，并请补全条形统计图； (2)请估计年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”的人次； (3)泰州早茶“厨神”争霸赛按上述统计的四种品类及比例，准备了1000份早茶（每一份均为单一品类），游客小王随机领取一份，你认为游客小王领到哪种早茶品类的概率最大？ 【答案】(1) (2)估计年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”有万人次 (3)游客小王领到烫干丝的概率最大 【分析】本题考查概率公式、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握概率公式以及用样本估计总体是解题的关键． （1）用喜欢鱼汤面的人数除以其所占的百分比可得样本容量；求出喜爱烫干丝的人数，补全条形统计图即可； （2）用1000万乘以最喜欢“蟹黄包”的人数的百分比，即可得出答案； （3）根据四种品类的比例可得出答案． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量为， 喜爱烫干丝的人数为（人次）， 补全条形统计图如图所示， 故答案为：1000； （2）（万人次）， ∴估计年全年品尝泰州早茶的市民、游客中最喜欢“蟹黄包”有万人次； （3）∵喜爱烫干丝的人数最多，所占比例为， ∴游客小王领到烫干丝的概率最大． 14．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117，0.80 (2)0.8 (3) 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 15．某工厂接到一批8000块电池的订单量，在电池生产的过程中，质检员会在一段时间内先后对多个批次的电池进行抽检，目的是估计电池的合格率，及时调整生产的数量和进度，满足客户需求．下表是质检员对某一批电池抽检过程中的数据统计． 抽检电池的数量m 1000 1500 2000 2500 3000 3500 合格电池的数量n 982 1464 1956 2452 2940 3430 电池合格率 0.982 0.976 0.978 0.981 0.980 0.980 (1)根据表格数据，估计该工厂生产电池的合格率约为多少（精确到0.01）？ (2)结合你的估计，帮助工厂计算，至少需要生产多少块电池才能完成这批订单？ 【答案】(1)0.98 (2)8164块 【分析】（1）解题思路是观察抽检数据中电池合格率的变化，取其稳定的数值作为这批电池的合格率估计值； （2）解题思路是用订单所需的合格电池数量除以估计的合格率，得到需要生产的电池数量． 【详解】（1）解：观察表格中电池合格率的数据，随着抽检数量增加，合格率逐渐稳定在0.98附近， 故估计这一批电池的合格率约为0.98． （2）解：设至少需要生产块电池， 则应满足， 解得 ， 由于电池数量需为整数， 故至少取8164． 【点睛】本题考查了用频率估计概率的统计思想与实际生产中的数量计算，掌握用稳定的频率估计概率，结合除法运算解决实际数量问题是解题的关键． 16．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝ ；b＝ ； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是 ；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1)0.962，0.96； (2)0.96； (3)14400只． 【分析】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． （1）用频数除以总数即可； （2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96； （3）用总数量乘以优等品的概率即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.962，0.96； （2）解：从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96． 故答案为：0.96 （3）解：这批公仔中优等品大约有（只）， 答：估计这批公仔中优等品大约有14400只． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $