精品解析：2026年四川绵阳市九年级第一次学科教育质量检测数学试题

2026年四川绵阳市九年级第一次学科教育质量检测数学试题 本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共6页，答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 6的相反数为　　 A. -6 B. 6 C. D. 2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 2025年9月3日，东风液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 5. 如图是我国在2025年发行的一枚纪念币，其外形为正十二边形，则这枚纪念币外边缘十二个角的大小均为（ ） A. B. C. D. 6. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（） A. B. C. 2 D. 4 9. 如图，矩形中，点与轴正半轴的夹角为．若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2026秒时，矩形的对角线交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（ ） A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 1.5 11. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，是动点，分别位于轴的正半轴上；四边形是矩形，函数的图像与边交于点，与边交于点与不重合．以下四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡的相应横线上． 13. 分解因式：______． 14. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是____________． 15. 不等式组的解集是_______． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 17. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 18. 如图1，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连接，延长交于点；如图2，再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上．设和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则______． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中满足． 20. 为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60． 10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59． 抽取的A、B型铁观音亩产量统计表 B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图 型号 A B 平均数 56 56 中位数 56 b 众数 a 57 方差 7.4 15.8 “优秀”等级所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　． （2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？ 21. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A，B的对应点分别是点D，E． （1）如图①，当点E恰好在AC边上时，连接AD，求∠ADE的度数； （2）如图②，当时，若点F为AC边上的动点，当∠FBC为何值时，四边形BFDE为平行四边形？请说出你的结论并加以证明 22. 某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． （1）求两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 23. 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B． （1）求m的值； （2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标． 24. 如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N． （1）求证：CA=CN； （2）连接DF，若cos∠DFA= ，AN=2 ，求圆O的直径的长度． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； （3）是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年四川绵阳市九年级第一次学科教育质量检测数学试题 本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共6页，答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 6的相反数为　　 A. -6 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义进行求解. 【详解】6的相反数为：﹣6．故选A. 【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，， ∴且， 解得． 故选：C． 4. 2025年9月3日，东风液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据立体图形的三视图进行判断即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同． 5. 如图是我国在2025年发行的一枚纪念币，其外形为正十二边形，则这枚纪念币外边缘十二个角的大小均为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形的性质，其每个内角都相等． 可以利用多边形内角和公式求出总内角和再除以边数，或者利用多边形外角和为先求出外角，再利用邻补角关系求出内角． 【详解】解：  该纪念币外形为正十二边形   其边数   方法一：∵正十二边形的内角和为    每个内角的大小为   方法二：∵正十二边形的每个外角为 每个内角的大小为 6. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可． 【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即： ． 故选：C 7. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 8. 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的性质．解题的关键是理解一元二次方程中，当判别式时，方程有两个相等的实数根．根据题意列关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 9. 如图，矩形中，点与轴正半轴的夹角为．若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2026秒时，矩形的对角线交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，每秒旋转，8次一个循环，，第2026秒时，矩形的对角线交点D与第2次的点D的坐标相同，第2次点D落在第二象限的对角线上，由此可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵每秒旋转，8次一个循环，， ∴此时点D与第2次的点D的坐标相同，如图所示： 过点作轴于点E，由旋转的性质可知：， ∴， ∴点D的坐标为． 10. 如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（ ） A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ，  ， 的半径为，即 ，  ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点，   ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 11. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出绫布每尺价格与罗布每尺价格之和等于120的方程，即可求解． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺. ∵绫布总价896文，∴绫布每尺价格为文； ∵罗布总价896文，∴罗布每尺价格为文； 又∵绫布和罗布各一尺共值120文， ∴． ∴． 故选：B． 12. 如图，是动点，分别位于轴的正半轴上；四边形是矩形，函数的图像与边交于点，与边交于点与不重合．以下四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质结合反比例函数的几何意义即可判断①②，根据、是反比例函数图象上的动点，可得可能是钝角三角形，即可判断③，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，轴，轴， 又∵、是反比例函数图象上的动点， ∴， ∴，即与的面积一定相等，故①正确； 由①可得， 当与的面积相等时，如图，连接， ∴， 即， ∵， ∴假设不成立，故②不正确； 如图所示， 当、在的同侧时，可能是钝角三角形，故③不正确； 如图所示， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确； 综上所述，正确的结论有2个． 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡的相应横线上． 13. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故答案为：． 15. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，再根据解集规则确定两个解集的公共部分. 【详解】解：， 解不等式①，移项得：， 不等式两边同乘得： ； 解不等式②，移项得：， 合并同类项得：； 不等式组的解集为 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理将转换到直角三角形中，利用勾股定理求出三角形各边长，即可求得的值． 【详解】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D， 连接AD、BD，根据圆周角定理可得， 每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均 在网格交点上， ， 则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键． 17. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 如图1，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连接，延长交于点；如图2，再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上．设和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先证，可得，故，进而得到四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，故，从而可知四边形是平行四边形，又根据折叠可知，得到四边形是矩形，得到，则，再根据相似三角形的性质，计算出、，进而计算出最后求比即可． 【详解】解：设与交于点M，与交于点N，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴G是中点， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由折叠可知， ∴四边形是矩形， 设，则正方形边长为， ∴， 连接， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1） （2） 化简结果为，值为 【解析】 【分析】（）分别计算算术平方根、特殊角的三角函数值、化简绝对值、乘方，再进行加减计算； （）将除法化为乘法，进行乘法计算，再进行分式的减法计算，然后将化为，再代入求值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60． 10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59． 抽取的A、B型铁观音亩产量统计表 B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图 型号 A B 平均数 56 56 中位数 56 b 众数 a 57 方差 7.4 15.8 “优秀”等级所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　． （2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？ 【答案】（1）55；57；40 （2）B款茶叶更好， 理由：因为款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好（答案不唯一）； （3）估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有亩 【解析】 【分析】本题考查样本估计总量，涉及众数、中位数、平均数，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念． （1）根据众数、中位数概念可求出、的值，由型中“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，可求出的值； （2）比较型、型的中位数、众数可得答案（答案不唯一）； （3）用样本估计总量，即可得答案． 【小问1详解】 解：在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55， 众数， 型中“良好”等级有4个，占，“优秀”等级所占百分比为， “合格”等级占，即， 把型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57， ； 故答案为：55，57，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（亩， 答：估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有亩． 21. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A，B的对应点分别是点D，E． （1）如图①，当点E恰好在AC边上时，连接AD，求∠ADE的度数； （2）如图②，当时，若点F为AC边上的动点，当∠FBC为何值时，四边形BFDE为平行四边形？请说出你的结论并加以证明 【答案】（1）15° （2） 解：∠FBC=30时，四边形BFDE为平行四边形，证明如下： ∴∠FBC=∠ACB=30， ∴∠ABF=∠A=60， ∴BF=CF=AF， ∴是等边三角形， ∴BF=AB， ∵将ABC绕点C顺时针旋转60得到， ∴DE=AB，是等边三角形，∠DEC=∠ABC=90， ∴∠CBE=∠BEC=60， ∴∠EBF=∠EBC-∠FBC=30， ∴∠DEB+∠EBF=180， ∴DE=BF，， ∴四边形BFDE为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由旋转知CA=CD，∠ECD=∠BCA=30，从而求出∠CAD的度数，即可解决问题； （2）由旋转知DE=AB，再证明ABF，BEC是等边三角形即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，E点在AC上， ∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30， ∴∠CAD=∠CDA=(180−30)=75， 又∵∠DEC=∠ABC=90， ∴∠ADE=90°-75=15； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 22. 某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． （1）求两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】（1）种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； （2）当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 【解析】 【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解； （）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元， 由题意可得，， 解得， 答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； 【小问2详解】 解：设种客房每间定价为元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，元， 答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 23. 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B． （1）求m的值； （2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标． 【答案】（1）24；（2）M点的坐标为 【解析】 【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可； （2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可. 【详解】解：（1）∵点P纵坐标为4， ∴，解得， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 设，则， 当M点在P点右侧， ∴M点的坐标为， ∴（6+2t）（4-t）=24， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴M点的坐标为， 当M点在P点的左侧， ∴M点的坐标为， ∴（6-2t）（4+t）=24， 解得：，，均舍去． 综上，M点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键． 24. 如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N． （1）求证：CA=CN； （2）连接DF，若cos∠DFA= ，AN=2 ，求圆O的直径的长度． 【答案】 （1）证明：连接OF，则∠OAF=∠OFA，如图所示． ∵ME与⊙O相切， ∴OF⊥ME． ∵CD⊥AB， ∴∠M+∠FOH=180°． ∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°， ∴∠M=2∠OAF． ∵ME∥AC， ∴∠M=∠C=2∠OAF． ∵CD⊥AB， ∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°， ∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF， ∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC， ∴CA=CN． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN； （2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DFA=，AN=，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH=r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度． 【详解】解：（1）略 （2）连接OC，如图2所示． ∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8． 设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=，∴圆O的直径的长度为2r=． 【点睛】本题考查切线的性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； （3）是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，正方形的边长为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； 【小问3详解】 存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $