3.3 等可能事件的概率 (第3课时 将非古典概型问题转化为古典概型求解）（教学设计）数学新教材北师大版七年级下册

3.3 等可能事件的概率 (第3课时：将非古典概型问题转化为古典概型求解）（教学设计） 1.教学内容 本节课为北师大版初中数学七年级下册第三章《概率初步》，第三节《等可能事件的概率》第3课时将非古典概型问题转化为古典概型求解.本节课主要内容包括：认识非古典概型问题（如结果不等可能、无限多种结果等）的特征；掌握将复杂问题或非等可能问题通过适当方法（如编号、转化为面积、列举基本事件等）转化为古典概型的策略；能运用转化的思想解决简单的非古典概型概率问题. 2.内容解析 本节课是“等可能事件的概率”的第3课时，是在学生已经掌握古典概型特征及概率计算公式P(A)=m/n的基础上进行的拓展与提升.从知识体系看，本节课实现了从“标准模型”到“变式模型”的跨越——当问题不直接满足等可能条件时，如何通过转化策略使其适用于古典概型公式.从思想方法层面看，本节课集中体现了“转化思想”——将非标准问题转化为标准问题；“化归思想”——将复杂问题化归为已解决的问题；“建模思想”——将现实情境抽象为等可能模型.这些思想是数学学习的核心素养，对培养学生的灵活思维和问题解决能力具有重要意义. 基于以上分析，本节课的教学重点为：掌握将非古典概型问题转化为古典概型问题的基本策略和方法. 1. 教学目标 (1)能识别非古典概型问题的特征；掌握将非等可能结果转化为等可能结果的基本方法（如编号、列举基本事件）；能用转化的思想解决简单的非古典概型概率问题. (2)经历从非标准问题到标准问题的转化过程，体会转化思想和化归思想在数学学习中的重要作用；通过对比分析不同转化策略，培养灵活思维和优化意识. (3)在解决“看似不能做”的问题过程中，体验“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的成功喜悦，增强克服困难的信心；感受数学思想的普适性和强大力量. 2.目标分析 目标1强调转化技能的掌握。学生需要能够识别问题是否直接符合古典概型，并能通过适当方法将其转化为等可能模型. 目标2侧重于思维方法的培养。转化思想是数学学习的核心思想之一，通过本节课的学习，让学生深刻体会“将未知转化为已知”的解题策略. 目标3通过有挑战性的问题转化过程，让学生体验数学思维的巧妙和成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心. 学生已经熟练掌握了古典概型的两个特征（有限性、等可能性）和概率计算公式P(A)=m/n，能够解决标准的等可能概率问题.同时，学生已经具备了一定的转化意识（如解方程组中的消元转化）.但在本节课的学习中，学生可能遇到以下困难：①对“非等可能”问题不知如何下手；②习惯于“等可能”的思维定势，难以跳出框架；③对“转化为面积”等几何方法感到陌生；④在转化过程中容易破坏等可能性，导致计算错误.因此，教学中应注重通过具体问题的对比分析，帮助学生建立“转化”的思维框架，并通过多种策略的对比，培养学生的灵活思维. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是如何根据问题特点选择恰当的转化策略；理解“转化后模型与原问题概率等价”的道理. 创设情景，引入新课 复习回顾：（1）等可能事件（古典概型）的两个基本特征：① 所有可能的结果是有限的（有限性）；② 每个结果出现的可能性相同（等可能性）.（2）概率计算公式：如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，则P(A)=. 问题呈现：一个袋中装有2个红球和3个白球，但红球大小相同，白球大小也相同，可是红球比白球大很多。从中任意摸出一个球（用手去摸，感受球的形状），摸到红球的概率还是2/5吗？ 学生讨论：不是了，因为红球更大，更容易被摸到，所以可能性变大了. 教师归纳：当每个基本结果不是等可能时，我们就不能直接用m/n来计算概率了。这类问题叫作非古典概型问题。今天我们就来学习——如何将非古典概型问题转化为古典概型来解决. （ 设计意图：通过对比分析，让学生认识到古典概型的适用条件，当条件不满足时不能直接使用公式，从而引出转化的必要性.） 探究点1：可能性相同的转盘问题 问题：某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，像下图那样涂上颜色.商场规定:顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顺客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券. (1)自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有多少种?这些结果是等可能的吗? (2)某顾客购物消费120元，获得一次转动转盘的机会。他获得100元、50元、20元购物券的概率分别是多少?他能获得购物券的概率是多少？ 追问1：转盘被等分成20个扇形，自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有多少种？这些结果是等可能的吗？ 转盘被等分成20个扇形，自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有20种，这些结果是等可能的. 追问2：在这20个扇形中，有1个是红色，2个是黄色，4个是绿色，因此转盘停止时，指针落在红色区域的结果有多少种，落在黄色区域的结果有多少种，落在绿色区域的结果有多少种？ 在这20个扇形中，有1个是红色，2个是黄色，4个是绿色，因此转盘停止时，指针落在红色区域的结果有1种，落在黄色区域的结果有2种，落在绿色区域的结果有4种. 追问3：对于该顾客来说，获得100元购物券、获得50元购物券、获得20元购物券、获得购物券的概率分别是多少？ P(获得100元购物券)=1/20；P(获得50元购物券)=2/20＝1/10； P(获得20元购物券)=4/20=1/5；P(获得购物券)=（1+2+4）/20＝7/20. 探究点2：可能性不相同的转盘问题 如图所示的是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少? 追问1：某同学认为本问题中指针不是落在红色区域和白色区域，所以P(落在红色区域)=P(落在白色区域)=1/2，这种说法对吗？你能说出理由吗？ 不正确，图中红色区域和白色区域和的面积不相等，指针不是落在红色区域和白色区域可能性不一样，不符合古典概率的两个条件，不能直接按古典概型概率公式求. 追问2：我们能否将其转化为古典概型问题，怎样转化？ 可以转化为等可能问题来解决，先把白色区城等分成2份，如图,这样转盘被等分成3个扇形，其中1个是红色，2个是白色，这样就可以用古典概型概率公式求了. 追问3：指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少? 先把白色区城等分成2份，如图,这样转盘被等分成3个扇形，其中1个是红色，2个是白色，所以P(落在红色区域)＝1/3，P(落在白色区城) ＝2/3. 思考交流：如图所示的是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区城的概率分别是多少?你有什么求解方法?与同伴进行交流. 追问1：根据上面的方法，你能怎样将这一非古典概型转化为古典概型题？ 可以用“面积比”或“角度比”来转化为等可能模型——每个点落在区域内是等可能的，概率等于目标区域面积（或弧长、角度）与总面积（或总弧长、总角度）之比. 追问2：指针落在红色区域和白色区城的概率分别是多少?你是怎样做的？ 可以把红色区域等分成11份，把白色区域等分成25份，这样转盘被等分成36个扇形， 其中11个是红色，25个是白色，所以P(落在红色区域)＝11/36,P(落在白色区域)＝25/36; 还可能把红色区域等分成110份，把白色区域等分成250份，这样转盘被等分成360个扇形，其中110个是红色，250个是白色，所以P(落在红色区域)=11/36,P(落在白色区域)=25/36. 追问3：如果转盘被分成的是形状不规则的区域，还能这样计算吗？ 归纳：对于连续区域的概率问题，可以用“面积比”或“角度比”来转化为等可能模型——每个点落在区域内是等可能的，概率等于目标区域面积（或弧长、角度）与总面积（或总弧长、总角度）之比. （设计意图：通过转盘问题的变式，引入几何概型的转化思想，为后续学习埋下伏笔.） 典型例题 例1．如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7指针的位置固定，转动转盘任其自由停止．    (1)当转盘停止时，指针指向偶数区域的概率是多少？ (2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？ 【分析】（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向偶数区域2，4，6有3种结果，根据概率公式求解即可； （2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇偶数区域2，4，6有3种结果， 所以指针指向偶数区域的概率是； （2）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果， 所以指针指向的数小于或等于5的概率是． 例2．春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．    (1)任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______； (2)甲、乙是该校的两位学生，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 【分析】（1）根据将圆形转盘四等分，即可求解； （2）甲和乙选到不同活动项目的可能结果． 【详解】（1）解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D， ∴任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率为： 故答案为：. （2）解：共有种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有种 故甲和乙选到不同活动项目的概率为：. 课堂练习：课本Ｐ79随堂练习 参考答案：1.会出现摸到写有字母A的纸条、摸到写有字母B的纸条、摸到写有字母C的纸条、摸到写有字母D的纸条、摸到写有字母E的纸条这5种可能的结果;它们是等可能的. 2.抽到大王的概率是，抽到3的概率是2，抽到方块的概率是;抽到大王的概率比抽到3的概率小，所以打牌时抽到大王的机会比抽到3的机会小. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.一个袋中装有2个红球和3个白球，但红球和白球大小不同，手感不同，导致摸到每个球的概率不相等。已知摸到每个红球的概率是摸到每个白球的2倍。从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率。 【解答】解：（比例分配法）：设摸到1个白球的概率为p，则摸到1个红球的概率为2p 总概率：2×2p + 3×p = 4p+3p=7p=1 → p=1/7 P(红)=2×2p=4p=4/7 （虚拟等分法）：将1个红球“看作”2个等可能的虚拟小球，1个白球看作1个虚拟小球 总虚拟球数：2×2 + 3×1 = 7个. 红球对应4个虚拟球 → P(红)=4/7. 1.（2025•福建）在分别写有﹣1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种， ∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是， 故选：B． 2．（2025·茂名·九年级统考）今年“双十一”互联网促销期间，某网红店开展有奖促销活动，凡进店购物的顾客均有转动8等分圆盘的机会，（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向1就中一等奖，指向3或8就中二等奖，指向2或4或6就中三等奖；指向其余数字不中奖． (1)转动转盘，中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别是多少？ (2)6月18日这天有1600人参与这项活动，估计这天获得一等奖的人数是多少？ 【详解】（1）解：由题意知，，，， 即中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是，，； （2）解：由（1）知，获得一等奖的概率是， （人， 估计获得一等奖的人数为200人． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结：（１） 古典概型的适用条件：①有限性；②等可能性.（2）非古典概型的常见类型： 结果不等可能（如球大小不同）；结果无限多（如连续区域问题）；结果不明显（如组合抽取问题）.（3） 转化策略：编号法、考虑顺序法 → 使结果等可能；比例分配法、虚拟等分法 → 处理不等可能；面积比、角度比 → 处理连续区域问题. 方法总结：（1）转化思想：将非标准问题转化为标准问题.（2）化归思想：将复杂问题化归为已解决的问题.（3）建模思想：将现实情境抽象为等可能概率模型.（4）对称思想：利用对称性简化问题. 易错提醒：（1）转化后不等价：转化时要确保原问题的概率与转化后模型的概率相等.（2）等可能性破坏：转化过程中破坏了等可能性（如错误地将不等可能结果直接计数）.（3）遗漏或重复：列举基本结果时遗漏或重复，导致m或n计算错误.（4）滥用面积比：只有每个点等可能时才能用面积比，否则不能用. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：教材习题3.3第7、8题. 探究性作业：教材习题3.3第11题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫 ） 主板书 3.3 等可能事件的概率 (第3课时） 探究点1：可能性相同的转盘问题 探究点2：可能性不相同的转盘问题 课堂小结 副板书 典型例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $