第三章 概率初步章节复习（5大考点+10大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学概率初步章节复习讲义通过知识框架图系统梳理了概率的核心内容，从事件分类（必然事件、不可能事件、随机事件）到概率定义、频率与概率的关系，并用对比表格呈现确定事件与随机事件的区别，突出随机事件概率计算和频率估计概率的重难点，构建“概念-计算-应用”的递进知识脉络。 讲义亮点在于“分层递进”的题型设计，涵盖事件分类（如判断“一箭双雕”为随机事件）、频率估计概率（如通过多次试验数据估算种子发芽率）、几何概率（如正方形内投米求圆内概率）等10类题型，典例与变式结合，培养数据意识和模型意识。每个题型配有解题步骤指导，基础学生可掌握基本方法，优秀学生能拓展综合应用，助力教师实施精准分层教学，提升学生用数学语言表达现实世界的能力。

第三章 概率初步章节复习 教学目标 1. 理解必然事件、不可能事件、随机事件概念，能准确区分三类事件，判断生活事件所属类型。 2. 掌握概率基本含义，学会用频率估计概率，能通过试验数据分析频率与概率的联系。 3. 会计算简单随机事件发生的概率，能用概率知识解决基础实际问题，树立随机观念，体会概率在生活中的应用价值，培养数据分析与理性判断能力。 教学重难点 1.重点 （1）分清确定事件与随机事件，牢固掌握随机事件概率的定义，熟练运用公式求解简单事件概率。 （2）理解试验频率与理论概率的关系，能借助重复试验统计频率，依托频率估算未知事件发生概率，夯实概率基础运算与实际应用核心知识。 2.难点 （1）透彻区分频率与概率的异同，理清二者动态变化关系，避免概念混淆，准确理解频率趋近于概率的规律。 （2）结合实际复杂情境分析随机事件，找准事件所有等可能结果，灵活运用概率知识分析生活随机现象，合理利用概率做出简单判断与决策。 1.确定事件与随机事件 必然事件：在一定条件下必定出现的现象，叫做必然事件. 不可能事件：在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件. 确定事件：必然事件和不可能事件统称确定事件. 随机事件：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫随机事件. 2.事件发生的可能性 3.事件的概率 题型01 事件的分类 【典例1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中”这一事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判断 【答案】C 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念辨析．需依据三类事件的定义判断该事件类型即可． 【详解】解：∵必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． ∵“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中”这一事件的结果不确定，可能投中也可能未投中． ∴该事件是随机事件， 故选C． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列成语所描述的是随机事件的是（   ） A．海底捞月 B．寒来暑往 C．一箭双雕 D．拔苗助长 【答案】C 【分析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，属于基础概念题型，熟知必然事件、不可能事件和随机事件的概念是关键． 根据不可能事件、随机事件和必然事件的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、海底捞月，是不可能事件，不是随机事件，故本选项不符合题意； B、寒来暑往，是必然事件，不是随机事件，故本选项不符合题意． C、一箭双雕，是随机事件，故本选项符合题意； D、拔苗助长，是不可能事件，不是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【分析】根据事件的分类方法，进行判断即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，得到的点数是奇数，可能发生也可能不发生，是随机事件． 【变式3】（25-26九年级上·四川广安·期末）“成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨；④瓮中捉鳖；上述成语描述的场景为不可能事件的是____________．（填序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查了事件的分类，熟知不可能事件的定义是解题的关键．根据不可能事件的定义进行逐一判断即可：在一定条件下，一定不会发生的事件是不可能事件． 【详解】解：①水中捞月指从水中捞取月亮，月亮不在水中，只是倒影，因此不可能捞到，为不可能事件； ②守株待兔描述兔子偶然撞树，虽概率小但可能发生； ③百步穿杨描述射箭技术高超，可能发生； ④瓮中捉鳖描述一定完成的事情，必然发生． 故答案为：①． 题型02 判断事件发生的可能性的大小 【典例2】（25-26九年级上·河北邢台·期末）黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 【答案】D 【分析】本题主要考查可能性的大小．根据各种月饼数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种月饼的数量越多，拿出的可能性就越大． 【详解】解：由题意得，所有事件可能的结果数是， ∵豆沙月饼有4个，数量最多， ∴拿出的可能性最大的是豆沙月饼， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件和概率公式，分别根据随机事件的定义和概率公式逐一判断即可．正确运用概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：A、小明爸爸遇到红灯是随机事件，故不符合题意； B、小明爸爸遇到黄灯是随机事件，故不符合题意； C、小明爸爸遇到黄灯的概率最小，故符合题意； D、小明爸爸遇到红灯的概率小于他遇到绿灯的概率，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）在日常生活中，我们经常使用一些词语来形容事情发生的可能性的大小．给出下列三个词语：①瓜熟蒂落；；②水中捞月；③守株待兔．按可能性从大到小的顺序排列为_______（填序号）． 【答案】①③② 【分析】本题考查可能性的大小，随机事件，根据可能性大小的概念分别求出每个随机事件的可能性大小，继而可得答案．解题的关键是掌握事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件；不可能事件的发生的可能性为，必然事件发生的可能性为，随机事件发生的可能在和之间． 【详解】解：①瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性质为， ②水中捞月，是不可能事件，发生的可能性为， ③守株待兔，是随机事件，发生的可能在和之间， ∴可能性从大到小的顺序排列为①③②． 故答案为：①③②． 【变式3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）以下四个事件中，摸球一次，摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是________.（这些球除颜色外都相同） ① 8个白球，2个红球，3个黑球；② 3个蓝球，9个白球，1个红球 ③ 6个白球，4个蓝球，3个红球；④ 2个黑球，4个红球，7个白球 【答案】②①③ ④ 【分析】本题考查了事件的可能性，在所有球中红球占的比例越高，摸到红球的可能性越大，由此可解． 【详解】解：①一共13个球，其中2个红球，摸到红球的可能性为； ②一共13个球，其中1个红球，摸到红球的可能性为； ③一共13个球，其中3个红球，摸到红球的可能性为； ④一共13个球，其中4个红球，摸到红球的可能性为； ， 因此摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是②①③④， 故答案为：②①③④． 题型03 求某事件的频率 【典例3】（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 【变式1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 【变式2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为______． 【答案】 【分析】本题考查了频率，根据频率公式计算即可求解，掌握频率计算公式是解题的关键． 【详解】解：英文句子“”中，共有个字母，其中字母“”出现的次数为次， ∴字母“”出现的频率为， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 题型04 由频率估计概率 【典例4】（25-26九年级上·广东中山·期末）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（    ） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 【答案】C 【分析】大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，试验次数越大，频率对概率的估计越准确，计算不同试验的频率后，观察频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：根据表格数据，计算各次试验的投中频率：，，，，，，， ∵试验次数越大，频率越接近真实概率，精确到为， ∴估计这位同学投篮一次投中的概率约是． 【变式1】（25-26九年级上·云南·期末）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近波动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，关键是大量反复试验下频率稳定值即概率；结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 【答案】2.8 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 【变式3】（25-26九年级上·河南郑州·期末）某新菜种在播种前做了五次发芽试验，每次任取一定数量的种子进行实验．实验结果如表所示：在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为_________ ．（精确到0.01） 实验的菜种数 200 500 1000 2000 10000 发芽的菜种数 193 487 983 1942 9734 发芽率 0.965 0.974 0.983 0.971 0.973 【答案】0.97 【分析】本题考查了用频率估计概率，随实验次数增多，发芽频率逐渐稳定在某一数值附近，该数值可估计为发芽概率，观察表格发芽率的变化趋势，取稳定值并精确到即可． 【详解】解：观察表格内的发芽率数据，随着实验的种子数增加，发芽率逐渐稳定在左右， 根据频率稳定性定理，大量重复实验时，事件发生的频率的集中趋势可用来估计概率， 将该稳定值精确到后为． 故答案为：． 题型05 用频率估计概率的综合应用 【典例5】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率，摸出黑球的概率为0.8，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸出黑球的频率稳定在0.8附近， ∴摸出黑球的概率为0.8， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期末）小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ） A．540 B．555 C．570 D．585 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着试验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到附近， ∴估计“钉尖着地”的概率为， ∴抛掷1500次时，估计次数为． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）一只不透明的袋中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.2，则袋中约有红球______个． 【答案】40 【分析】本题考查频率与概率，利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率是0.2，即可估算出球的总数，然后即可计算出红球个数． 【详解】解：由题意可得，可估计摸到白球的概率是0.2， 所以袋中约有红球（个）． 故答案为：40． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 500 1000 3000 合格频数 49 97 481 960 2880 合格频率 0.980 0.970 0.962 0.960 0.960 根据表中的数据，估计出售5000件衬衣，其中合格产品约有______件． 【答案】4800 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率的应用．观察表格可知当抽取件数较大时，合格频率稳定在0.960附近，据此用频率估计合格概率，再计算5000件衬衣中的合格产品数量即可． 【详解】解：由表格数据可知，当抽取件数为1000件和3000件时，合格频率均为0.960，且频率逐渐稳定在0.960附近，因此可估计这批衬衣的合格概率约为0.960． 则出售5000件衬衣时，合格产品约有件． 故答案为：4800． 题型06 列举法求概率 【典例6】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）盒子中有四个除颜色外一模一样的小球，其中两个红球，两个黄球．从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题通过列举法求概率，通过列举法列出所有摸球的等可能结果，再找出“一个红球、一个黄球”的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：设两个红球分别为红1、红2，两个黄球分别为黄1、黄2． ∵从四个球中随机摸出2个球的所有等可能结果为：(红1，红2)、(红1，黄1)、(红1，黄2)、(红2，黄1)、(红2，黄2)、(黄1，黄2)，共6种． 其中“一个红球、一个黄球”的结果有：(红1，黄1)、(红1，黄2)、(红2，黄1)、(红2，黄2)，共4种． ∴刚好是“一个红球、一个黄球”的概率为． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，两盏灯都不发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率计算与简单电路分析，解题的关键是先列出所有等可能的开关组合，再根据电路原理判断两盏灯都不发光的情况数，最后计算概率． 列出随机闭合两个开关的所有等可能结果；根据电路图判断每种结果下两盏灯的发光情况；用符合条件的结果数除以总结果数得到概率． 【详解】解：随机闭合开关中的两个，所有等可能的结果有：、、，共种． 闭合 ：电路断路，两盏灯都不发光． 闭合 ：绿灯发光． 闭合 ：红灯发光． 其中，两盏灯都不发光的结果有 种． ． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查利用列举法求随机事件的概率，解题关键是正确分析电路通路情况，列举出所有等可能的结果．首先确定随机闭合两个开关的所有等可能结果，再逐一分析每种结果下、的点亮情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：随机闭合开关、、中的两个，所有可能的结果有：、、，共3种等可能的结果． ∵当闭合和时，电路形成通路，能同时点亮灯泡、；闭合和时，无法形成通路，均不亮；闭合和时，只有亮． ∴能同时点亮灯泡、的结果只有1种． 根据概率公式，． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·北京·期末）临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为 (1)求m和n的值； (2)小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）由概率公式求出，即可得出； （2）列举法得出共有6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为， ∴， ∴， ∴； （2）解：把没有“红酥梨”的1箱记为A，混入了1个“红酥梨”的记为、，混入了2个“红酥梨”的记为C，从4箱中随机挑选两箱的情况有、、、、、，共6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有，共2种， ∴两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率为． 题型07 用概率公式计算概率 【典例7】（25-26九年级上·陕西延安·期末）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率公式，找出所有等可能结果数和符合要求的结果数，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵霖霖从三部电影中随机选择一部，共有3种等可能的结果，其中恰好选中《731》的结果只有1种， ∴所求概率为． 【变式1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（　　） A．一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有 5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D．“抛掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件 【答案】D 【分析】根据概率的计算公式、概率的意义以及随机事件的定义，逐个判断选项的正误． 【详解】解：A、∵袋中总球数为个，红球共3个， ∴任意摸出一个红球的概率为，不是，A错误； B、∵是中奖的可能性描述，不是说买100张一定有5张中奖，结果是随机的， ∴B错误； C、∵射击的中靶与不中靶不是等可能事件， ∴击中靶的概率不一定是，C错误； D、∵抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，结果事先不确定， ∴“抛掷一次结果正面朝上”是随机事件，D正确． 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）某商场门口有甲、乙两公司投放的5辆共享单车，其中3辆是甲公司的，2辆是乙公司的，现随机挑选一辆，则选中甲公司共享单车的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式求概率．根据概率公式，总共有5辆共享单车，甲公司有3辆，根据概率公式即可求解． 【详解】解：总共有5辆共享单车，甲公司有3辆，选中甲公司共享单车的概率是 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）小华在做研究性学习关于“晋江市传统民俗文化的活动开展情况”的课题，因时间有限，只打算在“五店市、梧林古村、安平桥”三个区域调查了解，则他随机选中“五店市”作为第一个调查区域的概率为____________． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：小华从三个区域（五店市、梧林古村、安平桥）中随机选择第一个调查区域，每个区域被选中的可能性相同， 总共有3种等可能的结果，其中选中“五店市”只有1种结果，根据概率公式，概率． 故答案为：． 题型08 已知概率求数量 【典例8】（25-26九年级上·广西钦州·期末）一个不透明的口袋中装有红球和白球共30个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次随机摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（    ） A．15个 B．14个 C．13个 D．12个 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此可得摸到红球的概率，再根据摸到红球的概率等于红球的个数除以球的总数可得答案． 【详解】解：∵通过多次随机摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴口袋中红球可能有个， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）柑桔产业已成为城固县农村经济中效益最好、潜力最大的优势特色产业．在一个不透明的盒子中装着分别写有“柑”“桔”字的小球共50个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将盒子中的小球搅匀后，随机摸出一个小球，记录小球上的文字，并将小球放回盒子中，通过多次摸球试验后发现，摸到写有“柑”字的小球的频率稳定在，估计盒子中写有“柑”字的小球有（  ） A．20个 B．18个 C．15个 D．10个 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识点，当试验次数足够多时，频率稳定在概率附近，用总球数乘以对应频率即可估算出写有“柑”字的小球数量． 【详解】解：∵摸到写有“柑”字的小球的频率稳定在，总小球数为50个 ∴估计盒子中写有“柑”字的小球数量为（个） 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）在一个不透明的布袋中装有5个红色、4个黄色和若干个蓝色乒乓球，这些球除颜色外其他无差别，随机摸一个球，摸到蓝色乒乓球的概率是，则蓝色乒乓球有________个． 【答案】3 【分析】设蓝色乒乓球有个，根据摸到蓝色乒乓球的概率列出方程求解即可． 【详解】解：设蓝色乒乓球有个， 则布袋中球的总个数为， 根据概率公式，摸到蓝色乒乓球的概率为， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合实际意义． 【点睛】总数量一定要包含所有颜色的球，切勿遗漏未知的；所列方程为分式方程，必须检验． 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． (1)求未获奖的概率； (2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； (3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 【答案】(1)0.4 (2)20 (3) 【分析】本题主要考查的是用概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）用减去获得一、二、三等奖的概率即可得出结果； （2）用乘以获得一等奖的概率即可得出结果； （3）列举得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3， ∴未获奖的概率为； （2）解：∵获得一等奖的概率为0.1， ∴（人）， 故获得一等奖的学生人数为人； （3）解：由题意可得：从四位同学中随机选取人，所有等可能的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共种，其中刚好选中甲和丙两位同学的情况有1种， 故刚好选中甲和丙两位同学的概率为． 题型09 几何概率 【典例9】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率的知识．根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率． 【详解】解：设正方形的边长为2，则圆的直径为2， 故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，据此计算即可，熟练掌握概率的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），则击中阴影区域的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查概率，掌握概率的公式是解题的关键． 由图形可知，共有9种等可能的结果，阴影区域有5种，根据概率公式，计算即可． 【详解】解：由图可知，投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），共有9种等可能的结果， 击中阴影区域有5种， 击中阴影区域的概率是． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知二维码是一个边长为的大正方形，为了测算黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，由此可估计这个正方形二维码图中的黑色部分的面积约为__________． 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率；求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的，计算即可． 【详解】解：∵正方形二维码的边长为， ∴正方形二维码的面积为， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴黑色部分的面积约为：， 故答案为：． 题型10 概率的应用 【典例10】（25-26九年级上·河南郑州·期中）二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A．160 B．240 C．120 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 【变式2】（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 【变式3】（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 【答案】(1)随机 (2)，， (3)见解析 【分析】（1）根据“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”的定义判断即可； （2）利用概率公式直接进行计算． （3）设计摸球游戏中的球总数为，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数即可． 【详解】（1）解：小明可能中奖也可能不中奖 小明中奖是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：袋中共有个球，其中红球个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与， ， ， ． 故答案为：； （3）解：有足够多的球，从中选个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率， 只要球的总数为个，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数， 可设计如下：选红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球个，其中红球和白球都是个，黑球个，其他的球都是黄色球． 【点睛】本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键． 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）成语是中华文化的一大瑰宝，下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．不期而遇 B．旭日东升 C．竹篮打水 D．画饼充饥 【答案】A 【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，判断各选项对应的事件类型即可得到结果． 【详解】解：A．不期而遇可能发生，也可能不发生，是随机事件； B．旭日东升是一定会发生的自然现象，是必然事件； C．竹篮打水一定无法实现打水的目的，是不可能事件； D．画饼不能真正填饱肚子，无法达到充饥效果，是不可能事件． 2．（25-26七年级下·山西太原·期中）下列事件中，属于随机事件的是（     ） A．经过有红绿灯的路口，碰到绿灯 B．在班级里任选13名同学，至少有两名同学的生日在同一个月 C．将铁块放入水中，铁块沉到水底 D．早晨太阳从西边升起 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，需根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义判断选项，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：选项A，经过有红绿灯的路口，可能碰到绿灯，也可能碰到其他灯，该事件可能发生也可能不发生，∴A是随机事件； 选项B，一年共12个月，任选13名同学，至少有两名同学的生日在同一个月是一定发生的，∴B是必然事件； 选项C，铁块密度大于水，将铁块放入水中，铁块沉底是一定发生的，∴C是必然事件； 选项D，早晨太阳从西边升起是一定不发生的，∴D是不可能事件． 3．（25-26七年级下·山西太原·期中）某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表： 种子粒数 100 200 300 500 800 1000 2000 种子发芽的粒数 86 178 273 452 716 905 1804 种子发芽的频率 0.860 0.890 0.910 0.904 0.895 0.905 0.902 根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（     ） A．0.86 B．0.89 C．0.90 D．0.91 【答案】C 【分析】当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率随试验次数增大的稳定值，即可得到概率的估计值． 【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值， 观察表格数据可知，随着种子粒数逐渐增大，种子发芽的频率逐渐稳定在附近， ∴估计这批种子发芽的概率为． 4．（25-26七年级下·山东烟台·期中）为增强班级凝聚力，王老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小明同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，大圆面积为， 免一次作业对应区域的面积为， ∴投中“免一次作业”的概率是， 5．（2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模））某校航天社团为筹备航天主题演讲，准备从“嫦娥六号钻取器”，“嫦娥七号飞跃器”，“鹊桥中继星”这三个航天科普模型中随机选取两个进行演讲，则恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举所有等可能的选取结果，找出满足题意的结果，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设“嫦娥六号钻取器”为A，“嫦娥七号飞跃器”为B，“鹊桥中继星”为C， 列举从三个模型中随机选取两个的所有结果为： 、、， 共种，它们出现的可能性相同， 其中恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的结果有种，即， 根据概率公式得，所求概率． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）某市进行初中学业水平实验操作考试，要求九年级的每名学生从物理、化学两个学科中随机抽取一科参加考试，小敏抽到化学学科的概率是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率的意义和简单概率计算，熟练掌握等可能事件概率的计算公式是解题的关键。总共有物理和化学两个学科，每个学科被抽到的可能性相等，因此小敏抽到化学学科的概率是． 【详解】解：∵从物理、化学两个学科中随机抽取一科，共有2种等可能的结果，其中抽到化学学科的结果有1种， ∴小敏抽到化学学科的概率为． 故答案为． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）在一个不透明袋子中，装有40个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，则袋中白球的个数是________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了根据概率公式求数量，设袋子中白球的个数为x，摸到白球的概率等于白球的个数除以球的总数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中白球的个数为x， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴袋子中白球的个数为5， 故答案为：5． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）“头盔是生命之盔”．某市质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数 97 196 295 489 785 981 2940 合格头盔的频率（精确到千分位） 若该工厂生产10000个头盔，可估计合格的头盔数有______个． 【答案】 9800 【分析】本题考查了用频率估计概率的统计思想，解题的关键是通过大量重复试验，用稳定的频率来估计概率，再用概率乘以总数得到估计值； 先根据表格数据确定合格头盔的频率稳定在，再用计算合格头盔的数量． 【详解】解：由表格可知，随着抽查数量的增加，合格头盔的频率逐渐稳定在， 因此可估计该工厂生产头盔的合格概率为． ． 故答案为：． 9．（25-26七年级下·山西太原·期中）小李同学将他拍摄的悬空寺、应县木塔、晋祠、壶口瀑布的景点照片制成了卡片，这些卡片除图案外完全相同，共有张．将这些卡片放在不透明的袋子中，随机抽取一张记录景点后放回摇匀，多次抽取后发现抽到关于晋祠的卡片的频率稳定在左右，则估计关于晋祠的卡片有____张． 【答案】 【详解】解：∵发现抽到关于晋祠的卡片的频率稳定在左右， ∴抽到关于晋祠的卡片的概率为， ∴估计关于晋祠的卡片的数量为（张）． 10．（2026·江苏苏州·一模）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色以外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形都是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是__________． 【答案】 【分析】根据飞镖击中阴影部分的概率等于阴影部分面积与正方形总面积之比，即可求解． 【详解】解：根据题意得∶阴影部分的面积为， 所以飞镖击中阴影部分的概率是． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 12．（25-26九年级上·江西南昌·期末）某学校九年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在书画区域的次数 落在书画区域的频率 (1)完成上述表格：__________；__________；假如你去转动该转盘一次，估计你获得书画奖品的概率约是__________（精确到）； (2)甲乙两人购物后各获得一次转动转盘的机会，他们认为两人恰好都获得书画奖品的概率和两人恰好都获得手工奖品的概率一样大，请判断这句话的正误；__________（填写正确或错误） (3)若本次义卖活动共有800人各获得一次转动转盘的机会，请估计本次义卖活动共送出多少张书画奖品？ 【答案】(1)295，0.6，0.6， (2)错误 (3)480张 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的乘法计算、频数与频率的关系，熟练掌握频率与概率的关系，以及利用概率进行简单计算是解题的关键． （1）先利用频率公式计算总数，再根据总数和频率求出对应频数与频率；最后用频率估计概率． （2）先判断书画和手工的概率大小，再分别计算两人都得书画奖品、两人都得手工奖品的概率，比较大小后判断正误． （3）用总人数乘以书画奖品的概率，得到送出书画奖品的估计数量． 【详解】（1）解：， 当次数很大时，频率将会接近0.6，获得书画奖品的概率约是0.6， 故答案为：295，0.6，0.6； （2）解：（书画），（手工）， （两人都书画）， （两人都手工）， ， 该说法错误， 故答案为：错误； （3）解：张 答：估计本次义卖活动共送出480张书画奖品． 13．（25-26八年级上·北京顺义·期末）设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 【答案】(1) (2)图见解析 【分析】本题考查了几何概率，以及概率公式，理解题意是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）结合几何概率定义，以及指针指向阴影区域的可能性大小是，将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中3块是灰色，则指针指向灰色区域的可能性大小是； （2）解：如图，所画转盘即为所求： 将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，此时指针指向阴影区域的可能性大小是． 14．（25-26九年级上·广东佛山·期末）3月14日是国际数学节．某书店设计了一套（每套4张，每张均售元）数学主题（“勾股定理”、“黄金分割”、“杨辉三角”、“七巧板”）明信片，书店将两套明信片放入八个相同的盲袋中，每个盲袋装一张且被抽中的可能性相同．凡在书店购书满200元的顾客，可获一次抽取盲袋的机会，规则如下：抽到“勾股定理”，获得该明信片且奖励8元；抽到“黄金分割”或“杨辉三角”，获得该明信片且奖励5元；抽到“七巧板”，仅获得该明信片． (1)随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是多少？ (2)如果活动期间顾客共抽取了480次盲袋，那么书店为此活动需支付的总费用估计是多少？ 【答案】(1) (2)2736元 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是根据概率公式求出相应的概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“勾股定理”的结果有2种， 随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是； （2）解：活动期间需支付明信片的费用为：（元）， 抽到“勾股定理”的总次数约为：（次）， 抽到“黄金分割、杨辉三角”的总次数约为：（次）， 抽到“七巧板”的总次数约为：（次）， 书店为此活动需支付的总费用估计是： （元）． 15．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 【答案】(1)种，列表见解析； (2)． 【分析】本题考查了列举随机试验的所有可能结果，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接用列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果即可； （）由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种，然后通过概率公式即可求解． 【详解】（1）解：（1）列表如下： 红 红 黄 黄 红 红红 红黄 红黄 红 红红 红黄 红黄 黄 黄红 黄红 黄黄 黄 黄红 黄红 黄黄 所以摸球所有可能的结果共有种； （2）解：由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种， 所以小明同学获得篮球的概率． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 概率初步章节复习 教学目标 1. 理解必然事件、不可能事件、随机事件概念，能准确区分三类事件，判断生活事件所属类型。 2. 掌握概率基本含义，学会用频率估计概率，能通过试验数据分析频率与概率的联系。 3. 会计算简单随机事件发生的概率，能用概率知识解决基础实际问题，树立随机观念，体会概率在生活中的应用价值，培养数据分析与理性判断能力。 教学重难点 1.重点 （1）分清确定事件与随机事件，牢固掌握随机事件概率的定义，熟练运用公式求解简单事件概率。 （2）理解试验频率与理论概率的关系，能借助重复试验统计频率，依托频率估算未知事件发生概率，夯实概率基础运算与实际应用核心知识。 2.难点 （1）透彻区分频率与概率的异同，理清二者动态变化关系，避免概念混淆，准确理解频率趋近于概率的规律。 （2）结合实际复杂情境分析随机事件，找准事件所有等可能结果，灵活运用概率知识分析生活随机现象，合理利用概率做出简单判断与决策。 1.确定事件与随机事件 必然事件：在一定条件下必定出现的现象，叫做必然事件. 不可能事件：在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件. 确定事件：必然事件和不可能事件统称确定事件. 随机事件：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫随机事件. 2.事件发生的可能性 3.事件的概率 题型01 事件的分类 【典例1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中”这一事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判断 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列成语所描述的是随机事件的是（   ） A．海底捞月 B．寒来暑往 C．一箭双雕 D．拔苗助长 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【变式3】（25-26九年级上·四川广安·期末）“成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨；④瓮中捉鳖；上述成语描述的场景为不可能事件的是____________．（填序号） 题型02 判断事件发生的可能性的大小 【典例2】（25-26九年级上·河北邢台·期末）黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【变式2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）在日常生活中，我们经常使用一些词语来形容事情发生的可能性的大小．给出下列三个词语：①瓜熟蒂落；；②水中捞月；③守株待兔．按可能性从大到小的顺序排列为_______（填序号）． 【变式3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）以下四个事件中，摸球一次，摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是________.（这些球除颜色外都相同） ① 8个白球，2个红球，3个黑球；② 3个蓝球，9个白球，1个红球 ③ 6个白球，4个蓝球，3个红球；④ 2个黑球，4个红球，7个白球 题型03 求某事件的频率 【典例3】（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【变式2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为______． 【变式3】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 题型04 由频率估计概率 【典例4】（25-26九年级上·广东中山·期末）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（    ） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 【变式1】（25-26九年级上·云南·期末）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近波动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 【变式3】（25-26九年级上·河南郑州·期末）某新菜种在播种前做了五次发芽试验，每次任取一定数量的种子进行实验．实验结果如表所示：在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为_________ ．（精确到0.01） 实验的菜种数 200 500 1000 2000 10000 发芽的菜种数 193 487 983 1942 9734 发芽率 0.965 0.974 0.983 0.971 0.973 题型05 用频率估计概率的综合应用 【典例5】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期末）小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ） A．540 B．555 C．570 D．585 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）一只不透明的袋中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.2，则袋中约有红球______个． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 500 1000 3000 合格频数 49 97 481 960 2880 合格频率 0.980 0.970 0.962 0.960 0.960 根据表中的数据，估计出售5000件衬衣，其中合格产品约有______件． 题型06 列举法求概率 【典例6】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）盒子中有四个除颜色外一模一样的小球，其中两个红球，两个黄球．从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，两盏灯都不发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 【变式3】（25-26九年级上·北京·期末）临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为 (1)求m和n的值； (2)小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 题型07 用概率公式计算概率 【典例7】（25-26九年级上·陕西延安·期末）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（　　） A．一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有 5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D．“抛掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）某商场门口有甲、乙两公司投放的5辆共享单车，其中3辆是甲公司的，2辆是乙公司的，现随机挑选一辆，则选中甲公司共享单车的概率是______． 【变式3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）小华在做研究性学习关于“晋江市传统民俗文化的活动开展情况”的课题，因时间有限，只打算在“五店市、梧林古村、安平桥”三个区域调查了解，则他随机选中“五店市”作为第一个调查区域的概率为____________． 题型08 已知概率求数量 【典例8】（25-26九年级上·广西钦州·期末）一个不透明的口袋中装有红球和白球共30个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次随机摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（    ） A．15个 B．14个 C．13个 D．12个 【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）柑桔产业已成为城固县农村经济中效益最好、潜力最大的优势特色产业．在一个不透明的盒子中装着分别写有“柑”“桔”字的小球共50个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将盒子中的小球搅匀后，随机摸出一个小球，记录小球上的文字，并将小球放回盒子中，通过多次摸球试验后发现，摸到写有“柑”字的小球的频率稳定在，估计盒子中写有“柑”字的小球有（  ） A．20个 B．18个 C．15个 D．10个 【变式2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）在一个不透明的布袋中装有5个红色、4个黄色和若干个蓝色乒乓球，这些球除颜色外其他无差别，随机摸一个球，摸到蓝色乒乓球的概率是，则蓝色乒乓球有________个． 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． (1)求未获奖的概率； (2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； (3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 题型09 几何概率 【典例9】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），则击中阴影区域的概率是__________． 【变式3】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知二维码是一个边长为的大正方形，为了测算黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，由此可估计这个正方形二维码图中的黑色部分的面积约为__________． 题型10 概率的应用 【典例10】（25-26九年级上·河南郑州·期中）二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A．160 B．240 C．120 D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 【变式2】（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【变式3】（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）成语是中华文化的一大瑰宝，下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．不期而遇 B．旭日东升 C．竹篮打水 D．画饼充饥 2．（25-26七年级下·山西太原·期中）下列事件中，属于随机事件的是（     ） A．经过有红绿灯的路口，碰到绿灯 B．在班级里任选13名同学，至少有两名同学的生日在同一个月 C．将铁块放入水中，铁块沉到水底 D．早晨太阳从西边升起 3．（25-26七年级下·山西太原·期中）某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表： 种子粒数 100 200 300 500 800 1000 2000 种子发芽的粒数 86 178 273 452 716 905 1804 种子发芽的频率 0.860 0.890 0.910 0.904 0.895 0.905 0.902 根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（     ） A．0.86 B．0.89 C．0.90 D．0.91 4．（25-26七年级下·山东烟台·期中）为增强班级凝聚力，王老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小明同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2026年辽宁丹东市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（二模））某校航天社团为筹备航天主题演讲，准备从“嫦娥六号钻取器”，“嫦娥七号飞跃器”，“鹊桥中继星”这三个航天科普模型中随机选取两个进行演讲，则恰好选中“嫦娥六号钻取器”和“鹊桥中继星”的概率为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）某市进行初中学业水平实验操作考试，要求九年级的每名学生从物理、化学两个学科中随机抽取一科参加考试，小敏抽到化学学科的概率是______． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）在一个不透明袋子中，装有40个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，则袋中白球的个数是________． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）“头盔是生命之盔”．某市质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数 97 196 295 489 785 981 2940 合格头盔的频率（精确到千分位） 若该工厂生产10000个头盔，可估计合格的头盔数有______个． 9．（25-26七年级下·山西太原·期中）小李同学将他拍摄的悬空寺、应县木塔、晋祠、壶口瀑布的景点照片制成了卡片，这些卡片除图案外完全相同，共有张．将这些卡片放在不透明的袋子中，随机抽取一张记录景点后放回摇匀，多次抽取后发现抽到关于晋祠的卡片的频率稳定在左右，则估计关于晋祠的卡片有____张． 10．（2026·江苏苏州·一模）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色以外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形都是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是__________． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 12．（25-26九年级上·江西南昌·期末）某学校九年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在书画区域的次数 落在书画区域的频率 (1)完成上述表格：__________；__________；假如你去转动该转盘一次，估计你获得书画奖品的概率约是__________（精确到）； (2)甲乙两人购物后各获得一次转动转盘的机会，他们认为两人恰好都获得书画奖品的概率和两人恰好都获得手工奖品的概率一样大，请判断这句话的正误；__________（填写正确或错误） (3)若本次义卖活动共有800人各获得一次转动转盘的机会，请估计本次义卖活动共送出多少张书画奖品？ 13．（25-26八年级上·北京顺义·期末）设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 14．（25-26九年级上·广东佛山·期末）3月14日是国际数学节．某书店设计了一套（每套4张，每张均售元）数学主题（“勾股定理”、“黄金分割”、“杨辉三角”、“七巧板”）明信片，书店将两套明信片放入八个相同的盲袋中，每个盲袋装一张且被抽中的可能性相同．凡在书店购书满200元的顾客，可获一次抽取盲袋的机会，规则如下：抽到“勾股定理”，获得该明信片且奖励8元；抽到“黄金分割”或“杨辉三角”，获得该明信片且奖励5元；抽到“七巧板”，仅获得该明信片． (1)随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是多少？ (2)如果活动期间顾客共抽取了480次盲袋，那么书店为此活动需支付的总费用估计是多少？ 15．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 红 红 黄 黄 红 红红 红黄 红黄 红 红红 红黄 红黄 黄 黄红 黄红 黄黄 黄 黄红 黄红 黄黄 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $