微专题 数列的奇偶项问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

微专题　数列的奇偶项问题 考情分析：高考中的题型分布：客观题以中档题为主，侧重奇偶项通项求解、局部和计算；解答题可能作为第二问，结合函数、不等式综合考查，难度中档。 基础知识必备： 1. 等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，这是处理奇偶项的核心依据。 2.(1)隔项等差、等比数列型求通项公式常用的方法:用2k-1或2k替代n,求出a2k-1,a2k的通项; (2)求数列的前n项和常用的方法有:方法一:分别求出S奇,S偶,利用Sn=S奇+S偶,这种思路本质上是分组求和;方法二:把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再利用S2k-1=S2k-a2k求出S2k-1,这种思路本质上是并项求和。 典型例题 类型一 an= 型 【核心归纳】 识别特征：题目明确给出n为奇数/偶数时的不同递推关系或通项公式 核心方法： 1.分类求解法：按n的奇偶性分别求通项与前n项和 2.统一表达式法（判断） 操作要点：求和时需区分n为奇数/偶数时的项数分布 例1.（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C错误； 对于D，数列的前项的和为， 所以 ，故D正确. 训练1： (2021·新高考Ⅰ卷改编)已知数列{an}满足a1=1,an+1= (1)记bn=a2n,写出b1,b2,证明数列{bn}是等差数列，并求数列{bn}的通项公式; (2)求{an}的前20项和. 解　(1)因为bn=a2n,且a1=1,an+1= 所以b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.因为bn=a2n, 所以bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,所以bn+1-bn=a2n+3-a2n=3, 所以数列{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列,所以bn=2+3(n-1)=3n-1,n∈N*. (2)因为an+1=所以k∈N*时,a2k=a2k-1+1=a2k-1+1, 即a2k=a2k-1+1,①a2k+1=a2k+2,②a2k+2=a2k+1+1=a2k+1+1, 即a2k+2=a2k+1+1,③所以①+②得a2k+1=a2k-1+3,即a2k+1-a2k-1=3, 所以数列{an}的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列; ②+③得a2k+2=a2k+3,即a2k+2-a2k=3, 又a2=2,所以数列{an}的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列. 所以数列{an}的前20项和S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)=10+×3+20+×3=300. 类型二　an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型 【核心归纳】 识别特征：递推式为或，相邻奇偶项存在明确关联 核心方法： 1.递推相减法（和型）：当为常数或等差数列时，用替换n得新递推式，两式相减消去偶/奇数项 2.递推相除法（积型）：当为等比数列时，两式相除消去偶/奇数项，转化为隔项递推问题 操作要点：注意递推式的适用范围（n≥1或n≥2），避免首项遗漏 例2（2025·江苏苏州·三模）已知数列的前项和为，，，则 ． 【答案】24 【分析】先依题意计算，判断和均是等差数列，求得通项公式，再利用等差数列的求和公式分类计算即可. 【详解】因为，，所以，即. 又①， 则②， 由②-①，得， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列，是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，， 所以，， 所以 . 故答案为：24. 训练2 (2025·唐山调研)在数列{an}中,已知a1=1,an·an+1=,记Sn为{an}的前n项和,bn=a2n+a2n-1. (1)判断数列{bn}是否为等比数列,并写出其通项公式;(2)求数列{an}的通项公式; (3)求Sn. 解　(1)∵an·an+1=, ∴an+1·an+2=, ∴=,即an+2=an, ∴===. ∵a1=1,a1·a2=,∴a2=, ∵b1=a2+a1=+1=, ∴数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列, ∴bn=·=. (2)由(1)可知an+2=an,且a1=1,a2=, ∴数列{a2n}是以为首项,为公比的等比数列,数列{a2n-1}是以1为首项,为公比的等比数列, ∴当n为奇数时,an=; 当n为偶数时,an=, ∴an= (3)当n为偶数时, Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=3-3·, 当n为奇数时,n-1为偶数, Sn=Sn-1+=3-3+=3-2,∴Sn= 类型三　通项公式中含有(-1)n型 【核心归纳】 识别特征：通项含或，符号周期为2 核心方法： 1.相邻两项配对法：n为偶数时，将相邻两项合并为一组，每组结果为常数或有规律的表达式 2.分奇偶讨论法：n为奇数时，先求前n-1项和（偶数项），再加第n项 操作要点：注意区分n为奇数/偶数时的项数与分组方式，避免项数计算错误 例3 (2025·广州质检)已知数列{an}的首项为a1=,且满足an+1+4an+1an-an=0. (1)证明:数列为等差数列;(2)求数列的前n项和为Sn; (3)求数列{(-1)nSn}的前n项和. (1)证明　因为an+1+4an+1an-an=0,a1=, 若an+1an=0,则an=an+1=0, 与a1=矛盾,所以an+1an≠0, 所以an-an+1=4anan+1,所以-=4, 因为a1=,所以=2, 所以数列是以首项为2,公差为4的等差数列. (2)解　由(1)知=2+(n-1)·4=4n-2, 数列的前n项和为Sn==2n2. (3)解　因为(-1)nSn=2·(-1)nn2, 设数列{(-1)nSn}的前n项和为Tn, 当n为偶数时,Tn=2[-12+22-32+…-(n-1)2+n2], 因为n2-(n-1)2=2n-1, 所以Tn=2[3+7+…+(2n-1)] =2·· =n(n+1)=n2+n, 当n为奇数时,n-1为偶数. Tn=Tn-1+2·(-1)nn2 =(n-1)n-2n2=-n2-n, 所以Tn= 训练3 (2025·西安调研)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)当n=1时,a1=S1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n. a1也满足an=n, 故数列{an}的通项公式为an=n. (2)当n为偶数时, Tn=(21+22+…+2n)+[-1+2-3+4+…-(n-1)+n]=+=2n+1-2+. 当n为奇数时, Tn=(21+22+…+2n)+[-1+2-3+4+…-(n-2)+(n-1)-n] =2n+1-2+-n=2n+1-. 综上,Tn= 规律方法　通项中含有(-1)n的常见类型 (1)等差数列的通项公式乘以(-1)n,可用并项求和法求数列前n项的和, 如an=(-1)n(2n-1),前20项的和 a1+a2+…+a20=(-1+3)+(-5+7)+…+(-37+39). (2)等比数列的通项乘以(-1)n,若求其前n项和的最值可写成分段形式, 如等比数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·,则其前n项和Sn=1-,求Tn=Sn-的取值范围时,n分奇偶讨论,求Tn的最值. (3)裂项相消法求和如an=(-1)n=(-1)n,求和时通过(-1)n实现正负交替. 当堂检测 1.（24-25高三上·辽宁·期末）已知数列满足且，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推公式可得数列奇数项和偶数项的特征，分别求和即可求得结果. 【详解】当为偶数时，，又，的偶数项是以为首项，为公差的等差数列； 当为奇数时，，又，的奇数项是以为首项，为公比的等比数列； . 故选：B. 2．（2025·吉林·二模）已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】A 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】利用给定条件结合分类讨论确定公差，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可. 【详解】设公差为，因为成等比数列， 所以，则， 解得或，当时，， 此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令， 而其前项和为， ，故A正确. 故选：A 3.（2025·福建三明·三模）若数列满足，，则（    ） A．155 B．156 C．203 D．204 【答案】A 【分析】由，可以得到奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，再由，利用合并项求出 【详解】由，则， 故奇数项成等差数列，偶数项成等差数列， 由，则，， 则， 故 . 故选：A 4.（2024·全国·模拟预测）在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列性质及分组求和法，利用等比数列的前项和及数列的单调性即可求解. 【详解】由可得， 故，设的公比为，则，即， 故， 则． 由于时，， 故随着的增大而增大，而，， 故满足的最小正整数的值为6． 故选：B. 课后作业： 1.（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前2025项和为（   ） A．2025 B．2023 C． D．0 【答案】A 【分析】由的规律，从而得到的规律，则数列四项之和为，即可求解. 【详解】因为，所以，， ，，， 所以， 所以，，，，，， ，所以数列四项之和为， 故数列的前项和为. 故选：A 2.(2025·成都诊断)已知数列{an}满足an+1+an=4n-3(n∈N*). (1)若数列{an}是等差数列,求a1的值;(2)当a1=2时,求数列{an}的前n项和Sn. 解　(1)若数列{an}是等差数列,则 an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd. 由an+1+an=4n-3, 得a1+nd+a1+(n-1)d=4n-3, 即2d=4,2a1-d=-3, 解得d=2,a1=-. (2)法一　由an+1+an=4n-3(n∈N*), 得an+2+an+1=4n+1(n∈N*). 两式相减,得an+2-an=4, 由a2+a1=1,a1=2,得a2=-1, 所以数列{a2n-1}是首项为a1=2,公差为4的等差数列;数列{a2n}是首项为a2=-1,公差为4的等差数列, 所以an= 当n为奇数时,an=2n,an-1=2n-7. Sn=a1+a2+a3+…+an=(a1+a3+…+an)+(a2+a4+…+an-1)=+=; 当n为偶数时,an=2n-5,an-1=2n-2, Sn=a1+a2+a3+…+an=(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an)=+=. 综上,Sn= 法二　由于an+1+an=4n-3, 于是S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n) =1+9+…+(8n-7)==4n2-3n, 由此可得当n为偶数时,Sn=, 而当n为奇数时,n+1为偶数, 于是Sn=Sn+1-an+1=-(2n-3)=. 综上,Sn= 3.(2023新高考Ⅱ,18)已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16. (1)求{an}的通项公式; (2)证明:当n>5时,Tn>Sn. (1)解 设等差数列{an}的公差为d. 由bn=得b1=a1-6,b2=2a2=2(a1+d),b3=a3-6=a1+2d-6.则由S4=32,T3=16,得解得 所以an=a1+(n-1)d=2n+3. (2)证明 由(1)可得Sn==n2+4n. 当n为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3=[-1+3+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+…+(4n+2)]= 当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)=>0,所以Tn>Sn. 当n为偶数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-1-6+2an=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-5)+(4n+6)]=[-1+3+…+(2n-5)]+[14+22+…+(4n+6)]= 当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)=>0,所以Tn>Sn. 综上可知,当n>5时,Tn>Sn. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题　数列的奇偶项问题 考情分析：高考中的题型分布：客观题以中档题为主，侧重奇偶项通项求解、局部和计算；解答题可能作为第二问，结合函数、不等式综合考查，难度中档。 基础知识必备： 1. 等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，这是处理奇偶项的核心依据。 2.(1)隔项等差、等比数列型求通项公式常用的方法:用2k-1或2k替代n,求出a2k-1,a2k的通项; (2)求数列的前n项和常用的方法有:方法一:分别求出S奇,S偶,利用Sn=S奇+S偶,这种思路本质上是分组求和;方法二:把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再利用S2k-1=S2k-a2k求出S2k-1,这种思路本质上是并项求和。 典型例题 类型一 an= 型 【核心归纳】 识别特征：题目明确给出n为奇数/偶数时的不同递推关系或通项公式 核心方法： 1.分类求解法：按n的奇偶性分别求通项与前n项和 2.统一表达式法（判断） 操作要点：求和时需区分n为奇数/偶数时的项数分布 例1.（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 训练1： (2021·新高考Ⅰ卷改编)已知数列{an}满足a1=1,an+1= (1)记bn=a2n,写出b1,b2,证明数列{bn}是等差数列，并求数列{bn}的通项公式; (2)求{an}的前20项和. 类型二　an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)型 【核心归纳】 识别特征：递推式为或，相邻奇偶项存在明确关联 核心方法： 1.递推相减法（和型）：当为常数或等差数列时，用替换n得新递推式，两式相减消去偶/奇数项 2.递推相除法（积型）：当为等比数列时，两式相除消去偶/奇数项，转化为隔项递推问题 操作要点：注意递推式的适用范围（n≥1或n≥2），避免首项遗漏 例2（2025·江苏苏州·三模）已知数列的前项和为，，，则 ． 训练2 (2025·唐山调研)在数列{an}中,已知a1=1,an·an+1=,记Sn为{an}的前n项和 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求Sn. 类型三　通项公式中含有(-1)n型 【核心归纳】 识别特征：通项含或，符号周期为2 核心方法： 1.相邻两项配对法：n为偶数时，将相邻两项合并为一组，每组结果为常数或有规律的表达式 2.分奇偶讨论法：n为奇数时，先求前n-1项和（偶数项），再加第n项 操作要点：注意区分n为奇数/偶数时的项数与分组方式，避免项数计算错误 例3 (2025·广州质检)已知数列{an}的首项为a1=,且满足an+1+4an+1an-an=0. (1)证明:数列为等差数列;(2)求数列的前n项和为Sn; (3)求数列{(-1)nSn}的前n项和. 训练3 (2025·西安调研)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 规律方法　通项中含有(-1)n的常见类型 (1)等差数列的通项公式乘以(-1)n,可用并项求和法求数列前n项的和, 如an=(-1)n(2n-1),前20项的和 a1+a2+…+a20=(-1+3)+(-5+7)+…+(-37+39). (2)等比数列的通项乘以(-1)n,若求其前n项和的最值可写成分段形式, 如等比数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·,则其前n项和Sn=1-,求Tn=Sn-的取值范围时,n分奇偶讨论,求Tn的最值. (3)裂项相消法求和如an=(-1)n=(-1)n,求和时通过(-1)n实现正负交替. 当堂检测 1.（24-25高三上·辽宁·期末）已知数列满足且，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林·二模）已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 3.（2025·福建三明·三模）若数列满足，，则（    ） A．155 B．156 C．203 D．204 4.（2024·全国·模拟预测）在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 课后作业： 1.（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前2025项和为（   ） A．2025 B．2023 C． D．0 2.(2025·成都诊断)已知数列{an}满足an+1+an=4n-3(n∈N*). (1)若数列{an}是等差数列,求a1的值;(2)当a1=2时,求数列{an}的前n项和Sn. 3.(2023新高考Ⅱ,18)已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16. (1)求{an}的通项公式; (2)证明:当n>5时,Tn>Sn. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $