第5讲 数列的奇偶项问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word（提升版）

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 第5讲数列的奇偶项问题 【例1】解：(1)证明：.数列{an}满足an+1十am=6×5”,即a+1=一an十6X5”, aa+1一50+1=-(0，一50，即r5 252=-1, 又，'41=4，∴.a1-51=-1, ∴.数列{a,一5m川是首项为一1，公比为一1的等比数列. (2)由(1)知am-5m=-1×(-1)n-1=(-1)n, ∴.an=(-1)n+5m, .Sm=51+52+..+5m+(-1)+1+..+(-1)m, 当n为偶数时，可得S。=5+0=子×50+1-是： 当n为奇数时，可得&，=5-1=专×5+1-是 号×5+1-是n为偶数， 综上可得，Sm= 子×5+1-是n为奇数. 【训练1】解：(1)由题意，当n=1时，a1a2=9,可得a2=9. 因为4n·an+1=9”, 所以a+1·a+2=9n+L,所以=9， 所以数列{a}的奇数项和偶数项都是公比为9的等比数列. 当n为奇数时，设n=2k一1(k∈N*), 则an=a2k-1=1·9k-1=32k-2=3n-; 当n为偶数时，设n=2k(k∈N*),则a,=a2k=9·9-1=9k=32k=3”. 31n为奇数， 因此，am= 3,n为偶数. 1-n,n为奇数， (2)由(1)得bm= 32-1,n为偶数， 所以S2m=(b1+b3+.+b2-1)+(b2+b4+..+b2n)=[0-2-4-.-(2n-2)]+(32+34+36 +.+32m)-n=-a22+9g1-n=gm29 2 1-9 8 【例2】解：(1)证明：因为VS+1是1-Sn与Sn+1的等差中项，所以2WSH1=1-8+S+1 所以8，=1+S+1-2S+1=(VSH1-1)2, 因为数列{a,}的各项均为正数，所以Sm>0, 1/6 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以VS=VSH1-1,所以VSH1-V5n=1, 所以数列WS}是首项为V⑤=V瓦=1，公差为1的等差数列. (2)因为数列WSn}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以VSm=1+(n-1)×1=m, 所以Sm=n2,当n=1时，a1=1, 当n≥2时，a,=Sm-Sm-1=n2-(n-1)2=2n-1, n=1时a1=1符合上式， 所以a,=2n-1, 因为bm=（-1)n·（Sn十an), 则T2m=-S1-a1+S2十a2-S3-a3十S4十a4十..+S2n十a2m =(S2-S1)+(S4-S3)+..+(S2m-S2m-1)-(a41-a2+..-a2n) =a2十a4十.十a2m-（a1-a42十..-a2m） =-(a1十a十..+a2m-1)+2(a2十a4十.十a42m) =-nlat21l+2×nla*3al 2 2 =-1+4n-3)+2Xn3+n-1 2 2 =-n(2n-1)+n(4n+2)=2n2+3n. 【训练2】解：(1)设等差数列{an}的首项为a41, 因为a2,a,a5一1成等比数列，所以=a2(a5-1), 又因为公差d=2,所以(a41+4)2=(a1+2)(a1+7),解得a1=2, 故a,=a1十(n-1)d=2+2(n-1)=2n. 对于数列{b},当n=1时，4S1=4b1=3b1+2,解得b1=2. 当n≥2时，由4Sm=3bn十2，可得4Sm-1=3bm-1+2, 两式相减，可得4Sm一4Sm-1=4bm=3bm一3bm-1,即bm=一3b,-1 因为6=2≠0，所以6m≠0，可得总=-3， 所以数列{bm}是以2为首项，一3为公比的等比数列，所以bn=2·(一3)”-1 (2)由(1)知an=2n,bm=2·(-3)n-1, 可得cn=（(-1)n-1abm=(-1)n-1·2n·2·（-3)n-1=4n·3n-1, 所以Tm=4·30+8·31+12·32+..+4n·3"-1, 2/6 ·独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 则3Tm=4·31+8·32+12·33+..+4n·3”, 两式相减，可得-2Tm=4十4·31+4·32+.十4·3n-1一4n·3n =4十4.3=-4n·3m=4+23·(3m-1-1)-4n30=(2-4n)·3m-2, 1-3 所以Tm=（2n一1)·3m+1. 【例3】解：(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. a-6,n为奇数， 因为b,={2an为偶数，且8，=32,7=16， (4a+6d=32, 所以14-6+2a+2d+a1+2d-6=16, |a=5, 解得d=2, 所以a,=5+2(n-1)=2n+3. (2)证明：由1)可知，S=la=5++3=n2+4n. 2 2 由a,=2n十3， ∫2-3，n为奇数， 得bm=(4n+6,n内偶数. 若n为偶数，则 Tm=(b1+b3+..+bm-1)+(b2+b4十..+bn）=(a1-6+a-6+..+am-1-6)+(2a2十2a4+.… +2a,)=(5+9++2n+1-3n）+2(7+11++2m+3)=5+2a+1避-3m+2X72+3k经 2 2 r+号n 所以当n>5时，Tm-S,=n2+3n-(n2+4n)=n2-青n=专n(n-1)>0, 即Tm>Sn 若n为奇数，则n一1为偶数，则 Im=Tm-1+bm=是(n-1)2+号(n-1)+2n+3-6=2+3n-5. 所以当n>5时， Tm-Sn=号2+号n-5-(n2+4n)=n2-n-5=号(n2-3n-10)=克(n+2)(n-5)>0, 即Tm>S 综上可得，当n>5时，Tn>S 3/6 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【训练3】解：(1).a4=a3+1=(2a2+1)+1=2a2+2=2(a+1)+2=2a1+4=6,∴.a1= 1. bn+1=a2m+1=2a2m+1=2(a2m-1+1)+1=2a2m-1+3=2bm+3, 则b+1十3=2(b+3),=2. b+1十3 .b1十3=☑1+3=4，∴.{b十3}是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴.bn十3=4·2n-1=2n+1,则bm=2m+1一3. (2)当a1十3=0时，bn十3=a2m-1十3=0， .a2-1=-3,a2,=-3+1=-2,S16=8×（-5)=-40,不合题意，∴.a1十3≠0. 由(1)得{bm十3}构成以a1十3为首项，2为公比的等比数列，.b,十3=(a1十3)·2m-1. 由题意得a2,=a2m-1十1， ∴.S16=(a1+a3+.+a15)+(a2+a4+..+416)=(a1+a3+..+a415)+(a1+1)+(a3+1)+ .+(a15+1) =2(a1+a3+..+a15)+8=2(a1+3+a+3+..+a15+3)-2X3X8+8=2(b1+b2+..+b8)- 40 =2×+01-21-40=(a,+3)·(2°-2)-40=510(a+3)-40, 1-2 ∴.2000<S16=510(a1+3)-40<2510,解得1<a1<2, .a1的取值范围是(1,2). 【例4】解：（1)设数列{an}公差为d, d≠0 由题意可知=a1a,即(a4-dP=(a4-3d)·(a4十3d), ∴.(5-d)2=(5-3d)(5+3d),则25-10d+P=25-9P,解得d=1, ∴.am=a4+(n-4)d=5+(n-4)=n+1. (2)b=a,os号=(n十1)cos严 【卡壳点】利用o受=cos匹进行转 化，将数列问题转化为三角函数特殊值问题 当n为偶数时，n十1为奇数，则cos+匹=0，即b,=0, 2 当n=2k+1,kEN时，cos4匹=cos(k+1)元， 4/6 ·独家授权侵权必究 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 当k为偶数时，cos(k十1)π=一1， 当k为奇数时，cos(k十1)元=1， 设数列{bn}的前n项和为Sn, 则S2025=b1+b2+b3+b4+b5+b6+..+b2021+b2022+b2023+b2024+b202s =-2+0+4+0-6+0+..+0-2022+0+2024+0-2026 =2×2024+(-2026)=-1014. 【易错提醒】注意项数及最后一项的符号 【训练4】解：(1)证明：，'a+1一2an=3”,∴.am+1=3m+2a :b,=an-3”,则bn+1=an+1-3n+1=3n+2a,-3X3n=2a,-2×3n=2(a,-3n)=2bn, 又.41=5，.b1=41-31=5-3=2, “数列b中任意一项不为0，器-2， ∴.数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，bn=2×2n-1=2n (2)由(1)可知b,=24,则cm=2驶， 8,=+多+3++2学， 8=是+3++…+器， 两式相减可得： 热++好++经誉字誉 Sm=5-(2n+5)(支)" 由(-1)以<Sn十是，得(-1)以<5-(2n+5)·()"+岛， 化简得(-1)%<5[1-（专）"门. 【卡壳点】当题目条件中出现（一1）n时，需按 照n的奇偶性分类求解 当n为奇数时，有-<5[1-（支）门，即>5×（是）m-5, 而[5X(方)”-5]mx=5×克-5=-号，所以入>-号： 当n为偶数时，有2<5[1-（专）门=5-5×（号）”， 而[5-5×()mm=5-5×(是)2=，所以2<平 综上，入的取值范围为(-马，空). 5/6 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 真题体验 a+1,n为奇数， 解：(1)因为bm=a2’且a41=1,an+1 a+2,n为偶数， 所以b1=a2=a1十1=2， b2=a4=a3+1=a2+2+1=5. 因为b,=a2m,所以bn+1=a2m+2=a2+1+1=a2m+1十1=a2m+2+1=am+3, 所以bn+1一bm=a2+3一a2m=3, 所以数列{b}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn=2十3(n一1)=3n一1，n∈N* a+1,n为奇数， (2)因为a+1=气a+2,n为偶数， 所以k∈N*时，a2k=ak-1+1=a2k-1十1， 即a2k=a2k-1+1,① 42k+1=a2k十2， ② a2k+2=a2k+1+1=a2k+1+1,即a2k+2=a2k+1+1,③ 所以①十②得a2k+1=a2k-1+3,即a2k+1-a2k-1=3, 所以数列{a,}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②+③得a2k+2=a2k十3，即a2k+2一a2k=3, 又a2=2,所以数列{a}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列. 所以数列{a}的前20项和S0=(a十a3十a5十.十a9)十(a十a4十a6十.十a20)=10+109×3十 2 20+109×3=300. 2 6/6 ·独家授权侵权必究· 第5讲　数列的奇偶项问题 【考情分析】　数列的奇偶项问题主要考查学生的综合运算能力与探究问题能力，考查形式既有小题，也有解答题，解决此类问题的难点在于搞清数列中奇数项和偶数项各自的首项、项数、公差或公比等，特别注意分类讨论思想在解题中的灵活运用. 　　 考点一　数列中相邻两项和或积的问题 【例1】　（2025·广东清远二模）已知数列{an}的首项为a1＝4，且满足an＋1＋an＝6×5n（n∈N*）. （1）求证：{an－5n}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和Sn. 【规律方法】　（1）构造隔项等差数列：an＋1＋an＝pn＋q（p，q≠0）⇒an＋2＋an＋1＝p（n＋1）＋q，两式相减得an＋2－an＝p； （2）构造隔项等比数列：an＋1·an＝pqn（p，q≠0）⇒an＋2·an＋1＝pqn＋1，两式相除得＝q. 【训练1】　已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝9n，n∈N*. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝求数列{bn}的前2n项和S2n. 考点二　含有（－1）n的类型 【例2】　已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1＝1，是1－Sn与Sn＋1的等差中项. （1）证明：数列{}是等差数列； （2）设bn＝（－1）n·（Sn＋an），求数列{bn}的前2n项和T2n. 【规律方法】　通项中含有（－1）n的情形 （1）等差数列的通项公式乘以（－1）n，用并项求和法求数列的前n项和； （2）等比数列的通项公式中含有（－1）n，其前n项和可写成分段的形式，可求最值. 【训练2】　（2025·陕西咸阳二模）已知等差数列{an}的公差为2，且a2，a3，a5－1成等比数列，记Sn为数列{bn}的前n项和，且4Sn＝3bn＋2. （1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn＝（－1）n－1anbn，求数列{cn}的前n项和Tn. 考点三　an＝型 【例3】　（2023·新高考Ⅱ卷18题）已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. （1）求{an}的通项公式； （2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 【规律方法】　对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用a2n，a2n－1及a2n－1，a2n－2，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过a2n，a2n－1的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把a2n＋a2n－1看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 【训练3】　（2025·江苏淮安模拟预测）已知数列{an}的首项为a1，前n项和为Sn，且an＋1＝记bn＝a2n－1. （1）当a4＝6时，求数列{bn}的通项公式； （2）若2 000＜S16＜2 510，求a1的取值范围. 突破点　数列奇偶项新视角 【例4】　已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4＝5，且a1，a3，a7成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝ancos，求数列{bn}的前2 025项和. 【规律方法】　当已知条件中含有三角函数时，需等价转化，常用的三角函数等价转化有：①cos nπ＝（－1）n； ②sin＝（－1）n＋1. 【训练4】　（2025·黑龙江哈尔滨二模）已知数列{an}满足a1＝5，an＋1－2an＝3n（n∈N*），记bn＝an－3n. （1）求证：{bn}是等比数列； （2）设cn＝，数列{cn}的前n项和为Sn.若不等式（－1）nλ＜Sn＋对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 真题体验 （2021·新高考Ⅰ卷17题）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ （1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； （2）求{an}的前20项和. 提示：完成课后作业　专题二　第5讲 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $