微突破1 数列的奇偶项问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

微突破1　数列的奇偶项问题 【备考指南】　数列的奇偶项问题主要考查学生的综合运用能力与探究问题能力，考查形式既有小题，也有解答题，解决此类问题的难点在于搞清数列中奇数项和偶数项各自的首项、项数、公差、公比等，特别注意分类讨论思想在解题中的灵活运用. 1.等差数列中，若项数为偶数2n，则S2n＝n（an＋an＋1）；S偶－S奇＝nd；＝.若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an；S奇－S偶＝an；＝. 1.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若公差d＝，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a97＋a99＝（　　） A.60 B.70 C.75 D.85 2.等比数列中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 2.已知一个项数为偶数的等比数列{an}的所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则a1＝（　　） A.2 B.－2 C.－1 D.2或－2 3.当题目条件中出现（－1）n时，需按照n的奇偶性分类求解. 3.已知数列{an}满足an＝（－1）n·（2n－1），n∈N*，则其前n项和Sn＝（　　） A.（－1）n－1·n B.（－1）n·n C. D.（－1）n＋1·n 4.由cn＝求S2n，则S2n＝（a1＋a3＋…＋a2n－1）＋（b2＋b4＋…＋b2n）. 4.已知数列{an}，{bn}，其中{an}是各项均为正数的等比数列，满足3a1＋a2＝18，＝9a1a5，则{an}的通项公式为　　　　；若bn＝则数列{bn}的前2n项和S2n＝　　　　. 【思维建模】　常见奇偶项数列的类型 （1）cn＝型； （2）含有（－1）n型； （3）含有三角函数型； （4）数列中连续两项和或积问题：an＋an＋1＝f（n）或an·an＋1＝f（n）； （5）含有{a2n}，{a2n－1}的问题. 【通性通法】　由cn＝求Sn的策略 （1）当n为偶数时，有个奇数项，个偶数项，则Sn＝（a1＋a3＋…＋an－1）＋（b2＋b4＋…＋bn）； （2）当n为奇数时，有个奇数项，个偶数项，则Sn＝（a1＋a3＋…＋an）＋（b2＋b4＋…＋bn－1）.也可由Sn＝Sn－1＋an求解，其中Sn－1可由（1）直接得到. 【例1】　（2023·新高考Ⅱ卷18题）已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. （1）求{an}的通项公式； （2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 【通性通法】　（1）若an·an－1＝qn，则an＋1·an＝qn＋1，相除得＝q.当n为奇数时，数列为以a1为首项，q为公比的等比数列；当n为偶数时，数列为以a2为首项，q为公比的等比数列； （2）若an＋an－1＝dn，则an＋1＋an＝d（n＋1），相减得an＋1－an－1＝d.当n为奇数时，数列为以a1为首项，d为公差的等差数列；当n为偶数时，数列为以a2为首项，d为公差的等差数列. 【例2】　在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝（）n，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1. （1）判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求Sn. 【训练1】　（2025·陕西安康模拟）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＋2a3＝13，S6＝36. （1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＝（－1）nan＋[（－1）n＋1]2n，求{bn}的前2n项和T2n. 【瓶颈突破】　对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用a2n，a2n－1及a2n－1，a2n－2，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过a2n，a2n－1的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把a2n＋a2n－1看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 【训练2】　已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝ （1）是否存在实数λ，使得数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由； （2）若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn＞0的所有正整数n. 提示：完成课后作业　专题二　微突破1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 微突破1数列的奇偶项问题 【基础·回扣】 3+32*1 1.A2.D3.B4.a,=3”2m+n-8+8 【典例·讲解】 【例1】解：（1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 因为bn= 1a,-6,n为奇数，且S4=32,T=16, 2an,n为偶数， 4a1+6d=32, 所以a,-6+2a,+2d+a+2d-6=16, a1=5, 解得d=2, 所以{an}的通项公式为an=5+2(n-1)=2n+3. (2)证明：由（1)可知，S=n(a+a,-n(5+?n+3）=+4n. 2 2 2n-3,n为奇数， 由an=2n十3，得bn= 4n+6,n为偶数. 若n为偶数，则 Tm=(b1+b3+…+bm-1)+(b2十b4+…+bm)=(a1-6十a3-6+…+an-1-6)+(2a2+2a4+… +2am)=(5+9+…+2n+1-3n)+2(7+11+…+2n+3)= （5+2n+1) 2-3n+2× 2 (7+2n+3)x2 ×2=3m+2 22 2 所以≥5助，无8-多教+子6m+4)m1D≥0， 即Tm>S 若n为奇数，则n一1为偶数，则 7元=元1+6，=号(a-D+号(m-D+2m+3-6-r+-5. 3 32 所以当n>5时， 1/4 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3 5 12-3 1 1 1.-S.=2r+2n-5-(r+4m)=2-20-5=2(m-3n-10)=2(n+2)n-5)>0,即 Tn>Sn 综上可得，当n>5时，Tm>S 【例2】解：1aa1= a+a+2=（)t0 021 1 0n=2即a+=24, 小…bn=a2n+an-1 2 a2n十a2n-1 1 1 a=1,r= 1 3 :b1=a+a1=2+1=2 “数列6是以为首项，为公比的等比数列， “流列h的道项公式为6多（宁=三 1 (2)由(1)可知a+2=20,且a1=1,a2=2, “数列是以}为首项，为公比的等比数列，数列是以1为首项，为公比的等比数列， 当m为奇数时，a=兮号 当”为得数时，a=分月 n-1 2 ,n为奇数， ∴.数列{an}的通项公式为an 分)号，n为得数 (3)①当n=2k时，S=(a1十a十…十a2-1)+(a十a4十…+a2)=3 3 2 2/4 独家授权侵权必究： 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZxXK.com● 您身边的互联网+教辅专家 ②当n=2k-1时，5=Sa3234 3- 1,n为奇数， 22 ∴.Sn 3 3 ’n为偶数. 22 【训练1】 解：(1)设等差数列{am}的公差为d, 由a2+2a3=13,S6=36, 3a1+5d=13, 6a+6d=36, 8日2： 所以{an}的通项公式为an=2n-1. (2)由(1)得bn=(-1)"(2n-1)+[（-1)"+1]2", 当n为奇数时，bn=(-1)m(2n-1)+[(-1)"+1]2"=-(2n-1), 当n为偶数时，bn=(-1)"(2n-1)+[(-1)n+1]·2"=(2n-1)+2+1, 所以7，=(-a)+(a4-a)+…+(a,-a-1)+(2+2+…+2+)=2n+2(1-4) 1-4 2mt3-8+2n. 3 【训练2】解：(1)由题意得a2+2= 0+2+1-=号（-6m）+2n+1, 3 1 33(2 ∴a+2-3m十1，故at223 , 又-+1-手s是 31 即存在入-是使待数列®-儿是以-言为首项，丸公比的等比数列. 2自0a-是=-日=2 31 3,a=22-3 a2m=3a1+2n-1,得a1=3a-3(2n-1）, 六0十a-1=4a.-6m+3=- 3n-6n+9. 3/4 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.1 3)+ 0当n=2k时，S=(a+a)十(a计a4)十…+(a-十a2x)=-23十32+…+1 k(3-6k+9) 2 1 =3-3+6k-1; ®当n=2k-1时，5wS73X+6M-号 。1 “3与-3R+6k在k∈N时均单调递减， ∴.S2k与S2k-1在k∈N时均单调递减 又8=1,8-子8=-子8=-8 ∴.满足Sm>0的所有正整数n为1和2. 4/4 ·独家授权侵权必究