小练49 直线与圆锥曲线综合(二)——证明定点、定直线、定值问题-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练49直线与圆锥曲线综合（二）一证明定点、定直线、定值问题 (考试时间：30分钟满分：88分) 1.(13分，教材改编题)已知抛物线C:y2=4x3.(15分)(1)过抛物线y2=2x(p>0)的顶 的焦点为F,过F的直线l与抛物线C相交 点O作两条互相垂直的弦OA和OB.求 于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证： 证：弦AB与抛物线的对称轴相交于定点； (1)以线段AB为直径的圆与直线x=一1 (2)过抛物线y2=2x(p>0)的焦点的一 相切； 条直线与抛物线相交于A,B两点.求证：这 (2)x1x2为定值； 两个交点到x轴的距离的乘积是常数. (3)若M(-1,0),则∠AMF=∠BMF 2(13分，教材改编题)已知椭圆E: a? 1a≥6>0过点Q1,-号)且离心率e 号.0为坐标原点。 (1)求椭圆E的方程； (2)判断是否存在直线1，使得直线1与椭圆 E相交于M,N两点，与y轴相交于点 c(0,),且满足CN=-2C?若存在， 求出直线1的方程；若不存在，请说明理由. 97 4.15分已知双指线C号兰=1a>0)的 a2 6.17分)已知双曲线C若-若=1a>0, 左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线1 b>0)的左、右顶点分别为A,B,渐近线方 交双曲线C的右支于M,N两点，当l⊥x 程为y=士√3x,过左焦点F(一2,0)的直线 轴时，点M,N到双曲线C的一条渐近线的 1与C交于G,H两点（均异于点A,B). 距离之和为2√2， (1)设直线AG,AH的斜率分别为1，k2, (1)求双曲线C的方程； 求k1k2的值； ME+INE为定值. (2)若直线AG与直线BH的交点为P,试 (2)证明：MF2+NF2 问双曲线C上是否存在定点Q,使得 △PFQ的面积为定值？若存在，求出定点 Q的坐标；若不存在，请说明理由. 5.15分记知椭圈C:号+芳-1a>6>0) /3 的离心率为？，长轴长为4. (1)求椭圆C的方程； (2)O为坐标原点，过点G(3,0)且斜率不为 零的直线与椭圆C交于E,F两点，试问：在 x轴上是否存在一个定点T,使得∠ETO ∠FTG?若存在，求出定点T的坐标；若不 存在，请说明理由. 98数学 小练49直线与圆锥曲线综合（二） 证明定点、定直线、定值问题 1.解：(1)如图，设线段AB的中点为D,过点A,B,D作 准线的垂线，垂足分别为A1,B,D1, 由题可知直线x=一1为抛物线C的准线， 则由抛物线的定义可知|AA1=|AF,|BB =BF|, 所以DD,1=号(AA+BB:)=|AB, 所以AD⊥BD,即点D,在以线段AB为直径的 圆上， 所以以线段AB为直径的圆与直线x=一1相切. (5分) (2)易知直线（斜率不为0，设直线！的方程为x= ny+1, x=ny十1， 由{ =4x, 消去x得y2-4ny-4=0,△>0， 所以1为=一4，则x5,=必工=1为定值 16 (9分) (3)由(2)得y1十y2=4n, 则u+a侧一为十行=器 (x1+1)(x2+1) -8n+8n =(x+1)(+D=0, 所以∠AMF=∠BMF (13分) 1 +28=1， [a=2, 2.解：(1)由题意得 = ② 解得b=1, a 2 c=1, a2=b2+c2, ·椭圆E的方程为 +y2=1. 2 (4分) ·99 参考答案及解析 (2)由题意知：直线1斜率存在且不为零，可设l:y= 红+5(k≠0)，M(x1)N(), 5 v=k红+ 由 得1+2)r+5红-兽=0， 2+y2=1 △>0恒成立， (7分) .CN=-2 CM, (）=-2(）=-2… x1-2x1=一x1=一 45k 5(1十2k2) x1·（-2x1)=-2x=- 5(1+2k2) .-2× 45k 7 8 L5(1+22)J 5(1+2k2)' 解得=， 2, (11分) ∴满足条件的直线1存在，其方程为y= 号+停或 y=- + (13分) 3.解：(1)易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方 程为x=my十n,A(1y),B(x2,y2), 由y2p,可得y-2pmy-2pn=0,A>0, 所以y1y2=-2pn, (2分) 因为OA⊥OB,所以OA·OB=0, 所以西十为=茶·芳+%》 =n2-2pn=0, 又n≠0， 所以n=2p, 所以直线AB过定点(2p,0), 所以弦AB与抛物线的对称轴相交于定点(2p,0). (6分) (2)抛物线=2pz(p>0)的焦点F(号，0)， 根据题意可知直线AB的斜率不可能为0， 可设直线AB的方程为x=my十台， （y2=2px, 联立 p消x得y2-2pmy-p2=0, x=my+ 则△=4pm2十4p2>0, (10分) 设A(x1y),B(x2,), 则y1y2=一p, 所以A,B两点到x轴的距离的乘积为|y||y2|= 参考答案及解析 |yy2|=p2, 故A,B两点到x轴的距离的乘积是常数.(15分) 4.解：(1)根据题意得F2(2a,0),双曲线C的渐近线 方程为y=士x, 将x=√2a代入双曲线C的方程，得y=士a,(2分) 根据对称性不妨取M(√2a,a),N(√2a,-a), 所以点M,N到渐近线y=x的距离之和为 IVZa-al-lZatal-2a-2VZ, √2 √2 所以a=√2， 所以双青线C的方程为号一苦-1 (5分) (2)由(1)可知F1(-2,0),F2(2,0), 当直线1⊥x轴时，由(1)可知|MF2|=|NF2|=a =2, 由双曲线的定义可知|MF|=|NF,|=a十2a=3a =3√2， 所以-6 (8分) 当直线（不垂直于x轴时， 设直线l:y=k(x-2),k≠0，M(x1,y), N(x2y2),x1,x2>√E, 代入双曲线C的方程得(1-k2)x2+4kx-4k一2 =0. 则△=16k+4(1-k2)(4k2十2)=8k2+8>0,且 1-k≠0， 4k2 4k2+2 十=-x= k2-1 (11分) 所以ME+INE】 MF:NF: =/(+2)+立+(+2)+道 √(x1-2)2+y明 √/(x2-2)+y -E十E+Ex十2 √2x1-√2'√2x2-√2 2x1x2-2 x1x2-(x1十x2)+1 8k2+4-2 k2-1 4k2十24k2 -=6 (14分) 2-1二1十门 综上+为定值6 (15分) 5解：①由题含可得=名一号2a=4, 所以a=2,c=√5，b=√/4-3=1， 所以椭圆C的方程为子十y=1. (4分) (2)如图，假设x轴上存在定点T(t,0),使得∠ETO ·10 数学 =∠FTG, 则结合图可得∠ETG十∠FTG=π， 所以k十kr=0. (6分) 由题意，直线EF的斜率一定存在且不为O,设直线 EF的方程为x=y十3，E(x1,y),F(x2,y), (x2 由置+V=1…得(m+4)y+6my+5=0, (x=y+3, △=362-20(m2十4)=16(m2-5)>0,则m2>5, 且y十y= 61 5 m牛4y业=m+ (9分) 直线ET的斜率为红一产直线FT的斜率为 -i 由知十如=产十产0， 得y(x2-t)十y(x1-t)=0. (12分) 因为x1=my1+3,x2=my2十3， 所以y1(my2+3-t)+y2(my1十3-t)=0, 即2my1y2+(3-t)(y十y2)=0, 所以10m-6(3-)m=m(6t-82=0. m2+4m2十4 m2+4 所以61-8=0，则=冬， 所以在x轴上存在一个定点T(告0），使得∠ET0 =∠FTG. (15分) 6.解：(1)设双曲线的焦距为2c, 则c=2,=5, a 因为c2=a2+b,所以a=1,b=3, 所以双曲线的方程为一苦-1 (2分) 由题意，直线！不与双曲线的渐近线平行且斜率不等 于零， 故可设直线1的方程为x=my一2(m≠±)， G(x1,y),H(2y2),x1,x2≠士1， x2- 联立 -芳=1·得(3m-1)y-12my+9=0, (x=my-2, 则A=144m2-36(3m2-1)=36(m2+1)>0, 3m2-1≠0， 数学 12m 9 y十=3m1y=3m2-' (4分) 又A(-1,0), 为·=· 则k2= yiya my1y一m(y1十y2)十1 9 3m2-1 9 7m2· 3m2-1 +1 n· 9 97m-12m2+3m2-1=-9. (7分) (2)假设存在点Q, 设P(xoy),由(1)可知A(-1,0),B(1,0), 则直线AG的方程为y=行(x十1)， 直线BH的方程为y一兰气一D, 因为直线AG与直线BH的交点为P, 有(+1)=气- 所以业 所以十1=（十1=(my-1) xo-1y1(x2-1)y1(my2-3) =myy一y2=myy2（y十y2)+y (11分) y1y2-3y1 y1y2-3y1 由(1)知y1十y2= 12m 9 3m-1M=3m-气代入上式， 971 12m 3m 得十1 3m-13m2-1十y 3m2-1十y x0-1 9m 3m21-3y 37n （3n2-1-y 1 3 1 所以x0=一2’ 1 故点P在直线x=一2上， (14分) 1 设点Q为过左焦点F(一2,0)且与直线x=一之平 行的直线与双曲线C的交点， 则点Q的坐标为(-2,3)或(-2，-3)， 则5m=子×8×号-是， 所以双曲线C上存在定点Q(-2,3)或(-2，-3)， 使得△PFQ的面积为定值. (17分) 小练50随机抽样、常用统计图表 1.D【解析】普查适用于总体数量较少以及破坏性不 大的情况，显然A,B,C的调查对象不适用，对于D, 一个班级的学生人数相对较少，适用普查方式.故 选D. 10 参考答案及解析 2.B【解析】样本平均数是对总体平均数的一种估计， 它们之间没有确定的大小关系，所以ACD均错误.故 选B. 3.D【解析】这个问题我们研究的是运动员的年龄情 况，总体是名运动员的年龄；个体是每名运动员的 年龄；样本是m名运动员的年龄.故选D. 4.A【解析】参加科技小组的频率为0.25，则本班报 名参加科技小组的人数是0.25×40=10人.故选A. 5.B【解析】这五个社团的总人数为品=120，故A 错误：20品。=6%，故C错误：太极拳社团人数的占比 为品=15%，故D结误：脱口秀社团人数的占比为 1一10%-15%一30%一25%=20%，故B正确.故 选B. 6.B【解析】极差是3965-707=3258，A正确；中位 数是3152十3436=3294，B错误：这8个月中2月 2 份的销量最低，C正确：这8个月中销量比前一个月 增长最多的是4月份，增加了1619辆，D正确.故 选B. 7.C【解析】由题得10×(0.005+0.035十a十0.020十 0.010)=1,所以a=0.030.成绩在[120,130)之间的 学生有100×10×0.030=30人，现再从这100人中 用分层抽样的方法抽取20人，应从[120,130)间抽取 的人数为品×30=6，故选C 8.BC【解析】2020年的营业额低于2019年，A错误； 2023年的净利润为166.2亿元，2018-2022年的净 利润的总和为40.7+27.8+16.1十42.3十30.5= 157.4(亿元)，157.4<166.2，B正确；2016-2023年 营业额的增长率最大的是2023年，C正确；设2024 年第一季度的净利润为α亿元，则第四季度的净利润 为(1+10%)3a,由a+(1+10%)a+(1+10%)2a =a(1-1.13)=213.7,得1.1Pa-a=21.37,故 1-1.1 2024年第四季度的净利润比第一季度的净利润多 21.37亿元，D错误.故选BC 9.2【解析】学生总共有54十42=96人，抽取16人， 所以一班和二班被抽取的人数分别为16×酷=9 人，16×号=7人，所以一班和二班被抽取的人数之 96 差为9-7=2. 10.8.51.05【解析】设运动员共射击了n次，则由 图可知，射中7环与10环的次数均为0.2，射中8 环与9环的次数均为0.3n.因此平均数= 1。