精品解析：天津市静海区第七中学2025-2026学年八年级数学第二学期第一次随堂练习

2025-2026学年八年级数学第二学期第一次随堂练习 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、因为，所以1，2，3三条线段不能构成三角形，故选项A不符合题意； B、因为，所以，，三条线段能构成直角三角形，故选项B符合题意； C、因为，所以，，三条线段不能构成直角三角形，故选项C不符合题意； D、因为，所以，，三条线段不能构成三角形，故选项D不符合题意． 故选：B． 3. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【分析】设这个多边形是n边形，就可以列出方程，即可解得n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：， 解得， 则这个多边形是九边形． 故选：B 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，熟练掌握n边形的内角和可以表示成是解答本题的关键． 4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 最简二次根式的被开方数不含能开尽方的因数或因式，且不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 选项B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C、，被开方数不含能开尽方的因数，是最简二次根式； 选项D、 ，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：C． 5. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质对A选项、C选项、D选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．与不能合并，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项符合题意； D．所以D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 6. 如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可． 【详解】解：由勾股定理可知， ∵OB=， ∴这个点表示的实数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB的长． 7. 如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A. 10 B. 14 C. 28 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的直角边长的平方即为相应的正方形的面积． 由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：， ∵正方形的面积分别为36，64， ∴，， ， ． 故选：A． 8. 已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A. 5 B. 25 C. D. 5或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4， ∴该直角三角形的斜边长的平方为， ∴该直角三角形的斜边长为5，即第三边长是5， 故选：A． 9. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. 15 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知45n是一个完全平方数，从而可求得答案． 【详解】解：， ∵n是正整数，也是一个正整数， ∴n的最小值为5． 故选：B． 【点睛】此题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 10. 如图，在中，，．若点P在边上移动，则的最小值是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 4.8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作于点D，如图， ∵，， ∴，， 根据垂线段最短可知：当时，最小， 则由， 可得， 解得； 即线段的最小值是． 故选：D． 11. 如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺． ∴ 整理得， 故选：D． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　） A. 60 B. 80 C. 100 D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF＝AB﹣BF，即可得到结果． 【详解】易证△AFD′≌△CFB， ∴D′F＝BF， 设D′F＝x，则AF＝824﹣x， 在Rt△AFD′中，（24﹣x）2＝x2+122， 解之得：x＝9， ∴AF＝AB﹣FB＝24﹣9＝15， ∴S△AFC＝•AF•BC＝90． 故选D． 【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F＝x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 化简________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据性质得到绝对值形式，再判断的符号去绝对值即可． 【详解】解：． 14. 如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴长为． 15. 如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的（勾股圆方图），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，那么的值为______． 【答案】29 【解析】 【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：29． 16. 如图，长方体的长为，宽为，高为．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为，斜边为，那么． 分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可． 【详解】解：如图1，由勾股定理得：． 如图2，由勾股定理得：． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为， 故答案为：． 17. 如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 18. 二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本题共7小题，共66分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c （1）已知，，求c； （2）已知，，求a． 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可得出结论； （2）根据即可得出结论． 【小问1详解】 ∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a=12，b=5， ∴； 【小问2详解】 ∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，c=10，b=9， ∴ 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 20. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式； （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式； （2）先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除法则计算即可； （3）先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除法则计算即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 ； 【小问4详解】 原式 ． 21. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处． （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处再次吹断，此时旗杆顶部到旗杆底部的距离？ 【答案】（1）旗杆距地面3米处折断 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解米，因为米，把数值代入，进行计算，即可作答． （2）先得出点距地面（米），把数值代入，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断， ∴米， ， ， 又米， ， 米， ∴米， ∴旗杆距地面3米处折断； 【小问2详解】 解：如图，点距地面（米）， （米）， （米） 22. 化简求值： （1）已知，，求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先求出，，再通过平方差公式分解因式，然后代入即可求解； （）由得，再两边平方即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在直角三角形，． （1）求的长． （2）试判断的形状． （3）求出四边形的面积． 【答案】（1）5 （2）直角三角形 （3）36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长， （2）然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （3）利用（2）的结论，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：，，， ； 【小问2详解】 解：是直角三角形， ，， ，， ， 是直角三角形； 【小问3详解】 解：，，，，，， 四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为36． 24. 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了米 【解析】 【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离． 【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置， ∴收绳长度：（米）， ∵开始时绳子的长为10米， （米）， 在中，米，米， （米） 在中，米，米， （米），​ （米），​ 答：船向岸边移动了米． 25. 如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． （1）请问“远方”号沿哪个方向航行？ （2）若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】（1）“远方”号沿东南方向航行 （2）25海里 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． 【小问2详解】 解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学第二学期第一次随堂练习 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. ，， C. ，， D. ，， 3. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形 4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A. 10 B. 14 C. 28 D. 2 8. 已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A. 5 B. 25 C. D. 5或 9. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. 15 D. 45 10. 如图，在中，，．若点P在边上移动，则的最小值是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 4.8 11. 如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　） A. 60 B. 80 C. 100 D. 90 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 化简________． 14. 如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．则长为______． 15. 如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的（勾股圆方图），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，那么的值为______． 16. 如图，长方体的长为，宽为，高为．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是______． 17. 如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要______元． 18. 二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 三、解答题（本题共7小题，共66分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c （1）已知，，求c； （2）已知，，求a． 20. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 21. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处． （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处再次吹断，此时旗杆顶部到旗杆底部的距离？ 22. 化简求值： （1）已知，，求的值； （2）当时，求的值． 23. 如图，在直角三角形，． （1）求的长． （2）试判断的形状． （3）求出四边形的面积． 24. 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 25. 如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． （1）请问“远方”号沿哪个方向航行？ （2）若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $