精品解析：四川省成都市树德中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题

树德中学高2022级高三下期4月阶段性测试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，求出其值域，化简集合 ，利用并集运算即可求解. 【详解】因为指数函数是上的增函数， 所以由,得,则, 因为对数函数是上的减函数， 所以由, 得,则 故. 故选：C 2. 已知在等差数列中，，，则等于（ ） A. -2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质求出公差及指定项. 【详解】在等差数列中，，解得，公差， 所以. 故选：C 3. 已知向量，，满足，，且在上投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量公式即可求解. 【详解】设，由在上的投影向量为，知，解得. 故选：A 4. 设，满足.若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 【详解】函数的定义域为，且均为单调递增函数，故函数是增函数， 由于，故， 满足，说明中有1个是负数一定是，两个正数或3个负数， 由于存在零点，故． 故选：B． 5. 若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 【答案】B 【解析】 【分析】设出复数z的代数形式，再求出对应点满足的关系判断得解. 【详解】设复数，则，设对应点为， 而，于是， ，所以的对应点均在一个圆上. 故选：B 6. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 命题“，”的否定为“，” C. “”是的充要条件“” D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用含有一个量词命题的否定判断AB；利用充分条件、必要条件的定义判断CD. 【详解】对于A，命题“，”的否定为“，”，AB错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，，则，即， 反之，，满足，而无意义， 因此“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：D 7. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ） A 2或 B. C. D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】利用渐近线的夹角，可以求出一条渐近线的斜率，进而求出双曲线的离心率. 【详解】由题意得双曲线的渐近线为， 而两条渐近线的夹角为，故的倾斜角为或，故或， 所以或2. 故选：A 8. 现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：利用有重复元素的排列数公式分别计算总排列数和符合条件的排列数，求得概率；方法二：只考虑两个2的位置可能情况和相邻的情况种数，得到概率. 【详解】方法一： 给定的数字是1，2，2，3，3，3，其中有一个1，两个2，三个3，总共有6个数字，因此总排列数为：. 符合条件的排列数（两个2恰好相邻的情况）： 将两个2视为一个整体（即“超级元素”），这样剩下的元素为1，3，3，3和这个“超级元素”，共5个元素. 其中三个3是重复的，因此符合条件的排列数为：，所以符合条件的排列数除以总排列数：. 方法二： 考虑两个2的位置组合，共有种可能的位置组合，其中相邻的位置对数为5种，概率为：， 因此，数字2，2恰好相邻的概率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，8，9，4，5，5，8，2，3，10的下四分位数是3 B. 若随机变量X服从正态分布，，则 C. 变量x，y满足经验回归方程为，若样本点中心为，则 D. 已知数据的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据定义计算即可；对于B，正态分布，利用其对称性即可解题；对于C，根据样本点中心为在回归方程上解题即可；对于D，用方差公式直接计算即可. 【详解】对于A，数据按从小到大顺序排列1，2，3，4，5，5，8，8，9，10共10个数据，，所以其下四分位数是3，所以A正确； 对于B，由正态曲线的对称性得，所以，所以B正确； 对于C，样本点中心为代入回归方程，解得，所以C错误； 对于D，，， 可得， 现加入5和7两个数后，平均数为，，所以D正确； 故选：ABD 10. 如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（ ） A. 存在点P使得 B. 直线与点P的轨迹有公共点 C. 点P运动轨迹长为 D. 三棱锥体积最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，在平面内建立直角坐标系，求出点P的轨迹，再逐项分析判断即可. 【详解】以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，设，由，得， 整理得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的圆弧， 对于A，若，则点在以为直径的圆上， 由，解得，点满足条件，A正确； 对于B，直线，圆心到直线的距离，则与圆无公共点，B错误； 对于C，射线交圆于点，，， ，即圆弧所对圆心角为，弧长为，C正确； 对于D，由平面平面，得点到直线的距离即为三棱锥底面上的高， 而，，因此三棱锥体积无最大值，D错误. 故选：AC 11. 数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，所以我们听到声音的函数是，设声音函数，函数则（ ） A. 关于中心对称 B. 的最大值是 C. 是的一个周期 D. 若恰有一个零点时，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的对称性，只需求得，则可判断A；对求导，求出函数的单调区间，结合图象即可求出最大值，则B可判断；求出，化简后看结果是否与相等即可判断C；对进行多次求导分析，结合隐零点问题的常见解题思维（设而不求）即可判断D. 【详解】对于A，， 关于中心对称，A选项正确； 对于B，， 所以是的一个周期， ， 令，即， 解得或， 所以或或， 当时，，即函数单调递增； 当时，，即函数单调递减； 当时，，即函数单调递增； 又当时，； 当时，； 所以，B选项正确； 对于C，； 不是的一个周期，C选项错误；    对于D，由题意得， 注意到， ，， 令，则，， 令，， 其中， 则当时，取最小值，最小值为， 若，即时，恒成立， 从而在R上单调递增， 又，则时，，时，， 即时，递减， 时，递增， 从而有最小值， 所以在R上递增，又， 所以只一个零点， 当时,存在，使得当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，， 又， 所以在上有零点，且，不满足恰有一个零点， 所以若恰有一个零点时，a的取值范围为，选项D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则的最小值为_______________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得，，代入可得，根据乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，，， 则，解得， 可得， 又因为，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 13. 已知函数与的图象交于不同的三点A，B，C，同一平面上的点P满足，则P的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程组思想，结合三次方程求根，然后得到三点坐标，利用三点确定一个圆，通过圆心来确定点即可. 【详解】 由已知两函数解析式联立方程组，消元得：， 发现是方程的根，则可因式分解为， 所以可以解得：， 分别代入到可得：， 由，可知点为三角形的圆心， 所以由确定一个圆， 设圆的方程为，则可得： ， 解得：， 所以圆的方程为， 化为圆的标准方程得：， 所以可得圆心坐标为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用给定条件求出切点，结合导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程即可. （2）将函数单调性问题转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解参数范围即可. 【小问1详解】 当时，， ，则切点为， 切线方程是，即 【小问2详解】 ， ， 函数在区间上单调递减 在区间上恒成立， ，化简得， 而，则，得到恒成立， 令，即恒成立，即可， 而，令，， 而当时，，则在上单调递减， 故，得到在上单调递减， ，． 15. 如图，在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记． （1）若，求的面积； （2）若，求四边形面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，求得以及，再利用三角形面积公式即可求解； （2）在中，由余弦定理得，结合三角形面积公式求得与，所以四边形的面积，再由三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 在中， 由余弦定理：， 所以，则，所以， 又因为为等边三角形，所以，且， 所以， 则的面积为． 【小问2详解】 在中， 由余弦定理：， 所以，， 所以四边形的面积， 又因为，所以， 所以，， 即四边形的面积的取值范围为． 16. 在平行四边形中，，为的中点，将等边沿折起，连接，，且． （1）求证：平面； （2）点在线段上，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 【答案】（1） 依题意，，，在中，， 在中，，， 则， 又，平面， 所以平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）取的中点，作，以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 由（1）知平面， 而平面，则， 又平面， 于是平面， 过作，则平面， 直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设， 则， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 而平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 而，解得，则， 所以. 17. 两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母，大小相同的卡片各一张．每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置．记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为． （1）求和； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1）， （2） 用表示n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的事件， 则有． 对相同字母的卡片进行交换可知． 假设第一个盒子里装有卡片X，Y，Y，第二个盒子里装有卡片X，Z，Z， 注意到两个盒子中都有两张相同字母的卡片， 因此，只需用第一个盒子中的任意一张写有字母Y的卡片交换第二个盒子中的任意一张写有字母Z的卡片即可变为两个盒子中都是A，B，C三种字母的卡片各一张的状态． 所以． 再由全概率公式可得， 于是，．故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 于是，． 从而有． （3） 由于， 于是． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，当1次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母，则为两个盒子中相同字母的卡片进行交换，从而求得概率；当2次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母，分别求得两次都交换相同字母的卡片的概率和第1次交换的是不同字母的卡片，第二次将其换回的概率，求和即可求得概率； （2）用表示n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的事件，则有，可知，．再由全概率公式可得，由递推关系求得，即可进行证明. （3）利用放缩法可得，故，再结合等比求和公式，即可进行证明. 【小问1详解】 对两个盒子中相同字母的卡片进行交换，则． 若第1次交换的是相同字母的卡片，则第二次仍需将两个盒子中相同字母的卡片进行交换， 此时概率为． 若第1次交换的是不同字母的卡片，有种情况， 不妨设将第一个盒子中的A和第二个盒子中的B进行交换， 则第二次需要将第一个盒子中的B和第二个盒子中的A进行交换， 此时概率为．于是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，已知圆锥的高与母线所成的角为，过的平面与圆锥的高所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆C，椭圆C的长轴为，短轴为，长轴长为2a，C的中心为N，再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于， （1）用分别表示 （2）若， （ⅰ）求椭圆C的焦距； （ⅱ）椭圆C左右焦点分别为，C上不同两点D，E在长轴同侧，且，设直线交于点Q，记，设，请写出的解析式（不要求求出定义域）． 【答案】（1） （2）（ⅰ）椭圆C的焦距为2，（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）过作于，可得，即可求得，同理求得. （2）（ⅰ）由，进而可以求得椭圆的离心率，再求得焦距即可；（ⅱ）设，由得，，，进而得出，再由题意解出即可. 【小问1详解】 过作于，而，， 所以，而， 所以. 同理过向作垂线，可得. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可知,， 所以， ， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以椭圆C的焦距. （ⅱ） 因为， 所以，所以， 所以， 设， 所以， 所以. 同理可得. 所以， 延长交C于点，则， 设，则， 所以， 由（ⅰ）可知椭圆的标准方程为， 故而由，得， 所以， 所以，所以， 又因为，解得， 因为， 所以， 所以， 所以，所以. 所以. 【点睛】关键点点睛：设，由得，，，进而得出，再由题意添加辅助线结合椭圆方程解出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2022级高三下期4月阶段性测试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知在等差数列中，，，则等于（ ） A. -2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 已知向量，，满足，，且在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，满足.若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 6. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 命题“，”的否定为“，” C. “”是的充要条件“” D. “”是“”的充分不必要条件 7. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2或 B. C. D. 或2 8. 现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，8，9，4，5，5，8，2，3，10的下四分位数是3 B. 若随机变量X服从正态分布，，则 C. 变量x，y满足经验回归方程为，若样本点中心为，则 D. 已知数据的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差 10. 如图所示，正方体棱长为2，正方形内（不含边界）一动点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（ ） A. 存在点P使得 B. 直线与点P的轨迹有公共点 C. 点P运动轨迹长为 D. 三棱锥体积最大值为 11. 数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，所以我们听到声音的函数是，设声音函数，函数则（ ） A. 关于中心对称 B. 的最大值是 C. 是的一个周期 D. 若恰有一个零点时，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则的最小值为_______________. 13. 已知函数与的图象交于不同的三点A，B，C，同一平面上的点P满足，则P的坐标是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 15. 如图，在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记． （1）若，求的面积； （2）若，求四边形面积的取值范围． 16. 在平行四边形中，，为的中点，将等边沿折起，连接，，且． （1）求证：平面； （2）点在线段上，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 17. 两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母，大小相同的卡片各一张．每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置．记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为． （1）求和； （2）证明：； （3）证明：． 18. 如图，已知圆锥的高与母线所成的角为，过的平面与圆锥的高所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆C，椭圆C的长轴为，短轴为，长轴长为2a，C的中心为N，再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于， （1）用分别表示 （2）若， （ⅰ）求椭圆C的焦距； （ⅱ）椭圆C左右焦点分别为，C上不同两点D，E在长轴同侧，且，设直线交于点Q，记，设，请写出的解析式（不要求求出定义域）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $