8.3向量的坐标表示（题型专练）高一数学沪教版必修第二册

8.3 向量的坐标表示 题型1 向量线性运算的坐标表示 1．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知，，，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，可知， 即， 即，令，而，， 所以，故点P的坐标为. 2．（25-26高一下·湖南·月考）已知点，，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点P的坐标为. 3．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知，点在直线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由得或，利用坐标运算即可求解. 【详解】由题意得：或，设点， 所以， 当时，所以，解得，所以， 当时，所以，解得，所以. 4．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，， 则. 5．（25-26高一下·四川泸州·月考）已知，，则______． 【答案】 【分析】根据向量运算的坐标表示计算． 【详解】由题意． 题型2 坐标计算向量的模 1．（广东佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二）高三数学）设向量，，则（   ） A．5 B．8 C．15 D．17 【答案】D 【详解】， 所以. 2．（2025·上海崇明·二模）已知，则__________． 【答案】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 3．（25-26高一下·云南文山·月考）已知向量，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】AC 【详解】由，， 则，解得或． 4．（2026高一下·全国·专题练习）已知向量与向量方向相同，则_____. 【答案】 【分析】根据向量平行的坐标表示以及向量同向可得，再求模长即可. 【详解】由题意可知：，则， 整理可得，解得或， 当时，则，，即，可知与反向，舍去； 当时，则，即，可知与同向，符合题意； 综上所述：，，所以. 故答案为：. 题型3 坐标计算向量的投影向量 1．（25-26高一下·吉林四平·月考）已知向量，，，则向量在向量上的投影向量坐标为_____________ 【答案】 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为． 2．（25-26高一下·重庆·月考）已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 3．（25-26高一下·广西南宁·月考）已知向量，（其中），且在方向上的投影向量为，则实数________． 【答案】1 【分析】根据投影向量的公式得在方向上的投影向量为，再根据题意解即可得答案. 【详解】因为向量，（其中）， 所以在方向上的投影向量为， 因为在方向上的投影向量为， 所以，解得， 又，所以. 4．（25-26高一下·浙江·月考）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义即可得； 【详解】在方向上的投影向量的公式为：， 所以，， 将结果代入公式: . 5．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的求法，结合数量积公式、求模公式，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以在方向上的投影向量坐标为. 题型4 坐标计算向量的夹角 1．（25-26高一下·陕西榆林·月考）已知，与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的夹角坐标公式求解即可. 【详解】因为，,所以，， 因为与的夹角为，所以. 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 所以， 又因为， 所以. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）角顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，求得，，结合向量的夹角公式，求得，分类讨论，即可求解. 【详解】又点P在的终边上，且，可设，所以， 又由，可得，则， 可得， 当时，；当时，. 故选：AC 4．（25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，其中，则______，与夹角的余弦值为______． 【答案】 10 【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 设与的夹角为， 则． 故答案为：10； 5．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知，，则向量与的夹角为______． 【答案】 【详解】由，得，即， 由，得，即， 所以， 又， 所以． 题型1 根据向量垂直关系求参 1．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知向量，，且，则的值为（   ） A． B．1 C．4 D． 【答案】B 【详解】由向量，，且，则，解得. 2．（25-26高一下·江苏南通·月考）已知向量，，若与垂直，则的值为_____. 【答案】1 【详解】已知，， 因此： ， 由题意 ， 即 ， 解得. 3．（25-26高一下·湖南·月考）已知两个非零向量和，若，则实数______． 【答案】 【详解】由，得，则， 而向量和均为非零向量，因此， 所以. 4．（25-26高一下·辽宁·月考）已知，且向量与向量垂直，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量垂直数量积为零建立方程解出即可. 【详解】因为， 所以， 又， 即，解得：. 5．（25-26高一下·河北邯郸·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即，所以. 题型2 根据向量夹角关系求参 1．（25-26高一下·天津·月考）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据条件，得且向量不共线，即可求解. 【详解】因为，，则， 又与的夹角为锐角，则，所以，解得， 当时，有，得到，此时，， 同向共线，，故不合题意， 所以实数的取值范围是. 2．（25-26高一下·陕西延安·月考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，解得. 当与共线时，，此时和反向，不满足题意. 故的取值范围为. 3．（25-26高一下·广东·月考）已知向量，，其中，若与夹角为钝角，求实数k的取值范围________． 【答案】 【详解】已知与夹角为钝角，则且不共线， ，解得； 两向量共线时：，即，解得， 不共线，则， 综上可得，实数k的取值范围是． 4．（25-26高一下·吉林长春·月考）已知向量，，若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题知且向量与方向不相同，再根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以且向量与方向不相同， ，解得， 向量与共线，解得， 所以时，向量与共线且方向相同， 所以的取值范围为 5．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为，，所以． 由于向量与的夹角为锐角，所以，并去掉两者同向共线的情况， 则，且，解得，则的取值范围为． 题型3 根据向量共线关系求参 1．（25-26高一下·天津·月考）若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值______． 【答案】 【分析】先求出，由三点共线得到，再结合平行的坐标表示求解． 【详解】因为向量，，， ， 三点共线， ， 2．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·月考）已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 又A、C、D三点共线，所以，所以，解得. 3．（25-26高一下·江苏·月考）设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 【答案】4 【分析】将三点共线转化为两向量共线，利用坐标求解即可. 【详解】由三点共线， 得和共线, 即得，解得. 4．（25-26高一下·河南新乡·月考）已知向量，，.若A，B，C三点共线，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算以及共线关系即可求解. 【详解】若A，B，C三点共线，则向量与共线. 因为，， 由于与共线，所以，化简得，解得. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知三点，，共线，则的值为___． 【答案】6 【分析】通过向量共线的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】由题意：． ． 三点共线，即向量，共线， ， ． 故答案为：6 题型1 基底的概念及辨析 1．（25-26高一下·湖南长沙·月考）给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底满足，则称为平面向量的正交基底．现在任取平面向量的一组基底，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合数量积的运算律，利用向量垂直条件逐项判断即可. 【详解】A选项，可考虑反例，此时该式＝，错误； B选项， 当不与垂直时，该结果就不等于0，错误； C选项，可考虑反例，此时该式＝，错误； D选项，因此这两个向量垂直，正确． 2．（25-26高一下·陕西咸阳·月考）设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为， 所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解，所以假设不成立，所以与不共线， 所以能作为基底，所以D错误. 3．（25-26高一下·河南·月考）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，故中两向量共线，故A不能作为基底； 选项B：，故中两向量共线，故B不能作为基底； 选项C：，故中两向量共线，故C不能作为基底； 选项D：假设两向量共线，则存在实数， 使得，即， 若是基底，故不共线， 系数必须同时为0，即，方程组无解，假设不成立， 故两向量不共线，可以作为基底． 4．（25-26高一下·山东青岛·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依据可以作为基底的向量不共线即可判断。 【详解】A选项，，B选项，， D选项，，故ABD都不可以作为基底； C选项中两向量不共线，可以作为一组基底。 5．（25-26高一下·江苏无锡·月考）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以与不共线，所以能作为基底. 对于B，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解， 所以与不共线，所以能作为基底. 对于C，因为，所以和共线， 所以不能作为平面的一组基底. 对于D，假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，与不共线，所以能作为基底. 题型2 平面向量基本定理的应用 1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 2．（25-26高一下·甘肃兰州·月考）如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近A的三等分点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用、表示，然后利用平面向量的减法可得出关于、的表达式. 【详解】因为为线段的中点，则， 因为点是线段上靠近的三等分点， 则， 因此，. 3．（25-26高一下·河南周口·月考）如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得出，利用平面向量的减法化简可得出关于、的表达式. 【详解】在中，是线段上的靠近的三等分点，则， 即，解得. 4．（25-26高一下·重庆·月考）在平行四边形中，点为的中点，与的交点为.设，，则向量等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过三角形相似得到与的比例关系，再用表示，最终即可求出. 【详解】因为，所以，则有，所以． 又因为，且，，所以． 从而. 5．（25-26高一下·湖南·月考）在平行四边形中，是上靠近点D的三等分点，F，G分别是，的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可. 【详解】在平行四边形中，，，因此. 已知是上靠近的三等分点，因此； 是中点，是中点，则. . ，其中方向与相反，长度为的一半， 则， 所以. 题型3 平面向量基本定理求最值 1．（25-26高一下·山东泰安·月考）在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【详解】将，代入， 得：， 在中，点B、C、D三点共线， 根据三点共线的向量性质得：，即：， 所以， 当且仅当，即：，时等号成立，此时最小值为2. 2．（25-26高一下·四川泸州·月考）在中，为边上的一点，且，若为边上的一点，且满足，则的最小值为_______． 【答案】/0.5 【分析】根据向量共线定理得出的关系，然后利用基本不等式得最小值. 【详解】，则， ， 因为三点共线， 所以 又，所以，， 所以， 所以时，取得最小值. 3．（25-26高一下·重庆·月考）如图，在正六边形中，延长，相交于点，线段的中点为，为线段上一动点（不包括端点），连接，相交于点，若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用为基底，结合，然后利用三点共线得出的关系，从而把化为关于的函数，由可求得其范围. 【详解】因为是正六边形，所以， ， ， ， 设，则 ， 又不共线，所以，解得， 因为三点共线，所以， 所以，变形得， 因为是的中点，所以，则，令，即. ， 因为，所以， 结合二次函数性质得， 所以的范围是. 4．（25-26高一下·广东茂名·月考）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为________ 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则， 故，整理得， 结合同向和可得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 5．（2026高一·全国·专题练习）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.3向量的坐标表示 题型一向量线性运算的坐标表示 题型二坐标计算向量的模 基础达标题 题型三坐标计算向量的投影向量 题型四坐标计算向量的夹角 题型一根据向量垂直关系求参 向量的坐标表示 能力提升题 题型二根据向量夹角关系求参 题型三根据向量共线关系求参 题型一基底的概念及辨析 拓展培优题 题型二平面向量基本定理的应用 题型三平面向量基本定理求最值 基础达标题 题型一 向量线性运算的坐标表示 1.(25-26高一下陕西西安月考)己知A1,2),B(3,-4),AB=2BP,则点P的坐标为() A.4,-7) B -2 c(B副 n(尽 2.(25-26高一下·湖南月考)已知点M(-1,5),N(8,-1,且WP=2PM,则点P的坐标为() A.(5,2 B.(2,3 C.(-3,2 D.(3,2 3.(25-26高一下江苏无锡月考)已知A(1,2),B(3,4),点P在直线AB上，且AP=3AB,则点P的坐标 为() A.-5,6 B.-5,-4) C.(7,8 D.（-5,-4或(7,8 4.(25-26高一下·云南曲靖月考)已知向量a=(2,1),b=(1,-3),则a+2b=() A.4,-5 B.（4,7 C.(0,-5) D.(0,7) 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26高一下·四川泸州月考)已知a=(1,4),b=(-3,2),则3ā-46= 题型二 坐标计算向量的模 1.(广东佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二）高三数学)设向量a=(3,-7,b=-5,8),则 a-引=() A.5 B.8 C.15 D.17 2.(2025·上海崇明二模)己知ā=1,0)，b=(2,1),则ā+2b= 3.(25-26高一下云南文山月考)已知向量0A=(a,a+1),且O=5,则实数a的值可以为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.(2026高一下全国专题练习)已知向量ā=(x4+x与向量万=(1，x-2)方向相同，则= 题型三 坐标计算向量的投影向量 1.(25-26高一下·吉林四平月考)己知向量1ā=2W2,b=L,-1),|ā+6=2W3,则向量a在向量6上的投 影向量坐标为 2.(25-26高一下.重庆月考)己知a=(4,2),b=(1,2),c=(x,1),若a1c,则c在五方向上的投影向量的坐 标为() 48 3v5 A. 55 10 C. 3.(25-26高一下广西南宁.月考)已知向量ā=(1,0)，b=(1,m(其中m>0),且ā在6方向上的投影向量 1 为。b,则实数m= 2 4.(25-26高一下浙江·月考)己知向量ā=(-2,11)，b=(3,4),则ā在6方向上的投影向量的坐标为 5.(25-26高一下湖北咸宁期中)已知平面向量ā=(1，-2)，b=(3,4),则6在ā方向上的投影向量坐标为() A.(1,-2 34 B.55 c.（-1,2 D. 34 55 题型四 坐标计算向量的夹角 1.(25-26高一下·陕西榆林·月考)己知ā=(2,1)，b=(1,1),ā与b的夹角为0，则cos0=() 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.10 B.3v10 C.v10 D.5 10 10 5 2.(25-26高一下黑龙江哈尔滨月考)已知向量a=(2,1),b=(3,-1),则a与的夹角为() A. 6 B c胃 D.7 3.(25-26高一下·全国·课后作业)（多选题）角顶点在坐标原点0，始边与x轴的非负半轴重合，点P在 a的终边上，点Q(-3,-4),且tana=-2,则OP与00夹角的余弦值为() A.- B. 11w5 C.v5 D.25 25 5 4.(25-26高一下·全国.单元测试)已知向量a=3汇-2e,b=4e+e,,其中g=(1,0),e2=(0,1),则a.b= ,a与夹角(a,b)的余弦值为 5.(25-26高一下江苏淮安·月考)已知2a+b=(1,2),a-6=(2,1),则向量a与的夹角为 B 能力提升题 题型一 根据向量垂直关系求参 1.(25-26高一下江苏南京·月考)已知向量a=(1,2),6=(-2,x),且ā⊥b,则x的值为() A.-1 B.1 C.4 D.-4 2.(25-26高一下江苏南通·月考)己知向量a=(1,0),b=(1,1,若a-6与a垂直，则1的值为_ 3.(25-26高一下.湖南·月考)己知两个非零向量ā=(m+1,2)和6=(m,2m),若ā+bP=ā2+62，则实数 m= 4.(25-26高一下辽宁.月考)己知A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,4),D(1,0),且向量AB与向量C元垂直，则 m的值为() A.0 B.1 C.2 D.-2 5.(25-26高一下.河北邯郸月考)已知向量a=(sina,2),b=(1,cosa,若a⊥，则tana=() A. B.2 c.1 D.-2 2 题型二 根据向量夹角关系求参 1.(25-26高一下.天津月考)已知向量ā=(-1,3)，b=(t,2,若ā与6的夹角为锐角，则实数t的取值范围 3/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是 2.(25-26高一下陕西延安月考)已知向量a=(2,3x),b=(-1,-2),若云与的夹角为钝角，则x的取值 范围是() B.(0,+0】 c( o（* 3.(25-26高一下广东·月考)已知向量ā=(1,2)，b=(-2,k),，其中keR,若ā与6夹角为钝角，求实数k 的取值范围 4.(25-26高一下.吉林长春·月考)已知向量ā=(2,0)，万=(1,1，若向量ka+b与ā+2b的夹角为锐角，则k 的取值范围为· 5.(25-26高一下.安徽阜阳·月考)已知向量a=(1,-3),b=(x,-1,若a-6与的夹角为锐角，则x的取 值范围为 题型三 根据向量共线关系求参 1.(25-26高一下·天津·月考)若0A=(1,1,OB=(3,k,0C=(-2,5),且A,B,C三点共线，则实数k 的值 2.(25-26高一下内蒙古乌兰察布月考)已知向量AB=(5,1),BC=(m,9),CD=(8,5),若A、C、D三点 共线，则m=() A寸 B.-11 C.11 4 0.8 4 3.(25-26高一下江苏月考)设x为实数，若A1,2),B3,4),C(2x,x+5)三点共线，则实数x的值为 4.(25-26高一下河南新乡月考)已知向量0A=(k,5),OB=(4,10),0C=(2,3).若A,B,C三点共线， 则实数k=() 8.1 3 c 5.(25-26高一下.全国课堂例题)已知三点4L1,2),B(2,4),C(3,m)共线，则m的值为· 4/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 拓展培优题 题型一 基底的概念及辨析 1.(25-26高一下·湖南长沙月考)给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底{a,b}满足ā⊥b，则 称{a,b}为平面向量的正交基底.现在任取平面向量的一组基底{，e}，则下列选项中，一定能构成平面向 量正交基底的是() A. ,8- 2.(25-26高一下陕西咸阳·月考)设{，2}是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能 作为基底的是() A.a=e+2e,,b=-e+2e, B.a=--46-+6 C.a=3g+26,6=6g-g 1一 D.a=-le 39+6:6=g+28, 3.(25-26高一下·河南月考)若{，，}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是() A.{e,+3e2,2e,+6e2 B.e-e2,e,-e C.{2+e,4e+2e2} D.{e+2e2,2e+e} 4.(25-26高一下山东青岛月考)设云，石是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是() A.2a-3b,6a-9b B.a+6,a+26 C.a+b,a-B D.2a-26,B-a 5.(25-26高一下·江苏无锡月考)设{e,2}是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是() A.e,+e,和e,-e2 B.e,和e+e C.3e-e和2e-6e D.e+3e2和e+3e 题型二 平面向量基本定理的应用 1.(25-26高一下·湖北襄阳·月考)如图所示，己知在△ABC中，D是线段AB上的靠近A的三等分点，则 5/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD=() D A.BC-2BA B.-BC+2BA C.-BC-2BA D.BC+B 2.(25-26高一下·甘肃兰州月考)如图，ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等 分点，则BE=() D A.-5AB+AC B.-3AB+是AC 6 6 5 6 C.-3B+5A记 D.三B+2A记 63 66 3.(25-26高一下·河南周口·月考)如图所示，在ABC中，D是线段AB上的靠近A的三等分点，则CD=() D A.丽-a B.西-}a C.CB2CA D.号c丽+cd 4.(25-26高一下·重庆月考)在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE与AC的交点为F.设 AB=ā，AD=b,则向量DF等于() A+B-0 D.+6 1 3 5.(25-26高一下·湖南·月考)在平行四边形ABCD中，E是AD上靠近点D的三等分点，F,G分别是BC ,BE的中点，AB=ā，AD=b,则FG=() 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 B. D.)a-五 6 + c 2 6 题型三 平面向量基本定理求最值 1.(25-26高一下山东泰安月考)在ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且AB=2AM,AC=4AN, D在边BC上（不包含端点.若D=xM+y孤，则上+2的最小值是(） x v A.8 B.4 C.2 D.1 2.(25-26高一下.四川泸州月考)在ABC中，D为边AC上的一点，且AD=DC,若P为边BD上的一 点，且满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0),则m2+9n的最小值为 3.(25-26高一下·重庆月考)如图，在正六边形ABCDEF中，延长DC,AB相交于点G,线段FE的中点 为H,P为线段FH上一动点（不包括端点），连接GP,AC相交于点I,若AI=uAC,FP=入FE,则 2+,6的取值范围为() 4+2 E H. B G B.[2 D. 4.(25-26高一下广东茂名月考)在A8C中，点D在线段BC上，且满足|BD1=DC,点E为线段AD上 任意一点（除端点外），若实数七，y满足BE=xBA+yBC,则上+的最小值为 x y 5.(2026高一·全国·专题练习)已知ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线 AB,AC于不同的两点M,N,设B=mAM,AC=nN,其中m>0,a>0,则上+上的最小值是 m n 7/7