6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示（题型专练）数学人教A版必修第二册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 题型一：基底的概念及辨 析、由坐标判断向量是否共 线 基础达标题 题型二：由坐标判断向量是 否共线 题型三：由向量共线（平 6.3.4平面 行)求参数 向量数乘运 题型一：由向量共线（平 行)求参数、由坐标解决三 算的坐标表 点共线问题 能力提升题 示 题型二：平面向量线性运算 的坐标表示、由坐标解决三 点共线问题 拓展培优题 基础达标题 题型一：基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线 1.(24-25高一下·重庆·期末)下列各组向量中，能作为基底的是() A.e=(1,0),e=(0,0) B.e=(1,2),e=(2,4) C.e=(0,2),e2=(0,6) D.e=(0,3,e=(3,0) 2.(2025高一·全国·专题练习)下列各组向量中，能作为基底的是() A.e=(1,3),e2=(-2,6) B.e=(V2,1),e,=(2,V2) C.e=1,2),e=(2,-l) D.e,=(0,0),e2=(3,4) 3.(24-25高一下·河南·月考)下列各组向量中，能作为基底的是() A.e=(1,3),e2=-2,-6) B.g=(2,,=(2,2 C.e=(1,2),2=(2,-1 D.e=(-3,-4,e2=(3,4) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(24-25高一下·江苏南京·期末)下列各组向量中，可以作为基底的是() A.g=(0,0),e2=(1,-2 .-2-,6-传 C.e=(3,5),e=(6,10 D.g=(-1,2),e=(5,7) 题型二：由坐标判断向量是否共线 1.(24-25高一下·河北石家庄·期中)下列向量中，与向量ā=(3,4)共线的一个单 位向量是() A.(-6,-8 B. C.(8,6 D.(传 2.(2025高二上·北京.学业考试)下列向量中，与向量a=(3,4)共线的是（) A.(6,8 B.(8,6 C.-6,8) D.6,-8 3.(24-25高一下·江苏常州·期中)在下列各组向量中，可以作为基底的是() A.e=(1,2),e2=(-2,-4) B.e=(1,2),e2=(0,0) C.e,=1,2),e=(3,4) D.e=(1,2),e2=-1,-2) 4.(24-25高一下.北京·期中)已知向量AB=(1,5),BC=（-1,13),CD=(3,-3),则() A.A、B、C三点共线 B.A、B、D三点共线 C.A、C、D三点共线 D.B、C、D三点共线 题型三：由向量共线（平行）求参数 1.(25-26高三上·江西抚州·期末)已知平面向量ā=(2,1)，b=（-3,1),且 (ma-b)/a-2b),则m=（) A.-2 B.-1 C.7 D.1 2.（2026山东枣庄·模拟预测)已知向量ā=(1,2)，b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数， 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且a+1b)/1e,则2=() A.1 B.2 c D. 3.(25-26高三上·贵州毕节·期末)已知向量a=(1,2),6=(2m,2m+6),若ā∥b, 则=() A.-7 B.-3 C.7 D.3 4.(2026广西·模拟预测)已知平面向量ā=(1，k),b=(3,2k+2,若ā/1(2ā+， 则k=() A.-2 B.-1 C. D.2 B 能力提升题 题型一：由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题 1.(24-25高一下·浙江宁波·期末)已知非零向量AB=(1,0),BC=x-2,x2-3x+2 ,若A,B,C三点共线，则x=（) A.1 B.2 C.1或2 D.无解 2.(24-25高一下·浙江宁波期末)已知A(-1,-1,B(x,3),C(2,5三点共线，则x=() A.1 B.3 C.-1 D.-2 3.(24-25高三上·湖南长沙·月考)己知向量0A=(-1,k),0B=(1,2),0C=(k+2,0) 且实数k≥0，若A,B,C三点共线.则k=() A.0 B.1 C.2 D.3 4.(多选题)(22-23高一下·江西赣州·月考)向量PA=(k,12),PB=(4,5), PC=(10,k),若A,B,C三点共线，则k的值可能为() A.2 B.-2 C.11 D.-11 题型二：平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 1.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末)己知O为坐标原点，若不重合的三点 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A1,3),B(m-1,4),C(2,m+1共线，则4C=() A.(1,-1) B.(1,1 C.(1,0 D.(0,1 2.(23-24高一下.河南南阳·期中)己知A(1,2),B(4,3),C(x,6),若AB∥AC,则 x=() A.10 B.11 C.12 D.13 3.(24-25高二上·河北石家庄·期中)若三点A2,-3,B(4,3),C(5,m)在同一条直 线上，则m的值为() A.4 B.5 C.6 D.8 4.(多选题)(25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末)定义平面斜坐标系x0y,0为 斜坐标系的原点，记1x0y=0(0≠90)，g、马分别为x轴、y轴正方向上的单位 向量，若平面上任意一点A满足OA=x,+ye,,则记A点的斜坐标为(x,y),则下 列说法正确的是（) A.在斜坐标系下，OA的坐标不能由A点的位置唯一确定 B.若a=(1,2),b=(3,6),则a1b C.若OA=(x,y),0B=(x2y)，则0A+0B=(x+x,y+) D.若0A=1,0,08=(0,1),0C 11 331 则A、B、C三点共线 拓展培优题 1.(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)已知向量ā=(1，x),b=(3,-1),若a∥6，则x= () A.-3 B.3 c. D.3 2.(2026四川遂宁.一模)己知平面向量ā=(-1,2)与6=(x,-2)平行，则x的值为() A.1 B.-1 C.4 D.-4 3.(2026高三·全国·专题练习)己知向量a,b满足ā=(2，)，b=(-1,-3),且 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+3b)1a-b),则=() A.-9 B.-6 C.6 D.9 4.(25-26高二上·贵州期中)已知向量AB=(3,2,BC=(m,7）,CD=(-6,4,若 A,B,D三点共线，则I=() A. B.49 C.21 D. 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 题型一：基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线 1.（24-25高一下·重庆·期末）下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线 【分析】根据向量基地不能共线的要求，逐个判断各选项是否正确. 【详解】零向量于任意向量共线，所以A错误， 因为，所以B错误， 因为，所以C错误， 不共线，所以D正确； 故选：D. 2.（2025高一·全国·专题练习）下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 【答案】C 【知识点】由坐标判断向量是否共线、基底的概念及辨析 【分析】根据基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线. 【详解】A选项：，与共线，A错误； 对于B，由，B错误； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C正确， 对于D，，与共线，D错误； 故选：C. 3.（24-25高一下·河南·月考）下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线 【分析】根据向量作基底的条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】能作为基底的向量不可以是共线向量， 对A：，，，故//，不可作基底，故A错误； 对B：，，，故//，不可作基底，故B错误； 对C：，，，故，不共线，可以作基底，故C正确； 对D：，，，故//，不可作基底，故D错误； 故选：C. 4.（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 题型二：由坐标判断向量是否共线 1.（24-25高一下·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零向量与单位向量、由坐标判断向量是否共线 【分析】由单位向量的意义和共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对于A，因为向量的模为，故A错误； 对于B，因为，且向量的模为，故B正确； 对于C，因为向量的模为，故C错误； 对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误. 故选：B. 2.（2025高二上·北京·学业考试）下列向量中，与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由坐标判断向量是否共线 【分析】由共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对A：因为，故与共线； 对B：因为，故与不共线； 对C：因为，故与不共线； 对D：因为，故与不共线. 故选：A 3.（24-25高一下·江苏常州·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】由坐标判断向量是否共线、基底的概念及辨析 【分析】根据平面向量基本定理，两个不共线的向量可以作为基底，由此对各项中的向量加以分析，可得正确答案． 【详解】对于A，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底； 对于B，，，根据零向量与平面内任意向量共线，可知与不可以作为基底； 对于C，，，根据，可知与不共线，它们可以作为基底； 对于D，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底． 故选：C． 4.（24-25高一下·北京·期中）已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】B 【知识点】由坐标解决三点共线问题、由坐标判断向量是否共线、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 题型三：由向量共线（平行）求参数 1.（25-26高三上·江西抚州·期末）已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：C. 2.（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 3.（25-26高三上·贵州毕节·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．7 D．3 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由坐标表示向量平行计算可得． 【详解】向量，， 因为，所以，得． 故选：D 4.（2026·广西·模拟预测）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值. 【详解】，，则， 由得，解得. 故选：D. 题型一：由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题 1.（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题 【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可. 【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足， 可知且， 解得，此时，满足题意. 故选：A 2.（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题 【分析】利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】依题意，，且，则， 所以. 故选：A 3.（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题 【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算． 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以， 则，解得或， ，. 故选：D. 4.（多选题）（22-23高一下·江西赣州·月考）向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（    ） A．2 B．－2 C．11 D．－11 【答案】BC 【知识点】由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题 【分析】由已知求出的坐标，根据向量共线的坐标运算，列出方程求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得， ． 因为A，B，C三点共线，所以， 所以，整理得， 解得k＝－2或11． 故选：BC． 题型二：平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 1.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 2.（23-24高一下·河南南阳·期中）已知，，，若，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】代入向量共线的坐标表示，即可求解． 【详解】，，， 则，， ， 则，解得． 故选：D 3.（24-25高二上·河北石家庄·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】由三点共线可得，结合求解即可. 【详解】因为、、三点共线，所以， 又因为，， 所以，解得. 故选：C. 4.（多选题）（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）定义平面斜坐标系，为斜坐标系的原点，记，、分别为轴、轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点满足，则记点的斜坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．在斜坐标系下，的坐标不能由点的位置唯一确定 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则、、三点共线 【答案】BC 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 【分析】利用平面向量坐标的表示及运算即可对A判断求解；由题可得，即可对B判断求解；，，即可求得从而对C判断求解；由题可求得，，假设、、三点共线，则可得，但无解，即可对D判断求解. 【详解】A：由题可设在斜坐标系下记点的斜坐标为，原点，，故的坐标可由点的位置唯一确定，故A错误； B：若，，所以，故B正确； C：若，， 则，故C正确； D：由，，， 则，， 假设、、三点共线，则可得，即，无解，故假设不成立，故D错误. 故选：BC. 1.（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题意若，则，解得，故C正确. 故选：C. 2.（2026·四川遂宁·一模）已知平面向量与平行，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量平行的坐标表示可求答案. 【详解】因为与平行，所以，解得. 故选：A 3.（2026高三·全国·专题练习）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】求出、的坐标，再由向量共线的坐标运算可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 又，则，解得. 故选：C. 4.（25-26高二上·贵州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【答案】D 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】根据共线向量的坐标表示公式计算即得. 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 （答案版） 题型一：基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线 1.D 2．C 3．C 4.D 题型二：由坐标判断向量是否共线 1.B 2．A 3.C 4.B 题型三：由向量共线（平行）求参数 1.C 2．D 3.D 4.D 题型一：由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题 1.A 2．A 3．D 4.BC 题型二：平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 1.A 2．D 3． 4.BC 1.C 2．A 3．C 4.D 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $