8.4向量的应用（题型专练）高一数学沪教版必修第二册

8.4 向量的应用 题型1 线段的定比分点 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）平面上有，，三点，点在直线上，且，连接并延长至点，使，则点的坐标为____________，点的坐标为____________． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知点与点，点在直线上，且，求点的坐标． 4．（25-26高一下·江苏南京·月考）在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知点，，，且依次为的三等分点，求和的坐标. 题型2 向量的分解与合成 1．（25-26高一下·重庆·月考）单摆是种经典的物理模型，由一根轻质细线和一个小球组成．如图，悬点位于点，细线长米，小球视为质点，小球从点处释放，围绕点做圆周运动，小球运动到最低点处时，球受到的重力为，受到细线拉力的大小为，其中小球速度米秒，小球质量千克，重力加速度米/秒，则（    ） A． B． C．25 D．50 2．（25-26高一下·安徽滁州·月考）已知力作用于同一质点，使之由点移动到点，则力的合力对质点所做的功为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26高一下·山西临汾·月考）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小__________. 4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量表示（   ） A．向东北方向航行km B．向北偏东方向航行2km C．向北偏东方向航行2km D．向北偏东方向航行km 5．（25-26高一下·重庆开州·月考）开中冯大师健身塑形取得阶段性成就，引体向上成绩尤为出色，经测试，当两臂夹角为身体处于平衡状态时，动作效果最佳.在此状态下，他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人.已知冯大师的体重为 62.5 kg，重力加速度取 10 m/s².此时平均每只胳膊的最大拉力大小约为多少.（   ） A．N B．2500N C．1250N D．N 题型1 向量解决线段的长度问题 1．（25-26高二下·海南·月考）已知和是平行四边形ABCD的对角线，若，则__________． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 3．（25-26高一下·广西南宁·月考）中，，是边的中点．若，，则的长等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26高一下·浙江·期中）已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______. 题型2 向量解决角度问题 1．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且，则cos∠ACB的取值范围为______． 2．（25-26高一下·江苏无锡·月考）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，但不平行，点，分别是，的中点，的延长线与，的延长线分别交于点，，求证：． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 题型3 向量在几何中的其他应用 1．（25-26高一下·宁夏银川·月考）在四边形中，，，则四边形为（   ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在四边形中，若，，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 4．（24-25高一下·河南·月考）在中，若 ，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 题型1 向量与四心及奔驰定理 1．（25-26高一下·重庆·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·吉林四平·月考）已知为的外心，为所在平面内一点，且，则点为的__________心.（填“重”“垂”“内”或“外”） 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 5．（2026高一·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. 题型2 向量与线段最值 1．（25-26高一下·北京·月考）如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 2．（25-26高一下·上海·月考）已知正边形（为偶数）内接于单位圆，且满足的顶点共有个，若正三角形的顶点，在圆上，则的最大值为_____________. 3．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知等腰直角中且，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值为________． 4．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知向量，满足对任意的，都有，若，则的最大值是_______. 5．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知点在以为圆心，3为半径的圆上，且，则的取值范围__________. 题型3 向量的数量积最值问题 1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东青岛·月考）已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）设点O是三边的垂直平分线的交点，且，则的取值范围是______． 4．（25-26高一下·江苏盐城·月考）在梯形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，且，点F在线段AB上，且，平面内的动点P满足，则的最大值为_______． 5．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知正六边形的边长为在梯形的边上及其内部运动，则的取值范围为__________. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4 向量的应用 题型1 线段的定比分点 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出向量的坐标，进而求出结果. 【详解】 由题意可得， 因为边的中线为，所以， 因为P为上靠近A的三等分点，所以， 所以点P的坐标为. 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）平面上有，，三点，点在直线上，且，连接并延长至点，使，则点的坐标为____________，点的坐标为____________． 【答案】 【分析】设为坐标原点，由结合向量减法的三角形法则将用表示，将用表示，利用向量的坐标公式求解即可得到点的坐标．由且在的延长线上得到．设，利用向量的坐标公式得到的方程组，解得的值，从而得到点的坐标. 【详解】设为坐标原点，，．． 点的坐标为． 又，且在的延长线上，． 设，则， 得，得， ∴点的坐标为. 故答案为：，. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知点与点，点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】或 【分析】设点坐标为，．分别按照在线段上和在线段延长线上讨论求解，利用向量相等的坐标公式得解. 【详解】设点坐标为，． 当在线段上时，．所以， 所以，解得，所以点坐标为． 当在线段延长线上时，．所以， 所以，解得 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或. 4．（25-26高一下·江苏南京·月考）在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由中位线及比例关系可得，再结合为中线，代入向量数量积等式并利用，即可解得. 【详解】如图，取中点，连接，所以， 因为，所以,所以为中点， 所以， 所以． 因为，， 所以， 又，所以． 在斜三角形中，，所以，则．所以A正确． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知点，，，且依次为的三等分点，求和的坐标. 【答案】， 【分析】根据定比分点坐标公式求出点坐标，再根据向量的坐标公式求解即可. 【详解】根据题意可知，点分所成的比分别是，， 设，利用定比分点坐标公式可得 ，，所以点坐标为， 设，利用定比分点坐标公式可得 ，，所以点的坐标为， 所以，. 题型2 向量的分解与合成 1．（25-26高一下·重庆·月考）单摆是种经典的物理模型，由一根轻质细线和一个小球组成．如图，悬点位于点，细线长米，小球视为质点，小球从点处释放，围绕点做圆周运动，小球运动到最低点处时，球受到的重力为，受到细线拉力的大小为，其中小球速度米秒，小球质量千克，重力加速度米/秒，则（    ） A． B． C．25 D．50 【答案】B 【详解】由于小球运动到最低点处时，重力向下，拉力向上，且，， 则方向向上，大小为， 故. 2．（25-26高一下·安徽滁州·月考）已知力作用于同一质点，使之由点移动到点，则力的合力对质点所做的功为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】用坐标表示合力，再结合向量数量积坐标运算求解即可. 【详解】依题意，， 所以合力对质点所做的功为. 3．（25-26高一下·山西临汾·月考）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小__________. 【答案】 【分析】根据平行向量的几何性质，结合向量数量积的运算性质，即可求解. 【详解】如图，，， ，所以，则， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有，即， 所以， 所以此时小货船航行速度大小为. 4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量表示（   ） A．向东北方向航行km B．向北偏东方向航行2km C．向北偏东方向航行2km D．向北偏东方向航行km 【答案】C 【详解】 如图，，，，， 所以，即向北偏东方向航行2km. 5．（25-26高一下·重庆开州·月考）开中冯大师健身塑形取得阶段性成就，引体向上成绩尤为出色，经测试，当两臂夹角为身体处于平衡状态时，动作效果最佳.在此状态下，他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人.已知冯大师的体重为 62.5 kg，重力加速度取 10 m/s².此时平均每只胳膊的最大拉力大小约为多少.（   ） A．N B．2500N C．1250N D．N 【答案】D 【分析】根据平衡状态可知两只胳膊的拉力合力等于重力，再据此列等式，计算即可. 【详解】设两只胳膊的拉力分别为，，重力为， 则， 因为他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人， 所以，解得， 所以平均每只胳膊的最大拉力大小约为. 题型1 向量解决线段的长度问题 1．（25-26高二下·海南·月考）已知和是平行四边形ABCD的对角线，若，则__________． 【答案】5 【分析】平行四边形中，，根据数量积的运算律可得，由此得，从而解得. 【详解】平行四边形中，， 所以， . 两式相加，得， 即， 所以，解得，所以. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 【答案】 【分析】以为基底，表示出和，根据，可求的值，再求即可. 【详解】设，，则，． 因为， 所以．所以． 又． 所以，即． 故答案为： 3．（25-26高一下·广西南宁·月考）中，，是边的中点．若，，则的长等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】结合三角形中线性质和平面向量基本定理用表示，再对等式平方运算求解即可. 【详解】由，可得， 则 ， 所以，即的长为. 4．（25-26高一下·浙江·期中）已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______. 【答案】2 【分析】设为和的夹角，则 ，由的范围可得答案. 【详解】如图，取中点为，连接，则，且， 设为和的夹角，则 ， 且， 当且仅当时，即与反向时右侧等号成立， 因， ，则当时，有最大值， 此时三点共线. 于是共线且点在点与之间，故. 题型2 向量解决角度问题 1．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且，则cos∠ACB的取值范围为______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，，则根据向量的线性运算可求出坐标，从而可得，再利用向量的数量积公式，结合三角函数的取值范围从而得出结论. 【详解】以A为原点，AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设AB的中点为D，则D，G，C共线且， 设，，则， 故， 故，故， 所以，故， 而，， 故， 而，故，故， 所以，． 2．（25-26高一下·江苏无锡·月考）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，根据向量夹角的余弦值求解即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 则，，是中点，故； 由，，得； 是上靠近的四等分点， 由定比分点公式得 . 为向量与的夹角，所以. 因为，， 所以， ，. 进而． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，但不平行，点，分别是，的中点，的延长线与，的延长线分别交于点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】首先利用中点性质将表示为，再利用向量点积公式，分别求出和的余弦值，因为，计算即可求得两个角的余弦值相等，进而可得出结果. 【详解】设，． 因为，． 所以． 因为点，分别是，的中点， 所以，， 所以，即． 因为，所以设， 再设，，，与的夹角为， 则与的夹角为，与的夹角为． 因为，即，所以． 所以． 同理可得．所以． 又，，所以，即． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】以为原点建系，设，利用求出，求证即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 设，则，. 因为是的中点，所以. 又，即，即， 解得，即， ，， ， ，即. 题型3 向量在几何中的其他应用 1．（25-26高一下·宁夏银川·月考）在四边形中，，，则四边形为（   ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】D 【分析】将向量关系转化成边的关系即可. 【详解】在四边形中，因为， 所以且，所以四边形为平行四边形； 又，得，故四边形为菱形. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在四边形中，若，，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】B 【分析】由可得四边形是平行四边形，又，根据矩形的判定定理可得结果. 【详解】由得，所以四边形是平行四边形. 因为，即平行四边形的对角线相等，所以平行四边形是矩形. 如图， 故选：B. 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 4．（24-25高一下·河南·月考）在中，若 ，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】应用向量数量积的运算律得，即，即可得三角形的形状. 【详解】由题设，则， 而的数量关系无法确定，所以一定是直角三角形，且. 故选：A 题型1 向量与四心及奔驰定理 1．（25-26高一下·重庆·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 2．（25-26高一下·吉林四平·月考）已知为的外心，为所在平面内一点，且，则点为的__________心.（填“重”“垂”“内”或“外”） 【答案】垂 【分析】先将转化为，通过计算，证得，同理证得、，从而判定为的垂心. 【详解】因为， 所以， 因为为的外心，所以， 所以，同理， 则点为的垂心. 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①③④，由定义和向量相关概念可得①错误，③④正确；对于②，举出反例； 【详解】对于①，，， 因为不共线，故与肯定不相等， 所以不成立，①错误； 对于②，不妨设，，， ， ， 故， ，， 而， ，， ， 故， ，②错误； 对于③，， 若，则， 又，故， 由于不共线，不共线，要想上式成立，非零向量需共线， 设，，由于恒成立，故，③正确； 对于④，，， 故 ， ， 而表示的平分线所在向量， 故点的轨迹所在直线过的内心，④正确. 4．（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 5．（2026高一·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. 【答案】/ 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，∴，， ∴，， ∴ ， 同理可得， 延长交于点，则. ∴ ， 同理可得，∴， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时， 则都是钝角，则，矛盾； 故，则， ∴是锐角，， 于是，解得. 题型2 向量与线段最值 1．（25-26高一下·北京·月考）如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 2．（25-26高一下·上海·月考）已知正边形（为偶数）内接于单位圆，且满足的顶点共有个，若正三角形的顶点，在圆上，则的最大值为_____________. 【答案】24 【分析】首先根据向量不等式得到满足的点所在的区域，从而得到可能的值，然后对所求模进行变形将其转为点到圆心的距离问题，再通过三角函数求得距离范围，最后结合的取值得到最大值. 【详解】设和的夹角为，依题意有满足的顶点共有个， 令得， 所以满足的点有个，也就是，，这三个角对应的点， 所以且解得，又因为为偶数，所以， 因为，且根据正边形的对称性有， 所以， 接下来求即到圆心的距离的最大值，设，， 则圆心到的距离为，，到的距离为， 为了让到圆心最远，它们应在两侧，所以只需考虑， 当时取得最大值，结合前面的取值可得的最大值为. 3．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知等腰直角中且，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设，根据题意得到的坐标，利用参数方程求出的最小值即可. 【详解】 如图所示，以等腰直角三角形的顶点为原点建立平面直角坐标系，在轴，在轴， 则由且得，因此， 点在以为圆心的单位圆上，设， 根据向量关系可得，则， 因此，化简得， 而要使最小，需要最小，也就是最小， 利用辅助角公式得，其中，则， 因此，而， 代入并化简得. 4．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知向量，满足对任意的，都有，若，则的最大值是_______. 【答案】 【分析】数形结合推出即可由题意得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】如图， 对任意，都有， 令，则， 则由t的任意性可得，即， 所以， 所以由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以. 5．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知点在以为圆心，3为半径的圆上，且，则的取值范围__________. 【答案】 【分析】根据题意可得是圆的直径，结合向量线性运算用表示，再结合向量不等式求解范围. 【详解】由，可得是圆的直径，因此是的中点，故. 因为 ，且， 所以. 因为，，则， 所以， 即，当且仅当共线时等号成立. 题型3 向量的数量积最值问题 1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点D，则，， 所以， 因为，所以. 2．（25-26高一下·山东青岛·月考）已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，根据共线定理表示点的坐标，代入表达式根据二次函数求最值. 【详解】 已知正方形，以建立平面直角坐标系， ，，，， 设，点在线段上，， 则，， ， 时，的最大值为. 3．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）设点O是三边的垂直平分线的交点，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合外心的性质和向量线性运算可得，再代入原式可得，利用二次函数性质求解即可. 【详解】如图所示， 由题知是的外心，取中点，连接， 可得，故. 因为， 所以， 由是的中线，可得，且， 故. 已知，可得：， 由，，可得， 将代入目标式： ， 设，则， 为开口向上的二次函数，对称轴为，， 当时，取最小值（此时，三角形存在，最小值可取）； 当时，，但，故. 因此的取值范围是. 4．（25-26高一下·江苏盐城·月考）在梯形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，且，点F在线段AB上，且，平面内的动点P满足，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】根据得到，再以A为原点建立直角坐标系，再根据向量数量积求解即可. 【详解】由得，. 以为原点，为轴建立直角坐标系，则，. 设，则. 由得：，即 ①； 由，相似比得​​， 故​，即 ②. ②-①得： ，代入①得​，因此，. 由得，动点满足， 故轨迹为以为圆心，半径1的圆. 设，为与x轴的夹角. 进而， ， 所以，其中. 故的最大值为. 5．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知正六边形的边长为在梯形的边上及其内部运动，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】取中点，借助向量运算法则可得，再计算的范围即可得解. 【详解】取中点，中点， ， 由在梯形的边上及其内部运动， 易得， ， 即，故. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $