8.4 向量的应用（2）-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2023-2024学年高一数学下学期同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 8.4 向量的应用（2） 班级 姓名 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具； 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 考点一 线段的定比分点坐标公式 定比分点坐标公式： 若点，，为实数，且，则点的坐标为（），我们称为点P分所成的比； 提示：由结合向量的坐标表示与相等，推导得 1、其中：定比分点坐标公式() 2、点分所成的比与点分所成的比是两个不同的比，要注意方向 3、点的位置与λ的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点 特别地，当时，有＝，即点是线段之中点，其坐标为； ②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点为的外分点； 考点二 向量在平面几何中常见的应用 ， （1）求线段长度或证明线段相等，用向量的模长公式： ， 例如证明,只要证明或. （2）证明直线或线段平行，用向量共线定理： （3）证明三点共线：要证明三点共线，只要证明存在实数，使得或或； 即利用向量共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可. （4）证明直线或线段垂直，常用向量垂直的条件： . 例如证明，只要证明. （5）求夹角问题，利用夹角公式： ； 考点三 向量在物理中的应用 （1）向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有，但是力的三要素是大小，方向和作用点，所以用向量解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上. （2）向量与速度，加速度及位移 速度，加速度及位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. （3）向量与功，动量 力做的功是力在物体前进的方向上的力与物体位移的乘积，实质是表示力和位移的两个向量的数量积，，动量实际上是数乘向量； 1、一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________ km/h. 【说明】本题考查了向量在物理中的应用；用向量解决物理问题的一般步骤 1、问题的转化，即把物理问题转化为数学问题； 2、模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型； 3、参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值； 4、问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象； 2、一物体在力＝(3，－4)，＝(2，－5)，＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________ 3、当两人提起重量为||的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为||，若，则θ的值 为 4、已知＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为＝(3，4)，则力对质点P做的功是________． 【说明】物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F|·|s|·cos θ(θ为F与s的夹角)； 5、已知力的大小||＝10，在的作用下产生的位移的大小||＝14，与的夹角为60°，则做的功为（ ） A．7 B．10 C．14 D．70 6、已知三个力＝(－2，－1)，＝(－3，2)，＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力，则等于（ ） A．(－2，－2) B．(2，－2) C．(－1，2) D．(－2，2) 7、如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的序号是 1 .绳子的拉力不断增大；②.绳子的拉力不断变小；③.船的浮力不断变小；④.船的浮力保持不变 8、在平行四边形ABCD中，E，F在对角线BD上，且BE＝FD， 则四边形AECF