精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市2026年九年级第一次模拟考试 数学

呼和浩特市2026年初三年级第一次模拟考试数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，把答题卡交回． 3．本试卷满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. “数字人民币”应用场景范围逐步扩大．若转入2元记作元，那么转出6元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，正负数常用于表示具有相反意义的量，转入和转出是相反意义的量，已知转入记为正数，可推出转出记为负数． 【详解】解：∵转入2元记作元，转入与转出是相反意义的量，正数表示转入， ∴转出用负数表示，可得转出6元记作元． 2. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：从正面看和从上面看，看到的轮廓形状相同， ∴主视图与俯视图相同， 从左面看，看到的图形为圆，与主视图与俯视图不同． 3. 足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，那么抛掷一枚均匀的硬币一次，正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可． 【详解】解：抛掷一枚均匀的硬币一次，可能出现两种可能的结果，正面朝上，反面朝上，正面朝上的概率为：． 4. 如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得,,再根据题意得,即可得出答案． 【详解】解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． 5. 下列关于整式的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式运算、合并同类项、完全平方公式、幂的乘方法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 分别根据合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方法则、单项式乘单项式法则逐一判断选项正误． 【详解】解：A、∵合并同类项时，仅系数相加，字母及指数不变，，故此选项错误； B、根据完全平方公式，，故此选项错误； C、根据幂的乘方法则，，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 6. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，， ， 故选：B． 7. 如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将小明的行程分为三个阶段：①在分钟内，②在分钟内，③在分钟内，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，小明的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家走到报亭， ∵从家走了20分钟到一个离家900米的报亭， ∴在分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标为900的一条线段； 第二阶段：在报亭看报， ∵在报亭看报10分钟，此时离家的距离不变，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为平行于轴的一条水平线段； 第三阶段：返回家， ∵用15分钟返回家，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为从纵坐标下降至0的一条线段，且终点横坐标为45； 观察各选项图象，只有D选项符合． 8. 若点都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的符号判断函数图象位置和增减性，再结合判断两点位置，列不等式组即可求解的取值范围； 【详解】解∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大， ∵，且， ∴，两点不在同一象限， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， 解不等式组得． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 一列火车以的速度匀速前进．则它的行驶路程s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据路程速度时间进行求解即可． 【详解】解；由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，熟知路程速度时间是解题的关键． 10. 在第十五届中国国际航空航天博览会期间，无人机记录了精彩瞬间．建立适当的平面直角坐标系，若无人机所在位置的坐标为，将无人机沿着轴向上平移2个单位，则平移后无人机的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据沿轴向上平移的坐标变化规则，计算得到平移后点的坐标． 【详解】解：原无人机位置坐标为，沿着轴向上平移2个单位， 因此平移后坐标为即． 11. 在地球仪上，与赤道平行的线叫做纬线，呼和浩特市的纬度约为北纬．如图，赤道半径约为6400千米，，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，则北纬纬线的长度约为______千米．（参考数据：，，，） 【答案】 28800 【解析】 【分析】作，根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后解直角三角形求出，最后根据周长公式得出答案． 【详解】解：如图所示，过点O作，于点D， ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，千米， ∴（千米）， 所以北纬纬线的长度是（千米）． 12. 如图，在中，，，．将绕点旋转得到，连接，分别取，的中点，，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，，利用勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得到，利用三角形中位线的性质求出，，然后利用三角形三边关系求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，，， ∴． ∵将绕点B旋转得到， ∴． ∵分别是的中点， ∴线段为的中位线，线段为的中位线， ∴，， ∴， ∴当点P，O，Q三点共线时，取得最大值，即的值， ∴的最大值为． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算和化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 促进学生身心健康、全面发展是重要的教育议题．某校坚持“健康第一”的教育理念，深化体育与健康课程改革．为了解该校七年级男生体能情况，随机抽取20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行统计分析． 【收集数据】 100 95 86 88 52 78 83 65 83 87 77 89 90 67 79 97 72 83 96 73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好；为优秀．（成绩用表示） 等次 不合格 合格 良好 优秀 合计 频数（人数） 1 4 5 20 频率 0.05 0.20 0.50 0.25 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是、中位数是． 【解决问题】 （1）填空：______，______；______； （2）若该校七年级共有400名男生，估计体能测试达到优秀的男生约有多少人； （3）根据上述统计分析情况，请你对该校七年级男生体能情况做出评价，并提出一条相应的合理化建议． 【答案】（1）10，83，83 （2）100人 （3）评价：该校七年级男生体能情况整体良好，大部分学生体能处于良好及以上水平；建议：学校应继续深化体育和健康课程改革，加强体育锻炼，特别关注体能较弱的学生，促进全体学生身心健康． 【解析】 【分析】（1）利用统计表中成绩良好学生的频率计算的值，根据众数和中位数的定义计算的值； （2）利用“七年级男生总数所抽取的20名男生中成绩为优秀的学生占比”，即可获得答案； （3）结合统计数据作出评价，并提出合理化建议． 【小问1详解】 解：根据题意，， 由统计数据可知，出现次数最多的数据是83， ∴这组数据的众数是83， 将这组数据按照从小到大的顺序排列，可得52，65，67，72，73，77，78，79，83，83，83，86，87，88，89，90，95，96，97，100， 其中排在第10和11位的数据是83和83， ∴这组数据的中位数是； 【小问2详解】 由统计数据可知，所抽取的20名男生中，测试成绩为优秀（分数：）的学生共计5人， ∵（人）， ∴估计体能测试达到优秀的男生约有100人； 【小问3详解】 评价：该校七年级男生体能情况整体良好，大部分学生体能处于良好及以上水平； 建议：学校应继续深化体育和健康课程改革，加强体育锻炼，特别关注体能较弱的学生，促进全体学生身心健康． 15. 乳制品产业通过特产店渠道提升品牌和附加值，一家特产店计划从本地奶制品厂采购两款热销产品：奶片和酸奶．已知奶片每件的进价比酸奶每件的进价少4元．该店用120元购买奶片的件数，恰好等于用160元购买酸奶的件数． （1）求奶片和酸奶每件的进价各是多少元； （2）第一批采购的奶片和酸奶很快售完，现该店准备再次购进这两种商品共70件、恰逢厂家调价：奶片在第一批进价的基础上打9折，酸奶在第一批进价的基础上提价5%，按照此价格采购，总费用不能超过960元，此次采购中最多可以购进酸奶多少件． 【答案】（1）奶片每件进价为12元，酸奶每件进价为16元 （2）最多可以购进酸奶34件 【解析】 【分析】（1）设奶片每件进价为元，酸奶每件进价为元，根据题意得出方程，求解方程即可； （2）设酸奶购进件，则奶片购进件，根据题意得出不等式，求解该不等式即可． 【小问1详解】 解：设奶片每件进价为元，酸奶每件进价为元， 根据题意可得方程， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故奶片每件进价为12元，酸奶每件进价为16元． 【小问2详解】 解：设酸奶购进件，则奶片购进件， 根据题意可得， 解得， 故最多可以购进酸奶34件． 16. 如图，为外一点，为上一点，是的直径，，且与相切于点，连接和． （1）求证：； （2）求证：与相切； （3）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵与相切于点， ∴， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵为半径， ∴与相切； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，圆周角定理得到，根据，得到，三线合一，即可得出结论； （2）证明，得到，即可； （2）用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 17. 综合与实践课上，某数学兴趣小组学习了新定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，围绕该定义进行了相关探究． 【探究1】 若抛物线与抛物线能围成“月牙线”． （1）求出抛物线与轴的交点和，的值； （2）请直接写出此时“月牙线”上点的横坐标的取值范围． 【探究2】 图1是某地文旅景区水幕电影景观实物图．为实现美观的笑脸形月牙水幕效果，以水面的喷水口为原点，原点与水柱落点处所在直线为轴，垂直于水面的直线为轴、建立如图2的平面直角坐标系．两条抛物线形喷泉同时从原点喷出、一条抛物线形水柱经过点，另一条抛物线形水柱经过点，同时落在水面一点处．在两条抛物线围成的“月牙线”区域内设计一个面积最大的长方形水幕电影影像（长方形各边分别平行于坐标轴）．为了达到最佳观影效果，要求该水幕电影影像完整呈现在“月牙线”区域内，且竖直高度与水平宽度的比是． （3）求出这两条抛物线的解析式； （4）求该长方形水幕电影影像的长和宽． 【答案】（1）抛物线与轴的交点为、，， （2）“月牙线”上点的横坐标的取值范围为 （3）两条抛物线的解析式为、 （4）矩形的长为，则宽为 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线与轴的交点，再根据待定系数法求解，的值； （2）根据图像的性质即可得出结果； （3）根据题意，可得两种抛物线上的点，根据待定系数法求解函数表达式即可； （4）假设矩形的长为，则宽为，得出点的坐标表达式，代入其函数表达式，求解即可得出长方形水幕电影影像的长和宽． 【小问1详解】 解：对于抛物线， 当时，即， 解得或， 故当、时，抛物线， 得，解得， ∴抛物线与轴的交点为、，，； 【小问2详解】 解：∵抛物线、与轴的交点为、， ∴“月牙线”上点的横坐标的取值范围为； 【小问3详解】 解：根据题意， 设顶点靠上的抛物线表达式为， 顶点靠下的抛物线表达式为， 根据题意，可得经过点，，， 可得，解得， ∴， 根据题意，可得经过点，，， 可得，解得， ∴， 故两条抛物线的解析式为、； 【小问4详解】 解：假设矩形的长为，则宽为， ∵， ∴靠下的抛物线顶点为，对称轴为直线， ∴矩形边所在直线为， ∴点坐标为， 将点代入， 得， 化简得， 解得或（舍去）， ∴矩形的长为，则宽为． 18. 完成以下问题： （1）【操作判断】如图，在矩形纸片中，．点在边上，沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，然后展平，连接，请你判断四边形的形状，并说明理由； （2）【操作探究】如图，继续在该矩形纸片中操作，沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平，连接，，若，请你猜想的形状，并说明理由； （3）【操作迁移】如图，继续对其他矩形纸片进行同样动手操作，．点在边上，沿过点的两条直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，折痕与边交于点，点的对应点落在射线上，折痕与边交于点，然后展平，连接交边于点，若，当是以为腰的等腰三角形时，请你求出的长． 【答案】（1） 四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2） 解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， 由（）得，， ∴，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （3）或 【解析】 【分析】（）先证明四边形是矩形，再根据即可求证； （）由得，即得到，进而得到，可得和均为等腰直角三角形，得到，，即可求证； （）设与交于点，由折叠得，，，得到， 设， 则，由得到，又由是等腰直角三角形可得， 即得， 再分和两种情况解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设与交于点，如图， ∵， ∴，， 由折叠得，，，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 由折叠得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，在中，， ∴， 整理得，， 解得（不合，舍去），， ∴； 当时， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市2026年初三年级第一次模拟考试数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，把答题卡交回． 3．本试卷满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. “数字人民币”应用场景范围逐步扩大．若转入2元记作元，那么转出6元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 3. 足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，那么抛掷一枚均匀的硬币一次，正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 1 4. 如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 下列关于整式的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 若点都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 一列火车以的速度匀速前进．则它的行驶路程s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式为______． 10. 在第十五届中国国际航空航天博览会期间，无人机记录了精彩瞬间．建立适当的平面直角坐标系，若无人机所在位置的坐标为，将无人机沿着轴向上平移2个单位，则平移后无人机的坐标为______． 11. 在地球仪上，与赤道平行的线叫做纬线，呼和浩特市的纬度约为北纬．如图，赤道半径约为6400千米，，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，则北纬纬线的长度约为______千米．（参考数据：，，，） 12. 如图，在中，，，．将绕点旋转得到，连接，分别取，的中点，，则的最大值是______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算和化简： （1）计算：； （2）化简：． 14. 促进学生身心健康、全面发展是重要的教育议题．某校坚持“健康第一”的教育理念，深化体育与健康课程改革．为了解该校七年级男生体能情况，随机抽取20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行统计分析． 【收集数据】 100 95 86 88 52 78 83 65 83 87 77 89 90 67 79 97 72 83 96 73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好；为优秀．（成绩用表示） 等次 不合格 合格 良好 优秀 合计 频数（人数） 1 4 5 20 频率 0.05 0.20 0.50 0.25 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是、中位数是． 【解决问题】 （1）填空：______，______；______； （2）若该校七年级共有400名男生，估计体能测试达到优秀的男生约有多少人； （3）根据上述统计分析情况，请你对该校七年级男生体能情况做出评价，并提出一条相应的合理化建议． 15. 乳制品产业通过特产店渠道提升品牌和附加值，一家特产店计划从本地奶制品厂采购两款热销产品：奶片和酸奶．已知奶片每件的进价比酸奶每件的进价少4元．该店用120元购买奶片的件数，恰好等于用160元购买酸奶的件数． （1）求奶片和酸奶每件的进价各是多少元； （2）第一批采购的奶片和酸奶很快售完，现该店准备再次购进这两种商品共70件、恰逢厂家调价：奶片在第一批进价的基础上打9折，酸奶在第一批进价的基础上提价5%，按照此价格采购，总费用不能超过960元，此次采购中最多可以购进酸奶多少件． 16. 如图，为外一点，为上一点，是的直径，，且与相切于点，连接和． （1）求证：； （2）求证：与相切； （3）若，求阴影部分的面积． 17. 综合与实践课上，某数学兴趣小组学习了新定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，围绕该定义进行了相关探究． 【探究1】 若抛物线与抛物线能围成“月牙线”． （1）求出抛物线与轴的交点和，的值； （2）请直接写出此时“月牙线”上点的横坐标的取值范围． 【探究2】 图1是某地文旅景区水幕电影景观实物图．为实现美观的笑脸形月牙水幕效果，以水面的喷水口为原点，原点与水柱落点处所在直线为轴，垂直于水面的直线为轴、建立如图2的平面直角坐标系．两条抛物线形喷泉同时从原点喷出、一条抛物线形水柱经过点，另一条抛物线形水柱经过点，同时落在水面一点处．在两条抛物线围成的“月牙线”区域内设计一个面积最大的长方形水幕电影影像（长方形各边分别平行于坐标轴）．为了达到最佳观影效果，要求该水幕电影影像完整呈现在“月牙线”区域内，且竖直高度与水平宽度的比是． （3）求出这两条抛物线的解析式； （4）求该长方形水幕电影影像的长和宽． 18. 完成以下问题： （1）【操作判断】如图，在矩形纸片中，．点在边上，沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，然后展平，连接，请你判断四边形的形状，并说明理由； （2）【操作探究】如图，继续在该矩形纸片中操作，沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平，连接，，若，请你猜想的形状，并说明理由； （3）【操作迁移】如图，继续对其他矩形纸片进行同样动手操作，．点在边上，沿过点的两条直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，折痕与边交于点，点的对应点落在射线上，折痕与边交于点，然后展平，连接交边于点，若，当是以为腰的等腰三角形时，请你求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $