精品解析：陕西省米脂中学2025-2026学年高一下学期第一次质量检测数学试题

陕西省米脂中学2025-2026学年高一下学期第一次质量检测数学试题 命题人：常利忠 审题人：邢艳 考式说明： 1.本式卷分满分150分.考试时间为120分钟. 2.答题前，考生先将自己的姓名、准考正号码填写清楚． 3.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚． 4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 5.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法错误的是（ ） A. B. 是单位向量，则 C. 若，则或 D. 对于任意向量，有 2. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若平面向量与满足，且与的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 31 6. 已知是夹角为60°的两个单位向量，若，，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 7. 在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是（ ） A. 为定值16 B. 不为定值，有最大值16 C. 为定值32 D. 不为定值，有最小值32 第II卷（非选择题，共92分） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 向量在上的投影向量的坐标为 10. 已知点、、，其中，则（ ） A. 若、、三点共线，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时， 11. 已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ） A. B. 当为中线时， C. 当为高线时， D. 当为角平分线时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 若向量，满足，，与的夹角为，则的值为________． 13. 在中，角所对的边分别为已知，则的面积为___________． 14. 设,，，，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）判断四边形ABCD的形状，并证明； （2）求与夹角的余弦值. 16. 已知向量. （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； 17. 在中，D为AC边上一点，，，. （1）求的值； （2）若，求AD的长. 18. 在海岸A处，发现北偏东方向，距离A处n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 19. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省米脂中学2025-2026学年高一下学期第一次质量检测数学试题 命题人：常利忠 审题人：邢艳 考式说明： 1.本式卷分满分150分.考试时间为120分钟. 2.答题前，考生先将自己的姓名、准考正号码填写清楚． 3.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚． 4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 5.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法错误的是（ ） A. B. 是单位向量，则 C. 若，则或 D. 对于任意向量，有 【答案】C 【解析】 【分析】由相反向量的概念可判断A，由单位向量的概念可判断B，由时，可判断C，分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断D. 【详解】选项A：和是相反向量，方向相反但模长相等，因此，A正确， 选项B：单位向量的定义是模长为1的向量，即，B正确， 选项C：当时，除了或的情况，当（两个非零向量垂直）时，数量积也为0，C错误， 选项D，若方向相同，则， 若方向相反，则， 若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知. 综上可知对于任意向量，必有，故D正确； 2. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 3. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出，，，四点坐标，利用坐标进行向量的坐标运算即可求解. 【详解】 以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系， 在平面直角坐标系下，，,，， 所以,， ，． 故选：B 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用投影向量公式及数量积坐标公式及模长公式计算求解. 【详解】因为向量， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 5. 若平面向量与满足，且与的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据求模公式及数量积公式即可求解. 【详解】， , 故选：B 6. 已知是夹角为60°的两个单位向量，若，，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，再计算出，即可由求出夹角. 【详解】是夹角为60°的两个单位向量， ， ，， ， ， ， ， 则与的夹角为. 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，考查向量夹角的求解，属于基础题. 7. 在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意可知：， 则向量减法的三角形法则，可得：， 又因为，，所以. 8. 如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是（ ） A. 为定值16 B. 不为定值，有最大值16 C. 为定值32 D. 不为定值，有最小值32 【答案】C 【解析】 【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】在等腰中，，，点是边上的动点． 如图，取的中点，连接， 由题意可知，，则，， 所以． 故选：C． 第II卷（非选择题，共92分） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 向量在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由条件求得，由判断；对于B，由向量的模的坐标公式可得；对于C，由向量夹角的坐标公式计算即得；对于D，根据投影向量定义计算即得. 【详解】， 选项A：因，故，故A正确； 选项B：，故，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：设向量在上的投影向量为， 则，故D正确. 10. 已知点、、，其中，则（ ） A. 若、、三点共线，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用平面向量的模长公式可判断C选项；利用平面向量夹角余弦的坐标公式可判断D选项. 【详解】因为、、，其中，则，， 对于A选项，若、、三点共线，则，则，解得，A对； 对于B选项，若，则，解得，B对； 对于C选项，若，即，可得， 解得或，C错； 对于D选项，当时，，则， 因为，故，D对. 故选：ABD. 11. 已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ） A. B. 当为中线时， C. 当为高线时， D. 当为角平分线时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用以及正弦定理可求，判断A；利用剩余两个条件可求，再利用余弦定理求出，利用判断B；利用等面积判断C；利用 判断D. 【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确； 因为的面积为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以，则，则， 在中利用余弦定理可得，， 则， 当为中线时，，则， 即，得，故B正确； 当为高线时，，得，故C错误； 当为角平分线时，则， 由，得， 则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 若向量，满足，，与的夹角为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算直接算出答案即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以 故答案为： 13. 在中，角所对的边分别为已知，则的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【详解】由正弦定理 ，代入已知可得， ， 因为，三角形内角和为，所以，即由上可得， 所以， 则由三角形面积公式 .【点睛】 14. 设,，，，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是________________ 【答案】8 【解析】 【详解】，， 因为A、B、C三点共线，所以， 所以，即， ， 当且仅当时等号成立． 所以的最小值为8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）判断四边形ABCD的形状，并证明； （2）求与夹角的余弦值. 【答案】（1）平行四边形，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标表示证明即可. （2）根据向量坐标表示以及向量夹角的坐标公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 因为，所以四边形是平行四边形. 【小问2详解】 因为， 所以，进而. 16. 已知向量. （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，正弦二倍角公式即可求解； （2）由向量平行的坐标表示及两角和的正切公式即可求解. 【小问1详解】 由，可得：， 化简可得：， 即； 【小问2详解】 由，可得， 即，显然， 即， 所以. 17. 在中，D为AC边上一点，，，. （1）求的值； （2）若，求AD的长. 【答案】（1）；（2）5. 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理，可求得.再根据同角三角函数间的关系可求得答案. （2）根据正弦差角公式求得.再由正弦定理可求得答案. 【详解】（1）在中，据余弦定理，有.又， 所以. （2）因为，则. 所以. 在中，据正弦定理，有. 所以. 【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件； （2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件； （3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式. （4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围. 18. 在海岸A处，发现北偏东方向，距离A处n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船． 【解析】 【分析】设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，利用解三角形的知识求解即可. 【详解】解：设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，则有，， 在△ABC中，∵，，， ∴由余弦定理，得， ∴，且， ∴，BC与正北方向成90°角． ∵， ∴在△BCD中，由正弦定理，得， ∴．即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船． 19. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【解析】 【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】（I） [方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定， ∴， 即， 即， 即， 即， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即. 结合，得. 由临界状态（不妨取）可知. 而为锐角三角形，所以. 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $