精品解析：江苏连云港市2026年中考适应性考试（一）数学试题

2026年中考适应性考试（一） 数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列有理数中，绝对值小于4的数是（ ） A. B. C. 0 D. 5 2. 中国空间站在太空中的飞行速度约为每小时27600000米，数据27600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 学具盒中装有四根长度分别为、、和的细木棒，小明手中有一根长度为的细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成三角形，则不同的取法有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 6. 如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（） A. 9 B. 10 C. 7 D. 8 7. 数学老师根据我国古代数学名著《九章算术》方程篇改编了一道题：贩粟归梓，空车日行百里，满载日行六十，十一日二返，外地几何？大意是：去外地采购谷物回乡，空车日行里，装满后日行里，天往返乡里两次，求到外地有多少里？设到外地有里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，于点，交于点，平分交于点．若是的中点，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：__________． 10. 分解因式：m2﹣2m=___． 11. 已知直线，将一块直角三角板按如图所示的方式摆放．若，则的度数是______． 12. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 13. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则的长为______． 14. 如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O 的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F （单位：N）满足若弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为________ cm． 15. 在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是_________米． 16. 如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、．当点E、F在、边上运动时，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 计算：． 20. 小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． （1）小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率是________； （2）若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 21. 今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题： 分组 分数段（分） 频数 A 1 B n C 18 D m E 17 （1）全班学生人数______，______，______． （2）求扇形统计图中“B”区对应的圆心角度数； （3）如果该校九年级共有960人，那么估计分数在的有多少人？ 22. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，如将购进的甲、乙两种商品全部售出，求售出后两种商品总利润的最大值． 23. 如图，在一条笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘小船从处沿北偏西方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达处，从处测得小船在它的北偏东的方向上． （1）求的距离； （2）小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号） 24. 已知二次函数，a为常数． （1）若该二次函数的图像顶点在x轴上，求a的值； （2）求证：无论a为何值，该函数的顶点在函数的图像上； （3）当时，求该函数图像的顶点纵坐标y的取值范围是________． 25. 如图，马路两侧有高度相同灯杆，当小明站在两灯杆之间的点N处时，在灯C的照射下小明的影长为，在灯A的照射下小明的影长为．测得两路灯间距离米，小明身高米，米，米，求灯杆的高度． 26. 如图，在中，点C是边上的一点， （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，． ①求证：． ②当时，求的值． 27. 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，连接、． （1）求证：． （2）当点P在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论． （3）四边形的面积为S，． ①________（用含x的代数式表示） ②试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考适应性考试（一） 数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列有理数中，绝对值小于4的数是（ ） A. B. C. 0 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，分别算出每个选项的数的绝对值，再与比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 中国空间站在太空中的飞行速度约为每小时27600000米，数据27600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据27600000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题关键是掌握被开方数非负．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 4. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点关于x轴对称，按照横不变，纵相反的思想计算求解即可． 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为， 故选B． 5. 学具盒中装有四根长度分别为、、和的细木棒，小明手中有一根长度为的细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成三角形，则不同的取法有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．先用列举法列举所有情况，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形． 【详解】解：列表得： 第1根长度 第2根长度 1 3 1 4 1 5 3 4 3 5 4 5 从四根细木棒中取两根细木棒的所有可能情况共有6种，能组成三角形有、、、共有4种． 故选：B． 6. 如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（） A. 9 B. 10 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 7. 数学老师根据我国古代数学名著《九章算术》方程篇改编了一道题：贩粟归梓，空车日行百里，满载日行六十，十一日二返，外地几何？大意是：去外地采购谷物回乡，空车日行里，装满后日行里，天往返乡里两次，求到外地有多少里？设到外地有里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设到外地有里，由题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设到外地有里， 由题意得：， 故选：． 8. 如图，在矩形中，于点，交于点，平分交于点．若是的中点，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，过F作于Q，F是的中点，设，，表示，，证明，可得，继而可得答案． 【详解】解：如图，连接，过F作于Q，F是的中点， 设，， ∵矩形， ∴，，， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查合并同类项．直接合并同类项即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 分解因式：m2﹣2m=___． 【答案】． 【解析】 【分析】提公因式法进行因式分解，直接提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 11. 已知直线，将一块直角三角板按如图所示的方式摆放．若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质和邻补角的性质，由，，得，进而得到的度数． 【详解】解：，， ． ， ． 故答案为：． 12. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 【答案】2.2 【解析】 【分析】利用勾股定理算出梯子的长度，再利用勾股定理算出，根据即可解题． 【详解】解：如图： 根据题意，可知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，弧长公式．连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴弧的长为， 故答案为：． 14. 如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O 的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F （单位：N）满足若弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为________ cm． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数F关于L的函数解析式，再结合图像即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴弹簧秤的示数F关于L的函数解析式为， 且该函数图像在第一象限，F随L的增大而减小， 当时，可有， ∵L越大，弹簧秤的示数F越小， ∴当时，， 即弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为35cm． 故答案为：35． 15. 在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是_________米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可知点的坐标为，顶点为，设抛物线的表达式为，将点A和点B的坐标代入即可求出该抛物线的表达式，最后令，求出此时x的值即可． 【详解】解：建立如图所求的平面直角坐标系， 则点的坐标为，顶点为． 设抛物线的表达式为， 点在抛物线上， ， 解得． 抛物线的表达式为， 令，则， 解得或（不合实际，舍去）． 答：小华此次投掷的成绩是10米． 故选：10． 16. 如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、．当点E、F在、边上运动时，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，，可证得，进而证得点在的角平分线上，当时，最小，此时为等腰直角三角形，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 过点作于点M，于点N，则四边形是矩形， ∴，， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴， ∴当时，最小，此时为等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算零指数幂，算术平方根和特殊角三角函数值，再计算加减即可． 【详解】解：原式． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： ①＋②得4x＝12，解得x＝3， 将x＝3代入①得y＝－， ∴原方程组的解为 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先通分括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】解： 20. 小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． （1）小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率是________； （2）若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 【答案】（1） （2）公平，理由见详解 【解析】 【分析】（1）求出蓝色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率； （2）列举出所有情况，求出指针都落在蓝色区域的概率，再求出自由转动转盘一次，指针落在黄色区域即可得出答案． 【小问1详解】 解：把蓝色部分分成圆心角为的两个扇形，共 4 种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能， ∴P指针落在红色区域； 【小问2详解】 解：列表如下， 第一次 第二次 红色 黄色 蓝色 蓝色 红色 （红，红） （红，黄） （红，蓝） （红，蓝） 黄色 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） （黄，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 共有 16 种可能，指针刚好落在蓝色区域有4种， ∴自由转动转盘两次，P（指针都落在蓝色区域）； ∵自由转动转盘一次，P（指针落在黄色区域）． ∴公平． 21. 今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题： 分组 分数段（分） 频数 A 1 B n C 18 D m E 17 （1）全班学生人数______，______，______． （2）求扇形统计图中“B”区对应的圆心角度数； （3）如果该校九年级共有960人，那么估计分数在的有多少人？ 【答案】（1）60；21；3 （2） （3）272 【解析】 【分析】（1）用C组的频数和所占的百分数计算全班学生人数，用全班学生人数乘以D组所占的百分比可得D组的频数，全班学生人数减去A、C、D、E组频数可得B组的频数； （2）用B组的频数占总人数的百分比乘以即可求出答案； （3）用分数在的人数所占的比例乘以九年级总人数即可求出答案． 【小问1详解】 解：观察所给图形可知：C组的频数是18，占全班学生人数的， 所以全班学生人数=（人）， ， ， 故答案为：60；21；3． 【小问2详解】 解：由（1）知B组的频数是3，全班学生人数是60， 所以扇形统计图中“B”区对应的圆心角度数． 【小问3详解】 解：分数在的人数为：（人）． 【点睛】本题考查统计有关知识，涉及扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体等，解题关键是找到扇形统计图和频数分布表的对应关系． 22. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，如将购进的甲、乙两种商品全部售出，求售出后两种商品总利润的最大值． 【答案】（1）每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元 （2）售出后两种商品总利润的最大值为405元 【解析】 【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为元，根据题意建立方程求出其解就可以了． （2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品个．设售出后两种商品总利润为w元，“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式，求出y的取值范围，然后列关于w的关系式，再求解即可． 【小问1详解】 解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 每件甲种商品的进价为：（元）． 答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元． 【小问2详解】 解：设购进乙种商品y个，则购进甲种商品个．设售出后两种商品总利润为w元， 由题意得：． 解得， ， ∵， ∴w随y的增大而增大， ∴当时，w取最大值，且最大值为： （元）， 答：售出后两种商品总利润的最大值为405元． 【点睛】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找出等量关系与不等关系列出方程与不等式是解题关键． 23. 如图，在一条笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘小船从处沿北偏西方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达处，从处测得小船在它的北偏东的方向上． （1）求的距离； （2）小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号） 【答案】（1）海里；（2）海里． 【解析】 【分析】（1）过点作于点,利用余弦定义解出AP、AD的长，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解得PD的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可； （2）过点作于点，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，解得BF的长，在中，由勾股定理解得BC的长即可． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， 在中，，， ∵， ∴ 在中，，， ∴． ∴海里 （2）如图，过点作于点， 在中，，， ∴ 在中，． 在中，，， ∴海里． ∴点与点之间的距离为海里． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30°角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键． 24. 已知二次函数，a为常数． （1）若该二次函数的图像顶点在x轴上，求a的值； （2）求证：无论a为何值，该函数的顶点在函数的图像上； （3）当时，求该函数图像的顶点纵坐标y的取值范围是________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）该二次函数的图像顶点在x轴上，则方程与轴只有一个交点，利用判别式为0解答即可； （2）先配方求出原二次函数的顶点坐标，将顶点横坐标代入给定函数，计算得到的纵坐标与顶点纵坐标比较，即可证明结论； （3）由（2）可知，该函数图像的顶点纵坐标，根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解： 令得：， 判别式， 该二次函数的图像顶点在x轴上， ， 解得； 【小问2详解】 证明：由题意得：， 该二次函数的顶点坐标为， 将顶点横坐标代入函数得： ， 因此，无论a为何值，该函数的顶点都在函数的图像上； 【小问3详解】 解：由（2）可知，该函数图像的顶点纵坐标， 函数的顶点坐标为， 在上，随的增大而减小，在上，随的增大而增大， 时，有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 函数图像的顶点纵坐标y的取值范围是． 25. 如图，马路两侧有高度相同灯杆，当小明站在两灯杆之间的点N处时，在灯C的照射下小明的影长为，在灯A的照射下小明的影长为．测得两路灯间距离米，小明身高米，米，米，求灯杆的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】设灯杆高度米，米，则米，证明，得出，①，证明，得出②，联立①②，求出，再求出即可解答． 【详解】 解：设灯杆高度米，米，则米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴①， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴②， 联立①②，得​，解得， 将代入①得：，解得：， 因此灯杆高度为米． 26. 如图，在中，点C是边上的一点， （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，． ①求证：． ②当时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质得出，然后作图即可； （2）①根据等腰三角形的性质得出，确定，再由垂直得出，利用三角形内角和得出，即可证明；②过点A作，得出，设，则，，确定，由（1）得，利用正切函数及勾股定理确定，再由圆内接四边形的性质及相似三角形的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，作，交于点D，即为所求； ∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点A作，如图所示， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，连接、． （1）求证：． （2）当点P在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论． （3）四边形的面积为S，． ①________（用含x的代数式表示） ②试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）的周长不发生变化，证明见解析 （3）；S存在最小值，最小值是6 【解析】 【分析】（1）由正方形与折叠可得，，，即可证明； （2）过B作于点，可证明，，即可证明的周长不发生变化； （3）①过F作于点M，设与交于点，可证明，在中，可求得；②由①可得，由折叠可得，即可求得四边形的面积S关于x的二次函数，由此根据二次函数的性质可求得最小值． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由折叠可得，，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：的周长不发生变化． 证明：如图2，过B作于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由（1）可知，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长 ， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∴的周长，即的周长不发生变化． 【小问3详解】 解：①如图3，过F作于点M，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵为折痕， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠可得，， 在中，，即， ∴， ∴， ②由①可知，， 由折叠可得，， ∴， ∵ ∴当时，的最小值为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $