精品解析：重庆市第八中学校2026届高三下学期强化训练（一）数学试卷

数学试卷 （一） 一、选择题 :本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将化简后，再求出其共轭复数即可. 【详解】因为， 所以其共轭复数为. 故选：A. 2. 设集合，则满足的不同集合共有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【详解】由，，故， 则，，或，不同集合共有4个. 3. 点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】 由抛物线的定义可得， 所以. 4. 已知函数 . 设甲: ；乙: 是偶函数，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别由和是偶函数求解，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】由， 代入得： ， 展开整理：， 消去同类项后得，即， 解得：， 由是偶函数，即对任意恒成立， 代入得： ， 展开整理得：，对任意恒成立， 因此，解得：，甲和乙推出的完全等价， 因此甲是乙的充要条件. 5. 设函数 在 单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数单调性结合二次函数单调性求解 【详解】令 由在上单调递减，可得在上单调递减，且在上恒成立， 又 所以需满足二次函数对称轴，且对任意都有。因为在上单调递减，所以只需即可 所以，解得 6. 已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，进而由求出与的夹角. 【详解】，两边平方得 ， 又， ，， 所以，故， ，即， 设与的夹角为，所以， 所以，解得， 又，所以， 故与的夹角为. 7. 平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在轴上截得的弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】通过令，确定三个交点坐标，再设圆的一般方程，代入三个交点坐标，得到，，进而可求解. 【详解】与轴交点：令，得，设交点为； 与轴交点：令，得，判别式， 有两个不同实根，设交点，共三个不同交点， 设过三点的圆方程为 ， 将代入得：， 将代入， 得， 又， 对应相减得：， 因为，故系数必为0， 得，， 代入，解得，  令代入圆方程得：， 设两根为，由韦达定理：，， 弦长为：， 因此弦长为. 8. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化，结合的单调性得到，再由指数函数的性质得，利用的单调性得，最后由对数函数的单调性即可得. 【详解】由，且， 由对勾函数单调性在上单调递增，都在内， 所以， 由，结合指数函数的单调性知，则， 由在上单调递减， 所以，则， 所以， 综上，. 二、选择题:本 题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 如图，在平行六面体中，底面是正方形，且，，则（ ） A. B. 与所成的角为 C. D. 平行六面体的体积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，设，则：，，再结合数量积运算律求得即可判断A；计算即可判断B；计算即可判断C；先证明平面，再过点作，即可得平面，再计算，并在求解，最后计算体积即可. 【详解】设， 由题意知：，， 所以，，， 对于A，，故，即，所以，A选项正确； 对于B，，， 所以， ，， 所以,即 所以与所成的角为，B选项错误； 对于C，， 所以，即， 所以，C选项正确； 对于D，由A知，又因为底面是正方形，故， 因为，平面，所以平面， 因为，所以平面， 过点作，因为平面，平面平面， 所以平面，即为平行六面体的高， 因为， 所以，即， 所以，在中，，为等腰直角三角形， 所以， 所以，故D选项正确. 10. 已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（ ） A. B. C. 的渐近线方程为 D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线定义计算可判断A；根据计算可判断B；根据双曲线定义结合B可得，再根据双曲线渐近线方程计算可判断C；根据三角形面积公式计算可判断D. 【详解】对于A，双曲线，则， 不妨设点在第一象限，由双曲线定义可知， 因为，所以，，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 故，所以，故B正确； 对于C，由B可知，， 因为，所以，所以，即， 所以，即， 所以的渐近线方程为，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， ， 所以，故D正确. 11. 已知函数，则（       ） A. 当时，是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 不存在整数，使得的最大值为2 D. 当时，在上恰有个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合周期函数定义判断即可，对于B，反设的图象关于直线对称，利用函数解析式证明，推出矛盾，即可判断，对于C，由的最大值为可得存在整数满足，由此推出矛盾，即可判断，对于D，化简方程求其解即可判断. 【详解】对于A，当时，， 对任意的，， 所以是  的一个周期，故A正确， 对于B，若的图象关于直线对称，则， 取，可得， 而，， ，矛盾，所以的图象不关于直线对称，故B错误， 对于C，若的最大值为2，需， ， 令，左边为奇数，右边为偶数，无整数解， 故不存在整数，使得的最大值为2，故C正确， 对于D，当时，， 令，则， 根据奇数幂的性质可知，即， 所以或 当时，， 结合可得，或， 当时，， 结合， 可得， 综上，发现只有个值符合题意，故D正确. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 函数在处的导数 _____. 【答案】 【解析】 【详解】由题设，则. 13. 已知等比数列 ，且 ， 则 的值为_____. 【答案】4 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 则由可得①， 由可得，即②， 联立①②，，即， 故. 14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是______． 【答案】 ①. 6 ②. ##0.25 【解析】 【分析】第一个空，假设为向右的次数，因为服从二项分布，易得，根据和的关系，可得； 第二个空，假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，根据题干可得，由条件概率可得. 【详解】假设为向右的次数，则服从二项分布，故； 此时质点对应的数，所以. 假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，则两两互斥，则， “质点仅在第1秒位于1”则质点的走法为（第六步不受影响），（第五六步不受影响），（第六步不受影响），（第五六步不受影响），； “质点仅在第3秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； “质点仅在第5秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； 则. 因为，所以，所以三种情况下, 事件“”的情况有：，，，，，则， 则. 故答案为：6；. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 重庆城市足球超级联赛（简称 “渝超”）引发了广泛关注. 某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况， 得到如下表格: 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为关注 “渝超” 赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 3 名市民参加 “渝超” 赛事知识问答. 已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为 ， 每个人是否顺利完成相互独立．求3人中顺利完成知识问答的总人数的分布列及其期望． 附:． 【答案】（1）认为关注 “渝超” 赛事与性别有关 （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）整理列联表数据代入卡方统计量公式计算，对比临界值得出结论； （2）确定分层抽样人数，确定随机变量取值，分情况计算概率，列出分布列并求期望． 【小问1详解】 整理列联表数据如下： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 女性 合计 根据卡方公式： ， 已知小概率值，对应临界值， ， 根据的独立性检验，认为关注 “渝超” 赛事与性别有关． 【小问2详解】 关注赛事的市民中，男性人，女性人，性别比例，则抽取3人时，男性2人，女性1人； 表示顺利完成问答总人数，取值为：， 已知男性完成概率，未完成概率，女性完成概率，未完成概率，且相互独立； 则； ； ； ； 0 1 2 3 数学期望为： ． 16. 如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形，平面 平面 ， . （1）证明: 平面 ； （2）若， 为 中点，，点 在平面 上，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直可得； （2）利用空间向量先求出平面的法向量进而求出点的坐标，再利用空间向量法求正弦值可得. 【小问1详解】 因为在四棱锥 中，四边形 是正方形，所以， 又平面 平面 ，且平面，所以平面 ， 因为平面 ，所以， 又，平面 ， 所以 平面 . 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因，则有， 因为 为 中点，，则， ，即得. 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因平面过点，设， 则，， 所以， ， 设平面 的法向量为， 则，故可取， 设直线 与平面 所成的角为，因， 则， 可得当时取得最大值为； 所以直线 与平面 所成角的正弦值范围是. 17. 设，其中是正整数，记的展开式中的系数为，的系数为 . （1）求数列的通项公式: （2）证明: ； （3）是否存在等比数列和正数，使得对任意正整数 成立？若存在，求出通项和正数；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等比数列前项和公式计算求解； （2）根据计算即可得证； （3）由题意可得，根据累加法及等比数列前项和公式计算求解. 【小问1详解】 由题意可得； 【小问2详解】 由题意可得， 设，， 因为， 所以得证； 【小问3详解】 当时，，故， 由（2）可知，， 所以， 即 ， 所以，. 18. 已知椭圆的右焦点为，下顶点为，离心率，直线交椭圆于两点． （1）求椭圆的方程； （2）若平分，且，垂足为． 　求的取值范围； 　证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1） （2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出，进而求出椭圆方程； （2）利用角平分线的性质，结合到角公式、韦达定理求出的关系，利用判别式构造不等式求解；利用垂直关系求出进而得出的直线方程，进而求出坐标，求出的轨迹方程，从而证明结论． 【小问1详解】 已知椭圆的下顶点，故，则， 离心率，则，解得， 椭圆的方程为：． 【小问2详解】 直线与椭圆联立得： ，设， 由韦达定理得， 已知平分，由到角公式可得： ①， ，，则 ，整理得②， ， 代入②得，即， 整理得③， 把③代入直线得：，联立椭圆方程得： ， 已知直线与椭圆有两个交点，则 ， 化简得，解得； 由可得，解得， 结合可得的方程：， 联立与的方程，代入，得， 解得，， 故， 设，则 ， ， ，即， ， 化为标准方程得：， 故是以为圆心，为半径的圆，故存在定点，使得为定值． 19. 已知函数， （1）当 时，求 在的最小值； （2）讨论 在区间 内 零点的个数； （3）若存在，当时，总有成立，求符合条件的m的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数在上的单调性，结合单调性求函数的最小值即可； （2）令​，可得，且方程等价于方程，设，证明，证明函数为奇函数，利用导数判断函数的单调性，由此确定函数的零点个数即可； （3）令（），条件可转化为对任意，有​，证明都不满足条件，验证满足条件，由此可得结论. 【小问1详解】 当时，， 求导得，  当时，，，故， 所以函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取最小值， 最小值为； 【小问2详解】 令​，由可得，且恒成立， ， 方程等价于， 显然，对应是函数一个零点， 因为对于任意的恒成立， 所以是奇函数， 当时，， 由得， 故在单调递增，，无零点， 由奇函数性质，在也无零点， 因此在上只有个零点； 【小问3详解】 令（），原不等式等价于： 对任意，有 ​， 设，则，所以函数为增函数， 又，所以当，且时，，即， 若，当，且时，， 存在充分小的使得不等式不成立； 若， 左边​， 由为增函数可得，当时，， 所以当时，，又，此时， 当时，，，所以 所以当时，存在，当时，总有成立， 因此的最小值为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 （一） 一、选择题 :本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则满足的不同集合共有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 3. 点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知函数 . 设甲: ；乙: 是偶函数，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 5. 设函数 在 单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在轴上截得的弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本 题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 如图，在平行六面体中，底面是正方形，且，，则（ ） A. B. 与所成的角为 C. D. 平行六面体的体积是 10. 已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（ ） A. B. C. 的渐近线方程为 D. 的面积为 11. 已知函数，则（       ） A. 当时，是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 不存在整数，使得的最大值为2 D. 当时，在上恰有个零点 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 函数在处的导数 _____. 13. 已知等比数列 ，且 ， 则 的值为_____. 14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是______． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 重庆城市足球超级联赛（简称 “渝超”）引发了广泛关注. 某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况， 得到如下表格: 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为关注 “渝超” 赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 3 名市民参加 “渝超” 赛事知识问答. 已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为 ， 每个人是否顺利完成相互独立．求3人中顺利完成知识问答的总人数的分布列及其期望． 附:． 16. 如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形，平面 平面 ， . （1）证明: 平面 ； （2）若， 为 中点，，点 在平面 上，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 17. 设，其中是正整数，记的展开式中的系数为，的系数为 . （1）求数列的通项公式: （2）证明: ； （3）是否存在等比数列和正数，使得对任意正整数 成立？若存在，求出通项和正数；若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆的右焦点为，下顶点为，离心率，直线交椭圆于两点． （1）求椭圆的方程； （2）若平分，且，垂足为． 　求的取值范围； 　证明：存在定点，使得为定值． 19. 已知函数， （1）当 时，求 在的最小值； （2）讨论 在区间 内 零点的个数； （3）若存在，当时，总有成立，求符合条件的m的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $