精品解析：重庆市第八中学校2026届高三下学期模拟预测数学试题

数学试卷 一、选择题 :本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 2. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. 5 D. 20 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，解得， 所以，. 3. 某工厂生产甲、乙两种零件，其长度(单位:)分别服从正态分布和，已知甲零件的平均长度与乙零件相同，但甲零件数据的离散程度更大，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A：因为甲零件的平均长度与乙零件相同，所以，所以A错误. B：正态分布关于均值对称，所以，所以B错误. C：因为甲零件的离散程度越大，所以方差更大，即，所以C正确. D：因为，在坐标轴上在的右侧，，所以D错误. 4. 过点 且与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆的方程化简为，即圆心坐标，半径， 点距离圆心距离， 因此，， 所以. 5. 如图， 向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为时停止注水 (不考虑容器厚度)， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由注水四棱台部分的体积等于注水四棱锥部分的体积求解. 【详解】设正四棱锥的下底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 设注水四棱台的上底面边长为，则，解得， 注水四棱台的上底面的面积为， 注水四棱台的下底面的面积为， 则注水四棱台的体积为 ， 将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥，设水面高度为，底面边长为， 则，解得，且底面面积为， 设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则， 又，则，解得，即， 即此四棱锥容器倒置后，水面高度为. 6. 在的展开式中，记项的系数为，其中，则所有满足的系数之和为（ ） A. 45 B. 60 C. 120 D. 210 【答案】D 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 二项式的展开式的通项公式为， 所以的展开式中，记项的系数为， 因为，又，所以所有的组合为， 所以，，，，， 所以. 7. 某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】记1个“正确分类”为，1个“错误分类”为，2个“不确定样本”为， 已知测试到就停止，为测试到的的个数，则的可能取值为：， 时有两种情况：①第一个是；②第一个是，第二个是，即 ； 时有三种情况：①第一个是或，第二个是； ②第一个是或，第二个是，第三个是； ③第一个是，第二个是或，第三个是； ； 时有三种情况：①前两个是和，第三个是； ②前两个是或和，第三个是或，第四个是； ③第一个是，第二个和第三个是和，第四个是； ； ． 8. 过坐标原点可作曲线的切线条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 【答案】C 【解析】 【分析】先求出切线方程，再将代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切线条数. 【详解】由题意， 设切点为， 所以切线方程为， 再将代入切线方程， 所以 ， 当时，满足条件， 当时，， 解得， 最后将切点代入，求出切线斜率 当时，，所以切线为， 当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论， 当，，此时切线为， 当，，此时切线为， 所以切线条数为条. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【详解】方程存在两个虚数根分别为 ， 是共轭虚数，，故选项A正确； 虚数不能比较大小，故选项B错误； 方程存在两个虚数根分别为 ， ，，，故选项C正确； 方程存在两个虚数根分别为 ， ，，， ，故选项D正确. 10. 已知函数 ，其中 ，则（ ） A. 函数 在 上不单调 B. 不等式 对 恒成立 C. 若函数 与直线 的图象有且仅有两个公共点，则 的取值范围是 D. 若关于 的不等式 恰有 1 个负整数解，则 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过研究函数的导函数得到函数的单调性，并分析趋于无穷时函数的函数值，画出函数的大致图象，利用数形结合的方法解决问题 【详解】对于选项A ， 当时，，当时，， 因此，的单调增区间为，单调减区间为和， 因此，在上不单调，选项A正确； 对于选项B 方程的两个根为，，， 所以当时，，当时，， 易得，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以有， 当时，所以， 综上，对，恒成立，选项B正确； 对于选项C 当趋于负无穷时，趋于正无穷，趋于零，因此趋于正无穷； 当趋于正无穷时，且在上单调递减，因此趋于零， 根据上述结论可大致画出函数的图象 要使函数的图象与直线有两个交点， 根据图象可得的取值范围，所以选项C错误； 对于选项D 当直线恰好经过时，不等式没有负整数解， 此时， 随着直线的斜率减小，直至恰好经过时， 此过程中不等式只有一个负整数解， 此时，斜率小于此值，不等式会有多于一个负整数解， 故的取值范围为，选项D正确. 11. 已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. c的最大值为1 D. a的最小值为-1 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由题可得，设，则可得，即可解出，，判断AB正确；将条件转化为，利用判别式可求出的范围，同理求出的范围. 【详解】由，得， ， 设，则. ， ，解得，即，，故AB正确； ，即. ，即. 由a，知，. ∴，解得，同理可得，故C正确，D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题考查根据已知等量关系求范围，解题的关键是根据条件令，转化出，即可求出，进一步利用判别式可求出范围. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知数列满足，且，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，，，，， 以此类推，可知. 13. 双曲线 上一点 到两焦点 的距离之和为 6，则 _____． 【答案】 【解析】 【详解】已知双曲线焦点为，则， 设，已知， 由双曲线的性质可知， 由距离公式可得： ， ， ，解得， ，解得． 14. 函数 的最大值为，则在上的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用三角函数的性质得，从而有，再分和，即可求解. 【详解】令，则， 所以，则， 又，则，所以（表示中取较大者）， 令，解得， 又，当时，， 当时，， 综上所述，在上的取值范围是. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，平面 ，， ，分别为棱的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）因为 平面ABC，平面ABC，所以， 因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以 ，且，所以， 又 ， 平面，所以 平面， 又 平面，则， 又，易得， 则，所以， 又，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由 平面ABC得，E，F分别为棱AB，BC的中点得 ，得，，得，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，由夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以 为坐标原点，所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则， 则， 由（1）知平面的一个法向量为， 又， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面与平面的夹角为， 则，又，所以， 则平面与平面的夹角的大小． 16. 为研究学习时间与成绩的关系，记录5名学生的数学学习时间(小时)与模拟考成绩(分，满分 150) 如下: 2 4 6 8 10 w 58 72 80 90 100 设模拟考成绩与学习时间的回归模型为:，其中 .为计算简洁，现对数据进行中心化处理: 令，则回归模型化为. 记残差平方和. （1）根据最小二乘原理，要使最小(假设)，推导的估计量的表达式(写出关键步骤). （2）利用所给数据，求关于的经验回归方程，并还原为关于的方程. 预测时的成绩. 【答案】（1） （2）关于的经验回归方程为，关于的方程为，预测时的成绩为 【解析】 【分析】（1）展开式为的二次函数，利用二次函数的最值的求法即可求解； （2）利用（1）的结论可求关于的经验回归方程，进而可求关于的方程，代入可求预测值. 【小问1详解】 因为 上式是关于的二次函数，因此要使取得最小值， 当且仅当的取值为时，取得最小值； 【小问2详解】 因为， 所以可得 0 2 4 0 10 20 所以， ， 所以，所以关于的经验回归方程为， 所以关于的方程为，所以， 所以时，. 17. 已知与，点与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点， . （1）若平分，求的长； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定理判断三角形类型，确定边长关系，再结合余弦定理直接求解. （2）利用坐标将几何问题代数化，利用向量点积公式计算夹角余弦值，进一步得出正弦值. 【小问1详解】 因为平分，所以， 又因为为中点，且边与边相交于点， 所以在中，是的平分线且过对边的中点， 故是等腰三角形，即， 在中，由余弦定理得， ， 所以，， 则在中，，，， 由余弦定理得 ，解得， 又因为，则， 所以， 同理，在中，，，， 由余弦定理得 ， 所以. 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 由图可知坐标为， 因为，，得坐标为， 又因为为中点，由中点坐标公式得出点坐标为， 设点坐标为，由和，得出点坐标为, 所以，， 则， 所以， 所以. 18. 已知函数． （1）证明：函数的图象为轴对称图形； （2）当时，证明：； （3）若数列满足：，证明： ． 【答案】（1）证明：因为定义域关于对称， 且， 所以函数关于对称，即函数的图象为轴对称图形 （2）证明：时， 令，， 其中在上单调递增，故在上单调递减， 因为，故存在使得， 所以时，；时 即在上单调递增；在上单调递减. 又， 所以，即，即当时，. 时， 令，其中. 则， 故在上单调递增，所以， 即，即； 综上：当时， （3）证明：由可知. 令，则， 则，， 所以，又，， 故，， . 由得， 由（2）知，即 令则，即， 即得证. 【解析】 【分析】（1）根据函数定义域关于对称及即可判断； （2）构造函数，求导，根据导数即可证明，不等式的另一端构造函数同理即可证明； （3）令，根据三角换元可得，计算再结合（2）进行即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的长轴长为4，左焦点为，平面内一动点到点的距离与到直线的距离相等，过作的两条切线，切点分别为 . （1）求动点 的轨迹方程； （2）证明： （i） 平分 ； （ii）为定值. 【答案】（1） （2）（i）由（1）可知，所以椭圆方程为， 设， 则切线的方程为，切线的方程为， 因为 既在上，又在上， 所以，所以直线的方程为， 联立，消去得， 所以， 消去 得， 所以， 平分与共线与共线 与共线 ①， 下面证明①式成立： ②， ③， 将②③代入①得 ， 由于上式显然成立，于是①式成立，故平分 ； （ii） ， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，再根据抛物线的定义列等式，求出点 的方程； （2）（i）利用角平分线的向量判定：联立椭圆与切点弦方程，用韦达定理求出，利用向量共线的充要条件进行转化，最后代入韦达定理和验证； （ii）利用向量的数量积和椭圆左焦半径公式进行计算,证明. 【小问1详解】 因为椭圆 的长轴长为4，左焦点为， 所以，所以直线为， 设，则，化简得：， 所以动点 的轨迹方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题 :本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. 5 D. 20 3. 某工厂生产甲、乙两种零件，其长度(单位:)分别服从正态分布和，已知甲零件的平均长度与乙零件相同，但甲零件数据的离散程度更大，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 过点 且与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 如图， 向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为时停止注水 (不考虑容器厚度)， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（ ） A. 2 B. C. D. 1 6. 在的展开式中，记项的系数为，其中，则所有满足的系数之和为（ ） A. 45 B. 60 C. 120 D. 210 7. 某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 过坐标原点可作曲线的切线条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 10. 已知函数 ，其中 ，则（ ） A. 函数 在 上不单调 B. 不等式 对 恒成立 C. 若函数 与直线 的图象有且仅有两个公共点，则 的取值范围是 D. 若关于 的不等式 恰有 1 个负整数解，则 的取值范围为 11. 已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. c的最大值为1 D. a的最小值为-1 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知数列满足，且，则_________． 13. 双曲线 上一点 到两焦点 的距离之和为 6，则 _____． 14. 函数 的最大值为，则在上的取值范围是_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，平面 ，， ，分别为棱的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面的夹角的大小. 16. 为研究学习时间与成绩的关系，记录5名学生的数学学习时间(小时)与模拟考成绩(分，满分 150) 如下: 2 4 6 8 10 w 58 72 80 90 100 设模拟考成绩与学习时间的回归模型为:，其中 .为计算简洁，现对数据进行中心化处理: 令，则回归模型化为. 记残差平方和. （1）根据最小二乘原理，要使最小(假设)，推导的估计量的表达式(写出关键步骤). （2）利用所给数据，求关于的经验回归方程，并还原为关于的方程. 预测时的成绩. 17. 已知与，点与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点， . （1）若平分，求的长； （2）若，求的值. 18. 已知函数． （1）证明：函数的图象为轴对称图形； （2）当时，证明：； （3）若数列满足：，证明： ． 19. 已知椭圆的长轴长为4，左焦点为，平面内一动点到点的距离与到直线的距离相等，过作的两条切线，切点分别为 . （1）求动点 的轨迹方程； （2）证明： （i） 平分 ； （ii）为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $