精品解析：重庆市第八中学校2026届高三下学期模拟预测数学试题

数学试题 一、共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是 符合题目要求的． 1. 若 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，  ，所以. 2. 已知集合 ，则 的子集个数是（ ） A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集的个数公式计算即可. 【详解】因为， 所以，有7个元素， 故子集个数为. 3. 为等比数列 的前 项和， ，对 ，甲： ；乙： ；则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】充分性：由  可得； 因此可知等比数列的各项均为正数，所以公比， 当时，满足，当时，满足，因此充分性不成立； 必要性：因为，若，可得等比数列为递增数列，且各项均为正数， 所以，因此，即必要性成立. 即可得甲是乙的必要不充分条件. 4. 设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. 5. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 【答案】C 【解析】 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 6. 函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点， 若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，得到的最大值为，最小值为，设的中点为，得到点和点都在轴上，由，得出，设的最小正周期为，列出关于的方程，求得，进而得到的值. 【详解】由函数，其中， 可得函数的最大值为，最小值为， 因为点为图象的最高点，可得，点为图象最低点，可得， 点是图象与轴的交点，可得， 设的中点为，因为和的纵坐标互为相反数，所以， 所以点和点都在轴上， 在中，因为，所以，且为的中点， 根据直角三角形的性质，可得， 过点分别作的平行线，交于点，则， 设函数的最小正周期为， 可得，， 因为，可得，解得，所以. 7. 在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析过，，三点的球体积最小时，球心为正三角形的中心，再求出球心到截面的距离，利用求截面圆半径即可得解. 【详解】由题意，是边长为4的正三角形，设过，，三点的球心为，半径为， 则球中过，，三点的截面圆圆心为的中心，截面圆的半径. 设球心到截面圆的距离为，则，要使球的体积最小，则最小， 当时，有最小值为，此时、重合，即球心为的中心， 如图，作出符合题意的图形， 设为正方形的中心，为的中点， 连接、、、，过作，交于点N， 则为正四棱锥的高，， 由知，平面，且， 即球心到截面的距离为， 所以截面圆的半径为， 所以球被平面所截截面的面积为. 8. 某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】确定随机变量的取值，分别计算每个取值的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】被抽到次数最多的礼品的抽中次数的可能取值为1，2，3，4. ：4次抽取中每个礼品都恰好被抽到1次，即4个礼品的排列， 故. ：4次都抽到同1个礼品，故. ：有1个礼品被抽到3次，另1个礼品被抽到1次，故. 所以. 故. 二、共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分． 9. 已知 ，若对都成立，下列说法正确的有（ ） A. B. 是的一个对称中心 C. 的最小正周期为 D. 先将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则得到的函数解析式为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据题意，计算的值；对于B，根据对称中心的概念计算即可；对于C，根据最小正周期公式计算即可；对于D，根据平移变换计算即可. 【详解】对于A，因为对都成立， 则， 则，且， 所以，, 所以，故A错误， 对于B，代入，得， 因此 是的一个对称中心，B正确 对于C，的最小正周期为， 的图象是将在x轴下方的部分翻折x轴上方，最小正周期变为原来的， 故的最小正周期为，C正确， 对于D，向左平移个单位长度得， 横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，则得，故D错误. 10. 已知，若，则下列选项正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 当时， C. 当时， D. 对任意的实数 ． 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数的单调性和极值点进行判断即可. 【详解】由得， 令得. 则时，递减； 时，，递增； 时，，递减. 选项A，有两个极值点（极小值点）和（极大值点），A正确； 选项B，当时，，在递增，递减， 最大值为，且时，故， 又，所以， 时，的取值范围是，即，B正确； 选项C，当时，，在单调递减，故， 所以，即，C错误； 选项D，对任意实数，当时的最大值为， 若，包含极大值点，， 又可知，当时，，故此时的最大值为，所以； 若，在递减，，故的最大值为0，所以， 因此所有，即，D正确. 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，， 是椭圆上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（ ） A. 的周长为 B. 若，则的最小值为 C. 满足是直角三角形的点有 8 个 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得的周长，判断A；根据两点间的距离公式，联立椭圆方程可得其最小值，判断B；分、、三种情况得到点个数，判断C；将看作是椭圆上的点与点连线的斜率，设直线的方程为，由直线与椭圆有交点，求得取值范围，从而得到的最大值，判断D. 【详解】 对于A：易知，，则. 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故A正确； 对于B：，. 当时，，故B错误； 对于C：易知，当或时，是直角三角形，此时点共有4个； 以为直径作圆，圆心为原点，半径，而椭圆上的点到原点距离的范围为， 故圆与椭圆有4个交点，结合圆的性质可知，此时满足条件的点有4个； 综上，满足是直角三角形的点有 8 个，故C正确； 对于D：可以看作是椭圆上的点与点连线的斜率. 设该直线的方程为. 联立，整理得， ， 由，得，即，解得. 所以的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知 的展开式中，只有 的系数最大，则 的系数和为_____． 【答案】256 【解析】 【详解】二项式  展开式的系数与该项的二项式系数相等， 则二项式  展开式中，只有  的二项式系数最大，而含的项是展开式的第5项， 于是该展开式共有9项，即，解得， 所以  的系数和为. 13. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，结合双曲线第一定义，再将所有边长关系转化到直角三角形中，化简求值即可 【详解】 如图，由题可知，，则， 又，，， 又， 作，可得，，则 在，，即， 又，化简可得，同除以，得 解得 双曲线的离心率为 【点睛】本题考查了利用双曲线的基本性质求解离心率的问题，利用双曲线的第一定义和中位线定理将所有边长关系转化到直角三角形中是解题关键，一般遇到此类题型，还是建议结合图形来进行求解，更直观更具体 14. 设 ，若对 ，则 _____． 【答案】24 【解析】 【详解】，， 代入，可得，即， 展开，可得， 即， 化简可得， 因为，当时，代入可得，恒成立， 当时，化简可得 代入，可得 即， 设函数， 因为是开口向上的二次函数，且，又要满足当时， 所以必须是函数的重根，即另一个根，解得， ，解得， 所以. 四、共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程 15. 某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值及订单处理量的第75百分位数； （2）假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）180 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求得a的值，结合百分位数的含义即可求得第75百分位数； （2）求出订单处理量在中的客服人数，根据超几何分布的概率计算可求 的分布列和数学期望 . 【小问1详解】 由题意得， 设订单处理量的第75百分位数为，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9， 则，，解得， 订单处理量的第75百分位数为180. 【小问2详解】 订单处理量在中的客服人数为，其中女性2人，男性8人， 表示抽取的女性人数，的可能取值为 ， ， ， 的分布列： 计算期望：. 16. 记为数列的前项和，已知 ． （1）求的通项公式； （2）记集合的元素的个数为 ，求数列的前项的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系求通项公式； （2）利用等差数列的前项和公式求解. 【小问1详解】 已知​ ①当时，②， ①②得，整理得，说明是常数列. 令，代入得； 令，得， 即，结合解得. 因此，即，验证满足条件和​，通项正确， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 将代入不等式得，整理为， 解得， 是该区间内正整数的个数， 当时，不等式无解，； 当时，仅满足，； 当（）时， 由分子有理化得， 而，即右端点落在之间， 因此满足不等式的正整数就是，一共个，即， 则前项和. 17. 已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． （1）求的方程； （2）过点作两条直线交于两点，交于两点，且． ①求证：为定值； ②求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由点在曲线上，求得，再由，利用抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可求解; （2）①设的斜率为，得到的斜率为，得到和的方程，联立方程组，利用弦长公式分别求得，代入运算，即可得证; ②由，化简，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由抛物线 , 可得焦点 , 准线为 , 因为点 , 可得 , 解得 , 又因为 , 由抛物线的定义, 可得 , 解得 ,所以抛物线 的方程为 . 【小问2详解】 ①由(1)知 , 由题可知直线 斜率均存在且不为 , 否则必有一条直线与抛物线 只有一个交点, 不符合题意. 设 的斜率为 , 因为 , 则 的斜率为 , 则 的方程为 , 联立方程组 整理得 , 设 , 则 , , 则 同理可得: , 所以 所以 为定值 . ②因为，所以四边形的面积为， 由①知：， 所以， 令，则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为288. 18. 已知函数，． （1）求证：为周期函数； （2）已知，若函数在上至少有个零点，求实数的取值范围； （3）记的最小值为，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）计算即可； （2）转化为研究在上的零点，分段研究再结合导数和零点存在性定理即可； （3）计算得，利用其单调性即可证明不等式. 【小问1详解】 为周期函数. 【小问2详解】 的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标乘即得的图象， 不妨先研究在上的零点， 显然当时，没有零点， 当时，没有零点， 当时，发现为的零点， ，，令， ， 故在上单调递增， 又， 由零点存在定理，存在唯一的， 使得，且上单调递减， 上单调递增， 在取最小值，由，故， 又，故在上还存在另一个零点，记为， 综上所述，在上有两个零点，分别为和. 由于，由于每个周期有2个零点，第201个零点为． 要使在上至少有201个零点， 只需，即． 【小问3详解】 由（2）知：，且， 故， . 令， 因为在上均单调递增， 则在上单调递增， 故，故， 又为的最小值，故， 综上所述，. 19. 若一个四面体三组对棱分别相等，我们称为 “等腰四面体”． 已知在等腰四面体 中， 分别为所在棱的中点，如图所示． （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求异面直线 与 所成的角的余弦值； （3）在空间直角坐标系 中， 平面内有椭圆 ，直线 与 交于 两点． 为空间中一点，若四面体 为等腰四面体，求其外接球表面积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理证平行四边形，由等腰四面体对棱相等得菱形，再证线线垂直推出线面垂直； （2）将等腰四面体补成长方体建立坐标系，用向量夹角公式求异面直线所成角的余弦值； （3）联立直线与椭圆方程，结合锐角条件求参数范围，换元后用二次函数单调性求外接球表面积范围. 【小问1详解】 连接，因为， 所以，四边形为平行四边形. 又，所以， 所以四边形为菱形，所以. 同理，四边形为菱形，， 又因为四边形为菱形，交于一点， 所以平面． 【小问2详解】 如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系， 设， 由于，则 联立三式，可解得：， 已知，，设和形成的夹角为 ，则异面直线和所成角的余弦值等于它们方向向量夹角余弦的绝对值： . 因此异面直线和所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知可将补成长方体，设长宽高分别设为， 则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，即， ，，则. 在平面内设，由，得， 显然， ， 于是， 所以. 在中，，则为锐角， 因此，即， ， 解得，又， 不妨令，则， ，所以． 因此外接球表面积的取值范围为. 【点睛】本题核心技巧为等腰四面体补形为长方体，可解决线面、异面角问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是 符合题目要求的． 1. 若 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 已知集合 ，则 的子集个数是（ ） A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 3. 为等比数列 的前 项和， ，对 ，甲： ；乙： ；则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 4. 设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 6. 函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点， 若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分． 9. 已知 ，若对都成立，下列说法正确的有（ ） A. B. 是的一个对称中心 C. 的最小正周期为 D. 先将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则得到的函数解析式为 10. 已知，若，则下列选项正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 当时， C. 当时， D. 对任意的实数 ． 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，， 是椭圆上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（ ） A. 的周长为 B. 若，则的最小值为 C. 满足是直角三角形的点有 8 个 D. 的最大值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知 的展开式中，只有 的系数最大，则 的系数和为_____． 13. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______. 14. 设 ，若对 ，则 _____． 四、共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程 15. 某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值及订单处理量的第75百分位数； （2）假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望． 16. 记为数列的前项和，已知 ． （1）求的通项公式； （2）记集合的元素的个数为 ，求数列的前项的和． 17. 已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． （1）求的方程； （2）过点作两条直线交于两点，交于两点，且． ①求证：为定值； ②求四边形面积的最小值． 18. 已知函数，． （1）求证：为周期函数； （2）已知，若函数在上至少有个零点，求实数的取值范围； （3）记的最小值为，求证：． 19. 若一个四面体三组对棱分别相等，我们称为 “等腰四面体”． 已知在等腰四面体 中， 分别为所在棱的中点，如图所示． （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求异面直线 与 所成的角的余弦值； （3）在空间直角坐标系 中， 平面内有椭圆 ，直线 与 交于 两点． 为空间中一点，若四面体 为等腰四面体，求其外接球表面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $