精品解析：陕西西安市曲江第一中学2025-2026学年下学期九年级数学大练习(4)

初2023级数学大练习（4） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 如果向东走记为，则向西走 可记为( ) A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一副三角板按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，是的平分线，点为延长线上一点，连接，若，，则长为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点 ，若点关于轴的对称点的坐标为，则的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 7. 如图，内接于，， ，点D在上，连接，与交于点E，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线（是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，随的增大而增大； ③关于的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 9. 比较大小：______（填“”，“”或“”）． 10. 如果一个正多边形的每个内角都等于，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作______条对角线． 11. 已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形 的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知，则的长为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上一点， 的坐标是，连接．若，，则的值为______． 13. 如图．在中， ，点 分别在上，连接．将沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则线段的长是______． 14. 如图，正方形的边长为 ，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_______． 三、解答题（共12小题，共计81分） 15. 计算： 16. 化简： 17. 解不等式组：． 18. 如图，在中， ，．请用尺规作图法，在线段上求作一点P，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，，平分， ，点在的延长线上，且．求证： ． 20. 陕西迎来不分文理的“”新高考，其中“3”为全国统考科目，即语文、数学、外语3门为必考科目；“1”为首选科目，考生从物理与历史2门学科中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门学科中自主选择2门，考生的文化总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择考科目成绩组成，总分750分． （1）在物理与历史2门首选科目中自主选择1门，恰好选到物理的概率是______； （2）小明的历史成绩很优异，首选科目为历史，现在还需从再选科目中任选两门，请用树状图或列表法求出该同学恰好选中生物和地理两科的概率． 21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的汽车．某新能源汽车有如下两种充电方式： 方式一：安装私人充电桩充电，安装费用为2000元，每充1度电需支付0.5元； 方式二：使用公共充电桩充电，每充1度电需支付1.5元． 设用方式一充电的总费用为（元），用方式二充电的总费用为（元），累计充电的度数为（度）． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）已知小李购买的这款新能源汽车1度电可以跑8公里，他计划1年内都在同一地方居住，若一年汽车行驶的总里程约12000公里，请你分析他这一年选择哪种充电方式更合算，并说明理由． 22. 2026年是“十五五”规划开局之年，全国两会在北京召开．某校八、九年级举办了“学习两会精神，争做好少年”的知识竞赛（共10题，每题10分，满分100分）．现分别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图，并分析数据得到分析表． 八、九年级所抽取学生成绩分析表 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 八年级 90 九年级 86 80 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中：______，______，在扇形统计图中，“90分”所在扇形的圆心角的度数为______ ； （2）求八年级所抽取学生的平均成绩； （3）若该校八年级共有800名学生参加此次竞赛，请估计八年级成绩不低于90分的学生人数． 23. 报本寺塔坐落在陕西省武功镇，东临漆水，西辅香山，依寺建塔，风景秀丽，为陕西名塔之一，小红想利用所学知识来测量报本寺塔（图1）的高度，测量方案如下：如图2，小红通过调整测角仪的位置，在塔周围的点C处用测角仪测得塔顶部A的仰角为53°（测角仪的高度忽略不计）．接着，在阳光下，小红沿着BC方向向前走30米（即米），到达塔在太阳光下的影子末端D处，在D处竖立一2米长的标杆DE，此时标杆DE在太阳光下的影长DF为3米．已知B、C、D、F四点在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，请结合以上数据求该塔的高度AB．（参考数据：，，） 24. 如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径长． 25. 小聪与小明在家属院打羽毛球时，不慎将羽毛球挂在了一棵树枝处（记为点 ），为取下羽毛球，小明准备用石子沿抛物线轨迹投掷，他把石子举到头顶上方，出手位置距地面1.8m，石子在距小明水平距离处达到最高点 ，最高点距水平地面约；以小明脚站立点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距原点的水平距离，是石子距水平地面的高度． （1）求石子运动轨迹的二次函数解析式． （2）测得羽毛球 到小明的水平距离是 ，羽毛球 距地面的高度约为 ，（1）中的二次函数图象与点 在同一平面内． ①小明此次投掷的石子能击中羽毛球吗？ ②若小明想让石子击中羽毛球，且保持抛物线形状和最大高度不变，他应如何水平调整位置？ 26. 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． 【特例感知】 （1）如图①，为半圆的直径， 为圆心，为半圆上的两点，若，则的值为______； 【类比迁移】 （2）如图②，在中，，，，点在直线的右侧，且满足，试探究线段最小值．聪明的小赵同学想到了方法：在上截取，以 为直径作，如图③所示，请聪明的你延续小赵同学的思路求出线段最小值． 【问题解决】 （3）如图④，有一块矩形型板材，米，米，由于工作需要，工人王师傅想在这块板材上找一点，裁出与 ，并满足，．请问王师傅的设想可以实现吗？如果可以，请帮他计算所裁得的的面积；如果不能，请说明你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2023级数学大练习（4） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 如果向东走记为，则向西走 可记为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东走记为正，可得向西走的表示方法． 【详解】解：若向东走2m记作+2m，则向西走3m记作-3m， 故选C． 【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：根据中心对称图形的定义逐项分析判断如下： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形（考虑颜色），不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 3. 将一副三角板按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键． 先由平行线的性质得到，再由三角形内角和为求出的度数，根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：如图， ， ． ． ． 故选：C． 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式的基本步骤计算即可，需注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变． 【详解】解：∵ 原不等式为 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得 ， ∴ 不等式的解集为． 5. 如图，在中，，，是的平分线，点为延长线上一点，连接，若，，则长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形的内角和定理和角平分线的性质求得，则，然后利用锐角三角函数求解和． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴，则， 在中，，， ∴， 在中，． 6. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，若点关于轴的对称点的坐标为，则的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先根据对称点性质求出点A坐标，再代入直线解析式求出参数b，得到点B坐标，最后根据直角三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点是点关于轴的对称点，关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴将代入解析式得 ， 解得 ，即直线解析式为 ， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴点坐标为， ∵为坐标原点，为直角三角形， ， ， ∴． 7. 如图，内接于，， ，点D在上，连接，与交于点E，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形的性质求出的度数，由圆周角定理得到的度数，由等腰三角形的性质求出的度数，由三角形外角的性质即可求出 的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 8. 已知抛物线（是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，随的增大而增大； ③关于的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线经过点结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③． 【详解】①∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴即， 故①结论正确； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大， 故②结论正确； ③∵，， ∴， 对于方程，即， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故③结论正确； 综上所述，正确结论的个数是3． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 9. 比较大小：______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据，可得． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 10. 如果一个正多边形的每个内角都等于，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作______条对角线． 【答案】9 【解析】 【分析】由正多边形的每个内角都等于，可得正多边形的边数，再根据从 边形的一个顶点出发可以作条对角线即可求解． 【详解】解：设正多边形的边数为 ， ∵正多边形的每个内角都等于， ∴， 解得， ∴从这个正多边形的一个顶点出发，可以作对角线的条数为． 11. 已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形 的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果．本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识；熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 【详解】解：∵如图正五边形 的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， 由正五边形可得， 由题意得，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是黄金三角形， ∴设 ， ∴ ∵黄金三角形的底与腰之比为， ∴在中， 即， 解得， 即， 五边形 是正五边形， ， ∴， ， ∵， ∴ ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上一点，的坐标是，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得 ，过A作轴于E，再利用等腰三角形的性质得到，然后解直角三角形得到，则，进而可求解． 【详解】解：∵的坐标是， ∴ ， 过A作轴于E，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵是反比例函数图象上一点， ∴． 13. 如图．在中， ，点 分别在上，连接．将沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则线段的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，得出，则，由折叠的性质得：，，，则，证出，则四边形是菱形，即可得，证出，则，​ 在中，由勾股定理求出，设，则，列方程求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，​  在中，由勾股定理得， 设，则， 则​， 解得：， ∴的长为． 14. 如图，正方形的边长为 ，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动， 将绕点旋转，使与 重合，得到， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 为等边三角形， ∴，， 点在垂直于 的直线上， 过点作， 则即为的最小值，过点作， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 则， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，正方形的性质，矩形的性质和判定，线段最值问题，解题的关键是：分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是最值问题中比较典型的类型． 三、解答题（共12小题，共计81分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，再计算加减即可求解． 【详解】解：原式． 16. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先求出两个不等式的解集，再找出两个不等式的公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式①得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 如图，在中， ，．请用尺规作图法，在线段上求作一点P，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点P即为所求作． 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线，交于点，则点P即为所求作．连接，则 ，可得 ， ，结合含30度角的直角三角形的性质可得 ，进而可得 ． 【详解】解：作线段的垂直平分线，交于点， 连接，由作图可知：垂直平分， ∴ ， ，， ， ． 在 中， ， ， ， ． 19. 如图，在中，，平分， ，点在的延长线上，且．求证： ． 【答案】 证明：∵平分， ， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理求出 ，进而可求、，证明，即可得出结论． 【详解】略 20. 陕西迎来不分文理的“”新高考，其中“3”为全国统考科目，即语文、数学、外语3门为必考科目；“1”为首选科目，考生从物理与历史2门学科中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门学科中自主选择2门，考生的文化总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择考科目成绩组成，总分750分． （1）在物理与历史2门首选科目中自主选择1门，恰好选到物理的概率是______； （2）小明的历史成绩很优异，首选科目为历史，现在还需从再选科目中任选两门，请用树状图或列表法求出该同学恰好选中生物和地理两科的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）总共有2种等可能的选择结果，选到物理的结果只有1种，代入公式即可得到结果； （2）本题用列举法列出所有等可能的选科结果，找出恰好选中生物和地理的结果数，再利用概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：首选科目共有物理、历史2种等可能的选择结果，其中恰好选到物理的结果有1种， 因此恰好选到物理的概率为； 【小问2详解】 解：从思想政治、地理、化学、生物4门学科中自主选择2门，画树状图如下： 共有12种等可能组合，恰好选中生物和地理两科的情况只有2种， ∴恰好选中生物和地理两科的概率是． 21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的汽车．某新能源汽车有如下两种充电方式： 方式一：安装私人充电桩充电，安装费用为2000元，每充1度电需支付0.5元； 方式二：使用公共充电桩充电，每充1度电需支付1.5元． 设用方式一充电的总费用为（元），用方式二充电的总费用为（元），累计充电的度数为（度）． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）已知小李购买的这款新能源汽车1度电可以跑8公里，他计划1年内都在同一地方居住，若一年汽车行驶的总里程约12000公里，请你分析他这一年选择哪种充电方式更合算，并说明理由． 【答案】（1）， （2）小李这一年选择方式二充电更合算 【解析】 【分析】（1）根据两种充电方式的费用规则，结合总费用计算方法列出对应函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）先根据行驶总里程求出一年的充电度数，再代入两个函数计算总费用，比较大小后得到更合算的方案． 【小问1详解】 解：根据两种充电方式的费用规则， 方式一总费用为固定安装费加上充电电费，得 ， 方式二总费用仅为充电电费，得； 【小问2详解】 解：小李这一年选择方式二充电更合算，理由如下： 计算小李一年的累计充电度数： 一年行驶总里程为12000公里，1度电可行驶8公里， ∴， 把分别代入两个函数关系式， 得（元）， 得（元）， ∵ ， ∴方式二的总费用更低， ∴小李这一年选择方式二充电更合算． 22. 2026年是“十五五”规划开局之年，全国两会在北京召开．某校八、九年级举办了“学习两会精神，争做好少年”的知识竞赛（共10题，每题10分，满分100分）．现分别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图，并分析数据得到分析表． 八、九年级所抽取学生成绩分析表 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 八年级 90 九年级 86 80 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中：______，______，在扇形统计图中，“90分”所在扇形的圆心角的度数为______ ； （2）求八年级所抽取学生的平均成绩； （3）若该校八年级共有800名学生参加此次竞赛，请估计八年级成绩不低于90分的学生人数． 【答案】（1）90，80，36 （2）86 （3）440 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的计算方法进行计算即可求出和的值，用乘以九年级90分学生所占百分比，即可求解； （2）根据平均数的计算方法进行计算即可求出的值； （3）用八年级参加比赛的总人数乘以八年级不低于90分学生所占比例，即可求解． 【小问1详解】 解：将八年级20人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数是90，90， ∴中位数， 由扇形统计图可得，九年级80分的人数最多， ∴ ， “90分”所在扇形的圆心角的度数为． 【小问2详解】 解：（分）， ∴八年级所抽取学生的平均成绩为86分． 【小问3详解】 解：（名）， ∴估计八年级成绩不低于90分的学生人数有440名． 23. 报本寺塔坐落在陕西省武功镇，东临漆水，西辅香山，依寺建塔，风景秀丽，为陕西名塔之一，小红想利用所学知识来测量报本寺塔（图1）的高度，测量方案如下：如图2，小红通过调整测角仪的位置，在塔周围的点C处用测角仪测得塔顶部A的仰角为53°（测角仪的高度忽略不计）．接着，在阳光下，小红沿着BC方向向前走30米（即米），到达塔在太阳光下的影子末端D处，在D处竖立一2米长的标杆DE，此时标杆DE在太阳光下的影长DF为3米．已知B、C、D、F四点在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，请结合以上数据求该塔的高度AB．（参考数据：，，） 【答案】该塔的高度AB为40米 【解析】 【分析】设该塔的高度AB为x米，因为，利用锐角三角函数得到BC，根据垂直，得到，利用太阳光线是平行光线，得到，即可证明△EDF∽△ABD，再利用相似三角形对应线段成比例，列出方程，求解即可． 【详解】解：设该塔的高度AB为x米． ∵，， ∴， ∵， ∴． ∵太阳光线是平行光线， ∴， ∴△EDF∽△ABD， ∴， ∴， 解得： ． 答：该塔的高度AB为40米． 【点睛】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质．解题的关键在于证明三角形相似得到对应线段成比例，利用方程的思想求解． 24. 如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径长． 【答案】（1）证明： ． ， ． 即 ． 又∵为半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出 ，即即可得证； （2）连接，易得，直径得到在 中，勾股定理求出的长，三角函数求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ∴． 是直径， ． 在 中，． ． 又是直径 的半径长为． 25. 小聪与小明在家属院打羽毛球时，不慎将羽毛球挂在了一棵树枝处（记为点），为取下羽毛球，小明准备用石子沿抛物线轨迹投掷，他把石子举到头顶上方，出手位置距地面1.8m，石子在距小明水平距离处达到最高点，最高点距水平地面约；以小明脚站立点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距原点的水平距离，是石子距水平地面的高度． （1）求石子运动轨迹的二次函数解析式． （2）测得羽毛球到小明的水平距离是 ，羽毛球距地面的高度约为 ，（1）中的二次函数图象与点在同一平面内． ①小明此次投掷的石子能击中羽毛球吗？ ②若小明想让石子击中羽毛球，且保持抛物线形状和最大高度不变，他应如何水平调整位置？ 【答案】（1） （2）①不能；②小明应该后退米或前进米 【解析】 【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法进行求解即可； （2）①求出 时的函数值，进行判断即可；②设出新的解析式，待定系数法求出函数解析式，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过点， 设抛物线的解析式为，把点，代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴当 时，， ∵， ∴小明此次投掷的石子不能击中羽毛球； ②设新的抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得或， ∵，， ∴小明应该后退米或前进米． 26. 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． 【特例感知】 （1）如图①，为半圆的直径，为圆心，为半圆上的两点，若，则的值为______； 【类比迁移】 （2）如图②，在中，，，，点在直线的右侧，且满足，试探究线段最小值．聪明的小赵同学想到了方法：在上截取，以 为直径作，如图③所示，请聪明的你延续小赵同学的思路求出线段最小值． 【问题解决】 （3）如图④，有一块矩形型板材，米，米，由于工作需要，工人王师傅想在这块板材上找一点，裁出与 ，并满足，．请问王师傅的设想可以实现吗？如果可以，请帮他计算所裁得的的面积；如果不能，请说明你的理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，7 【解析】 【分析】（1）利用半圆直径所对圆周角为直角，得到，再依据同弧所对圆周角相等，将转化为，结合三角函数定义求解． （2）根据的条件，构造以特定线段为直径的圆，利用圆的性质确定点的轨迹，再通过相似三角形、勾股定理等知识求出的最小值． （3）先根据三角形面积比推出 平分，再构造圆确定点的位置，最后借助三角函数、三角形面积公式等计算 的面积，判断设想是否可实现． 【小问1详解】 解：∵是直径， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：在上截取，以为直径作， ∵， ∴过点，， 连接交于，连接 、 ，则， ∴，此时取最小值， 过点作 于，则 ， ∴， ∴，即， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 即线段最小值为； 【小问3详解】 解：存在． 理由：在上取一点，使得，连接，以为直径作，作 的平分线交于点，即可实现设想 ∵， ∴当点在上，且在直线的右边时，满足条件， 过点作于点， 于点，延长 交于点． ∵，， 又∵， ∴， ∴ 平分 ， ∴， 过点作于 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质（直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等 ）、三角函数的定义与应用、三角形面积计算、相似三角形判定与性质以及最值问题求解．解题关键在于准确“化隐圆为显圆”，即根据已知条件构造合适的圆，将分散的几何条件集中到圆上，利用圆的性质和相关几何知识解决问题，同时要灵活运用三角函数、三角形面积公式等知识进行计算和推理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $