3.4乘法公式 同步练习题 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

2025-2026学年浙教版七年级数学下册《3.4乘法公式》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则代数式为（   ） A． B． C． D． 4．若，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图是用个全等的长方形拼成的一个大正方形，利用不同的方法计算此正方形的面积，写出一个代数恒等式，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．某校组织了班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，她先设计了一个正方形的班徽图形，修改时将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，修改后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少了 C．增加了 D．增加了 7．有如图所示的类，类和类卡片各张，从中取出若干卡片，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（无空隙，无重叠拼接），则拼成正方形的边长最长的可以为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知，则________． 9．已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值是______． 10．如果，那么代数式的值是_______． 11．如果，那么的值为______． 12．计算：_______． 13．已知，那么______． 14．如图，有正方形，现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为． （1）正方形和的面积和是___________； （2）图2中新的正方形的边长是___________． 三、解答题 15．利用乘法公式进行计算： (1) (2) 16．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 17．某学校为了提高学生的实践能力和综合运用知识的能力，计划在其实验基地建立如图所示的种植园．图中阴影部分设计为种植园，该长方形场地的长为，宽为，中间是边长为的正方形空地． (1)用含，的代数式表示该种植园（阴影部分）的面积并化简； (2)学校组织学生种植作物，若，，每平方米的种植成本是40元，则完成种植共需多少元？ 18．计算： (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上： ； ； ； (2)观察以上三个多项式的系数，有，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系： ①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： ； ②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值． 19．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 20．在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨． (1)若，，求的值； (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值”． 解：设，，则，，这样就可以利用（1）的方法进行求值了． ①若满足，则________； ②若满足，求的值； ③如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为24，求图中阴影部分的面积． (3) 参考答案 1．C 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 根据平方差的结构特点判断即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式的结构特点，不符合题意； B、，不符合平方差公式的结构特点，不符合题意； C、，符合平方差公式的结构特点，符合题意； D、，不符合平方差公式的结构特点，不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 根据平方差公式的结构特征，需将原式变形为相同两项的和与差相乘的形式，即，从而判断正确选项． 【详解】解：∵ 平方差公式要求形式为，   ∴． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将题中等式变形为，利用完全平方公式进行运算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，代数式的恒等变形与大小比较，掌握完全平方公式，平方差公式特征是解题关键． 通过完全平方公式和平方差公式，将和的表达式变形，然后比较两者关系． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故选：． 5．A 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是根据不同的面积计算方式表示出大正方形的面积． 根据不同的面积计算方式表示出大正方形的面积即可得解． 【详解】解：该正方形边长为， 则面积为， 大正方形由个全等的长为，宽为的长方形及一个边长为的正方形组成， 则面积为， 即． 故选：． 6．B 【分析】本题考查平方差公式和整式加减的应用，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式分别表示改造前后图形的面积，再列式求前后的面积差即可． 【详解】解：设原正方形边长为， ∵原面积， 修改后，一组对边各增加，另一组对边各减少， ∴修改后图形为矩形，长和宽分别为和， 修改后面积， ∴， 故修改后的面积减少了， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用． 由已知可得所有卡片的面积总和，从而可得拼成正方形的所有可能边长，进行比较即可． 【详解】解：4张类卡片的面积为， 4张类卡片的面积为， 4张类卡片的面积为， ∴所有卡片的面积总和为， ∴拼成的正方形的边长可能为，或，或， ∵， ∴， ∴拼成正方形的边长最长的可以为． 故选：B． 8． 【分析】本题考查利用平方差公式计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据等式的结构特点，将等式的右边变形为，利用平方差公式即可确定m、n的值，得出结果． 【详解】解：， ∴， ∴ 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了完全平方公式的结构特征，解题关键是根据完全平方公式的形式对比多项式，确定中间项的系数关系． 将多项式与完全平方公式对比，确定的值，再通过中间项系数关系求出即可． 【详解】关于的多项式是一个完全平方式， ， ， ． 故答案为． 10．25 【分析】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键． 由已知条件得到，将代数式利用平方差公式分解为 ，然后代入 ，化简计算即可． 【详解】由 ，得 ， 原式， 代入，得 ． 故答案为：25． 11．6 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是先化简代数式，再利用已知条件整体代入求值． 先将代数式化简，再把已知条件整体代入化简后的式子计算． 【详解】解：化简原式： ， 已知，代入得： ． 故答案为：6． 12． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，把看成，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．17 【分析】本题考查了平方差公式的应用，求代数式的值，利用换元法，设，将原方程转化为关于的方程，进而求解的值，即可得解，正确利用换元法是解此题的关键． 【详解】解：设，则， 代入原方程可得， 整理得：， ∴， ∴，即， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查代数式相关运算及几何图形关系，数形结合，由图形面积列式表示是解决问题的关键． （1）设正方形的边长为、正方形的边长为，由阴影部分面积为求出边长，从而得到，再由阴影部分面积为得到，最后由即可得到答案； （2）由（1）知，，，将代入得，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）设正方形的边长为、正方形的边长为， 图1中阴影部分的面积为， 其边长为， 则， ； 图2中阴影部分的面积为， ， 则； 正方形和的面积和是， 故答案为：； （2）由（1）知，，， 将代入得， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， ， 图2中新的正方形的边长是， 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的应用，解题的关键是准确识别公式结构并正确运用公式展开计算． （1）利用完全平方公式展开，利用平方差公式展开，去括号后合并同类项； （2）将看作整体，利用平方差公式展开，再利用完全平方公式展开并整理． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．(1)，14 (2)， 【分析】本题主要考查完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项，最后将的值代入计算即可； （2）先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项，最后将、的值代入计算，计算时可利用积的乘方逆运算进行简便运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解：原式 ． 当，时， 原式 ． 17．(1) (2)116000元 【分析】本题考查的是整式的乘法与图形面积，求解代数式的值. （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去正方形的面积可得答案. （2）把，代入（1）中的代数式求解面积，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设阴影部分的面积为，由图可知： ． （2）解：当，时， ∴（元）． 答：完成种植共需116000元． 18．(1)，， (2)①；② 【分析】此题考查了完全平方式，列代数式，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）利用完全平方公式分解即可； （2）①观察各式的特征，得到，，之间的关系即可；②根据（2）①得出的三者之间的关系列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】（1）解:：； ； ； 故答案为：，，； （2）①若多项式是完全平方式，则实数系数，，一定存在某种关系为； 故答案为：； ②∵多项式是一个完全平方式， ∴， 解得：． 19．(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 20．(1)68 (2)①52；②60；③64 【分析】本题主要考查了完全平方公式和几何图形的结合，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）①设，则，，利用完全平方公式进行求解即可； ②设，，利用完全平方公式进行求解即可； ③设，，则，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：①设，则，， ， 故答案为：52； ②设，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； ③由题意得， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $