专题29 图形的旋转-2026年中考数学第一轮复习

专题29 图形的旋转 图形的旋转是中考数学几何模块的核心内容之一，也是连接全等、相似、函数与几何综合的重要纽带。 考点 ①旋转的定义、性质、旋转对称图形 ②旋转在坐标变换、线段关系、最值问题、面积计算和二次函数综合中的应用。 考情 题型覆盖选择题、填空题、解答题，分值占比约8~12分；基础题侧重旋转性质的直接应用（如角度、线段长度计算），中档题聚焦旋转与全等、相似的结合（如构造旋转全等解决线段关系），难题多为旋转与二次函数、最值问题的综合（如旋转后点的轨迹、线段最值求解）。核心考查学生的逻辑推理能力、数形结合思想和动手构造能力。 一、旋转的基本概念与性质 1. 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点（旋转中心）按某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度（旋转角），这样的图形运动叫做旋转。 2. 核心要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 3. 性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等（旋转中心到任意一组对应点的距离相等）； （2）对应线段相等，对应角相等； （3）旋转前后图形的形状和大小不变（全等变换）； （4）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 二、旋转对称图形 1. 定义：把一个图形绕着某一定点旋转一定角度（小于360°）后，能与自身重合的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 2. 常见图形：正三角形（最小旋转角60°）、正方形（最小旋转角90°）、正n边形（最小旋转角）、圆形（任意角度旋转都重合）。 三、推论 1. 旋转前后，图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角（或其补角）； 2. 若两个图形关于某点成中心对称，则该点是对应点连线的中点（中心对称是旋转角为180°的特殊旋转）； 3. 旋转构造全等：将图形绕某点旋转一定角度后，能构造出全等三角形，进而转化线段或角度关系（如“半角模型”“手拉手模型”）； 4. 旋转中的轨迹：若一个点绕定点旋转，则其轨迹是圆（半径为该点到旋转中心的距离，圆心为旋转中心）； 5. 旋转与最值：利用旋转将分散的线段集中，结合“两点之间线段最短”“点到圆的距离最值”求解（如旋转后线段之和最小、之差最大）。 四、常见旋转模型 1. 手拉手模型：两个等腰三角形共顶点，将其中一个绕顶点旋转，对应边形成的“拉手线”相等，且夹角等于等腰三角形的顶角； 2. 半角模型：在正方形、等腰直角三角形等图形中，存在一个角是另一个角的一半，通过旋转可将分散的线段集中（如正方形中∠MAN=45°，旋转△ADM至△ABE，得MN=DM+BN）； 3. 旋转全等模型：将线段或三角形绕某点旋转，使已知线段重合，构造全等三角形求解未知线段或角度。 五、【核心解题策略】 1. 抓旋转性质：遇到旋转问题，先明确旋转中心、旋转角，利用“对应边相等、对应角相等、对应点到旋转中心距离相等”转化条件； 2. 构全等模型：涉及线段关系或角度计算时，常用旋转构造全等三角形（如手拉手、半角模型），将分散条件集中； 3. 定轨迹求最值：旋转中动点的轨迹多为圆，利用“点到圆的距离最值”（最大值=圆心距+半径，最小值=圆心距−半径）求解； 4. 结合坐标变换：平面直角坐标系中，旋转的坐标规律是解题关键（如绕原点逆时针旋转90°：）； 5. 综合题突破：旋转与二次函数结合时，先利用旋转性质表示出点的坐标，再代入函数解析式求解，注意分类讨论旋转方向和位置。 考点1 旋转的基本性质与旋转对称图形 例1．（2026·广西南宁·二模）以点O为旋转中心将逆时针旋转作出如图所示的图案，旋转角的度数为（　　） A．45 B．60 C．90 D．135 考点2 旋转与坐标变换 例2．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，边长为的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴的负半轴上，顶点在轴正半轴上．将正六边形绕坐标原点按逆时针方向旋转，则旋转后顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 考点3 旋转与线段关系 例3．（25-26八年级上·福建泉州·月考）在△ABC中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 考点4 旋转与最值问题 例4．（2026·江苏徐州·一模）如图，在△ABC中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 考点5 旋转与二次函数综合 例5．（2026·吉林·一模）如图；抛物线经过两点．点在轴上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，当点在抛物线上时，求的值． (3)将绕点顺时针旋转得到． ①当线段与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． ②当抛物线在内的部分（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出的值． 一、单选题 1．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将△ABC绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 6．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 10．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 11．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（2025·陕西·中考真题）如图，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 13．（2025·四川南充·中考真题）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 14．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是______． 15．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 16．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为__________． 17．（2025·四川达州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 18．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________． 19．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是_________． 20．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 三、解答题 21．（2025·四川凉山·中考真题）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 22．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 23．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 24．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 25．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为． (1)将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 26．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下： (1)若时， 如图①，点D在延长线上时，易证：； 如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由． (2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． 27．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 28．（2025·北京·中考真题）在△ABC中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 29．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 30．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． (1)求的值； (2)若，求点坐标； (3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 31．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在△ABC中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 32．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 34．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 35．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 36．（2025·江西·中考真题）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 37．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，△ABC中，，，在△ABC内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； (4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________． 38．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为________； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； (4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 39．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在△ABC与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 40．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 41．（2025·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的3个4格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． (1)如图1，是格点，先将点绕点逆时针旋转，画对应点，再画直线交于点，使直线平分矩形的面积． (2)如图2，先画点关于直线的对称点，再画射线交于点，使． 42．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 43．（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？ 变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮． ［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等． （1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____． （2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿． 若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？ ［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）． 44．（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． “变换” 研究内容 提出概念 已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点． 理解概念 已知点，，求点的“变换”点． 探究性质 如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） 运用性质 如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 45．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 46．（2025·湖北·中考真题）在△ABC中，，将△ABC绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的长； (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 47．（2025·宁夏·中考真题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的△ADE绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． 48．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E． (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． 49．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将△BPQ绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 50．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 51．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，△ABC中，，请作出△ABC的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题29图形的旋转 考点解读 图形的旋转是中考数学几何模块的核心内容之一，也是连接全等、相似、函数与几何综合的重要纽带。 考点 ①旋转的定义、性质、旋转对称图形 ②旋转在坐标变换、线段关系、最值问题、面积计算和二次函数综合中的应用。 考情 题型覆盖选择题、填空题、解答题，分值占比约812分；基础题侧重旋转性质的直接应用（如角度、 线段长度计算)，中档题聚焦旋转与全等、相似的结合（如构造旋转全等解决线段关系），难题多为旋转与 二次函数、最值问题的综合（如旋转后点的轨迹、线段最值求解）。核心考查学生的逻辑推理能力、数形 结合思想和动手构造能力。 知识梳理 一、旋转的基本概念与性质 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点（旋转中心）按某个方向（顺时针或逆时针） 转动一个角度（旋转角），这样的图形运动叫做旋转。 2.核心要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 3.性质： (1)对应点到旋转中心的距离相等（旋转中心到任意一组对应点的距离相等）： (2)对应线段相等，对应角相等； (3)旋转前后图形的形状和大小不变（全等变换）： (4)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 二、旋转对称图形 1.定义：把一个图形绕着某一定点旋转一定角度（小于360°）后，能与自身重合的图形叫做旋转对 称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 2.常见图形：正三角形（最小旋转角60°)、正方形（最小旋转角90°)、正n边形（最小旋转角 60)、圆形（任意角度旋转都重合）。 三、推论 1.旋转前后，图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角（或其补角）： 2.若两个图形关于某点成中心对称，则该点是对应点连线的中点（中心对称是旋转角为180°的特殊 旋转) 3.旋转构造全等：将图形绕某点旋转一定角度后，能构造出全等三角形，进而转化线段或角度关系 (如“半角模型”“手拉手模型”)： 4.旋转中的轨迹：若一个点绕定点旋转，则其轨迹是圆（半径为该点到旋转中心的距离，圆心为旋 转中心)： 5.旋转与最值：利用旋转将分散的线段集中，结合“两点之间线段最短”“点到圆的距离最值”求解 (如旋转后线段之和最小、之差最大)。 四、常见旋转模型 1.手拉手模型：两个等腰三角形共顶点，将其中一个绕顶点旋转，对应边形成的“拉手线”相等， 且夹角等于等腰三角形的顶角： 2.半角模型：在正方形、等腰直角三角形等图形中，存在一个角是另一个角的一半，通过旋转可将 分散的线段集中（如正方形中∠MAN=45°，旋转△ADM至△ABE,得MN=DM+BN); 3.旋转全等模型：将线段或三角形绕某点旋转，使已知线段重合，构造全等三角形求解未知线段或 角度。 五、【核心解题策略】 1.抓旋转性质：遇到旋转问题，先明确旋转中心、旋转角，利用“对应边相等、对应角相等、对应 点到旋转中心距离相等”转化条件： 2.构全等模型：涉及线段关系或角度计算时，常用旋转构造全等三角形（如手拉手、半角模型），将 分散条件集中： 3.定轨迹求最值：旋转中动点的轨迹多为圆，利用“点到圆的距离最值”（最大值=圆心距+半径，最 小值=圆心距-半径)求解； 4.结合坐标变换：平面直角坐标系中，旋转的坐标规律是解题关键（如绕原点逆时针旋转90°： (xy)→(yx)): 5.综合题突破：旋转与二次函数结合时，先利用旋转性质表示出点的坐标，再代入函数解析式求解， 注意分类讨论旋转方向和位置。 例题精讲 考点1旋转的基本性质与旋转对称图形 例1.(2026·广西南宁·二模)以点0为旋转中心将 逆时针旋转作出如图所示的图案，旋转角 的度数为() A.45 B.60 C.90 D.135 【答案】C 【分析】图案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋 转90度的整数倍，就可以与自身重合. 【详解】解：该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为90°. 考点2旋转与坐标变换 例2.(25-26九年级下·四川绵阳·期中)如图，边长为2的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中， 边AF在x轴的负半轴上，顶点B在y轴正半轴上.将正六边形ABCDEF绕坐标原点O按逆时针方向旋转 90°，则旋转后顶点D的坐标为() A.（-3,-25 B.（-25,-3 c.(3,-23 D.(25,-3 【答案】B 【分析】如图，连接AD,DF,首先确定点D的坐标，再根据绕坐标原点O逆时针方向旋转90°的特点求 解. 【详解】解：如图，连接AD,DF. 在正六边形ABCDEF中，AF=AB=EF=ED=2,∠AFE=∠FED=∠FAB=120°， ∴.∠EFD=∠EDF=30°，∠EDA=∠FAD=60°， .∠DFA=90°，∠FDA=30°， ∴.AD=2AF=4, ∴.FD=VAD2-AF2=V42-22=23, ,∠0AB=180°-∠FAB=60°， .∠AB0=90°-∠BA0=30°， :.0A=-AB=1, ∴.0F=0A+AF=1+2=3, D-325, :将正六边形ABCDEF绕原点O旋转90°，则旋转后顶点D的坐标为(-2√3，-3). 考点3旋转与线段关系 例3.(25-26八年级上·福建泉州·月考)在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点E,F在AB边上， ∠ECF=45°.若AE=10,EF=15,则BF的长为() B A.9 B.5V5 C.10 D.10W2 【答案】B 【分析】解题的核心思路是旋转构造，将CE绕点C顺时针旋转90°至CG,连接GB、GF,首先利用SAS 证明aACE≌△BCG,从而得到AE=BG,并推导出∠FBG=90°，再证明△ECF≌△GCF,得到EF=GF. 这样，在RtAFBG中，由勾股定理得GF=BG+BF□，即EF☐=AE口+BFO.最后代入已知数值 AE=1O,EF=15,即可求出BF的长度. 【详解】解：如图， B G 将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG,连接GB、GF. 由旋转可知，∠ECG=90°，且CE=CG. ∴.LECA=LBCG. 在△ACE与△BCG中， AC=BC,ZACE=ZBCG,CE =CG, ∴.△ACE≌ABCG(SAS). ∴.∠A=∠CBG,AE=BG. ,△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB, .∠A=∠ABC=45°. .∠CBG=45. ∴.∠FBG=∠ABC+∠CBG=90°. 在RtAFBG中，由勾股定理得：FG=BG+BF2. 又∠ECF=45°， .∠FCG=∠ECG-∠ECF=45. 在△ECF与aGCF中， ,CE=CG,∠ECF=∠FCG,CF=CF, .∴.△ECF≌AGCF(SAS). .EF =GF .'EF2=AE2+BF2,EF2=AE2+BF2. 已知AE=10,EF=15, 代入得：152=102+BF2. 解得：BF=V52-102=5V5. 故选：B. 【点睛】本题考查旋转法构造全等三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理 解题的关键是成功构造旋转全等(aACE≌△BCG),并利用45°角证明第二次全等(aECF≌△GCF),从而将 EF转移到GF. 考点4旋转与最值问题 例4.(2026·江苏徐州·一模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=8,P是线段BC外一动点， BP=6,连接CP,将线段CP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP,连接BD,则BD的长最大值为 【答案】6√2+8/8+6√2 【分析】连接AD,CD,根据三角形的三边关系得出当点D在BA的延长线时，BD的长度取得最大值，证 明aBCP∽△ACD,，得出AD=6√5，即可求解. 【详解】解：如图，连接AD,CD, :BD≤AB+AD, .当点D在BA的延长线时，BD的长度取得最大值， 由题意得，△ABC、aCDP均为等腰直角三角形， ∴.LACB=∠DCP=45°， ∴.∠ACB-∠ACP=∠DCP-∠ACP, 即∠PCB=∠DCA, AC=2,cos∠DCP=PC=2 :cos∠ACB=8C-V2 CD 2 ac Pc AC CD ∴.△BCPm△ACD, BP=BC AD AC 2 BP=6, .AD=6√2， AB=BC=8, .BD的长最大值为6√2+8. 考点5旋转与二次函数综合 例5.(2026·吉林·一模)如图：抛物线y=x+bx+c经过A0,-4),B-4,0)两点.点P在X轴上，其 2 横坐标为m. 备用图 (1)求此抛物线的解析式. (2)将坐标原点O绕点P顺时针旋转90°得到点O,当点O在抛物线上时，求m的值. (3)将△0AB绕点P顺时针旋转90°得到△OAB. ①当线段O'A'与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围 ②当抛物线在△OAB内的部分（包括边界)的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出 m的值。 【答案】（①）y=2+x-4:②)m=士22：3)0-22≤m≤0或22≤m≤8，②m=-2或m=-1-V5或 m=6或m=2√5 【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可； (2)分点P在x轴负半轴上和点P在x轴正半轴两种情况，进行讨论求解即可； (3)①求出旋转后点的坐标，进而求出点在抛物线上时m的值，结合点O在抛物线上时，点m的值， 即可得出结果；②分-2√2≤m≤0或2√2≤m≤8两种情况，画出图形，确定最高点和最低点的纵坐标，即 可得出结果 【详解】1解：把40，-4,8(-4,0代入y方+c+c,得： c=-4 =4 16-46+c=0'解得 b=1 2 y=2+-4: (2)解：由题意，P(m,0), ①当点P在x轴负半轴上时，则OP=-m, 由旋转可得0'P=0P=-m,∠0P0'=90°，点O在第三象限， .0'm,m, :)m+m-4=m,解得m=25(舍去)或m=-22: ②当点P在x轴正半轴上时，则0P=m, 由旋转可得0'P=0P=m,∠0P0'=90°，点O在第一象限， ∴.0'm,m, 2+-4=m,解得-25或m=-2反（含去为 综上：m=±2√2； (3)解：①.A0,-4),B-4,0, ∴.0A=0B=4,∠A0B=90° 由旋转可得，O'A'=0A=4,O'A'∥x轴，OB∥y轴，点A在点O的左侧，点B在点O上方， 由(2)可知，点O的坐标为m,m),当点O在抛物线上时，m=±2√2， .A'(m-4,m,B'（m,m+4, 当点4m-4,m)在抛物线上时，则m-4+m-4-4=m, 解得m=0或m=8, ∴.当线段0'A'与抛物线有公共点时，-2√5≤m≤0或2√2≤m≤8； ②由①可知：B'(m,m+4),A'(m-4,m, 设直线AB'的解析式为y=x+n, 则m-4到k+n=m k=1 (mk+n=m+4，解得 n=41 .直线AB的解析式为y=x+4, y=x+4 x=-4 x=4 联立 少x+x-4解得 得=0或少=8 ∴.抛物线与直线A'B的交点为B(-4,0)和(4,8)； 当-2√2≤m≤0时，如图，抛物线在AOAB内的部分的最高点为点B,最低点的部分在边O'A'上或边O'B' 上， ∴.最低点的纵坐标为-2， 当最低点在边O'A上时，m=-2; 当最低点在边0'B上，则三x2+x-4=-2,解得x=-1-√5或x=√5-1（舍去）： .m=-1-√5； 当2√2≤m≤8时，当抛物线在△OAB内的部分的最高点在AB'上，即点(4,8)，最低点的部分在边O'A'上 时，如图， ∴.此时最高点的纵坐标为8， ∴.最低点的纵坐标为8-2=6，即m=6; 当抛物线在OAB内的部分的最高点在O'B'上，最低点的部分在边O'A'上时，如图， 则最高点的纵坐标为)m+m-4,最低点的纵坐标为m, 2m2+m-4-m=2, 解得m=25或m=-2√5（舍去） 综上：m=-2或m=-1-√5或m=6或m=25. 题型突破 一、单选题 1.(2025·吉林·中考真题)如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能.图中的三 个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为() A.90° B.120° C.150° D.180° 【答案】B 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图 形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可. 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为360°÷3=120°， ∴.该叶片图案绕中心至少旋转120°后能与原来的图案重合， .角0的大小可以为120°， 故选：B. 2.(2025·江苏南通·中考真题)在平面直角坐标系x0y中，将点A(3,1)绕原点0逆时针旋转90°，得到 点B,则点B的坐标为() A.(3,-1 B.-1,3 C.(1,-3) D.-3,1 【答案】B 【分析】利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律来求解点B的坐标.本题主要考 查了平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换，熟练掌握坐标变换规律是解题的关键， 【详解】解：设点Ax,y)绕原点O逆时针旋转90°后的点为B(x,y),则x=-y,y=x. ,A3,1,即x=3,y=1. .x=-1,y=3, :点B的坐标为-1,3)，故选：B 3.(2025·四川攀枝花·中考真题)已知直角坐标系x0y,点A在该坐标系中的坐标为(-1,2)，现将直角 坐标系xOy绕点O按逆时针方向旋转90到xOy'的位置，则点A在新坐标系xOy'中的坐标为() A.(-1,2) B.(2,1) C.(2-1) D.(-2,-1) 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转，点的坐标；根据题意得到点A在新坐标系xOy中的第一象限，且与原来横 纵坐标互换，均为正数，即可求出 【详解】解：将直角坐标系x0y绕点O按逆时针方向旋转90到xOy的位置， ∴.此时点A在新坐标系xOy中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数， ∴.点A在新坐标系xOy中的坐标为(2，)， 故选：B 4.(2025·四川自贡·中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y 轴上.B(0,-2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°.得到正方形A'B'CD'.则点D的坐标为()