精品解析：2026年湖南省娄底市涟源市九年级一模数学质量检测

2026年涟源市初三一模数学质量检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比-2小的数是-3． 【详解】∵|-3|=3，|-1|=1， 又0＜1＜2＜3， ∴-3＜-2， 所以，所给出的四个数中比-2小的数是-3， 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小． 2. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我国四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：根据轴对称图形的概念知，D选项中文字上方的图案是轴对称图形． 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，计算正确； 选项B：，计算正确； 选项C：，计算错误； 选项D：，计算正确． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为：, 解集在数轴上表示如下： ． 5. 七巧板是中国古代劳动人民智慧的结晶，、世纪流传到海外，被欧洲人称为“唐图”（意思是来自中国的拼图）．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知点A、C的坐标确定平面直角坐标系的单位长度与原点位置，再结合图形中B点的相对位置得出点B的坐标． 【详解】解：根据点，点，建立平面直角坐标系如图所示． 点的坐标为． 6. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解． 【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴数字有个，数字有2个，则数字只有个 选项A中数字有2个，符合题意 故选：A． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，代入系数计算即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，是反比例函数解析式，且， 只有B选项符合题意； 故选：B． 9. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点．下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得到、，再结合作图步骤得出、是的角平分线且垂直平分，进而判断为等边三角形，最后利用等腰三角形三线合一、平行线性质、含角的直角三角形性质逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， 由作图可知：，平分， ∴为等边三角形， ∴垂直平分， ∴，故①正确； ∴，，故②正确； ∵， ∴， 在中，，， ∴，故③正确； 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，①②③④均正确． 10. 如图，在中，，，点D是的中点，点E在上．若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用直角三角形斜边中线定理得出，作边上的高，利用等腰三角形三线合一性质及勾股定理，将转化为，进而求解． 【详解】解：连接，过点作于点，  ，是的中点，，   ， ， 在中， ， 在中， ，  ，  ， ， 又 ， ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，直线c与直线a、b都相交．若，，则______°． 【答案】56 【解析】 【分析】利用对顶角将转换到直线b的上方，再利用同位角相等求解． 【详解】解：如图，设直线b与直线c相交形成的角中，与互为对顶角的角为， ∴， ∵， ∴， 即． 13. 如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形按此规律，第2026个图案中有___________个正三角形． 【答案】8106 【解析】 【分析】通过观察前三个图案中正三角形的个数，发现后一个图案比前一个图案多4个正三角形，从而归纳出第n个图案中正三角形个数为，最后将代入计算即可． 【详解】解：第1个图案中正三角形的个数为， 第2个图案中正三角形的个数为， 第3个图案中正三角形的个数为， 依次类推， 第个图案中正三角形的个数为， 因此，第2026个图案中正三角形的个数为． 14. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是______． 【答案】9小时 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，根据中位数的定义可知将40位同学锻炼时间从小到大排序后，第20位同学和第21位同学的平均数即是中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列后，第20位同学和第21位同学的平均数为（小时），即中位数为9小时， 故答案为：9小时． 15. 如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为_______．(结果保留根号和) 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用切线的性质得到，结合求出的长度，再分别计算的面积和扇形的面积，最后用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ， ， ． 故答案为： 16. 如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】延长，两线交于点，可证，所以，求出，过点作于点，则四边形是矩形，所以，，设，则，最后通过勾股定理求出m的值即可． 【详解】解：延长，两线交于点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 如图所示，过点D作于点H，则四边形为矩形， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】先分别计算特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则，将除法转化为乘法并因式分解，约分后进行减法运算，化简分式，再将代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式：电动自行车、私家车、公共交通、其他（自行车、步行等）和时段：、、、其他时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“私家车”所在扇形的圆心角度数为_________； （2）本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； （3）若该校共有名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （4）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】（1）； （2）， 补全条形统计图如下： （3）估计用私家车接送孩子的家长人数为人； （4） 由扇形统计图可知，用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥堵；由条形统计图可知，在时间段内，接送孩子的电动自行车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥堵． 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动自行车或私家车接送孩子时避开时间段． 【解析】 【小问1详解】 解：由题意得，私家车接送孩子的方式占比为， 扇形统计图中“私家车”所在扇形的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：由题意得，选取了名接送孩子的家长，其中用电动自行车接送孩子的占比为， 本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有， 结合条形统计图可知，、及其他时段用电动自行车接送的家长分别为人、人、人， 则时段内用电动自行车接送的家长为， 图略； 【小问3详解】 解：由题意得，用私家车接送孩子的家长人数约为， 即估计用私家车接送孩子的家长人数为人； 【小问4详解】 略 20. 2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元． （1）求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ （2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】（1）甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元 （2）最多可以采购30个乙型玩偶 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用等知识，理解题意正确列方程组和不等式是解题关键． （1）设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元，根据“1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元”，列方程组求解即可； （2）设采购个乙型玩偶，根据“总费用不超过3000元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解∶设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元； 【小问2详解】 解：设采购个乙型玩偶， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以采购30个乙型玩偶． 21. 综合实践小组的同学在老师的指导下，利用课余时间围绕塔高的测量与计算开展项目学习活动． 活动主题 塔高的测量与计算 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型 抽象 塔前有一座观景台，其纵侧面示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①点，，在同一条直线上； ②测得； ③在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． ④用计算器计算得：． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）求线段的长（结果保留根号）； （2）求塔的高度结果取整数)． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，已知斜边、，利用含角的直角三角形性质求出，再用勾股定理计算的长度． （2）过点作于点，设，由得，结合矩形的性质表示出、，再在中利用≈列方程求解，得到塔高． 【小问1详解】 解：在中， ∵，，， ∴， 由勾股定理得： ， 答：线段的长为． 【小问2详解】 解：由（1）得， 过点作于点， 由题意可得，， ∴ ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， 解： ∵， ， 答：塔的高度约为． 22. 阅读与思考 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 （1）问题1：如图1，在矩形中，若对角线与互为双关联线段，则_____． （2）问题2：如图2，在中，于点D，，点E在线段上，且，连接．求证：线段是线段的双关联线段． （3）问题3：如图3，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【答案】（1）45 （2） 解：， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 延长交于点， 在中，， ， ， ， ， 线段是线段的双关联线段； （3） 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据双关联线段的定义得到且，进而证得矩形是正方形，从而得到，利用求解即可； （2）易证明，进而得到、，延长交于点，根据易得到，利用三角形内角和定理得到，从而得出结论； （3）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，过点、作直线，此时；以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，此时，即线段是相应线段的双关联线段． 【小问1详解】 解：与互为双关联线段， ，且， 矩形是正方形， 、， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 如图1，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接， 可得，由圆周角定理得，可得，再等量代换证明即可； （2）先证明，则，求出，，那么，再由求解即可； （3）过点E作于点G，当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距离最大，点F是的中点，可得是等腰直角三角形，再由圆周角定理得到，得到为等腰直角三角形，则，而，则由勾股定理得，即再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点E作于点G，则， 当四边形面积最大时，面积最大，此时点F到的距离最大，即点F是的中点， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图1，已知抛物线 ，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，作直线． （1）求点B和点C的坐标； （2）如图2，点D是第二象限抛物线上的一个动点，过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E．设点D的横坐标为m．请探究如下问题： ①当点E是线段的中点时，求线段的长； ②当四边形是平行四边形时，求m的值； ③如图3，连结交y轴于点P，若平分，求P点的坐标． 【答案】（1）， （2）①；②；③ 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图像和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键． （1）分别令和进行计算即可； （2）①由题意求出直线解析式为，设，即可得到，根据点E是线段的中点得到，将代入，解得，即可得到答案； ②只需要，由①知，，得到，即可得到答案； ③根据角平分线定理，得到，设，则，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：令，， 解得， 点B在点A的右侧， ， 当时， ； 【小问2详解】 解：①，， 设直线解析式为：， 将，代入，得； ， 解得， ， ， 由题意可设， 过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E， ， 点E是线段的中点， ， ， 将代入， ∴， 解得， ， ， ； ②根据平行四边形的性质，， 只需要， 由①知，， ，四边形是平行四边形， 解得； ③，， 为等腰直角三角形， ， 平分， ， 根据角平分线定理，得到， 设，则， ， 解得， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年涟源市初三一模数学质量检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我国四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A. B. C. D. 5. 七巧板是中国古代劳动人民智慧的结晶，、世纪流传到海外，被欧洲人称为“唐图”（意思是来自中国的拼图）．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点．下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 如图，在中，，，点D是的中点，点E在上．若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简__________． 12. 如图，直线c与直线a、b都相交．若，，则______°． 13. 如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形按此规律，第2026个图案中有___________个正三角形． 14. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是______． 15. 如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为_______．(结果保留根号和) 16. 如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式：电动自行车、私家车、公共交通、其他（自行车、步行等）和时段：、、、其他时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“私家车”所在扇形的圆心角度数为_________； （2）本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； （3）若该校共有名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （4）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 20. 2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元． （1）求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ （2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 21. 综合实践小组的同学在老师的指导下，利用课余时间围绕塔高的测量与计算开展项目学习活动． 活动主题 塔高的测量与计算 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型 抽象 塔前有一座观景台，其纵侧面示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①点，，在同一条直线上； ②测得； ③在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． ④用计算器计算得：． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）求线段的长（结果保留根号）； （2）求塔的高度结果取整数)． 22. 阅读与思考 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 （1）问题1：如图1，在矩形中，若对角线与互为双关联线段，则_____． （2）问题2：如图2，在中，于点D，，点E在线段上，且，连接．求证：线段是线段的双关联线段． （3）问题3：如图3，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 23. 如图1，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 24. 如图1，已知抛物线 ，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，作直线． （1）求点B和点C的坐标； （2）如图2，点D是第二象限抛物线上的一个动点，过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E．设点D的横坐标为m．请探究如下问题： ①当点E是线段的中点时，求线段的长； ②当四边形是平行四边形时，求m的值； ③如图3，连结交y轴于点P，若平分，求P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $