精品解析：2025年湖南省娄底市涟源市中考一模数学试题

2025年上期初中会考科目质量检测试题 数学 时量：120分钟 总分：120分 温馨提示：数学试卷分为试题卷和答题卡两部分，本卷为试题卷，请在答题卡上按要求作答，书写在试题卷上的无效．考试结束时，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 仅上映28天，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破135亿元人民币、超越《头脑特工队》登顶全球动画电影票房榜，13500000000用科学记数法可表示为，则a的值是（ ） A. 135 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：； ∴， 故选：C 3. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的图形是： 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，单项式的乘法，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，四边形内接于，过点B作，交 于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 6. 娄底市某一周内每日最高气温情况如图所示，下列说法中，错误的是（ ） A. 这周最高气温是30 B. 这组数据的平均数是14 C. 这组数据的众数是6 D. 这组数据的方差是24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数，众数，方差，解题的关键在于熟练掌握相关定义．根据折线统计图中数据，以及相关定义逐项计算判断，即可解题． 【详解】解：A、这周最高气温是30，说法正确，符合题意； B、这组数据的平均数是，说法正确，符合题意； C、这组数据的众数是6，说法正确，符合题意； D、这组数据的方差是：，说法错误，不符合题意； 故选：D． 7. 下列命题中，正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 六边形的外角和为 D. 等边三角形是中心对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何与代数基本概念，涉及立方根定义、矩形性质、多边形外角和定理、中心对称图形的判定等知识．解题的关键在于准确理解并应用以下数学定理本题考查命题与定理．根据立方根的定义，矩形的性质，多边形外角和定理，中心对称图形的判定，通过逐一验证各选项是否符合相关定义与定理即可． 【详解】解：A.的立方根是，所以A选项正确，符合题意； B. 矩形的对角线相等且互相平分，所以B选项错误，不符合题意； C. 任意多边形的外角和是，所以C选项错误，不符合题意； D. 把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够和原来的图形重合，就说这个图形是轴对称图形，等边三角形不是中心对称图形，所以D选项错误，不符合题意． 故选：A． 8. 关于反比例函数 ，下列说法错误的是（ ） A. 图像经过点 B. 图像位于第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像及性质是解题关键．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于反比例函数，当时，可有， 即图像经过点， 因为，所以图该函数像位于第一、三象限，当时，y随x的增大而减小， 当时，， 故选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意． 故选：C． 9. 在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（ ） A. B. 点关于轴的对称点的坐标为 C. 点到两坐标轴的距离之和等于 D. 点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，坐标确定位置，解元一次不等式组，根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组是解题的关键． 根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；根据关于轴对称的点的坐标特征即可判断；根据点到坐标轴的距离的定义即可判断，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减即可判断． 【详解】解：、∵点在第二象限， ∴，解得：，原选项正确，不符合题意； 、∵点， ∴点关于轴的对称点的坐标为，原选项正确，不符合题意； 、∵点在第二象限， ∴点到轴的距离等于，点到轴的距离等于， ∴点到两坐标轴的距离之和等于，原选项正确，不符合题意； 、∵点， ∴点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点的坐标为，即，原选项错误，符合题意； 故选：． 10. 如图，，在上分别截取线段，使； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点 作交于点 ， 作交于点，交于点，则下列四个结论中： ； ； 是等边三角形；是的中位线．所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据尺规作图——作角平分线即可判断；根据平行线的性质及等角对等边即可判断；由等边三角形的判定即可判断；根据等边三角形的判定与性质，中位线的定义即可判断． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， 综上可知：正确， 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 计算的正确结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 13. 不透明袋子中只装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数 所有可能出现的结果数．直接利用概率公式计算可得． 【详解】解：从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率为， 故答案为：． 14. 如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点为网格线的交点，若线段 绕原点O 顺时针旋转后，端点 A 的坐标变为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标和旋转的作图，找到线段 绕原点O 顺时针旋转后的线段，即可得到答案． 【详解】解：如图， 线段 绕原点O 顺时针旋转后得到线段，端点 A 的坐标变为． 故答案为： 15. 分式方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验，当时，， ∴分式方程的解为， 故答案为：． 16. 若 的两个根为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若、是关于的方程的两个实数根，则．根据一元二次方程根与系数的关系得到即可得到答案． 【详解】解：∵、是关于的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，是的弦， 点 P在弦 上，，则的半径长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作于H，连接 ，由垂径定理得到，由勾股定理求出，，得到圆的半径长． 【详解】解：过O作于H，连接 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的半径长是5． 故选：A． 18. 如图，在中，，D为 中点，，P为上任意一点，E为上任意一点.则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等面积法的应用，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．本题连接，先根据等腰三角形的三线合一，证明，根据勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可得，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为的长，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，D为 中点， ，， ∴，垂直平分 ， ∴， ∴， 过作于，， ， 即， 解得， 如图，连接， ∵垂直平分 ， ∴， ， 由两点之间线段最短可知，的最小值为的长， 则的最小值， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，二次根式．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、二次根式等考点的运算． 【详解】解： 20. 先化简， 再求值：其中． 【答案】． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，利用分式的除法和减法运算化简，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 某校为了解八年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校八年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数， 分为四个等级：D： ， C：， B： ，A：）， 部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据(单位：分)如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86， 86， 88， 89． 请根据以上信息，解答下列问题； （1）本次被抽取的学生人数为_______人： （2）补全频数直方图； （3）所抽取的学生成绩的中位数是______； （4）该校八年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】（1）30 （2） 补全条形统计图如下： （3）85 （4）120人 【解析】 【分析】本题主要考查中位数以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据B组的人数和占比求出抽取学生总数， （2）求出C等级的人数，并补全频数分布直方图； （3）根据中位数定义求解即可； （4）先求出样本中A等级人数的占比，再乘以360即可得出结论． 【小问1详解】 解：（人）； 故答案为30； 【小问2详解】 C等级的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：30个数据按大小顺序排列，最中间的两个是第15、16个， ， 中位数是应该在B等级从小到大排序的数据的第7和第8个的平均数， 即中位数是； 故答案为：85； 【小问4详解】 解：（人）， 即估计成绩为A等级的人数为120人． 22. 如图，正方形的边长为4，，且，的延长线交的延长线于M，于N． （1）求证：； （2）求的长度． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是上一点，， ∴， ∵， ∴， 在与中，，，， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． （1）利用证明即可； （2）由，推出，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设， 则， 解得：， ∴． 23. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包 （2）选用A种食品3包，B种食品4包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． 【小问2详解】 解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 24. 在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行测算活动． 活动主题 测算学校旗杆高度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 第一小组 第二小组 模型抽象 测绘过程与数据信息 ①组员分工，制作测量数据记录表； ②选择不同的位置测量三次，依次记录测量数据； ③，仰角为α． ①测角仪的高度； ②点C处测得旗杆顶端B的仰角； ③朝旗杆方向前进； ④在H处测得旗杆顶端B的仰角． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）第一小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是______； （2）请你帮第一小组用含a，b，α的代数式表示旗杆的高度为______； （3）请你帮第二小组求出旗杆的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）减少误差； （2）； （3）． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的实际应用，读懂题意，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据实际意义进行解答即可； （2）根据题意求出，利用线段的和差计算即可； （3）在中求出，利用线段的和差计算即可． 【小问1详解】 解：第一小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是减少误差； 故答案为：减少误差； 【小问2详解】 由题意可得，， 在中，， ∴， ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 由题意可得，，，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴旗杆的高度为． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C． （1）求a的值； （2）如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标； （3）在直线 上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交 于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长． 【答案】（1）； （2）； （3）P( ， )；． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，构造二次函数求三角形面积的最大值，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． （1）运用待定系数法解答计算即可． （2）首先求出二次函数的解析式得出点A，B，C，的坐标，)设， 作轴于点H，构造直角三角形，利用锐角三角函数建立关于m的方程求解即可; （3）连接，，．设，结合的周长为，得当的值最大时，的周长最大，利用求得最值，代入计算即可． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点， ∴， 解得， 【小问2详解】 ∵， ∴二次函数表达式为：， 令，解得或， 令得， ∴，，． ∴， 设， 作轴于点H，如图， ∵， ∴，即， ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴M的坐标为； 【小问3详解】 设直线 的解析式为，， 则， 解得：． ∴直线 的解析式为． 连接，，． 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长为， ∴当的值最大时，的周长最大， ∵ ， ∵， ∴时，的面积最大，面积的最大值为，，根据 是定值，故此时的值最大， ∵， ∴， ∴的周长的最大值：，此时． 26. 【问题背景】 如图，是的外接圆，为直径， 的度数为， 点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）【初步感知】 图中， 当时，_______； （2）【问题探究】 如图，连接，，当等于多少度时，四边形是菱形？请说明理由； 如图，若的半径为， ，求阴影部分的面积（结果用含和根号的式子表示）． 【答案】（1） （2）当时，四边形是菱形，理由如下： 点是的内心，， ， ， ， 连接，则是等边三角形， ，， 四边形是菱形； ． 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理可知，根据切线的定义可知，从而可得，根据可得，根据点是的内心，可得，从而可得； 连接，当时，可证是等边三角形，所以可得，所以可得根据圆周角定理可知，根据同位角相等两直线平行可证，所以可证四边形是平行四边形，再根据可证四边形是菱形； 连接，，根据为直径，，可得：，根据扇形的面积公式可得，根据可得，根据三角形的面积公式可得，用的面积减去扇形的面积，即可得阴影面积． 【小问1详解】 解：如下图所示，连接， 是的直径， ， 又是的切线， ， ， ， ， 又， ， 又 点是的内心， 平分， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 如下图所示，连接，， 为直径，， ，，，， ， 是的切线， ， 在中，，， ， ， ， 阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、菱形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数，本题的综合性较强，需要根据圆的基本性质找边和角之间的关系，再根据边和角之间的关系求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上期初中会考科目质量检测试题 数学 时量：120分钟 总分：120分 温馨提示：数学试卷分为试题卷和答题卡两部分，本卷为试题卷，请在答题卡上按要求作答，书写在试题卷上的无效．考试结束时，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 仅上映28天，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破135亿元人民币、超越《头脑特工队》登顶全球动画电影票房榜，13500000000用科学记数法可表示为，则a的值是（ ） A. 135 B. C. D. 3. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 娄底市某一周内每日最高气温情况如图所示，下列说法中，错误的是（ ） A. 这周最高气温是30 B. 这组数据的平均数是14 C. 这组数据的众数是6 D. 这组数据的方差是24 7. 下列命题中，正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 六边形的外角和为 D. 等边三角形是中心对称图形 8. 关于反比例函数 ，下列说法错误的是（ ） A. 图像经过点 B. 图像位于第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 9. 在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（ ） A. B. 点关于轴的对称点的坐标为 C. 点到两坐标轴的距离之和等于 D. 点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为 10. 如图，，在上分别截取线段，使； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点 作交于点 ， 作交于点，交于点，则下列四个结论中： ； ； 是等边三角形；是的中位线．所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 计算的正确结果是______． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 13. 不透明袋子中只装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是______． 14. 如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点为网格线的交点，若线段绕原点O 顺时针旋转后，端点 A 的坐标变为_______． 15. 分式方程的解是_______． 16. 若 的两个根为，则_______． 17. 如图，是的弦， 点 P在弦 上，，则的半径长为________． 18. 如图，在中，，D为中点，，P为上任意一点，E为上任意一点.则的最小值是________． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明或演算步骤． 19. 计算：． 20. 先化简， 再求值：其中． 21. 某校为了解八年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校八年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数， 分为四个等级：D： ， C：， B： ，A：）， 部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据(单位：分)如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86， 86， 88， 89． 请根据以上信息，解答下列问题； （1）本次被抽取的学生人数为_______人： （2）补全频数直方图； （3）所抽取的学生成绩的中位数是______； （4）该校八年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 22. 如图，正方形的边长为4，，且，的延长线交的延长线于M，于N． （1）求证：； （2）求的长度． 23. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 24. 在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行测算活动． 活动主题 测算学校旗杆高度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 第一小组 第二小组 模型抽象 测绘过程与数据信息 ①组员分工，制作测量数据记录表； ②选择不同的位置测量三次，依次记录测量数据； ③，仰角为α． ①测角仪的高度； ②点C处测得旗杆顶端B的仰角； ③朝旗杆方向前进； ④在H处测得旗杆顶端B的仰角． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）第一小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是______； （2）请你帮第一小组用含a，b，α的代数式表示旗杆的高度为______； （3）请你帮第二小组求出旗杆的高度（结果保留根号）． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C． （1）求a的值； （2）如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标； （3）在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长． 26. 【问题背景】 如图，是的外接圆，为直径， 的度数为， 点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）【初步感知】 图中， 当时，_______； （2）【问题探究】 如图，连接，，当等于多少度时，四边形是菱形？请说明理由； 如图，若的半径为， ，求阴影部分的面积（结果用含和根号的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $