精品解析：江西南昌市外国语学校2025-2026学年高二下学期4月月考数学试卷

南昌市外国语学校2025-2026学年下学期 高二数学4月月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列数列中成等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列定义，逐一验证各个选项即可判断作答. 【详解】对于A，，A不是等差数列； 对于B，，B不是等差数列； 对于C，，C是等差数列； 对于D，，D不是等差数列. 故选：C 2. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】. 3. 设数列的前项和为．若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列递推式，利用赋值法求值即可. 【详解】当时，， 当时，. 故选：D 4. 已知，则的公比是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列公比的定义即可得出答案. 【详解】 由题意可知数列的公比. 5. 已知数列的通项公式为，按项的变化趋势，该数列是（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 【答案】B 【解析】 【分析】分析的单调性，即可判断和选择. 【详解】因为，显然随着的增大，是递增的，故是递减的， 则数列是递减数列. 故选：B. 6. 已知函数与其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 曲线为函数的图象 B. C. 在单调递增 D. 在单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据原函数和导函数的关系逐一判断即可. 【详解】若曲线为函数的图象，当时，，所以在上单调递增，而曲线在上先减后增 ，不合题意， 所以曲线为函数的图象，所以曲线为函数的图象，故A错误； 由A可知在上单调递减且为偶函数，所以，故B错误，D正确； 在上先增后减，故C错误； 故选：D 7. 已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（ ） A. 191 B. 193 C. 1023 D. 1025 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件构造等比数列，逐个求解即可判断各项. 【详解】， ， 是以为首项，2为公比的等比数列， ，即， 对于A、令，解得2，故A错误； 对于B、令，解得2，故B错误； 对于C、令，解得2，故C错误； 对于D、令，解得2，是第10项，故D正确 故选： 8. 若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知不等式变形为，引入函数， 则其为减函数，由导数求出的减区间后可的最小值． 【详解】因为， 所以由， 可得， ， 即． 所以在上是减函数， ， 当时，，递增， 当时，，递减， 即的减区间是， 所以由题意的最小值是． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列导数计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据求导公式逐项求导即可求解. 【详解】对于A选项，由，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项错误； 对于C选项，，故C选项正确； 对于D选项，由，故D选项正确. 故选：ACD. 10. 设等差数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. C. 的前项和中最大 D. ，，…，中最大的项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式可得，进而可判断AB；由数列项的正负变化可判断C；由数列的单调性可判断D. 【详解】由题意，，， 所以，所以且，故A、B正确； 易得等差数列为递减数列，当时，；当时，； 所以的前项和中最大，故C错误； 当时，，且递减，递增，所以最大， 当时，，， 所以，，…，中最大的项为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又因为， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 故有唯一零点，故A正确； 对于B：函数的定义域为，又因为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 所以若方程有两个实数解，则，故B错误； 对于C：若对任意恒成立，分情况讨论： 当时，左边，不等式成立； 当时，，不等式变形为， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，故； 当时，，不等式变形为， 令，求导同， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故， 综上，，故C正确； 对于D：因为， 令，所以在上恒成立，故， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为， 而，故，故D正确. 【点睛】以导数为工具，精准分析和的单调性、极值与最值，是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列中，满足，则数列的通项公式为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法和裂项相消法求和，即可求通项公式. 【详解】由 当时，由上式可得： ， 当时，满足， 故答案为： 13. 已知函数 在上不单调，则t的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数判断的单调性，利用函数在上不单调，建立不等式，即可求得的范围. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知在，上单调递增，上单调递减， 若在上不单调， 则或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：． 14. 数列中，且满足，，则数列的前2024项的和为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，，，，以及，，，分别是公比为的等比数列，再分奇偶讨论，结合分组求和计算即可. 【详解】解析：由，，得，，得 所以，，，以及，，，分别是公比为的等比数列， 当为奇数时，，当为偶数时， 所以，当为奇数时，， 当为偶数时，， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出. 【小问1详解】 因为为等差数列，设公差为d， 由，得，即， 由，，成等比数列得，， 化简得，因为，所以． 所以． 综上． 【小问2详解】 由知，， 又为公比是3的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）证明：曲线过点的切线只有一条. 【答案】（1） （2）证明：设切点，由题意得， 则，化简得. 令函数，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以. 由，得，所以曲线过点的切线只有一条. 【解析】 【分析】（1）求导，可得斜率，即可求直线方程， （2）设切点，求导可得切线斜率，结合两点斜率公式可得，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解方程只有唯一的实根，进而可求解. 【小问1详解】 当时，，得， 由，得， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略. 17. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列． （2）记，求数列及的通项公式； （3）设，求． 【答案】（1） 因为，所以， 因为，，所以， 由以上递推关系可知，，则， 故是以为首项，为公比的等比数列； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义求证； （2）结合（1）求出的通项公式，再利用求出为等比数列，利用等比数列的通项公式即可； （3）利用错位相减法求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 因为，所以，则， 即， 因为，所以由以上递推关系可知，，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，； 【小问3详解】 由（2）可知，，则，则， 设，则， 则， 则 ， 则. 18. 已知，， （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①； ②证明：∵在上单调递增， ∴当时，，即；当时，，即， 故在上单调递减； 在上单调递增，故是的极小值点. 方法一：由上，，∵，∴ 方法二：因， 由，可得，则， 令，显然在上单调递减， 则，即，故． 【解析】 【分析】（1）先确定定义域，对求导，分类讨论； （2）①函数化简，确定定义域，在上有极值等价于在上有变号零点； ②方法一：根据极值点的单调性性质结合已知参数范围放缩；方法二：利用极值点条件代换，构造新函数分析单调性. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点. 令，即在上有变号零点. 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时， 在上恒成立，所以在上单调递增， 令，解得，此时在上有唯一零点. ②略 19. 对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：，通常为了便于求导，我们可以作变形：． （1）求的单调区间； （2）已知． ①若数列满足，，求数列的通项公式； ②求证：． 【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为； （2）①； ②设函数， 当时，，当时，， 所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减 则，即在上恒成立 所以， 即． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性； （2）①两边取对数，再结合等比数列定义计算结合指数及对数运算求解；②构造根据函数最值结合累加法证明即可. 【小问1详解】 ， 令，解得，令，解得 所以的单调递增区间为，递减区间为 【小问2详解】 ①由题意可知，， 那么 两边同时取对数可得 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 则，所以， 所以 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2025-2026学年下学期 高二数学4月月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列数列中成等差数列的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 3. 设数列的前项和为．若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知，则的公比是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 已知数列的通项公式为，按项的变化趋势，该数列是（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 6. 已知函数与其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 曲线为函数的图象 B. C. 在单调递增 D. 在单调递减 7. 已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（ ） A. 191 B. 193 C. 1023 D. 1025 8. 若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列导数计算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 设等差数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. C. 的前项和中最大 D. ，，…，中最大的项为 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列中，满足，则数列的通项公式为________. 13. 已知函数 在上不单调，则t的取值范围是_______________. 14. 数列中，且满足，，则数列的前2024项的和为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）证明：曲线过点的切线只有一条. 17. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列． （2）记，求数列及的通项公式； （3）设，求． 18. 已知，， （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 19. 对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：，通常为了便于求导，我们可以作变形：． （1）求的单调区间； （2）已知． ①若数列满足，，求数列的通项公式； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $