第10章 整式的乘法与除法 质量反馈卷 2025—2026学年青岛版数学七年级下册

第10章 整式的乘法与除法 质量反馈卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 2.新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是0.00075m，将数字0.00075m用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 3．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴； 5．若的结果中不含x的一次项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 由结果中不含的一次项，得到， 即． 6．如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的长方形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 7．如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：长为，宽为的大长方形， ∴大长方形的面积为， ∵类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张数为， 8．边长分别为和的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：阴影部分的面积是： ， ， ， 9.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【详解】解：展开式的各项系数为1，展开式的系数和是1 展开式的各项系数分别为1，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，2，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，3，3，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1；展开式的系数和是； …… ∴展开式的系数和是． 10.如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为； 阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，阴影的较短边为， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的周长为，阴影的周长为， 阴影和阴影的周长之和为， 阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确； ④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为，阴影的面积为 ， 阴影和阴影的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知，则 ． 【答案】16 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12.计算： ． 【答案】 【详解】解：； 13.已知，，则的值为 ． 【答案】16 【详解】解：，， ， 14.与单项式的积是的多项式是 ． 【答案】 【详解】依题意： ． 故答案为： 15.若关于、的方程组和的解相同，则的值 ． 【答案】 【详解】解：解得， ， 把代入得， ， 解得， ． 16.观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 【答案】 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， 三、解答题：本题共8小题，其中17-21题每题8分，22-23每题10分，24题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(1)． (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ． （2）解： ； （3）解： ； 18.先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， ∴原式． 19.如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为150元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)5700元 【详解】（1）由题意得，“T”型图形的面积为： ． （2）当，时，， 修建文化广场所需要的费用为：（元）． 20.“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，回答下列问题： (1) 由图2可得等式： ． (2) 由图3可得等式： ． (3)利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)52 【详解】（1）解：由图2知，大长方形的面积，大长方形的面积个边长为小正方形的面积个小长方形的面积个边长为的正方形面积， ； 故答案为：； （2）解：由图3知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积， ； 故答案为：； （3）解：由（2）知：， ， ， 把代入得： ． 21.探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：． 请应用上述公式完成下列各题： (1)已知，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1)3 (2)5050 【详解】（1）解：由，得． ，， ． （2）解： ． 22.乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：方法1：__________，方法2：__________； (2)观察图2，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：__________： (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①4；② 【详解】（1）解：方法1：，方法2：． 故答案为：，； （2）解：由（1）可知：； 故答案为：； （3）解：①∵，且， ∴， 解得：；          ②设，，， ∴，， ∴，即， 解得：， 则的值为． 23.【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为 　　． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）的值为2.5；（3）20 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）设，， ， ， ， ， ， 的值为2.5； （3）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 24【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】（1）②，①；（2）；（3） 【详解】（1）解：图1对应公式是；图2对应公式是， 故答案为：②；①； （2）， ， ， ． （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则根据题意，得， ， ， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 整式的乘法与除法 质量反馈卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2.新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是0.00075m，将数字0.00075m用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．若的结果中不含x的一次项，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．边长分别为和的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 9.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．32 B．64 C．128 D．256 10.如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为； 阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知，则 ． 12.计算： ． 13.已知，，则的值为 ． 14.与单项式的积是的多项式是 ． 15.若关于、的方程组和的解相同，则的值 ． 16.观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 三、解答题：本题共8小题，其中17-21题每题8分，22-23每题10分，24题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(1)． (2) (3) 18.先化简，再求值：，其中满足． 19.如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为150元，求修建文化广场所需要的费用． 20.“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，回答下列问题： (1) 由图2可得等式： ． (2) 由图3可得等式： ． (3)利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值． 21.探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：． 请应用上述公式完成下列各题： (1)已知，，求的值； (2)计算：． 22.乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：方法1：__________，方法2：__________； (2)观察图2，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：__________： (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． 23.【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为 　　． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 24【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $