第19章 数据的分析（知识清单）数学新教材华东师大版八年级下册

第19章 数据的分析 1.平均数：一组数据的 除以数据的 ，即 ； 2.加权平均数：当各项数据的 不同时. 3.平均数特点：利用 信息；极易受 的影响. 4.中位数：将一组数据 后，处于 的数；第一步： ；第二步： 。 5.中位数特点：不受 ；代表数据的 ； 6.众数：一组数据中 的那个数据；一组数据可以有 个众数、 个众数，也可以没有众数； 7.众数特点：不受 ，代表数据的 或 ； 8.方差：各数据 。用来衡量数据的 大小，即 ； 9.方差特点：方差越大，数据波动 ，越 ；方差越小，数据波动 ，越 ；注意：方差的单位是 ； 10.箱线图：五数概括： 、 、 、 、 . 注意：看到“占比”、“比重”、“权”等字眼，必须使用加权平均数公式。权重之和必须为1（或100%）。 错误：认为平均数一定能代表整体水平。当数据中存在极大或极小的异常值（如老板的高薪拉高了员工平均工资）时，仍盲目使用平均数来描述“一般水平”。 1．某学校八年级一班学生45人，二班学生50人．某次测试，一班的平均分是80分，二班的平均分是分，那么两个班的总平均分是 分（精确到）． 2．已知下面的一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5，那么（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．张同学参加以“诵读经典伴我行·浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则张同学的最终比赛成绩是 分． 4．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是90分，若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是，，则该教师的综合成绩为 分． 5．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 6．为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 7．已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 8．年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要年)》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/ 人数 5 3 则这些学生的综合体育活动时间的众数是 ． 9．若一组数据，3，1，6，3的平均数和众数相等，求的值． 10．在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 11．已知一组不全等的数据：，平均数是2026，方差是2027．则新数据：的平均数是 ，方差 2027（填“、或”）． 12．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 13．某组数据对应的箱线图如图所示，该组数据的下四分位数为（    ） A．124 B．132 C．134 D．144 14．某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信”书香文化节知识竞赛、赛后随机抽取八、九年级各6名参赛同学的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行收集、整理、分析如下： 【收集数据】 八年级：60，70，85，95，96，100； 九年级：96，93，93，87，80，70． 【描述、整理数据】 【分析数据】 根据以上信息，解答下列问题： (1)八年级竞赛成绩的中位数为 分，九年级竞赛成绩的下四分位数为 分； (2)补全箱线图，根据箱线图请判断 年级的成绩更集中；（填“八”或“九”） (3)已知八年级成绩的方差为，九年级成绩的方差为，学校打算选派成绩更稳定的年级参加市级竞赛，你认为学校应选派哪个年级去参加竞赛？请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 数据的分析 1.平均数：一组数据的总和除以数据的个数，即； 2.加权平均数：当各项数据的重要程度（权重）不同时. 3.平均数特点：利用所有数据信息；极易受极端值的影响. 4.中位数：将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数；第一步：按大小排序；第二步：若n 为奇数：取正中间那个数，若n 为偶数：取正中间两个数的平均数。 5.中位数特点：不受极端值影响；代表数据的“中等水平”； 6.众数：一组数据中出现次数最多的那个数据；一组数据可以有一个众数、多个众数，也可以没有众数； 7.众数特点：不受极端值影响，代表数据的“多数水平”或“普遍情况”； 8.方差：各数据与平均数的差的平方的平均数。用来衡量数据的波动大小，即； 9.方差特点：方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定；注意：方差的单位是原数据单位的平方； 10.箱线图：五数概括：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值. 一、关于“平均数”与“加权平均数”的易错点 1. 混淆“算术平均数”与“加权平均数” 错误：在计算总评成绩、混合单价等问题时，直接将几个数值相加除以个数，忽略了各项指标所占的权重（比例）不同。 注意：看到“占比”、“比重”、“权”等字眼，必须使用加权平均数公式。权重之和必须为1（或100%）。 2. 频数分布表/图中的平均数计算错误 错误：在利用分组数据（如身高区间、分数段）计算平均数时，直接使用区间的端点值，或者忘记乘以频数。 注意：必须取每组的组中值（该组上限与下限的平均数）作为该组数据的代表值，再乘以频数求和，最后除以总频数。 3. 对平均数受极端值影响认识不足 错误：认为平均数一定能代表整体水平。当数据中存在极大或极小的异常值（如老板的高薪拉高了员工平均工资）时，仍盲目使用平均数来描述“一般水平”。 关键：平均数很“敏感”，任何一个数据变动都会引起平均数变动，且极易受极端值干扰。 二、关于“中位数”与“众数”的易错点 1. 求中位数前未排序 错误：拿到一组数据，直接找位置在中间的数，而忽略了必须先由小到大（或由大到小）。 注意：必须先由小到大（或由大到小）． 2. 偶数个数据时中位数计算错误 错误：当数据个数为偶数时，只取了中间两个数中的某一个，或者将两个数相加却忘记除以2。 纠正：奇数个取正中间一个；偶数个取正中间两个的平均数。中位数不一定在原数据中出现，但一定是排序后位置居中的数值。 3. 对“众数”概念的误解 错误：认为一组数据只有一个众数。实际上，众数可以有一个、多个，也可以没有（当所有数据出现次数相同时）。． 注意：众数可以有一个、多个，也可以没有． 三、关于“方差”与“离散程度”的易错点 1. 方差计算公式记忆混淆 错误：忘记平方；忘记求平均；平均数算错导致后续全错． 规则：口诀“先平均，再求差，然后平方，最后求和再平均”． 2. 对方差实际意义的理解偏差 错误：认为方差越大越好，或者无法将方差大小与“稳定性”联系起来． 建议：方差越小，数据波动越小，越稳定；方差越大，数据波动越大，越不稳定． 四、综合应用与统计量选择的易错点 1. 机械套用，不看情境 错误：无论什么题目，习惯性地只算平均数． 注意：关注多数人的意愿（如进货、选举、最爱吃的水果）：选众数；关注中等水平，且数据中有极端值（如工资、房价、比赛打分去掉最高最低分）：选中位数；关注总体平均水平，且数据分布相对均匀：选平均数；关注稳定性（如成绩波动、产品质量）：选方差． 2. 对“箱线图”新知识的忽视 错误：教材新增了“箱线图”内容，学生容易忽略其含义． 注意：箱体包含了中间50%的数据；中位数线在箱体内的位置反映偏态（偏向哪边说明哪边数据更密集）；须线（Whiskers）的长度反映数据的离散范围，超出须线的点通常被视为异常值． 1．某学校八年级一班学生45人，二班学生50人．某次测试，一班的平均分是80分，二班的平均分是分，那么两个班的总平均分是 分（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了平均数的求解，先计算两个班的总分数和总人数，再求总平均分，最后精确到分即可． 【详解】解：一班总分数为（分）， 二班总分数为（分）， 两个班总分数为（分）， 总人数为（人）， 总平均分为（分）， 故答案为：． 2．已知下面的一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5，那么（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据平均数的定义，总和等于平均数乘以数据个数，从而列出方程求解x． 本题考查平均数的计算，直接利用定义即可求解． 【详解】解：∵ 数据个数为6，平均数为5， ∴ 总和． 又∵ 已知数据中除x外其余各项之和为， ∴． 故选：A． 3．张同学参加以“诵读经典伴我行·浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则张同学的最终比赛成绩是 分． 【答案】9.3 【分析】本题考查加权平均数的计算，需将各项成绩按给定权重比例进行加权求和，再除以权重总和即可． 【详解】解：权重之和为， 因此最终成绩为（分）． 故答案为：9.3． 4．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是90分，若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是，，则该教师的综合成绩为 分． 【答案】86 【分析】本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题的关键． 根据加权平均数的计算方法，综合成绩等于笔试成绩乘以权重加上面试成绩乘以权重． 【详解】解：根据题意，该教师的综合成绩为：（分）， 故答案为：86． 5．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 6．为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 【答案】A 【分析】本题考查了求一组数据中位数和众数，熟练掌握求一组数据中位数和众数是关键．因为数据是偶数个，所以计算中位数时需将数据排序后取中间两数的平均值，众数为出现次数最多的数，据此求解即可． 【详解】解：10名学生立定跳远测试成绩排序后为：210，216，235，235，235，237，238，239，239，240， 其中第5和第6个数据为235，237， 所以这组数据的中位数是； 因为出现次数最多的数据是235， 所以这组数据的众数是235． 故选：A． 7．已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中位数的定义．需根据中位数概念，结合数据排序后中位数为6的条件确定a的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，则中位数为中间位置的数；若为偶数，则为中间两个数的平均数． ∵这组数据共5个（奇数个），中位数为排序后的第3个数，且题目规定中位数为6． 将已知数据从小到大排列：2，4，6，8． 要使排序后第3个数为6，则． 观察选项，只有D选项的6满足的条件． 故选：D 8．年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要年)》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/ 人数 5 3 则这些学生的综合体育活动时间的众数是 ． 【答案】 【分析】本题考查众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据．关键是通过观察表格，找出对应学生人数最多的综合体育活动时间，该时间即为这组数据的众数． 【详解】解：观察表格中的数据可知，综合体育活动时间为的学生人数最多，有人， 因此这些学生的综合体育活动时间的众数是． 故答案为：． 9．若一组数据，3，1，6，3的平均数和众数相等，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平均数和众数，熟练掌握相关概念是解题的关键； 根据平均数和众数的概念进行计算． 【详解】解：∵平均数和众数相等， ∴众数只有一个， ∴这组数据的众数为3， ， 解得． 10．在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查统计量的意义，需结合各统计量的定义，匹配题目描述判断所用统计量．熟知中位数的定义是解答的关键． 【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，处于中间位置的数（若数据个数为偶数，则是中间两个数的平均数），它能反映一组数据的中间水平，当成绩超过中位数时，说明超过了本小组一半选手的成绩 ∵平均数反映数据的平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数，方差反映数据的波动程度，均不符合题意， ∴符合题意的统计量是中位数， 故选：C． 11．已知一组不全等的数据：，平均数是2026，方差是2027．则新数据：的平均数是 ，方差 2027（填“、或”）． 【答案】 2026 【分析】本题主要考查了平均数与方差的计算，根据平均数和方差的定义，先表示出原数据的总和与方差的分子部分，再代入新数据的平均数和方差公式计算，比较大小即可． 【详解】解：∵的平均数是2026，方差是2027， ∴， ， 由此可得 ， 则新数据的平均数为： ， 新数据的方差为： ， ∵， ∴，即． 故答案为：2026；． 12．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 13．某组数据对应的箱线图如图所示，该组数据的下四分位数为（    ） A．124 B．132 C．134 D．144 【答案】B 【分析】本题考查箱线图，直接从箱线图中获取信息，即可得出结果． 【详解】解：由箱线图可知，该组数据的下四分位数为132； 故选B． 14．某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信”书香文化节知识竞赛、赛后随机抽取八、九年级各6名参赛同学的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行收集、整理、分析如下： 【收集数据】 八年级：60，70，85，95，96，100； 九年级：96，93，93，87，80，70． 【描述、整理数据】 【分析数据】 根据以上信息，解答下列问题： (1)八年级竞赛成绩的中位数为 分，九年级竞赛成绩的下四分位数为 分； (2)补全箱线图，根据箱线图请判断 年级的成绩更集中；（填“八”或“九”） (3)已知八年级成绩的方差为，九年级成绩的方差为，学校打算选派成绩更稳定的年级参加市级竞赛，你认为学校应选派哪个年级去参加竞赛？请说明理由． 【答案】(1)90，80 (2)九 (3)学校应选派九年级去参加竞赛，理由见解析 【分析】（1）根据中位数和下四分位数的定义解答即可； （2）结合八年级竞赛成绩的中位数即可补全箱线图，再根据箱线图的数据解答即可； （3）根据方差的意义判断即可． 【详解】（1）解：由题意可知，八年级竞赛成绩的中位数为， 九年级竞赛成绩的下四分位数为80， 故答案为：90，80； （2）解：补全箱线图如下： 根据箱线图可知，九年级的成绩更集中； 故答案为：九； （3）解：学校应选派九年级去参加竞赛，理由：九年级成绩的方差比八年级成绩的方差小，即九年级成绩更稳定，所以应选派九年级去参加竞赛． 【点睛】本题主要考查中位数、算术平均数及方差，解题的关键是掌握中位数的定义及方差的意义． 1 / 6 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