精品解析：2026年四川省绵阳市平武县初中第一次学业诊断（数学）

2026年初2023级第一次学业诊断 （数 学） 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列四个数中，最大的数为（ ） A. B. C. D. 2. 随着人工智能、大数据、云计算等技术的广泛应用，某市积极推进多个公共算力中心的建设．若现有设备的算力为(是计算机系统算力的一种度量单位)，预计新设备整体投产后，累计实现的算力将是现有设备的算力的倍，达到，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中，有一个格点（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与成轴对称的格点三角形有（ ）个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，的中线、交于点O，且，点D是边上的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在线段的延长线上，则为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为，距离跷跷板支点的距离为，设爸爸的体重为，距离跷跷板支点的距离为．若要使跷跷板保持平衡，则与应满足的关系式为（ ）． A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过，且当时，的值随值的增大而减小，则该抛物线与轴交点的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定 二．填空题（共6小题，每小题4分．共24分） 13. 分解因式：___________． 14. 如图，一次函数图像过点．设，则的取值范围是__________． 15. 如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 16. 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程_________（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 17. 已知实数x，y满足，则的最大值为____． 18. 如图，点A在反比例函数 的图象上，作轴于点B，点C在y轴上，若的面积为5，则k的值为 ______． 三．解答题（共7小题，共90分） 19. 计算题 （1） （2） 20. 每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读小时，C：每周课外阅读小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，______； （2）直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______， （4）若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人． 21. 如图，在菱形中，点E，F分别在边上，连接，若．求证：． 22. 某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数） （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点． （1）抛物线经过的定点的坐标为 （2）当点在这个函数图象时， ①求抛物线的函数关系式； ②抛物线上有一点P，连结、，若的面积为1时，求点P的坐标； ③当时，函数的最小值是4，求m的值． 24. 在平面直角坐标系中，我们约定： ①不重合的两点与为一对对换点； ②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数． 根据约定，解答下列问题： （1）反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由． （2）若关于x的一次函数是对换函数，则k的值是多少？ （3）对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标． 25. （1）如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． ①证明：； ②请直接写出的度数为 ； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接． ①请求出的度数； ②若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初2023级第一次学业诊断 （数 学） 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列四个数中，最大的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据0大于一切负数；正数大于0解答即可． 【详解】解： 则四个数中，最大的数为 故选：C． 2. 随着人工智能、大数据、云计算等技术的广泛应用，某市积极推进多个公共算力中心的建设．若现有设备的算力为(是计算机系统算力的一种度量单位)，预计新设备整体投产后，累计实现的算力将是现有设备的算力的倍，达到，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．用现有设备的算力乘以，直接计算即可得出的值． 【详解】解：现有设备的算力为 ，新算力是现有设备的算力的倍， ． 故选：D． 3. 小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．用绿灯时间除以红绿灯时间之和，即可得到答案． 【详解】解：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒， 遇到绿灯的概率是， 故选：C． 4. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】解：卷纸的主视图应是： ， 故选：C． 5. 如图，在的正方形网格中，有一个格点（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与成轴对称的格点三角形有（ ）个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，不重不漏的列举出所有轴对称图形成为解题的关键． 根据轴对称的定义画出所有与成轴对称的格点三角形即可解答． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形有 共5个． 故选：C． 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，逐个计算选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，与不是同类二次根式，不能合并，结果不等于，计算错误； 选项B：，计算正确； 选项C：，计算错误； 选项D：，计算错误． 7. 如图，的中线、交于点O，且，点D是边上的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 连接，根据直角三角形斜边的性质可得，，可得是等边三角形，从而得到，再由三角形中位线定理可得，从而得到，进而得到，再结合勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，点D是边上的中点，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的中线、交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在线段的延长线上，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：根据旋转的性质可得，， ∴． 9. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形的外角定理和直角三角形的性质，以及角平分线定义．根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得是的角平分线，从而得到，再由三角形的外角性质可得答案． 【详解】解：∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， ∴． 故选：D 10. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的定义，熟练掌握三角形高的定义是解题的关键； 根据三角形高的定义来判断边上的高即可． 【详解】解：三角形高的定义为：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．   故选：A  ． 11. 如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为，距离跷跷板支点的距离为，设爸爸的体重为，距离跷跷板支点的距离为．若要使跷跷板保持平衡，则与应满足的关系式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据小明的体重与小明到跷跷板支点的距离之积等于爸爸的体重与小明爸爸到跷跷板支点的距离之积求解即可． 【详解】解：由题意，得 ∴ 故选C． 12. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过，且当时，的值随值的增大而减小，则该抛物线与轴交点的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，将代入解析式，结合当时，的值随值的增大而减小，求出的值，进而得到函数解析式，求出对应的一元二次方程的判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：抛物线（为常数）经过， ∴， 解得：或， ∵当时，的值随值的增大而减小，且抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线的开口向上， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 令：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴抛物线与轴没有交点， 故选A． 二．填空题（共6小题，每小题4分．共24分） 13. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】由，则可用提公因式法分解因式． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14. 如图，一次函数图像过点．设，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，先根据一次函数图像过点，得出，根据一次函数与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，结合函数图像得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数图像过点， ∴， ∴， 把代入得： ， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴一次函数与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 根据函数图象可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 15. 如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【解析】 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且， ∴， ∴， ∴． 16. 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程_________（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 【答案】没有 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意；根据新定义运算，将方程转化为一元二次方程，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴此方程没有实数根． 故答案为：没有． 17. 已知实数x，y满足，则的最大值为____． 【答案】18 【解析】 【分析】先求得和的值，再求得，解不等式可求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意，设①， 又②， 得，， 即， 得，， ∴， ， 的最大值为18． 18. 如图，点A在反比例函数 的图象上，作轴于点B，点C在y轴上，若的面积为5，则k的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用反比例函数的性质进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∴或， 又∵函数图象位于第二象限， ∴． 三．解答题（共7小题，共90分） 19. 计算题 （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据有理数的乘方、二次根式的化简、去绝对值、三角函数值即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 【小问2详解】 方程整理得：． ∵，，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查有理数的乘方、二次根式的化简、去绝对值、三角函数值、公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握法则，正确计算． 20. 每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读小时，C：每周课外阅读小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，______； （2）直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______， （4）若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人． 【答案】（1）50，32 （2） 补全条形统计图如下： （3） （4）每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名 【解析】 【分析】（1）用A的人数除以占比即可求出样本容量；用B的人数除以样本容量即可求出n； （2）用样本容量乘以D的占比求出D的人数，然后求出C的人数，然后补全统计图； （3）用乘以C的占比即可求出对应扇形的圆心角； （4）用2000乘以C和D的占比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是； ∴； 【小问2详解】 解：D的人数为（人） ∴C的人数为（人） 补全条形统计图略 【小问3详解】 解：扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为； 【小问4详解】 解：（名）． 答：每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名． 21. 如图，在菱形中，点E，F分别在边上，连接，若．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，再证明，则可证明，推出． 【详解】略 22. 某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数） （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可； （2）分别求出当时与当时的销售利润解析式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）当时，设， 将和代入，可得 ，解得，即； 当时，设， 将和代入，可得 ，解得，即； ∴； （2）当时， 销售利润， 当时，销售利润有最大值，为4000元； 当时， 销售利润， 该二次函数开口向上，对称轴为，当时位于对称轴右侧， 当时，销售利润有最大值，为4500元； ∵， ∴当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的性质，根据图象列出解析式是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点． （1）抛物线经过的定点的坐标为 （2）当点在这个函数图象时， ①求抛物线的函数关系式； ②抛物线上有一点P，连结、，若的面积为1时，求点P的坐标； ③当时，函数的最小值是4，求m的值． 【答案】（1）， （2）①；②或或；③或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）由，当时，可求定点坐标； （2）①将点代入，即可求解析式； ②求出A、B的坐标，设，由，求出t的值即可求点P的坐标； ③当时，求出最小值为，可得方程，然后求解；当时，求出最小值为，可得方程，然后求解；当时，当时，y有最小值，与题干相矛盾，故舍去． 【小问1详解】 解：， 当时，解得或， ∴抛物线经过定点，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①将点代入， 可得， 解得， ∴； ②令， 则， 解得或， ∴，， ∴， 设， ∴， 解得或或， ∴或或； ③∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当即时，时，y有最大值， ∵函数的最小值是4， ∴， 解得或（舍去）； 当时，，y有最小值； ∵函数的最小值是4， ∴， 解得或（舍去）， 当时，即， 当时，y有最小值， ∵函数的最小值是4， ∴此情况不存在， 综上所述：m的值为或． 24. 在平面直角坐标系中，我们约定： ①不重合的两点与为一对对换点； ②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数． 根据约定，解答下列问题： （1）反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由． （2）若关于x的一次函数是对换函数，则k的值是多少？ （3）对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标． 【答案】（1）是，对换点坐标为和 （2）1 （3）和 【解析】 【分析】（1）根据对换点的定义得，可写出对换点； （2）设对换点为与，代入一次函数解析式得，整理得，根据存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立可得解； （3）设对换点为与，代入二次函数解析式得，求得，得出，讨论m，a求解即可． 【小问1详解】 解：设对换点为与，代入反比例函数解析式得： ， 由①得， 由②得， 故可得反比例函数是对换函数， 取，则，对应对换点坐标为和； 【小问2详解】 解：设对换点为与，代入一次函数解析式得： ， 由②得， 把①代入得：， 整理得， 又因为存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立， 故且， 解得：； 【小问3详解】 解：设对换点为与，代入函数解析式得： 两式相减得， 整理得， ∵两点不重合， ∴， ∴， ∴， ∴代入得：， ∴， ∴当时，有最小值为， ∴， 又取最小正整数， ∴，此时，，对换点为和． 25. （1）如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． ①证明：； ②请直接写出的度数为 ； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接． ①请求出的度数； ②若，求线段的长． 【答案】（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ②； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①运用等边三角形的性质证明，即可作答． ②根据全等三角形的性质进行列式计算，即可解答； （2）①证明，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质解答． ②根据等腰直角三角形的三线合一的性质得出，再结合，进行分析，即可作答． 【详解】证明：（1）①略 ②∵为等边三角形， ∴， ∴ 由①得， ∴， ∴； （2）∵和均为等腰直角三角形， 则， ∴， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴． ∴； ②在等腰直角中，为斜边上的高， ∴， ∴， 由①得 ∴， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $