精品解析：2025年四川省绵阳市平武县一模数学试题

2025年四川省绵阳市平武县中考诊断试卷数学 （考试时间：150分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2025 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，相反数的定义，先求出，根据只有符号相反的两个数互为相反数即可解答． 【详解】解：， 则的相反数是， 故选：D． 2. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述世间万象的变化．如图为部分“卦”的符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 如图是将正方体切去一个角后形成几何体，则该几何体的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 【详解】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 4. 如图，在平面直角坐标系中放置了一个正方体纸盒的表面展开图．已知， ，则该正方体纸盒能装进的小木棒（粗细忽略不计）的最大长度是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开图，直角坐标系两点之间的距离，勾股定理与最短路径问题，先由直角坐标系求出正方形的边长为，再画出正方体最短路径图，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，B ， ∴， 由图形可得正方形的边长为， 如图，正方体纸盒能装进的小木棒，最大长度为， ∴，， ∴， 故选：D． 5. 如图，在正六边形中，G是的中点．若，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，连接，．证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解． 【详解】解：连接，，过B作于H，如图： ∵是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G为中点，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 已知，且为整数，则的值是（　　） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，立方根，熟练掌握无理数估算方法是解答的关键．先将原不等式化简为，再根据无理数的估算求解出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵，即， ∴，且n为整数， ∴， ∴， 故选：C． 7. 已知a，b是关于x的一元二次方程的两个不等的实数根，则代数式 的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，由根与系数的关系得，将分式变形，然后代入求解，即可求解；掌握根与系数的关系：“、是一元二次方程的两个根，则有”是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：C． 8. 六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球，根据题意画树状图求解即可． 【详解】解：分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球， 列树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的情况有种， 即甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是， 故选：C． 9. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中且均为整数，根据题意得， ， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； ②当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 10. 如图，在中，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质．先求出，在上取点，使得，得到，利用三角形外角的性质得到，证明是等腰直角三角形，设，求出，则，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：在上取点，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 11. 如图，在中，相交于点O，．过点A作垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，的两个外角的平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则k的值是（　　） A. 36 B. 48 C. 49 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，一次函数的性质，求反比例函数解析式，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，过P分别作、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，求出，，勾股定理，根据角平分线的性质得出，设，则，根据等积法得出求出t的值，即可得出答案． 【详解】解：过P分别作、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图所示： 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P， ∴，， ∴， 设，则， ∵ ∴ 解得， ∴， 把代入得． 故选：A． 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 辽宁舰是我国首艘航空母舰，其标准排水量为吨，将数据用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为： 14. 函数中自变量x的取值范围是____________________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 15. 在新农村建设中，某乡镇决定对一段长的乡村道路进行改造．根据需要该工程实际施工时增加了施工人员，每天改造的道路比原计划增加了，结果提前天完成任务，则原计划每天改造道路____． 【答案】##500米 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用（分式方程的工程问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 设原计划每天改造道路，依题意得，解方程即可求出的值．切记，勿忘检验． 【详解】解：设原计划每天改造道路， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 原计划每天改造道路， 故答案为：． 16. 凸透镜成像示意图如图所示，是蜡烛通过凸透镜所成的像．已知蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，光线，则像离凸透镜的水平距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出，进而可得，证明即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 17. 如图，与切于点A，与弦相交于点C，．若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，角的正切等知识．连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得，即， ∴ ∴． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，点D，E在边上，且D是的中点，连接，，，，则阴影三角形的面积为____． 【答案】2 【解析】 【分析】如图，在取点，使，则，证明，可得，设，而，可得，求解，即，证明，求解，进一步求解可得答案． 【详解】解：如图，在取点，使，则， ∵，， ∴，而， ∴， ∴， 设，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴的面积为． 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的定义与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，相似三角形的判定与性质，三角形的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，分式的混合运算等知识点，解题的关键是熟练准确掌握各运算法则． （1）利用二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂等运算法则计算即可； （2）先求出的值，再对分式进行化简，将的值代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 将，代入上式得：原式． 20. 为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在九年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名学生表现优异，他们在近六场比赛中的得分如折线图所示． （1）根据折线图中的数据填空： ①甲近六场比赛的平均得分是 分，乙近六场比赛的平均得分是 分； ②甲近六场得分的众数是 分，乙近六场得分的中位数是 分． （2）求甲、乙两名学生近六场得分的方差． （3）你认为甲、乙两名学生谁在这几场比赛中的表现更好，请说明理由． 【答案】（1）①26，26，②24和28，29 （2）甲学生近六场得分方差为，乙学生近六场得分的方差为 （3）甲、乙两名学生的平均得分相等，说明两人的技能水平相当，但甲得分的方差小于乙得分的方差，说明甲在比赛中发挥更稳定，所以甲的表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，众数，方差，平均数等知识∶ （1）①根据平均数的定义列式计算即可；②根据众数和中位数的定义解答即可； （2）根据方差的定义列式计算即可； （3）根据平均数和方差的定义判断即可． 【小问1详解】 解：①甲近六场比赛的平均得分是：（分）； 乙近六场比赛的平均得分是：（分）； ②甲近六场得分中，28分出现的次数最多，故众数是； 乙近六场得分从小到大排列为：， 故中位数是：； 【小问2详解】 解：甲学生近六场得分的方差：； 乙学生近六场得分的方差：； 【小问3详解】 解：甲、乙两名学生的平均得分相等，说明两人的技能水平相当，但甲得分的方差小于乙得分的方差，说明甲在比赛中发挥更稳定，所以甲的表现更好． 21. 端午节是我国的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比猪肉粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽的盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）在销售猪肉粽的过程中，若猪肉粽每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒猪肉粽，求该商家每天销售猪肉粽能获得的最大利润． 【答案】（1）元，元 （2）元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），实际问题与二次函数（销售问题），一元一次不等式的应用（用一元一次不等式解决实际问题）等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程、函数解析式和不等式是解题的关键． （1）设每盒猪肉粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元，由题意得，解方程即可求出的值，进而可得出猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒的售价为元，由题意得，则猪肉粽每天的销量为盒，且盒，解得，设该商家每天销售猪肉粽获得的利润为元，依题意得，求二次函数的最值，即可求出该商家每天销售猪肉粽能获得的最大利润． 【小问1详解】 解：设每盒猪肉粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则， 每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元； 【小问2详解】 解：设猪肉粽每盒的售价为元，由题意得：， 则猪肉粽每天的销量为盒，且盒， 解得：， 设该商家每天销售猪肉粽获得的利润为元， 依题意得： ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，， 该商家每天销售猪肉粽能获得的最大利润为元． 22. 如图，在中，，，D为边的中点，M为线段上一动点（不与点C，D重合），将线段绕点M顺时针旋转，点A的对应点为E，连接，．求： （1）的度数； （2）的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作边的垂线交于点，则，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，于是可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，，则，即，进而可得，利用可证得，于是可得，，由可得，由三角形的内角和定理及等量代换可推出，然后根据即可求出的度数； （2）由（1）得，则，由线段中点的定义及勾股定理可推出，然后求二次函数的最值，即可得出的最大值． 【小问1详解】 解：如图，过点作边的垂线交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ， ， 为线段上一动点（不与点C，D重合）， ， 为边的中点， ， ， ， 抛物线开口向下， 当时，取得最大值，最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，实际问题与二次函数（图形运动问题），等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，线段中点的有关计算等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点A、点C分别在x轴、y轴正半轴上，点B的坐标为，于点D，交于点E，反比例函数的图象经过点E，且与交于点F． （1）求k的值； （2）连接，P为线段上一动点，求的面积． 【答案】（1）27 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是： （1）证明，求出，即可求解； （2）先求出F的坐标，则可求出，证明，得出，则，进而得出，即可求解． 【小问1详解】 解：在矩形中，点A、点C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， 由（1）知：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，是的直径，C是上一点，P是的延长线上一点，在上取一点E，过点E作的垂线，交于点F，交的延长线于点D，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形等边对等角得到，，由，得到，利用直角三角形的性质得到，根据对顶角相等推出，等量代换得到，即，即可证明结论； （2）过点D作于点G，利用切线的性质及等腰三角形的性质可证，证明，结合，推出，求出，，即可得到，，由，求出，则，利用勾股定理求出，，进而求出，根据等腰三角形三线合一求出，证明，推出，求出，即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过点D作于点G， ∵是的切线； ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接， 若，求点M的坐标； （3）如图②，P是直线上方抛物线上一动点，过点P作，交于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）点M的坐标为 （3）线段的最大值为，点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）先求出两点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）如图，以为圆心，为半径作圆，当点过上时，则， 得到，求出抛物线的对称轴为，设，建立方程求解即可； （3）先求出点C的坐标，证明是等腰直角三角形，延长交y轴于点F，过点作y轴的平行线交于点H，过点Q作于点G，解直角三角形求出，当求最大值时，则取得最大值，求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：将代入，则， 令，解得：， ∴，， 把、的坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，以为圆心，为半径作圆， ∵两点关于抛物线对称轴对称，即抛物线对称轴垂直平分， ∴， 当点过上时，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为，，， 设， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为； 【小问3详解】 解：令，则， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 延长交y轴于点F，过点作y轴的平行线交于点H，过点Q作于点G， ∵轴， ∴， ∴，等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当求最大值时，则取得最大值， 设直线的解析式为， 将代入，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时，，， ∴线段的最大值为，点P的坐标为． 【点睛】主要考查了用待定系数法二次函数的解析式和二次函数的图象性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川省绵阳市平武县中考诊断试卷数学 （考试时间：150分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2025 C. D. 2. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述世间万象的变化．如图为部分“卦”的符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是将正方体切去一个角后形成几何体，则该几何体的左视图为（　　） A B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中放置了一个正方体纸盒的表面展开图．已知， ，则该正方体纸盒能装进的小木棒（粗细忽略不计）的最大长度是（　　） A. 2 B. C. D. 5. 如图，在正六边形中，G是的中点．若，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 6 D. 9 6. 已知，且为整数，则的值是（　　） A. 5 B. C. 6 D. 7. 已知a，b是关于x的一元二次方程的两个不等的实数根，则代数式 的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 10. 如图，在中，，则等于（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，的两个外角的平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则k的值是（　　） A. 36 B. 48 C. 49 D. 64 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 辽宁舰是我国首艘航空母舰，其标准排水量为吨，将数据用科学记数法可表示为______． 14. 函数中自变量x取值范围是____________________． 15. 在新农村建设中，某乡镇决定对一段长的乡村道路进行改造．根据需要该工程实际施工时增加了施工人员，每天改造的道路比原计划增加了，结果提前天完成任务，则原计划每天改造道路____． 16. 凸透镜成像示意图如图所示，是蜡烛通过凸透镜所成的像．已知蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，光线，则像离凸透镜的水平距离为______． 17. 如图，与切于点A，与弦相交于点C，．若，则的值为_____． 18. 如图，在中，，，点D，E在边上，且D是的中点，连接，，，，则阴影三角形的面积为____． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 20. 为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在九年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名学生表现优异，他们在近六场比赛中的得分如折线图所示． （1）根据折线图中的数据填空： ①甲近六场比赛的平均得分是 分，乙近六场比赛的平均得分是 分； ②甲近六场得分的众数是 分，乙近六场得分的中位数是 分． （2）求甲、乙两名学生近六场得分的方差． （3）你认为甲、乙两名学生谁在这几场比赛中的表现更好，请说明理由． 21. 端午节是我国的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比猪肉粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽的盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒进价； （2）在销售猪肉粽的过程中，若猪肉粽每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒猪肉粽，求该商家每天销售猪肉粽能获得的最大利润． 22. 如图，在中，，，D为边的中点，M为线段上一动点（不与点C，D重合），将线段绕点M顺时针旋转，点A的对应点为E，连接，．求： （1）度数； （2）的最大值． 23. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点A、点C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，于点D，交于点E，反比例函数的图象经过点E，且与交于点F． （1）求k的值； （2）连接，P为线段上一动点，求的面积． 24. 如图，是的直径，C是上一点，P是的延长线上一点，在上取一点E，过点E作的垂线，交于点F，交的延长线于点D，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的面积． 25. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接， 若，求点M的坐标； （3）如图②，P是直线上方抛物线上一动点，过点P作，交于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$