专题12 圆（复习讲义）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题12 圆 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 圆（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：垂径定理及其应用 题型二：圆中的角 题型三：正多边形与圆 题型四：弧长及扇形面积 题型五：圆的切线 题型六：圆与三角形 题型七：圆的综合 必备知识 知识1 圆中的定理 知识2 圆中的位置关系 知识3 圆与多边形 命题预测 命题 透视 命题形式： 圆为山东中考必考内容，题型覆盖选择、填空、解答题，基础题多以单选、填空考查单一知识点，中档题侧重定理综合计算，解答题常以压轴题呈现，融合几何推理与代数计算，分值占比稳定，考查梯度清晰。 命题内容： 高频考查垂径定理结合三角比、线段求解；圆周角定理及圆内接四边形角度转化为基础必考点；切线判定、性质与切线长定理是核心重难点；弧长、扇形面积计算常单独命题；压轴题聚焦圆与三角形、相似综合，侧重几何建模、逻辑推理与运算能力，贴合素养立意考查要求。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 垂径定理 T10：垂径定理求三角比； T22：垂径定理求线段的长； T23：结合垂径定理及三角比求线段的长 T8：垂径定理的理解； T22：垂径定理的应用——证明 T23：垂径定理求线段长； T22：垂径定理求线段长 T6：垂径定理证明垂直； 圆中的角 T5：求圆中角的大小； T6：圆内接四边形角的关系求角的大小 T13：求圆周角的大小； T23：求证角的大小关系 T8：求圆心角； T9：圆周角+三角比求半径； T7：量角器求圆周角； T14：由垂直求半径 T23：判断两角的数量关系； T8：求圆周角 圆与直线、圆的位置关系 T20：已知相切求距离； T21：切线的判定 T21：由相切求线段的长； T21：切线的判定 T15：由切线求角度； T22：由切线求角度 T23：切线的判定； T21：切线的判定 T24：切线的判定； T11：切线长定理的应用 扇形与弧长 T21：求扇形的面积； T8：求扇形的面积 T23：求扇形的面积； T10：求扇形的面积 T8：求弧长； T21：求扇形面积； T13：求扇形的面积； T10：求扇形的面积 命题预测 1. 考情预测 2026 年山东中考圆为必考模块，题型、分值保持稳定。基础题侧重垂径定理、圆周角性质、扇形面积公式的直接应用；中档题常结合三角函数考查线段、角度计算，切线判定与性质为高频考点；解答题以圆与三角形、相似综合为主，聚焦逻辑推理与几何运算，凸显素养立意。 2. 备考建议 立足基础，熟记圆的核心定理与计算公式，保证基础题零失误；强化切线证明、垂径定理综合题型训练，总结常用辅助线作法；针对性突破圆的几何综合题，提升推理与建模能力；梳理易错点，规范解题步骤，兼顾计算准确性与答题规范性。 考点一 圆 题型一 垂径定理及其应用 解题常作弦心距、连半径，构造直角三角形，结合勾股定理、三角函数求解线段长与角度；利用定理及推论完成垂直、平分的证明，实现弦、弧、线段的等量转化。 忽略 “平分非直径的弦” 这一前提条件；混淆弦所对优弧、劣弧；三角函数对应边匹配错误；遗漏辅助线导致解题受阻。 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接， ∵小圆与相切于， ， ， 在中，， 则剩余部分的面积为：， 故选：D． 题型二 圆中的角 依托圆周角定理、圆心角定理完成角度转化，遇直径构造直角圆周角；利用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，快速求解角度关系。 混淆同弧与等弧的概念；错记圆周角与圆心角的倍数关系；忽略圆内接四边形性质；角度计算时漏看图形隐含条件。 4．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据可得，可求出的度数，再由和圆内接四边形的性质可求解的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据切线性质定理即可求解． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵直线为的切线， ∴， ∴． 故选：C ． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴且， ∴， 故选：C． 6．（2024·山东滨州·中考真题）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则___________． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； 根据圆内接四边形的性质得到，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型三 正多边形与圆 将正多边形分割为全等直角三角形，结合外接圆半径、边心距，运用勾股定理、锐角三角函数，求解边长、周长与面积。 混淆外接圆半径与边心距；记错正多边形中心角计算公式；分割三角形数量判断错误；三角函数值代入失误。 7．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故选D． 8．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 9．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 题型四 弧长及扇形面积 熟记弧长、扇形面积公式直接计算；不规则图形面积采用割补法、和差法，转化为扇形、三角形等规则图形求解。 混淆弧长与扇形面积公式；圆心角度数与 360° 配比出错；单位未统一；计算阴影面积时重复加减图形面积。 10．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为 (r为底面半径，l为母线长)，由三视图可知，圆锥的母线长，底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径，代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：则所需铁皮面积 故选B 11．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴圆锥侧面展开图的面积为， 故答案为：． 12．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 题型五 圆的切线 切线判定用 “连半径，证垂直”“作垂直，证半径”；切线性质需连接切点与圆心，利用垂直关系推理计算，结合切线长定理简化运算。 判定切线时遗漏核心条件；辅助线作法错误；忽略切线垂直半径的性质；切线长定理中角度、线段等量关系应用疏漏。 13．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，坐标与图形等知识，连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点P作于点A， ∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q， ∴轴， ∵点P的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 题型六 圆与三角形 结合三角形外接圆性质，融合全等、相似、勾股定理，梳理边角等量关系，完成线段计算、角度证明与位置关系判定。 误判三角形外心位置；相似三角形对应边、角匹配错误；忽略直角三角形外接圆直径特性；推理过程逻辑断层。 16．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质与判定，切线长定理，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，则，而，则，由于是的切线，则，再由等式的性质即可证明； （2）可得，设，则，，由切线长定理得到，则，求出，即可求解半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 设， ∴，， ∵是的切线，是的切线， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴半径为． 17．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 18．（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)30 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； （2）解：， 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 题型七 圆的综合 拆解题型，整合垂径定理、切线性质、相似、三角函数等知识，数形结合分步解题，强化几何推理与代数运算的综合应用。 多知识点衔接失误；辅助线构造不合理；复杂计算出现疏漏；证明步骤不规范，逻辑推理不严谨导致失分。 19．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】图见解析；【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握题干给出的信息，判断三角形和四边形的最小覆盖圆，是解题的关键． 20．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析． 【分析】（）设，则，勾股定理得，然后通过线段和差求出，则，所以； （）延长交于点，根据勾股定理得，所以，则有，所以，所以，则，从而可得； （）过点作于点，证明，通过性质可得，设，则，解得，所以，连接，在中，，所以，Rt中，，所以，根据垂径定理，得，所以，又，所以，从而得证． 【详解】（）解：设，则， 在中，根据勾股定理得， 所以， 所以， 所以； （）解：延长交于点， 在中，根据勾股定理，得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以； （3）证明：因为半径，所以，， 过点作于点， 因为平分， 所以， 所以， 所以， 所以， 在中，， 设，则， 解得， 所以， 连接，在中，， 所以， 在Rt中，， 所以， 根据垂径定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正方形的性质，圆内接正五边形，黄金分割点等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 21．（2025·山东·中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 【答案】（1）；（2）该部件的长度符合要求；（3）见解析 【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用． （1）根据切线长定理求解即可； （2）解直角三角形求得，推出，据此求解即可； （3）能，将圆柱换成正方体． 【详解】解：（1）∵分别与，相切于点，， ∴，； （2）∵钢柱的底面圆半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴该部件的长度符合要求； （3）能，将圆柱换成正方体．如图， 设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 模块说明： 总结提炼本考点必须掌握的知识点。 1.详略得当：注意知识的总结性，区别于一轮复习资料，需要详略得当。 2.讲解形式：多采用图、表形式，适当给出易错提醒等拓展知识。 知识1 圆中的定理 1．垂径定理及其应用 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）． 2. 圆心角、弧、弦之间关系的应用问题 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化． 3．圆周角定理的应用问题 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化； （2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”； （3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角． 知识2 圆中的位置关系 1.切线性质： 圆的切线垂直于过切点的半径．当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心． 2. 切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定一条直线是圆的切线时，若直线与圆的公共点已知，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 3. 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识3 圆与多边形 1. 弧长：. 2. 扇形的面积 3. 不规则图形的面积： 求不规则图形的面积，通常是根据图形的特点，弄清阴影部分的构成，然后将不规则图形的面积转化为与其面积相等的规则图形的面积的和或差求解． 4. 正多边形与圆的计算 正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算． 1．（2025·湖南娄底·三模）如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由角平分线和同弧或等弧所对的圆周角相等可推出，再由等腰三角形的性质得，由平行线的性质即可得证； （2）过作交于，由平行线的性质及直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形的特征得，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而得到，最后由勾股定理得，，即可求解； 【详解】（1）证明：连接， 是的平分线， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过作交于， 则， ， ， 是的直径，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 的长为． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，等腰三角形判定及性质，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的特征，勾股定理等；掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，能熟练利用直角三角形的特征，勾股定理进行求解是解题的关键． 2．（2024·山东青岛·二模）已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图：角平分线与线段的垂直平分线，圆的相关性质，．根据题意，先作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可． 【详解】解：作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． 理由：平分 到和的距离相等 垂直平分 是半径 即为的弦． 故即为所求． 3．（2025·山东潍坊·二模）小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，，，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰好与点重合，折痕为，顺次连接，，，，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰好与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2)与所在圆的位置关系是相交，理由见解6790 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，圆与直线的位置关系，熟练掌握菱形的判定和性质，圆与直线的位置关系判定是解题的关键． （1）由折叠得出垂直平分，则，，，根据垂径定理得出，根据弧、弦的关系得出，根据菱形的判定定理即可判断四边形的形状； （2）由折叠可知，所在圆的圆心为点，连接，，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据切线的判定得出与相切，结合可判断与所在圆的位置关系是相交． 【详解】（1）解：四边形为菱形，证明如下： ∵折叠， ∴垂直平分， ∴，，， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：与所在圆的位置关系是相交． 理由如下： 由折叠可知，所在圆的圆心为点， 连接，， ∵是直径， ∴， ∴与相切， ∵， ∴与所在圆的位置关系是相交． 4．（2025·山东滨州·二模）数学文化：人们很早就开始研究天文学，以便通过观察天上日月星辰的位置和运行情况，解决有关计时、历法、航海、地理等许多问题．对天体的观察和测量离不开计算，这促进了数学的发展，三角函数的产生和发展与天文学有密切的关系．保存至今的一张古老的“三角函数表”，是2世纪的希腊天文学家、地理学家、数学家托勒密（）所著的《天文学大成》一书中的一张“弦表”，它对当时的天文计算有重要作用． 尝试推导：（1）如下图，点A，B在上，半径为r连接， 过点A作垂直于点C，圆心角，，则利用所学的三角函数和圆的知识，请尝试推导出与r，l的关系． 问题解决：（2）若，，则______，扇形面积为______． 【答案】（1）sin＝；（2）120， 【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，扇形面积计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）由垂径定理得到，，再解直角三角形可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求可得，则，，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 在中，，即， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得出，结合题意可得，再由三角形内角和定理得，最后由圆内接四边形对角互补可求解； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵ ∴ 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，过的顶点，，与交于点，连接，． (1)求证：是的切线 (2)若，，则________．（结果保留和根号） 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】连接并延长交于点，交于点，连接，根据圆周角定理可证，根据圆周角定理可证，过点作，根据等腰三角形的三线合一定理可证，，等量代换可证，从而可证结论成立； 因为，根据圆周角定理可知，利用勾股定理求出，再根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接并延长交于点，交于点，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图所示，过点作， ， ， 在中，， 又， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如下图所示，连接、， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、扇形的弧长公式、等腰三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质找角的关系． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，是解题的关键，连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 8．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 如果设，那么有． 故答案为：，； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ； （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 9．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和． (1)求证：直线为的切线； (2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，求的值及线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)， 【分析】（1）连接，根据垂径定理可知是的垂直平分线，得，则，再利用可证明，从而证明结论； （2）利用，得，从而得出答案； （3）设，则，，由垂径定理可知是的中位线，得，，在中，由勾股定理得：，从而得出，从而解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，运用参数法表示出中各边的长是解题的关键． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）已知：如图：四边形，点为上一点． 求作：，使，且，与相切． 结论：____________． 【答案】见解析，则即为所求 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作即可． 【详解】如下图， 则即为所求． 11．（2025·山东临沂·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接，，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【详解】（1）证明：是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．如图，连接，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：是的直径，如图，连接，，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定方法是解决本题的关键． 12．（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，以为直径的分别交边，于点D，F，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长； (3)若，，求图中阴影部分的面积．（直接写出计算的结果） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由，得，由等边对等角得，，进而可得，所以，由平行线的性质得出，即可证明是的切线； （2）连接，，利用勾股定理及三角函数解，求出，由等腰三角形三线合一得出，再通过证明，推出，根据对应边成比例即可求解； （3）过点O作于点M，连接，构造矩形，设，则，，解求出半径，根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，， 为的直径，的半径为3， ，， ， ， 在中，， ， 解得（负值舍去）， 中，，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点O作于点M，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 设， ，， 在中，， ， 解得， ，即半径为， ，， ． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，不规则图形面积的计算，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线，综合应用上述知识． 13．（2025·山东滨州·二模）下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请只用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图.（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请确定的外心. (2)在图2中，请作出的角平分线，交于点. (3)若图2中的，则弧的长是_____. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查无刻度直尺作垂直平分线和角平分线，弧长公式； （1）利用网格作，的垂直平分线交于点O，则点O即为所作； （2）取格点D，作射线即可； （3）连接，，根据圆周角定理求出，根据勾股定理求出长，然后利用弧长公式计算解题. 【详解】（1）解：如图，点O即为所作； （2）解：如图，点D即为所作； （3）解：如图，连接，， 则， 又∵， ∴弧的长是， 故答案为：. 4 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 圆 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 圆（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：垂径定理及其应用 题型二：圆中的角 题型三：正多边形与圆 题型四：弧长及扇形面积 题型五：圆的切线 题型六：圆与三角形 题型七：圆的综合 必备知识 知识1 圆中的定理 知识2 圆中的位置关系 知识3 圆与多边形 命题预测 命题 透视 命题形式： 圆为山东中考必考内容，题型覆盖选择、填空、解答题，基础题多以单选、填空考查单一知识点，中档题侧重定理综合计算，解答题常以压轴题呈现，融合几何推理与代数计算，分值占比稳定，考查梯度清晰。 命题内容： 高频考查垂径定理结合三角比、线段求解；圆周角定理及圆内接四边形角度转化为基础必考点；切线判定、性质与切线长定理是核心重难点；弧长、扇形面积计算常单独命题；压轴题聚焦圆与三角形、相似综合，侧重几何建模、逻辑推理与运算能力，贴合素养立意考查要求。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 垂径定理 T10：垂径定理求三角比； T22：垂径定理求线段的长； T23：结合垂径定理及三角比求线段的长 T8：垂径定理的理解； T22：垂径定理的应用——证明 T23：垂径定理求线段长； T22：垂径定理求线段长 T6：垂径定理证明垂直； 圆中的角 T5：求圆中角的大小； T6：圆内接四边形角的关系求角的大小 T13：求圆周角的大小； T23：求证角的大小关系 T8：求圆心角； T9：圆周角+三角比求半径； T7：量角器求圆周角； T14：由垂直求半径 T23：判断两角的数量关系； T8：求圆周角 圆与直线、圆的位置关系 T20：已知相切求距离； T21：切线的判定 T21：由相切求线段的长； T21：切线的判定 T15：由切线求角度； T22：由切线求角度 T23：切线的判定； T21：切线的判定 T24：切线的判定； T11：切线长定理的应用 扇形与弧长 T21：求扇形的面积； T8：求扇形的面积 T23：求扇形的面积； T10：求扇形的面积 T8：求弧长； T21：求扇形面积； T13：求扇形的面积； T10：求扇形的面积 命题预测 1. 考情预测 2026 年山东中考圆为必考模块，题型、分值保持稳定。基础题侧重垂径定理、圆周角性质、扇形面积公式的直接应用；中档题常结合三角函数考查线段、角度计算，切线判定与性质为高频考点；解答题以圆与三角形、相似综合为主，聚焦逻辑推理与几何运算，凸显素养立意。 2. 备考建议 立足基础，熟记圆的核心定理与计算公式，保证基础题零失误；强化切线证明、垂径定理综合题型训练，总结常用辅助线作法；针对性突破圆的几何综合题，提升推理与建模能力；梳理易错点，规范解题步骤，兼顾计算准确性与答题规范性。 考点一 圆 题型一 垂径定理及其应用 解题常作弦心距、连半径，构造直角三角形，结合勾股定理、三角函数求解线段长与角度；利用定理及推论完成垂直、平分的证明，实现弦、弧、线段的等量转化。 忽略 “平分非直径的弦” 这一前提条件；混淆弦所对优弧、劣弧；三角函数对应边匹配错误；遗漏辅助线导致解题受阻。 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 2．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 3．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 题型二 圆中的角 依托圆周角定理、圆心角定理完成角度转化，遇直径构造直角圆周角；利用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，快速求解角度关系。 混淆同弧与等弧的概念；错记圆周角与圆心角的倍数关系；忽略圆内接四边形性质；角度计算时漏看图形隐含条件。 4．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山东滨州·中考真题）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则___________． 题型三 正多边形与圆 将正多边形分割为全等直角三角形，结合外接圆半径、边心距，运用勾股定理、锐角三角函数，求解边长、周长与面积。 混淆外接圆半径与边心距；记错正多边形中心角计算公式；分割三角形数量判断错误；三角函数值代入失误。 7．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 9．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 题型四 弧长及扇形面积 熟记弧长、扇形面积公式直接计算；不规则图形面积采用割补法、和差法，转化为扇形、三角形等规则图形求解。 混淆弧长与扇形面积公式；圆心角度数与 360° 配比出错；单位未统一；计算阴影面积时重复加减图形面积。 10．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 12．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______． 题型五 圆的切线 切线判定用 “连半径，证垂直”“作垂直，证半径”；切线性质需连接切点与圆心，利用垂直关系推理计算，结合切线长定理简化运算。 判定切线时遗漏核心条件；辅助线作法错误；忽略切线垂直半径的性质；切线长定理中角度、线段等量关系应用疏漏。 13．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 14．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 15．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 题型六 圆与三角形 结合三角形外接圆性质，融合全等、相似、勾股定理，梳理边角等量关系，完成线段计算、角度证明与位置关系判定。 误判三角形外心位置；相似三角形对应边、角匹配错误；忽略直角三角形外接圆直径特性；推理过程逻辑断层。 16．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 17．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 题型七 圆的综合 拆解题型，整合垂径定理、切线性质、相似、三角函数等知识，数形结合分步解题，强化几何推理与代数运算的综合应用。 多知识点衔接失误；辅助线构造不合理；复杂计算出现疏漏；证明步骤不规范，逻辑推理不严谨导致失分。 19．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 20．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 21．（2025·山东·中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 模块说明： 总结提炼本考点必须掌握的知识点。 1.详略得当：注意知识的总结性，区别于一轮复习资料，需要详略得当。 2.讲解形式：多采用图、表形式，适当给出易错提醒等拓展知识。 知识1 圆中的定理 1．垂径定理及其应用 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）． 2. 圆心角、弧、弦之间关系的应用问题 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化． 3．圆周角定理的应用问题 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化； （2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”； （3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角． 知识2 圆中的位置关系 1.切线性质： 圆的切线垂直于过切点的半径．当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心． 2. 切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定一条直线是圆的切线时，若直线与圆的公共点已知，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 3. 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识3 圆与多边形 1. 弧长：. 2. 扇形的面积 3. 不规则图形的面积： 求不规则图形的面积，通常是根据图形的特点，弄清阴影部分的构成，然后将不规则图形的面积转化为与其面积相等的规则图形的面积的和或差求解． 4. 正多边形与圆的计算 正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算． 1．（2025·湖南娄底·三模）如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．（2024·山东青岛·二模）已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 3．（2025·山东潍坊·二模）小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，，，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰好与点重合，折痕为，顺次连接，，，，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰好与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 4．（2025·山东滨州·二模）数学文化：人们很早就开始研究天文学，以便通过观察天上日月星辰的位置和运行情况，解决有关计时、历法、航海、地理等许多问题．对天体的观察和测量离不开计算，这促进了数学的发展，三角函数的产生和发展与天文学有密切的关系．保存至今的一张古老的“三角函数表”，是2世纪的希腊天文学家、地理学家、数学家托勒密（）所著的《天文学大成》一书中的一张“弦表”，它对当时的天文计算有重要作用． 尝试推导：（1）如下图，点A，B在上，半径为r连接， 过点A作垂直于点C，圆心角，，则利用所学的三角函数和圆的知识，请尝试推导出与r，l的关系． 问题解决：（2）若，，则______，扇形面积为______． 5．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，过的顶点，，与交于点，连接，． (1)求证：是的切线 (2)若，，则________．（结果保留和根号） 7．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 8．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 9．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和． (1)求证：直线为的切线； (2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，求的值及线段的长． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）已知：如图：四边形，点为上一点． 求作：，使，且，与相切． 结论：____________． 11．（2025·山东临沂·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 12．（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，以为直径的分别交边，于点D，F，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长； (3)若，，求图中阴影部分的面积．（直接写出计算的结果） 13．（2025·山东滨州·二模）下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请只用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图.（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请确定的外心. (2)在图2中，请作出的角平分线，交于点. (3)若图2中的，则弧的长是_____. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $