精品解析：甘肃陇南市康县第一中学2025-2026学年高三下学期阶段检测（三）数学试卷

2025-2026学年高三下学期阶段检测（三） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数对应点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，再由复数的乘法运算，即可求解. 【详解】因为复数对应点的坐标是，则， 所以. 故选：A 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法运算规则计算求解． 【详解】已知向量，， ，故B正确． 故选：B． 3. 命题：，，则是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得： 命题“，”的否定是“，”. 即：，. 4. 如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图： 下列结论中错误的是（ ） A. 从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加 B. 2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 C. 2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 D. 1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 【答案】D 【解析】 【分析】利用折线图、条形图及扇形图的特点即可求解. 【详解】对于A，从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确； 对于B，从扇形图中能够明显地看出2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确； 对于C，从条形图中能够明显地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平，故C正确； 对于D，由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误. 故选：D. 5. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值. 【详解】因为函数为奇函数，即， 所以，可得①， 因为函数是偶函数，即， 所以，可得②， 联立①②可得，因此. 故选：C. 6. 若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦和同角的三角函数基本关系式结合齐次化可求三角函数的值. 【详解】因为，故 ， 故选：C. 7. 如图，已知三棱锥中，平面平面，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到直线在平面内的投影，从而确定线面角，再通过几何计算求出其正弦值. 【详解】取的中点，连接、，如图所示： 因、，由等腰三角形“三线合一”，得，. 又平面平面，平面平面，且平面， 根据面面垂直的性质定理，得平面， 又平面，则. 因此， 是在平面内的投影，即为直线与平面所成的角. 在中，由余弦定理，得， 因此. ，， 在中， ， 故选：C 8. 已知函数，，则下列关于函数的极值点的叙述，正确的是（ ） A. 既没有极大值点也没有极小值点 B. 既有极大值点也有极小值点 C. 有且只有一个极小值点 D. 有且只有一个极大值点 【答案】D 【解析】 【分析】先应用二倍角公式化简，再求出导函数得出函数单调性再结合极值定义判断即可. 【详解】因为，所以， 设， 当，在上单调递减， 所以存在唯一， 当，在上单调递增， 当，在上单调递减，所以是函数的极大值点， 所以函数有且只有一个极大值点. 故选：D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上有两个极值点 C. 的图象关于点中心对称 D. 直线与的图象相切 【答案】BD 【解析】 【分析】先由余弦函数对称性性质得，进而求出参数，即求得函数解析式，接着由和在上不单调即可判断A；由结合极值点定义即可求解判断B；由即可判断C；利用导数工具结合三角函数性质求切点，根据解的情况即可判断D. 【详解】函数的图象关于直线对称， 则，则，又， 所以，所以函数， 若，则， 因为在上不单调，所以在区间上不单调，A错误； 令， 故若，则在区间上有两个极值点为，B正确； 因为，故的图象关于点中心对称，C错误； ，设直线与的图象相切于点， 则或， 所以或， 当时，即切点为， 将切点代入直线得，则， 所以直线与的图象相切，切点为； 当时，即切点为， 将切点代入直线得，则整数k无解，不成立； 综上直线与的图象相切于点，D正确. 故选：BD 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上的动点且不在轴上，则（ ） A. 的离心率为 B. 的面积的最大值为 C. 的最小值为 D. 以的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接根据椭圆标准方程计算离心率可判定A，利用椭圆性质计算焦点三角形面积可判定B，利用椭圆定义及基本不等式可判定C，利用点到线的距离公式结合椭圆的对称性可判定D. 【详解】由题易知，，，所以，. 设. 对于A，的离心率，故A正确； 对于B，由题可知，当点位于的上、下顶点处时，的面积最大， 且最大值为，故B正确； 对于C，因为，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 对于D，由题可知的左顶点为，上顶点为， 这两点所在直线的方程为， 根据对称性可知，以的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径即为原点到直线 的距离，即，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，以下命题正确的是（ ） A. 若函数不存在极值，则实数b的取值范围是 B. 方程的所有实根的和为8 C. 过点且与曲线相切的直线有三条 D. 方程，则的极大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：求导，由判别式小于等于得出实数的取值范围；对B：根据对称性得出所有实数的和；对C：利用导数的几何意义得出方程的根，得出切线的条数；对D：利用导数得出极值. 【详解】对A，因为， 所以，若函数不存在极值， 则有，解得，故A错误； 对B，函数， 由为奇函数，关于原点对称，可得的图象关于点对称， 且函数的图象也关于点对称， 所以与的图象交点关于点对称， 由图可知与的图象有四个交点， 所以方程有四个不同的根， 所以方程的所有实数根的和为，故B正确； 对C，设过点的直线与曲线相切于点， 的导数为，则有， 又点在曲线上，所以， 代入上式，，化简有. 设，三次方程最多3个根， 且，，，， 则分别在上各有一零点，即有3个不相等的实数根， 所以过点且与曲线相切的直线有三条，故C正确； ④化简得 ，当，单调递增，当，单调递减.故极大值为，故D错误. 故答案为：BC 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 随机变量的分布列如表所示，且，则______________. 0 1 2 3 0.1 0.1 【答案】1.5## 【解析】 【分析】根据题意结合分布列的性质求得，进而求期望即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以. 故答案为：1.5. 13. 记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为______． 【答案】218 【解析】 【分析】根据题意，列式求出的通项公式，判断当时，，当时，，列式求出数列的前20项和为. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， ，可得当时，，当时，， 设数列的前20项和为， 则 . 故答案为：218. 14. 已知正方体，正方体所有顶点都在平面的同一侧，正方体的8个顶点到平面的距离恰好为1，2，3，4，5，6，7，8，则正方体的棱长为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式建立等量关系求解. 【详解】将平面平移到经过顶点，平移后各顶点到平面的距离依次为0，1，2，3，4，5，6，7.以为原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，分别是在平面上的射影，设正方体的棱长为，为平面的法向量，不妨设到平面的距离分别为（到平面的距离为3）. 则， 所以， 所以，所以， ，所以， ，所以. 所以，令，则，， 所以，由，得，所以. 故答案为： 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． （1）若，求线段的长度； （2）当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积求出，再在中利用余弦定理可得； （2）设，根据面积求出，再在中利用正弦定理可得，结合辅助角公式、二倍角公式化简，最后利用三角函数求最值即可. 【小问1详解】 因为的面积为，，， 所以，则， 在中利用余弦定理得， 所以线段的长度为. 【小问2详解】 设， 因为的面积为，，所以，则， 因为，所以， 因为，所以 在中利用正弦定理可得，， 则 ， 因为，所以，则， 则，则， 等号成立时，则，即， 故当时线段的长度最小，最小为. 16. 已知数列的首项，且满足（） （1）求证：数列为等比数列；求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项的和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）由（1）求得，再由裂项相消法求和，即可求解. 【小问1详解】 由得， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 所以 . 17. 如图，在三棱锥中，． （1）证明：； （2）若和所在平面垂直，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 【答案】（1） 取中点，连接． 因为，所以． 又由题，可得≌，则， 故． 因为平面，所以平面， 又平面，所以. （2）或． 【解析】 【分析】（1）取中点，求证，，再结合线面垂直的判定定理和定义求证； （2）法一：以点为坐标原点建系，设，分别计算两个平面的法向量，利用向量求出面面角即可得出；法二：过点作于点，过点作于点，证明为平面与平面所成的角，再在、中利用三角函数值建立关系即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：设， 由平面平面且平面平面，由面面垂直的性质定理可知， 可以点为坐标原点，过点垂直于平面的直线为轴，直线为轴， 过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则有， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，故可取， 易知平面的一个法向量为， 则，解得， 所以或， 法二：如图，过点作于点，过点作于点，连接． 因为平面平面且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 又，平面， 所以平面，即为平面与平面所成的角， 由题，可知． 设，则， 所以在中，，所以， 在中，， 所以，即， 所以或． 18. 当一个函数值域内任意一个函数值都有且只有一个自变量与之对应时，可以把这个函数的函数值作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由，得，通常用表示自变量，则写成，我们称与互为反函数.已知函数与互为反函数，若两点在曲线上，两点在曲线上，以四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”. （1）若函数，且点在曲线上. （i）求曲线在点A处的切线方程； （ii）求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积. （2）若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明：.（参考数据：） 【答案】（1）（i）； （ii）； （2） 证明：由得其反函数为， 所以和图象关于直线对称，且由其性质可知， 根据对称性可设关于直线对称，关于直线对称，则， 设，其中， 则，，因为“关联矩形”是正方形， 所以，， 所以， 由，得，所以， 所以由得即. 对于函数，则， 故函数在上单调递增，故即， 令， 则且， 则在上单调递增，所以， 所以，因为， 令，则，当时，单调递增， 则， 从而. 【解析】 【分析】（1）（i）先由点在曲线上求出点A，再利用导数工具求出即可由直线的点斜式方程得解；（ii）先由反函数性质依次得出的反函数和A关于直线对称的点为D，从而得和，再由题意以及图象特征得和，进而得直线的方程，接着联立求出点C即可得，从而计算即可得解. （2）先由题意设关于直线对称，关于直线对称得，进而设得，再由已知信息结合得到，接着建立函数并利用导数工具研究其单调性从而由和得，从而借助的单调性得证. 【小问1详解】 （i）因为点在曲线上，所以，即， 由，得，则， 所以曲线在点A处的切线方程为即. （ii）由（1），由得其反函数为， 则函数和图象关于直线对称，设A关于直线对称的点为D， 则D在曲线上，且，， 则， 由题意以及由图象特征可知，则，直线的方程为， 联立方程组解得或（舍去）， 则， 则该“关联矩形”的面积. 【小问2详解】 略. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是正确处理四点的关系，从而根据四点之间的关系结合得到，关键点2是建立函数并利用导数工具研究其单调性从而由和得，从而借助的单调性得证. 19. 双曲线的离心率为，斜率为的直线和斜率为的直线均过原点，且分别与的右支交于点和点． （1）求实数的值； （2）作斜率为的过原点的直线（异于）与的右支分别交于点，记的面积为． （i）求证：： （ii）若，且，记，证明：． 【答案】（1）16 （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式得到方程，解出即可； （2）（i）通过联立方程求出，，，的坐标，再利用两点斜率公式即可证明平行； （ii）利用点到直线的距离公式和三角形面积公式求出的表达式，利用导数求出其值域，最后再利用放缩和裂项相消法即可证明不等式. 【小问1详解】 双曲线的离心率，，. 【小问2详解】 （i）联立：， 即：， 同理，有：． ， 同理，有：， . 比较可得：． （ii）由（i）知：当时，． ，且. 同理有：， 到的距离. . 令，则， 令，解得，令，解得， 则当时，单调递减；当时，单调递增， ，当时，；当时，， 因此， ， . 又时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期阶段检测（三） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数对应点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 命题：，，则是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图： 下列结论中错误的是（ ） A. 从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加 B. 2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 C. 2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平 D. 1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 5. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 10 7. 如图，已知三棱锥中，平面平面，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，则下列关于函数的极值点的叙述，正确的是（ ） A. 既没有极大值点也没有极小值点 B. 既有极大值点也有极小值点 C. 有且只有一个极小值点 D. 有且只有一个极大值点 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上有两个极值点 C. 的图象关于点中心对称 D. 直线与的图象相切 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上的动点且不在轴上，则（ ） A. 的离心率为 B. 的面积的最大值为 C. 的最小值为 D. 以的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径为 11. 已知函数，以下命题正确的是（ ） A. 若函数不存在极值，则实数b的取值范围是 B. 方程的所有实根的和为8 C. 过点且与曲线相切的直线有三条 D. 方程，则的极大值为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 随机变量的分布列如表所示，且，则______________. 0 1 2 3 0.1 0.1 13. 记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为______． 14. 已知正方体，正方体所有顶点都在平面的同一侧，正方体的8个顶点到平面的距离恰好为1，2，3，4，5，6，7，8，则正方体的棱长为______. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． （1）若，求线段的长度； （2）当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 16. 已知数列的首项，且满足（） （1）求证：数列为等比数列；求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项的和． 17. 如图，在三棱锥中，． （1）证明：； （2）若和所在平面垂直，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 18. 当一个函数值域内任意一个函数值都有且只有一个自变量与之对应时，可以把这个函数的函数值作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由，得，通常用表示自变量，则写成，我们称与互为反函数.已知函数与互为反函数，若两点在曲线上，两点在曲线上，以四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”. （1）若函数，且点在曲线上. （i）求曲线在点A处的切线方程； （ii）求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积. （2）若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明：.（参考数据：） 19. 双曲线的离心率为，斜率为的直线和斜率为的直线均过原点，且分别与的右支交于点和点． （1）求实数的值； （2）作斜率为的过原点的直线（异于）与的右支分别交于点，记的面积为． （i）求证：： （ii）若，且，记，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $