8.4.1平面课件(2)-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4.1 平面(2) 第八章 立体几何初步 复习回顾 1.平面的含义： 2.平面的性质： (1)平面的特征： (2)平面的表示： ①用希腊字母表示：平面、平面β、平面γ. ②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC. ①平 ②无厚薄 ③无限延展的 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. (2)基本事实2 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”. (1)基本事实1 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 新知探究 B α 问题1 如下图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？ B 新知探究 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. l P 若平面α与β相交于直线l，则把l叫做α与β的交线，记作α∩β=l . 符号语言：若P∈α，P∈β⇒α∩β=l，且P∈l. 作用：①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上． l 新知应用 α β β α 问题2 如何画出两个相交平面？ 新知应用 例1 (1)如图所示，用符号语言可表述为（　A　） A. α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 《三维设计》P56训练2 (2)画图(其中P,M表示点，l,m表示直线，α,β表示平面)： ①P∈l，P∉α，l∩α＝M； ②α∩β＝m，P∈α，P∉m. A 新知应用 例2 如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O. 求证：B,D,O三点共线. 证明 ∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD. ∴EH⊂平面ABD. ∵EH∩FG=O，∴O∈平面ABD. 同理O∈平面BCD，即O为面ABD与面BCD的公共点， ∵面ABD∩面BCD=BD， ∴ O∈BD，即B，D，O三点共线. 题型 点共线、线共点问题 新知应用 题型 点共线、线共点问题 例3 如图，已知平面α,β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β. 求证：AB,CD,l共点. 证:∵在梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB与CD必定相交于一点， 如图，设AB∩CD＝M. 又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α且M∈β， 又 ∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB,CD,l共点. 《三维设计》P57例4 方法总结 证明三线共点、三点共线的方法 总结归纳 1.证明三线共点的方法 （1）首先说明两条直线共面且交于一点； （2）然后说明这个点在另外两个平面上，并且这两个平面相交； （3）最后证明得到的交线也过此点，从而得到三线共点. 2.证明三点共线的方法 法1 ：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据 基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上； 法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上. 新知应用 题型 点共线、线共点问题 例4 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中 点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线. 《三维设计》P58训练4 C1 C B A B1 D A1 D1 新知应用 题型 点共线、线共点问题 例5 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点. P 证：设D1F∩CE＝P， ∴点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点． 又∵平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA， ∴P∈DA， 即CE，D1F，DA三线交于一点． ∵D1F⊂平面A1D1DA， CE⊂平面ABCD， 1.平面的含义： 2.平面的性质： (1)平面的特征： (2)平面的表示： ①用希腊字母表示：平面、平面β、平面γ. ②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC. ①平 ②无厚薄 ③无限延展的 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. (2)基本事实2 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”. (1)基本事实1 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (3)基本事实3 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 课堂小结 $