7.4.1二项分布 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1 二项分布 同步练习 解答 细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（    ） A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立 2．下列说法正确的个数是 ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且； ②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，中奖张数是一个随机变量，且； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 4．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 6．已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有（    ） A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为 C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为 7．已知，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 三、填空题 8．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，则第1次取出的2个球1个是白球，1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率为______________. 9．如果随机变量，，那么当X、Y变化时，使成立的的个数为_________. 10．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为__________、该顾客第__________次摸球抽中奖品的概率最大． 四、解答题 11．我省实行的新高考方案3＋1＋2模式，其中统考科目：3指语文、数学、外语三门，不分文理；学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，1指首先在物理、历史2门科目中选择一门；2指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为． (1)求该校最终选地理的学生概率； (2)该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X． ①求随机变量的概率； ②求X的分布列以及数学期望． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《7.4.1 二项分布 同步练习 解答 细目表 》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C D C ACD ABD BCD 1．A 【分析】结合相互独立事件的概念直接判断即可 【详解】因为事件A是否发生对事件B、C是否发生不产生影响，所以A与B，A与C均相互独立. 故选：A 2．C 【分析】利用独立重复试验的概念和二项分布的定义逐一分析判断每一个命题的真假即得解. 【详解】①某同学投篮的命中率为0.6，该同学投篮10次，是一个独立重复试验，所以他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且，所以该命题正确； ②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中奖的概率都为，相当于做了8次独立重复试验，中奖张数是一个随机变量，且，所以该命题正确； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球为止，所以它不是一个独立重复性试验，因为当时，概率为，当时，概率为，当时，概率为，依次类推，即每次试验摸到白球的概率不相等，所以它不是独立重复性试验，所以不服从,所以该命题错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查独立重复试验和二项分布，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．D 【分析】根据题意判断随机变量服从二项分布，根据二项分布期望方差的定义逐项判断. 【详解】由题意知，表示5个独立位置中出现1的个数，因此服从二项分布 . ，A错误； 二项分布期望，B错误； 两个五位二进制数都含2个1、3个0，概率均为 ，概率相同，C错误； 二项分布方差，D正确. 4．C 【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可． 【分析】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 5．ACD 【分析】AB选项，利用二项分布期望和方差公式得到AB正确；C选项，利用二项分布求概率公式进行求解；D选项，利用对立事件求概率公式进行计算. 【详解】AB选项，，，A正确，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确． 故选：ACD 6．ABD 【分析】根据古典概型及组合数即可判断A；根据二项分布的方差公式计算即可判断B；根据条件概率公式即可判断C；根据二项分布的概率公式即可判断D． 【详解】对于A，恰有1个白球的概率，故A正确； 对于B，每次任取1个球，取到红球的次数， 则方差为，故B正确； 对于C，设为事件“第一次取到红球”，为事件“第二次取到红球”， 则，，所以，故C错误； 对于D，每次取到红球的概率， 所以有放回地取球3次，每次任取1个球，取到两次红球的概率为，故D正确， 故选：ABD． 7．BCD 【分析】根据已知条件结合二项分布的期望、方差、概率的计算，对各个选项分别判断即可． 【详解】解：，， 若，则，，故A选项错误，B选项正确， ，，故C选项正确， ，， 化简整理可得，解得，故D选项正确． 故选：BCD． 8． 【解析】分别求解第1次和第2次的概率，结合事件的独立性可得. 【详解】记“第1次取出的2个球中1个是白球，1个是红球”为事件，“第2次取出的2个球都是白球”为事件，则，，则. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，利用独立事件的乘法公式可求，侧重考查数学运算的核心素养. 9．2025 【分析】由二项分布的概率公式和组合数的性质计算可得. 【详解】由题意可得， ， 因为， 所以， 所以使成立的的分别为，共2025个， 故答案为：2025. 10． 2 【分析】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，易得，利用全概率公式求出，依题意推出，记，可得递推关系，构造等比数列，求出通项，再分奇偶讨论的增减性求出其最大值即得答案. 【详解】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，， . 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故. 当为奇数时，， 当为偶数时，，则随着的增大而减小，所以. 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 故答案为：①；② 2. 11．【分析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算即可； (2)①根据二项分布概率计算公式计算即可；②先利用二项分布概率计算公式分别求出 时的概率，进而得到随机变量X的分布列，结合二项分布数学期望计算公式即可得出结果. 【详解】（1）该校最终选地理的学生为事件A， ， 所以该校最终选地理的学生为； （2）①：由题意知， X的所有可能取值为0、1、2、3，且， 所以； ②：由，得 ， ， ， ， 所以随机变量X的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以. 考查范围：7.4.1 二项分布 同步练习 双向细目表 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 相互独立事件与互斥事件 2 容易 独立重复试验的概念 3 较易 独立重复试验的概率问题 4 适中 利用二项分布求分布列 二、多选题 5 容易 独立重复试验的概率问题 6 较易 建立二项分布模型解决实际问题 7 适中 服从二项分布的随机变量概率最大问题 三、填空题 8 容易 独立重复试验的概率问题 9 适中 利用二项分布求分布列 10 较难 递推法求概率 四、解答题 11 适中 递推法求概率,独立重复试验的概率问题,利用二项分布求分布列,服从二项分布的随机变量概率最大问题 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $