精品解析：上海市黄浦区2026届高三二模考试数学试卷

高三数学试卷 （完成试卷时间：120分钟 总分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1～6题每题满分4分，第7～12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式化简集合B，进而可求交集. 【详解】由题意可知：集合， 且集合，所以. 2. 若直线与垂直，则a的值为______． 【答案】3 【解析】 【详解】若直线与垂直， 则，解得. 3. 底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图结合扇形的弧长公式运算求解. 【详解】设侧面展开图中扇形的中心角为， 由题意可得：，解得， 所以侧面展开图中扇形的中心角为. 4. 在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列性质运算求解即可. 【详解】因为，，则， 且，所以. 5. 在的展开式中，含项的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用二项式定理的展开式的通项公式：即可求解. 【详解】的展开式的通项公式：， 令，解得， 所以含项的系数为. 故答案为： 【点睛】本题考查了二项式定理，需熟记通项公式，考查了基本运算能力，属于基础题. 6. 如图是某班级30名学生某次数学测验的得分茎叶图（茎为十位，叶为个位），则这些测验分数的第80百分位数是______． 【答案】76 【解析】 【分析】根据茎叶图结合百分位数的定义运算求解即可. 【详解】因为，可知第80百分位数是第24位数与25位数的平均数 由茎叶图可知数据的第24位数与25位数分别为75，77， 所以第80百分位数是. 7. 已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，结合同角三角函数关系运算求解，注意根据符号判断角所在象限. 【详解】因为，即， 且，可知角为第四象限角， 所以. 8. 在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】设复数u在复平面内对应的点为A，可得，结合模长关系可得，进而可得向量夹角. 【详解】设复数u在复平面内对应的点为A， 由题意可知：，，，， 则， 即，解得，可得， 且，可得， 所以向量与的夹角为. 9. 某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数可得，结合对立事件概率公式求解. 【详解】设“社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动”为事件A， 则事件为社长与副社长两人均不参加联谊活动， 则，可得， 所以社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为. 10. 已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】联立抛物线和双曲线方程，根据韦达定理可得，结合抛物线的定义可得，即可得双曲线离心率. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为， 设，， 联立方程，消去可得， 则，解得，可得， 又因为，则， 即，可得，可得， 所以双曲线的离心率为. 11. 在空间直角坐标系中，将点集所表示的立方体的表面满足的部分记为S，同时满足“”与“或”的点P的集合所表示几何体的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断出为正方体的四个侧面和下底面，然后得到“”表示的几何体为正方体的外接球，满足条件的点即为从点出发的不超过和球面的线段上的点，将它们分为射向上底面和其它五个面两个部分，相加即可得到所求几何体体积. 【详解】点集表示的是以原点为中心的边长为2的正方体， 为满足的部分即除去了后剩余的部分，也就是除了上底面以外的五个面， 条件“”表示点在以原点为球心的半径为的球体内，因为， 所以这个球刚好也是正方体的外接球，即为线段， 条件“或”表示线段与要么没有交点，要么交点就是， 考虑从点出发的线段，射向上底面的线可以到达球面，这一部分构成个球体， 射向包含的五个面可以到达正方体的表面，这一部分构成五个四棱锥，每个四棱锥都是正方体的， 所以所求几何体的体积为. 12. 如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 【答案】平方米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，则.记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为.以为坐标原点直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线的方程为，根据点到直线的距离公式，将的面积表示为的函数，利用导数分析其单调性，并求得最大值. 【详解】由题意知，，，，， 所以. 过点作，垂足为，则. 记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为. 如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则. 易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，， 所以. 的最大面积为. 由圆的对称性，不妨令. 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减. 令，得， 即，化简得. 因为，所以，所以. 所以当时，，；当时，，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以的最大面积为平方米. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13. 若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，可知直线a，b是共面直线，则存在平面，使，，即充分性成立； 若存在平面，使，，则直线a，b可能相交，即必要性不成立； 综上所述：“”是“存在平面，使，”的充分非必要条件. 14. 变量，之间的一组相关数据如表所示：若，之间的线性回归方程为，则的值为（ ） 4 5 6 7 8.2 7.8 6.6 5.4 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题先求样本点中心，再利用线性回归方程过样本点中心直接求解即可. 【详解】解：，， 所以样本点中心：， 线性回归方程过样本点中心，则 解得：， 故选：C 【点睛】本题考查线性回归方程过样本点中心，是简单题. 15. 设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（ ）． A. ①和②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①和②均错误 【答案】B 【解析】 【分析】对于①：根据函数奇偶性和单调性的性质分析判断；对于②：举反例说明即可. 【详解】对于①：若是奇函数且在区间上严格增， 则在区间上严格增，可知在定义域R上严格增， 因为，则，可得； 若是偶函数且在区间上严格增，且， 则，且，， 可得，所以； 综上所述：①正确； 对于②：例如， 可知对任意的，， 但，，所以既不是奇函数也不是偶函数， 故②错误. 16. 若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（ ）． A. 任意一个T数列均不是等差数列 B. 任意一个T数列均不是等比数列 C. T集中含有且仅含有有限个等差数列 D. T集中含有无穷多个等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】对于AC：举例说明即可，例如等差数列的公差为，结合题意分析判断；对于BD：设等比数列的公比为，结合零点存在性定理可知存在使得，结合题意分析判断即可. 【详解】对于选项AC：例如等差数列的公差为， 则，， 注意到能表示大于的所有正整数， 且为整数，必能用两个大于的整数之差表示， 所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误； 对于选项BD：设等比数列的公比为，则， 对于确定的，令，， 令， 因为，则，可知函数在内单调递增， 且，，可知函数在内有且仅有一个零点. 即存在使得，即， 此时， 对于不同的，的零点可以看出方程的解， 即与在交点的横坐标， 当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个， 所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确； 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． （1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； （2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； （3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 【答案】（1）0.7 （2） （3）；； 【解析】 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合贝叶斯公式运算求解； （3）分析可知，结合二项分布求分布列、期望和方差. 【小问1详解】 设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B． 由题意可知：，，，， 由全概率公式可得， 所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7． 【小问2详解】 由题意可知：， 所以小明出发时不下雨的概率为． 【小问3详解】 由题意可知：， 则，； ；； 可知X的分布列为， 所以X的数学期望，方差． 18. 如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且． （1）求证：平面平面； （2）若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：设，由可求出的长，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成的角的大小； 解法二：连接，过作平面，垂足为，连接，则就是直线与平面所成的角，取的中点，连接，取的中点，连接， 证明出平面，利用等体积法求出的长，结合线面角的定义求解即可； 解法三：设是的中点，连接、、，证明出平面，可知点与到平面的距离相等，证明出平面，可得出点到平面的距离等于的长，并求出的长，结合线面角的定义求解即可. 【小问1详解】 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 解法一：由平面，平面，可知， 又因为是正三角形，所以． 设，由，， 可得，故， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成的角的大小为． 解法二：连接，过作平面，垂足为，连接， 则就是直线与平面所成的角， 取的中点，连接，取的中点，连接， 因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为、分别为、的中点，所以，则， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以平面，且， 因为，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，， 所以， 所以，解得， 又， 故，则， 所以与平面所成的角的大小为． 解法三：设是的中点，连接、、， 因为，，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 点与到平面的距离相等． 由四边形是正方形，、、分别为、、的中点， 故，所以，故，即， 又平面平面，平面，平面平面， 故平面，易知，故到平面的距离也为， 又， 设与平面所成的角为，则，故， 所以与平面所成的角的大小为． 19. 已知． （1）求函数的最小正周期与单调增区间； （2）将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，单调增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和正弦型函数的单调性可求得答案； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据函数满足条件①以及的范围可得出的值，再根据函数满足条件②可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． 【小问2详解】 由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 20. 已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． （1）求点、的坐标； （2）若，求直线的方程； （3）设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 【答案】（1）、 （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的半焦距，可得出点、的坐标； （2）设直线的方程为，设、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程； （3）求出线段的中点的坐标，可得出直线的斜率，将代入直线的方程，可得出点的坐标，即可求出直线的斜率，结合题意可知直线、的斜率相等，可求出的值，再求出、，即可求得的最大值. 【小问1详解】 椭圆的半焦距，故、. 【小问2详解】 由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设、， 将代入，得，则， 故，， 又，， ，解得， 所以直线的方程为或． 【小问3详解】 设线段的中点为，由（2）知，， 直线的斜率， 易知直线的方程为， 将代入直线的方程，可得， 直线的斜率， 因为直线平分线段，则，所以对任意的实数恒成立， 则，解得， 故存在唯一的常数，使得平分线段． 此时， ，所以， 令，则，故（当且仅当时，）， 所以的最大值为． 21. 对于公共定义域为D的函数与，定义集合． （1）若，，求； （2）若，，且，求的最小值； （3）已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：． 【答案】（1）． （2）． （3）证明见详解． 【解析】 【分析】（1）先求出 的解析式，再转化为二次函数值域问题求解. （2）由题设可知函数 的值域为非负实数集，从而其最小值为 ，再据此构造极值点并结合基本不等式求最小值. （3）法一：由 得 ．取 ，构造 ，证明其为常量，从而得到 ．再结合单调性与连续性，求出 ，进而求得 . 法二：由 得 ．再分正整数、零、负整数三种情况迭代，证明 ．结合单调递增与图像连续，得到 ，从而求得 . 法三：先由 推出 ．再对正整数、负整数分别迭代，得到对任意 ，都有 ．最后结合连续性与单调性确定 的值域，进而求得 . 【小问1详解】 由题意，. 因为 ，所以 . 当 时，等号成立．故 =. 【小问2详解】 令 . 由题设可知， 的值域为非负实数集，从而其最小值为 . 设 时取到最小值，则 ，且 ， 因为所以. 又由 ，得即. 从而. 由 可得故 令 ，则当且仅当 时，等号成立. 此时 ，由 得 ，于是 ，又 ，故 ．所以 的最小值为 . 【小问3详解】 法一：由 可知，对任意 ，都有. 而所以. (1) 已知存在正数 ，使得. 对任意整数 ，令. 由式（1）可得即. 所以 为常量，即对任意 ，都有. 于是. (2) 下面证明 . 先证 对任意 都成立． 任取 ，必存在 ，使. 因为 在 上为增函数，所以. 故对任意 ，都有． (3) 再由式（2）知且. 由于 的图像是连续曲线，且 在 上单调递增，因此 的值域为． 又因为所以 当 取遍 时， 也取遍 ． 故. 法二： 由 可知，对任意 ，都有. 而所以． (1) 已知存在正数 ，使得. 先证明：对任意整数 ，都有． (2) 当 时，由式（1）反复应用可得. 当 时，显然. 当 时，设 （），则由式（1）得, 故. 反复使用上式可得. 所以式（2）对任意整数都成立． 由式（2）知且. 又因为 在 上单调递增，且图像连续，所以. 由 ，可得. 于是. 法三： 由 可知，对任意 ，都有. 而所以． (1) 已知存在正数 ，使得. 由式（1）对正整数 反复迭代，可得. 从而. 同理，对负整数部分可得, 于是对任意 ，都有． (2) 由式（2）知且. 又因为 在 上连续且单调递增，所以. 再由可得. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 （完成试卷时间：120分钟 总分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1～6题每题满分4分，第7～12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. 若，，则______． 2. 若直线与垂直，则a的值为______． 3. 底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______． 4. 在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______． 5. 在的展开式中，含项的系数为_________． 6. 如图是某班级30名学生某次数学测验的得分茎叶图（茎为十位，叶为个位），则这些测验分数的第80百分位数是______． 7. 已知，且，则的值为______． 8. 在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 9. 某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为______． 10. 已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 11. 在空间直角坐标系中，将点集所表示的立方体的表面满足的部分记为S，同时满足“”与“或”的点P的集合所表示几何体的体积为______． 12. 如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13. 若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 变量，之间的一组相关数据如表所示：若，之间的线性回归方程为，则的值为（ ） 4 5 6 7 8.2 7.8 6.6 5.4 A. B. C. D. 15. 设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（ ）． A. ①和②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①和②均错误 16. 若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（ ）． A. 任意一个T数列均不是等差数列 B. 任意一个T数列均不是等比数列 C. T集中含有且仅含有有限个等差数列 D. T集中含有无穷多个等比数列 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． （1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； （2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； （3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 18. 如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且． （1）求证：平面平面； （2）若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小． 19. 已知． （1）求函数的最小正周期与单调增区间； （2）将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 20. 已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． （1）求点、的坐标； （2）若，求直线的方程； （3）设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 21. 对于公共定义域为D的函数与，定义集合． （1）若，，求； （2）若，，且，求的最小值； （3）已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $