精品解析：上海市黄浦区2025届高三下学期4月高考模拟考试数学试题

黄浦区2025年高考模拟考 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共21道试题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. 不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】， 所以原不等式的解集为， 故答案为： 2. 设，集合，，若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由，，且， 所以. 故答案为：2. 3. 抛物线的焦点到其顶点的距离为________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点及顶点即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，顶点为， 所以该抛物线的焦点到其顶点的距离为. 故答案为： 4. 在△ABC中，若，，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】由正弦定理得，故， 即，解得. 故答案为： 5. 为虚数单位，若复数满足且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设出复数的代数形式，由给定条件列式，结合复数乘法及复数相等求解. 【详解】设，则，由，得，解得， 即，由，得，所以. 故答案为： 6. 函数f(x)＝的最大值是___________. 【答案】 【解析】 【详解】由. 7. 已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出等比数列公比，由题意建立方程，解方程并验根，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得， 由，则，代入上式可得， 去分母可得，易知， 可得，分解因式可得， 易知，解得或， 当时，，则，单调递减，不合题意. 故答案为：. 8. 已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 9. 某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为________米．（结果精确到0.01米） 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的中心为，连接，得到平面，由三角形是正三角形，得到外接圆的半径为米，利用勾股定理求得米，设米，结合，即可得到对答案. 【详解】解：由正方体的棱长米， 因为平面平面，且平面，平面，平面， 如图所示，设正方体的中心为，连接，交平面于点，则平面， 在正方体中，底面是正三角形，其外接圆的半径为米， 又由勾股定理，可得米， 设米，因为点到平面的距离为2米， 所以米. 故答案为：. 10. 若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用质因数可得的所有正约数，从而可求概率. 【详解】因为，所以的正约数为共15个数， 其中完全平方数有共6个数， 所以从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为. 故答案为：. 11. 设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数________． 【答案】15 【解析】 【分析】由题意可得或，分类讨论可求得的值. 【详解】由，可得或， 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正， 又，， 所以，所以； 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负， 又，， 所以，所以； 综上所述：. 故答案为：. 12. 设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知讨论、、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围. 【详解】由，则，又， 当，，此时无零点， 当，，此时无零点， 当，如下图，此时，而， 要使在区间上恰有4个根，则，则. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13. 如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ） A. 两种证券的收益有反向变动的倾向 B. 两种证券的收益有同向变动的倾向 C. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 【答案】B 【解析】 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为，所以两种证券是正相关， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误. 故选：B. 14. 如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 15. 设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系与、、、的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机变量的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答. 【详解】由随机变量的取值情况，它们的期望分别为：， ，即， ， 则 同理， 则 则 ， 因为 所以， 因为，不能取等号，所以，所以 所以. 故选：A. 16. 已知A、B、C、D是空间中不共面的四点.平面满足:①A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧；②若平面与A、B、C、D间的连线段有公共点，则该公共点一定是此线段的中点或两个四等分点之一.设A、B、C、D四点到平面α的距离分别为，则的所有不同值的个数组成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论确定平面的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断即可求解. 【详解】当平面与A、B、C、D间的连线段的中点相交时， 不妨设平面过，，的中点，，，此时点A、B到平面的距离相等， 且平面平面，如图（1）所示， 此时B、C、D到平面的距离可能与A、B到平面的距离相同，此时有1个不同的值； 不妨设平面过的中点，且过的四等分点，如图（2）所示， 此时点到平面的距离相等，且到平面的距离相等， 且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2个不同的值； 不妨设平面过的中点，且过的四等分点，如图（3）所示， 此时点到平面的距离相等， 且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2个不同的值； 不妨设平面过的中点，过的靠近的四等分点，过靠近点的四等分点，如图（4）所示， 此时点到平面的距离相等，到平面的距离不同， 且和到平面的距离两两之间都可能不同，此时有3个不同的值； 又因为A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧， 所以不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面的同侧）， 所以的所有不同值的个数组成的集合为. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知． （1）若，求的值； （2）是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在实数，使函数是奇函数. 【解析】 【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解. （2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可. 【小问1详解】 由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. 【小问2详解】 假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 当时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 18. 在四面体中，. （1）若为正三角形，平面平面，求四面体体积； （2）若，，求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）取为BC的中点，连接DE，则，由平面平面，得平面，即是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式即可求解； （2）由（1），即证，即二面角的平面角为，在中利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，则为等腰直角三角形， 且， 又为正三角形，故， 取BC的中点，连接DE，则， 又平面平面， 平面平面平面DBC， 故平面， 是三棱锥的高， 则其体积； 【小问2详解】 由（1）且，又， 则，且，又， 所以二面角的平面角为， 且. 所以二面角的余弦值为. 19. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 【答案】（1），不独立； （2）当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可. （2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值. 【小问1详解】 当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. 【小问2详解】 从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 20. 椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． （1）若，点的坐标为，求点到直线的距离； （2）当时，求满足的点的个数； （3）设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）. 【解析】 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解. （2）求出以线段为直径的圆方程，再与椭圆方程联立，按求出方程组的交点坐标即可. （3）设，表示出点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，建立的关系，进而建立不等式求解. 【小问1详解】 依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 21. 设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． （1）设，，判断函数，是否具有性质； （2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； （3）设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【答案】（1）不具有 （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）借助导数，利用“函数具有性质”的定义推理判断. （2）利用导数求出函数的单调区间及极小值，再利用“函数具有性质”的定义求解. （3）求出的导数，按分类，结合“函数具有性质”的定义求出范围，并求出最小值函数，再换元求出最小值函数的最小值即可. 【小问1详解】 函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，上单调递减， 于是函数在上不是单调函数，，， 函数在上的值域为， 不存在常数，使得对任意的成立， 所以函数，不具有性质H. 【小问2详解】 函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得， 当时，函数在上不单调，，， 由，即，整理得，解得或， 当时，，当时，， 因此，，则， 所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界. 【小问3详解】 当时，函数， 求导得， 当时，，，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数， ，，因此， 令，则，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 由当变化时，总是该函数的下界，得， 所以的取值范围是，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄浦区2025年高考模拟考 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共21道试题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. 不等式的解集是________. 2. 设，集合，，若，则________． 3. 抛物线的焦点到其顶点的距离为________． 4. 在△ABC中，若，，，则_____________. 5. 为虚数单位，若复数满足且，则________． 6. 函数f(x)＝的最大值是___________. 7. 已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为________． 8. 已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为________． 9. 某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为________米．（结果精确到0.01米） 10. 若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为________． 11. 设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数________． 12. 设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13. 如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ） A. 两种证券的收益有反向变动的倾向 B. 两种证券的收益有同向变动的倾向 C. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 14. 如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（ ） A. B. C. D. 15. 设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系与、、、的取值有关 16. 已知A、B、C、D是空间中不共面的四点.平面满足:①A、B、C、D四点均不在平面上，也不在平面的同侧；②若平面与A、B、C、D间的连线段有公共点，则该公共点一定是此线段的中点或两个四等分点之一.设A、B、C、D四点到平面α的距离分别为，则的所有不同值的个数组成的集合是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知． （1）若，求的值； （2）是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 18. 在四面体中，. （1）若为正三角形，平面平面，求四面体体积； （2）若，，求二面角的余弦值. 19. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 20. 椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． （1）若，点的坐标为，求点到直线的距离； （2）当时，求满足的点的个数； （3）设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 21. 设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． （1）设，，判断函数，是否具有性质； （2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； （3）设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $