易错03 一次函数与反比例函数（7大易错陷阱）（易错专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

易错03 一次函数与反比例函数 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：一次函数定义忽略系数限制条件 易错02：一次函数y=kx+b中不理解k、b对图像与性质的影响 易错03：反比例函数增减性混淆，忽略“在每个象限内”的前提 易错04：函数与不等式结合，不会利用图像确定自变量取值范围 易错05：函数应用题忽略自变量的实际取值范围 易错06：一次函数与反比例函数图像识别混淆 易错07：反比例函数k的几何意义应用错误，面积计算易失误 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 一次函数定义忽略系数限制条件 易错典例 【典例01】（2026·河南周口·一模）若一次函数 的图象经过原点，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．0 【错因分析】属于典型的概念理解不完整、定义记忆遗漏，学生往往只记住一次函数的形式，而忽略k≠0这一关键限定条件，对一次函数与常函数的边界认知模糊 避坑攻略 【技巧点拨】 判断一个函数是否为一次函数时，第一步先检查解析式是否符合y=kx+b的结构，第二步严格验证k是否不等于0，遇到含参数的一次函数问题时，必须优先讨论k=0的特殊情况，排除不符合定义的情形后再进行后续计算。 【知识链接】 一次函数的标准形式为y=kx+b，其中k和b是常数，并且必须满足k不等于0，这是一次函数的核心判定依据。当b=0时，函数变为y=kx，属于正比例函数，它是特殊的一次函数，同样需要满足k不等于0的条件。若k=0，函数变为y=b，属于常函数，不再具备一次函数的变化特征，不属于一次函数范畴。 类题巩固 1．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·25八年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象经过原点，则的值为_________． 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“不动点”，例如：直线，上存在“不动点”．若函数的图象上存在唯一“不动点”，则________． 易错02 一次函数y=kx+b中不理解k、b对图像与性质的影响 易错典例 【典例02】（2024·25八年级上·上海·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【错因分析】属于认知偏差与逻辑脱节，学生只是机械记忆k、b的作用，不能将参数符号、图像形状、函数增减性、象限位置四者建立联系，遇到根据图像判断参数符号或根据参数符号画图像的题目容易出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记“看k定增减、看b定截距、符号定象限”的判断逻辑，做题时先确定k的符号判断增减趋势，再确定b的符号判断与y轴交点位置，两者结合反向推导图像特征，也可以通过简单画图验证结论，避免单纯依靠记忆导致失误。 【知识链接】 在一次函数y=kx+b中，参数k决定直线的倾斜方向与函数的增减性，k>0时直线从左向右上升，y随x增大而增大，k<0时直线从左向右下降，y随x增大而减小。参数b决定直线与y轴的交点坐标，交点为(0,b)，b>0时交点在y轴正半轴，b<0时交点在y轴负半轴，b=0时直线经过原点。k与b的符号共同决定直线经过的象限，是分析一次函数图像的核心依据。 类题巩固 1．（2026·陕西咸阳·一模）已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 2．（2026·贵州遵义·一模）已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（   ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 3．（2026·安徽芜湖·一模）已知一次函数，且随的增大而减小．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 易错03 反比例函数增减性混淆，忽略“在每个象限内”的前提 易错典例 【典例03】（2026·山西长治·一模）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与两坐标轴相交 C．y随x的增大而减小 D．图象经过点 【错因分析】 概念混淆与范围认知错误，学生容易把“在每个象限内”的限定条件丢掉，直接将反比例函数的增减性推广到全体实数，与一次函数增减性混淆，导致比较函数值大小时出现错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 判断反比例函数增减性前，先确定两点是否在同一个象限、同一个双曲线分支上，跨象限的点不能直接用增减性比较，应先根据k的符号判断象限位置，再结合函数值正负进行大小比较。 【知识链接】 反比例函数的解析式为y=k/x（k≠0），图像是关于原点对称的双曲线。当k>0时，图像分别位于第一、三象限，并且在每个象限内，y值随x值的增大而减小；当k<0时，图像分别位于第二、四象限，并且在每个象限内，y值随x值的增大而增大。反比例函数的增减性只在同一象限内成立，跨象限不适用。 类题巩固 1．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限 C．图象关于原点对称 D．y随x的增大而增大 2．（2025·青海西宁·一模）若点，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”号链接） 3．（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数（m为常数）的图象上，，若，则的值为（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 易错04 函数与不等式结合，不会利用图像确定自变量取值范围 易错典例 【典例04】（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 【错因分析】 数形结合能力薄弱，只会代数计算不会图像分析，找不到关键的分界点，无法将函数值大小关系转化为图像上下位置关系，导致思路混乱、范围判断错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 解题时先求出两个函数的交点坐标，以交点横坐标为界限，将数轴分成不同区间，逐个区间观察哪条函数图像在上方，对应写出满足不等式的x范围，注意区分端点是否包含在取值范围内。 【知识链接】 函数与不等式的综合问题，本质是比较两个函数值的大小关系。y1>y2表示函数y1的图像在y2图像的上方，y1<y2表示函数y1的图像在y2图像的下方，两个函数图像的交点是取值范围的分界点，结合交点横坐标与图像位置，即可确定自变量x的取值范围。 类题巩固 1．（2026九年级·全国·专题练习）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_______． 2．（2025·云南怒江·模拟预测）如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 3．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为______ ． 易错05 函数应用题忽略自变量的实际取值范围 易错典例 【典例05】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某学校采购体育用品，需要购买篮球和足球．购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元． (1)求购买一个篮球和一个足球分别需要多少元； (2)若该学校要购买篮球和足球共20个，且足球的个数不超过篮球个数的3倍，请问购买多少个足球时花费最少，最少费用是多少？ 【错因分析】 审题不细致，重数学表达式轻实际意义，对实际问题的约束条件不敏感，属于应用场景认知缺失，常常写出解析式就结束，忘记结合题意限制自变量。 避坑攻略 【技巧点拨】 求出解析式后，立即结合题意检查限制条件，如人数、物品数量为正整数，长度、时间为非负数，再把实际要求转化为x≥0、x>0、x为整数等数学形式，完整写出解析式与取值范围。 【知识链接】 用一次函数或反比例函数解决实际问题时，不仅要正确求出函数解析式，还要根据实际背景确定自变量的取值范围。实际问题中的长度、数量、时间、面积、价格等都具有非负限制，部分量还要求为正整数，取值范围是解析式不可或缺的组成部分。 类题巩固 1．（2026·河北邢台·一模）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间成反比例函数关系，图象如图所示，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·一模）一个车间有25名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件4个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这25名工人中，车间每天安排名工人制造甲种零件，其余人制造乙种零件． (1)求该车间每天所获利润（元）与之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 3．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为； (1)求与的函数关系式； (2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由． 易错06 一次函数与反比例函数图像识别混淆 易错典例 【典例06】（2025·山东济南·模拟预测）函数与在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（   ） A． B． C． D． 【错因分析】 图像特征记忆模糊，对两类函数的本质区别理解不深，在综合题中容易混淆参数意义，误将一次函数的k的性质套用到反比例函数上，导致图像判断、符号分析错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 先根据图像形状确定函数类型，再根据象限、增减趋势分别判断一次函数k、b和反比例函数k的符号，两类函数的参数分开分析、互不干扰。 【知识链接】 一次函数的图像是直线，由k和b共同决定位置与方向；反比例函数的图像是双曲线，关于原点对称，由k的符号决定所在象限。两者的图像形状、参数意义、变化规律完全不同，综合题中需要分开判断各自参数符号。 类题巩固 1．（2025·安徽安庆·一模）若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2022·山东济南·模拟预测）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 易错07 反比例函数k的几何意义应用错误，面积计算易失误 易错典例 【典例07】（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【错因分析】 对k的几何意义理解不牢固，计算面积时忘记加绝对值，或者混淆矩形与三角形的面积公式，容易出现漏除以2、符号判断错误等问题。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到反比例函数与面积结合的题目，直接套用面积公式，矩形面积用|k|，三角形面积用，先确定面积数值，再根据图像所在象限判断k的正负，保证计算准确。 【知识链接】 反比例函数中，k具有明确的几何意义，过双曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|，围成的三角形面积等于，面积始终为正数，与k的正负无关。 类题巩固 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，线段的延长线交x轴于点C，．则k的值为______． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点P在的图象上，过点P作轴于点B，过点P作轴于点C，点A与点B关于y轴对称，若四边形的面积为12，则k的值为_____． 3．（2026·四川达州·一模）如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且点恰为的中点，连接，，则的面积是（　　） A．4 B．5 C．6.5 D．8 易●错●闯●关 1．（2024·25九年级上·重庆·月考）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2026·陕西西安·一模）已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·25七年级下·江苏宿迁·月考）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（    ） A． B． C． D． 5．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 6．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是____；关于x的不等式的解集是______；当时，x的取值范围是______． 7．（2025·26九年级下·江西鹰潭·月考）有一定质量的气体，其密度（单位：）与其体积（单位：）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．若该气体体积，则密度的取值范围为____． 8．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的任意一点，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C是y轴上一动点．，则k的值为__________． 9．（2026·吉林辽源·一模）某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 10．（2025·26九年级上·陕西西安·期末）小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化，从而改变灯光的明暗．台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图所示． (1)关于的函数表达式为______；当时，______； (2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 11．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接交x轴于点C，轴，点D在x轴正半轴上，，连接，已知的面积为12． (1)求k的值； (2)若点，在反比例函数的图象上是否存在点E使得四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错03 一次函数与反比例函数 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：一次函数定义忽略系数限制条件 易错02：一次函数y=kx+b中不理解k、b对图像与性质的影响 易错03：反比例函数增减性混淆，忽略“在每个象限内”的前提 易错04：函数与不等式结合，不会利用图像确定自变量取值范围 易错05：函数应用题忽略自变量的实际取值范围 易错06：一次函数与反比例函数图像识别混淆 易错07：反比例函数k的几何意义应用错误，面积计算易失误 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 一次函数定义忽略系数限制条件 易错典例 【典例01】（2026·河南周口·一模）若一次函数 的图象经过原点，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点 ∴将代入解析式得 解得 又∵一次函数的一次项系数不为0 ∴，即 ∴． 【错因分析】属于典型的概念理解不完整、定义记忆遗漏，学生往往只记住一次函数的形式，而忽略k≠0这一关键限定条件，对一次函数与常函数的边界认知模糊 避坑攻略 【技巧点拨】 判断一个函数是否为一次函数时，第一步先检查解析式是否符合y=kx+b的结构，第二步严格验证k是否不等于0，遇到含参数的一次函数问题时，必须优先讨论k=0的特殊情况，排除不符合定义的情形后再进行后续计算。 【知识链接】 一次函数的标准形式为y=kx+b，其中k和b是常数，并且必须满足k不等于0，这是一次函数的核心判定依据。当b=0时，函数变为y=kx，属于正比例函数，它是特殊的一次函数，同样需要满足k不等于0的条件。若k=0，函数变为y=b，属于常函数，不再具备一次函数的变化特征，不属于一次函数范畴。 类题巩固 1．（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴直线解析式为：， ∴直线经过一、二、四象限，不经过第三象限； 故选C． 2．（2024·25八年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象经过原点，则的值为_________． 【答案】4 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴， 解得， 又∵函数是一次函数， ∴， 解得， 综上，， 故答案为：4． 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“不动点”，例如：直线，上存在“不动点”．若函数的图象上存在唯一“不动点”，则________． 【答案】或或 【详解】解：由题意可知，方程有唯一解， 整理得：，且． 即， 解得或． 当时，它是一次函数，存在唯一“不动点”， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，新定义，一次函数的定义，对“不动点”的理解是解决本题的关键． 易错02 一次函数y=kx+b中不理解k、b对图像与性质的影响 易错典例 【典例02】（2024·25八年级上·上海·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由图可知，正比例函数经过第一、三象限，说明． 一次函数中，，因此其与轴交点应在 y 轴负半轴；但图中显示该交点在轴正半轴，两者矛盾． 不符合题意； B、由图可知，正比例函数经过第二、四象限，说明． 此时，一次函数中，，因此其与轴交点应在轴正半轴；且一次函数斜率为，图象从左下到右上倾斜，与图示完全一致．符合题意； C、由图可知，正比例函数经过第二、四象限，说明． 此时，一次函数中，，因此其与轴交点应在轴正半轴；但图中显示该交点在轴负半轴，两者矛盾．不符合题意； D、由图可知，正比例函数经过第一、三象限，说明． 一次函数中，，因此其与轴交点应在 y 轴负半轴；且一次函数斜率为，图象从左下到右上倾斜，与图示不一致．不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解题关键是通过一次函数的斜率（判断增减性）、截距（判断与轴交点位置），分析参数的符号，验证两个函数对应的符号是否一致． 【错因分析】属于认知偏差与逻辑脱节，学生只是机械记忆k、b的作用，不能将参数符号、图像形状、函数增减性、象限位置四者建立联系，遇到根据图像判断参数符号或根据参数符号画图像的题目容易出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记“看k定增减、看b定截距、符号定象限”的判断逻辑，做题时先确定k的符号判断增减趋势，再确定b的符号判断与y轴交点位置，两者结合反向推导图像特征，也可以通过简单画图验证结论，避免单纯依靠记忆导致失误。 【知识链接】 在一次函数y=kx+b中，参数k决定直线的倾斜方向与函数的增减性，k>0时直线从左向右上升，y随x增大而增大，k<0时直线从左向右下降，y随x增大而减小。参数b决定直线与y轴的交点坐标，交点为(0,b)，b>0时交点在y轴正半轴，b<0时交点在y轴负半轴，b=0时直线经过原点。k与b的符号共同决定直线经过的象限，是分析一次函数图像的核心依据。 类题巩固 1．（2026·陕西咸阳·一模）已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵点纵坐标为，点纵坐标为， ∴， 又∵ ，可知增大时减小， ∴ 直线中，随的增大而减小， 根据一次函数的性质，一次项系数小于0时，随增大而减小， ∴ ， 解得 ， ∵ 选项中只有符合条件． 2．（2026·贵州遵义·一模）已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（   ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【详解】解：∵一次函数，函数值y随着自变量x的增大而减小， ∴， ∴此时一次函数图象经过第二、四象限， 又∵一次函数与y轴的交点为， 即该一次函数与y轴的交点位于y轴正半轴， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限． 3．（2026·安徽芜湖·一模）已知一次函数，且随的增大而减小．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 一次函数中，随的增大而减小， ∴ ， A、 将代入解析式，得：， 解得，符合题意； B 、将代入解析式，得：， 整理得，等式不成立，不符合题意； C 、将代入解析式，得：， 解得，不符合的条件，不符合题意； D 、将代入解析式，得：， 解得，不符合题意． 易错03 反比例函数增减性混淆，忽略“在每个象限内”的前提 易错典例 【典例03】（2026·山西长治·一模）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与两坐标轴相交 C．y随x的增大而减小 D．图象经过点 【答案】A 【详解】解： 反比例函数为， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限，故A符合题意； 反比例函数中，， 图象不可能与坐标轴相交，故B不符合题意； ， 只有在每个象限内，随的增大而增大，故C不符合题意； 当时，， 图象不经过点，故D不符合题意． 【错因分析】 概念混淆与范围认知错误，学生容易把“在每个象限内”的限定条件丢掉，直接将反比例函数的增减性推广到全体实数，与一次函数增减性混淆，导致比较函数值大小时出现错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 判断反比例函数增减性前，先确定两点是否在同一个象限、同一个双曲线分支上，跨象限的点不能直接用增减性比较，应先根据k的符号判断象限位置，再结合函数值正负进行大小比较。 【知识链接】 反比例函数的解析式为y=k/x（k≠0），图像是关于原点对称的双曲线。当k>0时，图像分别位于第一、三象限，并且在每个象限内，y值随x值的增大而减小；当k<0时，图像分别位于第二、四象限，并且在每个象限内，y值随x值的增大而增大。反比例函数的增减性只在同一象限内成立，跨象限不适用。 类题巩固 1．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限 C．图象关于原点对称 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【详解】解：A、当时，，所以图象经过点，说法正确，不合题意； B、，则图象位于第一、三象限，故说法正确，不合题意； C、反比例函数的图象关于原点成中心对称，故说法正确，不合题意； D、，则图象在每个象限内，随的增大而减小，所以当时，随的增大而减小，故说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025·青海西宁·一模）若点，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”号链接） 【答案】 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，在反比例函数的图象上，， ∴， 故答案为：． 3．（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数（m为常数）的图象上，，若，则的值为（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【答案】B 【详解】解：∵， ∴反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵ ∴或， 假设且，则， ∴，， ∴， 同理：当且时，， ∴的值为负数． 故选：B． 易错04 函数与不等式结合，不会利用图像确定自变量取值范围 易错典例 【典例04】（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 【错因分析】 数形结合能力薄弱，只会代数计算不会图像分析，找不到关键的分界点，无法将函数值大小关系转化为图像上下位置关系，导致思路混乱、范围判断错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 解题时先求出两个函数的交点坐标，以交点横坐标为界限，将数轴分成不同区间，逐个区间观察哪条函数图像在上方，对应写出满足不等式的x范围，注意区分端点是否包含在取值范围内。 【知识链接】 函数与不等式的综合问题，本质是比较两个函数值的大小关系。y1>y2表示函数y1的图像在y2图像的上方，y1<y2表示函数y1的图像在y2图像的下方，两个函数图像的交点是取值范围的分界点，结合交点横坐标与图像位置，即可确定自变量x的取值范围。 类题巩固 1．（2026九年级·全国·专题练习）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_______． 【答案】 【详解】解：由图象可知，，经过点， ∴， ∴， 把代入得： ， 即， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 2．（2025·云南怒江·模拟预测）如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 3．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为______ ． 【答案】或 【详解】解：如图，图象平移后与直线的交点分别记为A、B， 令， 解得：， ∴，， 观察图象可知，不等式的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象综合、反比例函数图象的平移，解题关键是正确求出平移后的图象与直线的交点． 易错05 函数应用题忽略自变量的实际取值范围 易错典例 【典例05】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某学校采购体育用品，需要购买篮球和足球．购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元． (1)求购买一个篮球和一个足球分别需要多少元； (2)若该学校要购买篮球和足球共20个，且足球的个数不超过篮球个数的3倍，请问购买多少个足球时花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)篮球的单价为60元，足球的单价为50元． (2)购买15个足球时花费最少，最少费用是1050元． 【分析】 【详解】（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元， 根据题意得：，解得， 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元． （2）设该学校购买足球个，则购买篮球个， 根据题意得：， 解得 的整数． 设学校要购买篮球、足球的总费用为元， 根据题意得：， ，随的增大而减小， 且为非负整数， 当时，最小，最小值为1050． 答：购买15个足球时花费最少，最少费用是1050元． 【错因分析】 审题不细致，重数学表达式轻实际意义，对实际问题的约束条件不敏感，属于应用场景认知缺失，常常写出解析式就结束，忘记结合题意限制自变量。 避坑攻略 【技巧点拨】 求出解析式后，立即结合题意检查限制条件，如人数、物品数量为正整数，长度、时间为非负数，再把实际要求转化为x≥0、x>0、x为整数等数学形式，完整写出解析式与取值范围。 【知识链接】 用一次函数或反比例函数解决实际问题时，不仅要正确求出函数解析式，还要根据实际背景确定自变量的取值范围。实际问题中的长度、数量、时间、面积、价格等都具有非负限制，部分量还要求为正整数，取值范围是解析式不可或缺的组成部分。 类题巩固 1．（2026·河北邢台·一模）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间成反比例函数关系，图象如图所示，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，函数图象经过点 ， ∴， ∴反比例函数解析式为 ， ∵配制一副度数小于200度的近视眼镜， ∴，即 ， ∵， ∴． 2．（2026·安徽合肥·一模）一个车间有25名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件4个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这25名工人中，车间每天安排名工人制造甲种零件，其余人制造乙种零件． (1)求该车间每天所获利润（元）与之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【答案】(1) (2)至少应安排11名工人去制造乙种零件 【详解】（1）解：根据题意，可得； （2）解：由题意，知，即， 解得， 为整数， 最多安排名工人去制造甲种零件， 即至少应安排11名工人制造乙种零件． 3．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为； (1)求与的函数关系式； (2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由． 【答案】(1) (2)够用，见解析 【详解】（1）解：热水输出容积为， ∴， ∴； （2）解：热水够用，理由如下： 当时，， 解得x=， 经检验：x=是原方程的解， ∵， ∴电热水器中的热水够用． 易错06 一次函数与反比例函数图像识别混淆 易错典例 【典例06】（2025·山东济南·模拟预测）函数与在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，反比例函数的图象分布在二、四象限，一次函数的图象过一、二、四象限；B符合题意； 当时，反比例函数的图象分布在一、三象限，一次函数的图象过一、三、四象限，没有符合题意的图象． 【错因分析】 图像特征记忆模糊，对两类函数的本质区别理解不深，在综合题中容易混淆参数意义，误将一次函数的k的性质套用到反比例函数上，导致图像判断、符号分析错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 先根据图像形状确定函数类型，再根据象限、增减趋势分别判断一次函数k、b和反比例函数k的符号，两类函数的参数分开分析、互不干扰。 【知识链接】 一次函数的图像是直线，由k和b共同决定位置与方向；反比例函数的图像是双曲线，关于原点对称，由k的符号决定所在象限。两者的图像形状、参数意义、变化规律完全不同，综合题中需要分开判断各自参数符号。 类题巩固 1．（2025·安徽安庆·一模）若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， ∴该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故C正确． 故选：C． 2．（2022·山东济南·模拟预测）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，一次函数图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限， 只有D选项满足题意． 3．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 故选D 易错07 反比例函数k的几何意义应用错误，面积计算易失误 易错典例 【典例07】（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点， ∴点A与点C关于原点对称， ∴， ∵作轴于点， ∴， ∴的面积． 【错因分析】 对k的几何意义理解不牢固，计算面积时忘记加绝对值，或者混淆矩形与三角形的面积公式，容易出现漏除以2、符号判断错误等问题。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到反比例函数与面积结合的题目，直接套用面积公式，矩形面积用|k|，三角形面积用，先确定面积数值，再根据图像所在象限判断k的正负，保证计算准确。 【知识链接】 反比例函数中，k具有明确的几何意义，过双曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|，围成的三角形面积等于，面积始终为正数，与k的正负无关。 类题巩固 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，线段的延长线交x轴于点C，．则k的值为______． 【答案】 【详解】解：过作轴于，过作轴于，则， ∴， ∴， ∵A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，， ∴，， 设， ∴，，，，， ∴， 解得， ∴， ∵． ∴， 解得． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点P在的图象上，过点P作轴于点B，过点P作轴于点C，点A与点B关于y轴对称，若四边形的面积为12，则k的值为_____． 【答案】 8 【详解】解：∵点A与点B关于y轴对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∵点P在的图象上， ∴， ∴， ∴，即， ∵的图象位于第一象限， ∴， ∴． 3．（2026·四川达州·一模）如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且点恰为的中点，连接，，则的面积是（　　） A．4 B．5 C．6.5 D．8 【答案】A 【详解】解：令点坐标为，点坐标为， ∵点恰为的中点， ∴点坐标为，即， ∴的面积为， ∵点在轴上， ∴， 即， 代入上式面积公式得． 易●错●闯●关 1．（2024·25九年级上·重庆·月考）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：B． 2．（2026·陕西西安·一模）已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵点横坐标为，点横坐标为，， ∴，即， 又∵，说明一次函数随的增大而减小， 根据一次函数性质，一次项系数小于， ∴，解得， 选项中只有A选项，符合要求，因此选A． 3．（2025·26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】随的增大而减小， ，即． 图象与轴的交点在轴下方， 当时，，即． 的取值范围是且，即． 故选：． 4．（2024·25七年级下·江苏宿迁·月考）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：①当时，一次函数图象过一、三、四象限；反比例函数图象过一、三象限； ②当k＜0时，一次函数图象过一、二、四象限；反比例函数图象过二、四象限， A．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、三象限，故该选项不正确，不符合题意； B．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，而该选项一次函数图象过一、三、四象限，故该选项不正确，不符合题意； C．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； D．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 5．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故选：D． 6．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是____；关于x的不等式的解集是______；当时，x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵直线与x轴的交点是，且随着x的增大而减小， ∴当时，，即不等式的解集是； ∵直线与y轴的交点是，且随着x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集是； 由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是， 当函数的图象在的上面时，有；当时，， 所以当时，； 故答案为：；；． 7．（2025·26九年级下·江西鹰潭·月考）有一定质量的气体，其密度（单位：）与其体积（单位：）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．若该气体体积，则密度的取值范围为____． 【答案】 【详解】解：根据图象可知反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数关系式为． 当时，， ∵反比例函数的图象函数值随着的增大而减小， ∴越大越小． 当时，． 8．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的任意一点，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C是y轴上一动点．，则k的值为__________． 【答案】 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，垂足为B， ∴， ∴，即， ∵点C是y轴上一动点．， ∴， ∴，解得或， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 9．（2026·吉林辽源·一模）某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)气体的体积应不小于． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由点在函数图象上可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，气球会爆炸， ∴， ∴，解得：， 因此，为了安全起见，气体的体积应不小于． 10．（2025·26九年级上·陕西西安·期末）小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化，从而改变灯光的明暗．台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图所示． (1)关于的函数表达式为______；当时，______； (2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得：， ∴关于的函数表达式为； 当时，． 故答案为：， （2）解：当时，（）， 当时，（）， ∴该台灯的电阻的取值范围为． 11．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接交x轴于点C，轴，点D在x轴正半轴上，，连接，已知的面积为12． (1)求k的值； (2)若点，在反比例函数的图象上是否存在点E使得四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上， 设点， ∵轴， 则点， ∴ ∵ 点， 的面积为12， ， 解得， ∴k的值为． （2）解：不存在． 理由如下： ，， ∴， 由（1）得k的值为． 把代入 得， ， 由（1）得k的值为． 把代入，得， 得， 假设存在点使得四边形为平行四边形， 根据题意得，平行四边形以为对角线， ，， ， ∵ 即不在反比例函数的图象上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $